UniformSampleCone, y

Percentage Accurate: 57.2% → 98.3%

Time: 18.0s

Alternatives: 19

Speedup: 2.0×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 57.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{t\_0 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (*
    (sin (* (* uy 2.0) PI))
    (sqrt (+ t_0 (* t_0 (+ (* ux (+ maxCos -1.0)) 1.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + -1.0f)) + 1.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(t_0 + Float32(t_0 * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) + Float32(1.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + single(-1.0))) + single(1.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 56.8%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   4. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 64.6%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)}} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

10. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;\sqrt{t\_0 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{t\_0 + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (if (<= (* uy 2.0) 0.03500000014901161)
     (*
      (sqrt (+ t_0 (* t_0 (+ (* ux (+ maxCos -1.0)) 1.0))))
      (*
       uy
       (+ (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))) (* 2.0 PI))))
     (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (+ t_0 (* ux (- 1.0 ux))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.03500000014901161f) {
		tmp = sqrtf((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + -1.0f)) + 1.0f)))) * (uy * (((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + (2.0f * ((float) M_PI))));
	} else {
		tmp = sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((t_0 + (ux * (1.0f - ux))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.03500000014901161))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(t_0 + Float32(t_0 * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) + Float32(1.0))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(t_0 + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.03500000014901161))
		tmp = sqrt((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + single(-1.0))) + single(1.0))))) * (uy * (((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) + (single(2.0) * single(pi))));
	else
		tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((t_0 + (ux * (single(1.0) - ux))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0350000001

   1. Initial program 56.9%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 56.9%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      4. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 64.7%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)}} \]

   7. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 98.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

   10. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 98.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 98.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

   if 0.0350000001 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 56.8%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 56.3%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      4. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 64.2%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)}} \]

   7. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 97.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 97.9%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

   10. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. neg-lowering-neg.f32 97.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 97.2%

       \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - \color{blue}{\left(-ux \cdot \left(1 + \left(-ux\right)\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ 2.0 (- (* ux (* (+ maxCos -1.0) (- 1.0 maxCos))) (* 2.0 maxCos)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f + ((ux * ((maxCos + -1.0f) * (1.0f - maxCos))) - (2.0f * maxCos)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) - Float32(Float32(2.0) * maxCos))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((ux * ((maxCos + single(-1.0)) * (single(1.0) - maxCos))) - (single(2.0) * maxCos)))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 56.8%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   4. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 64.6%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)}} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

10. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f32 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

13. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (+ 2.0 (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (+ maxCos -1.0))) (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * ((2.0f + ((ux * (1.0f - maxCos)) * (maxCos + -1.0f))) + (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux * ((single(2.0) + ((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (maxCos + single(-1.0)))) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + ux \cdot -2\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt (- (* ux (- 2.0 ux)) (* maxCos (* ux (+ 2.0 (* ux -2.0))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * (2.0f - ux)) - (maxCos * (ux * (2.0f + (ux * -2.0f))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)) - Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(-2.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((ux * (single(2.0) - ux)) - (maxCos * (ux * (single(2.0) + (ux * single(-2.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - ux\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right) + \left(-maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + ux \cdot -2\right)\right)\right)}} \]

9. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + ux \cdot -2\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;\sqrt{t\_0 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (if (<= (* uy 2.0) 0.03500000014901161)
     (*
      (sqrt (+ t_0 (* t_0 (+ (* ux (+ maxCos -1.0)) 1.0))))
      (*
       uy
       (+ (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))) (* 2.0 PI))))
     (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (+ ux (* ux (- 1.0 ux))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.03500000014901161f) {
		tmp = sqrtf((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + -1.0f)) + 1.0f)))) * (uy * (((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + (2.0f * ((float) M_PI))));
	} else {
		tmp = sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux + (ux * (1.0f - ux))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.03500000014901161))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(t_0 + Float32(t_0 * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) + Float32(1.0))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.03500000014901161))
		tmp = sqrt((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + single(-1.0))) + single(1.0))))) * (uy * (((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) + (single(2.0) * single(pi))));
	else
		tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux + (ux * (single(1.0) - ux))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0350000001

   1. Initial program 56.9%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 56.9%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      4. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 64.7%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)}} \]

   7. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 98.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

   10. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 98.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 98.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

   if 0.0350000001 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 56.8%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 56.3%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      4. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 64.2%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)}} \]

   7. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(-1 \cdot ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(-1 \cdot ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-1, ux, -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-1, ux, \mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-1, ux, \mathsf{neg}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-1, ux, \mathsf{neg}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-1, ux, \mathsf{neg}\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-1, ux, \mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. fmm-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(-1 \cdot ux - ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot ux\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f32 97.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 97.0%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{-\left(\left(-ux\right) - ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;\sqrt{t\_0 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (if (<= (* uy 2.0) 0.03500000014901161)
     (*
      (sqrt (+ t_0 (* t_0 (+ (* ux (+ maxCos -1.0)) 1.0))))
      (*
       uy
       (+ (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))) (* 2.0 PI))))
     (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (* ux (- 2.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.03500000014901161f) {
		tmp = sqrtf((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + -1.0f)) + 1.0f)))) * (uy * (((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + (2.0f * ((float) M_PI))));
	} else {
		tmp = sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.03500000014901161))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(t_0 + Float32(t_0 * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) + Float32(1.0))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.03500000014901161))
		tmp = sqrt((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + single(-1.0))) + single(1.0))))) * (uy * (((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) + (single(2.0) * single(pi))));
	else
		tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0350000001

   1. Initial program 56.9%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 56.9%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      4. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 64.7%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)}} \]

   7. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 98.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

   10. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 98.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 98.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

   if 0.0350000001 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 56.8%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 96.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 96.8%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03500000014901161:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 94.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;\sqrt{t\_0 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (if (<= (* uy 2.0) 0.05999999865889549)
     (*
      (sqrt (+ t_0 (* t_0 (+ (* ux (+ maxCos -1.0)) 1.0))))
      (*
       uy
       (+ (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))) (* 2.0 PI))))
     (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (* 2.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.05999999865889549f) {
		tmp = sqrtf((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + -1.0f)) + 1.0f)))) * (uy * (((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + (2.0f * ((float) M_PI))));
	} else {
		tmp = sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.05999999865889549))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(t_0 + Float32(t_0 * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) + Float32(1.0))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.05999999865889549))
		tmp = sqrt((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + single(-1.0))) + single(1.0))))) * (uy * (((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) + (single(2.0) * single(pi))));
	else
		tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0599999987

   1. Initial program 57.4%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 57.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      4. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 65.1%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)}} \]

   7. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 98.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

   10. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 97.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 97.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

   if 0.0599999987 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 54.0%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 44.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 44.3%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + -2\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 78.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 78.8%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2 \cdot ux}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 89.3% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \sqrt{t\_0 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (*
    (sqrt (+ t_0 (* t_0 (+ (* ux (+ maxCos -1.0)) 1.0))))
    (*
     uy
     (+ (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))) (* 2.0 PI))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	return sqrtf((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + -1.0f)) + 1.0f)))) * (uy * (((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + (2.0f * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	return Float32(sqrt(Float32(t_0 + Float32(t_0 * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) + Float32(1.0))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = sqrt((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + single(-1.0))) + single(1.0))))) * (uy * (((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) + (single(2.0) * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 56.8%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   4. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 64.6%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)}} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

10. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 88.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 88.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

13. Final simplification 88.9%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 89.3% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (+ 2.0 (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (+ maxCos -1.0))) (* maxCos -2.0))))
  (*
   uy
   (+ (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))) (* 2.0 PI)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * ((2.0f + ((ux * (1.0f - maxCos)) * (maxCos + -1.0f))) + (maxCos * -2.0f)))) * (uy * (((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + (2.0f * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * ((single(2.0) + ((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (maxCos + single(-1.0)))) + (maxCos * single(-2.0))))) * (uy * (((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) + (single(2.0) * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 88.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 88.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \]

9. Final simplification 88.8%

   \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 77.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;ux \leq 0.00031999999191612005:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right) + 1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= ux 0.00031999999191612005)
   (*
    (*
     uy
     (+ (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))) (* 2.0 PI)))
    (sqrt (* 2.0 ux)))
   (* (* 2.0 (* uy PI)) (sqrt (+ (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)) 1.0)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (ux <= 0.00031999999191612005f) {
		tmp = (uy * (((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((2.0f * ux));
	} else {
		tmp = (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf((((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)) + 1.0f));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (ux <= Float32(0.00031999999191612005))
		tmp = Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))) + Float32(1.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (ux <= single(0.00031999999191612005))
		tmp = (uy * (((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) + (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	else
		tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt((((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0))) + single(1.0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if ux < 3.19999992e-4

   1. Initial program 38.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 41.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 41.0%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + -2\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 39.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 39.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + -2\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 80.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 80.6%

       \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2 \cdot ux}} \]

   if 3.19999992e-4 < ux

   1. Initial program 90.3%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) + 1\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      4. distribute-lft1-in N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      5. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   3. Simplified 90.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 75.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 75.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot ux\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. neg-lowering-neg.f32 72.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 72.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(-ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(-ux\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 77.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;ux \leq 0.00031999999191612005:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right) + 1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 75.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;ux \leq 0.00044999999227002263:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{\frac{ux \cdot \left(4 + -4 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}{2 + 2 \cdot maxCos}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right) + 1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= ux 0.00044999999227002263)
     (*
      t_0
      (sqrt
       (/ (* ux (+ 4.0 (* -4.0 (* maxCos maxCos)))) (+ 2.0 (* 2.0 maxCos)))))
     (* t_0 (sqrt (+ (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)) 1.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (ux <= 0.00044999999227002263f) {
		tmp = t_0 * sqrtf(((ux * (4.0f + (-4.0f * (maxCos * maxCos)))) / (2.0f + (2.0f * maxCos))));
	} else {
		tmp = t_0 * sqrtf((((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)) + 1.0f));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (ux <= Float32(0.00044999999227002263))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(4.0) + Float32(Float32(-4.0) * Float32(maxCos * maxCos)))) / Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(2.0) * maxCos)))));
	else
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))) + Float32(1.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (ux <= single(0.00044999999227002263))
		tmp = t_0 * sqrt(((ux * (single(4.0) + (single(-4.0) * (maxCos * maxCos)))) / (single(2.0) + (single(2.0) * maxCos))));
	else
		tmp = t_0 * sqrt((((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0))) + single(1.0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if ux < 4.49999992e-4

   1. Initial program 39.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - \left(maxCos \cdot -2\right) \cdot \left(maxCos \cdot -2\right)}{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - maxCos \cdot -2} \cdot ux\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - \left(maxCos \cdot -2\right) \cdot \left(maxCos \cdot -2\right)\right) \cdot ux}{\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - maxCos \cdot -2}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - \left(maxCos \cdot -2\right) \cdot \left(maxCos \cdot -2\right)\right) \cdot ux\right), \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - 4 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux}{\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + 2 \cdot maxCos}}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{ux \cdot \left(4 - 4 \cdot {maxCos}^{2}\right)}{2 + 2 \cdot maxCos}} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{ux \cdot \left(4 - 4 \cdot {maxCos}^{2}\right)}{2 + 2 \cdot maxCos}}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{ux \cdot \left(4 - 4 \cdot {maxCos}^{2}\right)}{2 + 2 \cdot maxCos}}\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{ux \cdot \left(4 - 4 \cdot {maxCos}^{2}\right)}{2 + 2 \cdot maxCos}}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{ux \cdot \left(4 - 4 \cdot {maxCos}^{2}\right)}}{2 + 2 \cdot maxCos}}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{ux \cdot \color{blue}{\left(4 - 4 \cdot {maxCos}^{2}\right)}}{2 + 2 \cdot maxCos}}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{ux \cdot \left(4 - \color{blue}{4 \cdot {maxCos}^{2}}\right)}{2 + 2 \cdot maxCos}}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{ux \cdot \left(4 - 4 \cdot {maxCos}^{2}\right)}{2 + 2 \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(ux \cdot \left(4 - 4 \cdot {maxCos}^{2}\right)\right), \left(2 + 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(4 - 4 \cdot {maxCos}^{2}\right)\right), \left(2 + 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(4 + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot {maxCos}^{2}\right)\right), \left(2 + 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(4, \left(\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right), \left(2 + 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(4, \left(-4 \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right), \left(2 + 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(-4, \left({maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(2 + 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(-4, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \left(2 + 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right)\right)\right), \left(2 + 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 90.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 90.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{ux \cdot \left(4 + -4 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}{2 + 2 \cdot maxCos}}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. PI-lowering-PI.f32 75.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(-4, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 75.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\frac{ux \cdot \left(4 + -4 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}{2 + 2 \cdot maxCos}} \]

   if 4.49999992e-4 < ux

   1. Initial program 91.3%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) + 1\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      4. distribute-lft1-in N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      5. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   3. Simplified 91.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 75.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 75.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot ux\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. neg-lowering-neg.f32 72.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 72.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(-ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(-ux\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;ux \leq 0.00044999999227002263:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{ux \cdot \left(4 + -4 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}{2 + 2 \cdot maxCos}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right) + 1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 81.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \sqrt{t\_0 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (*
    (sqrt (+ t_0 (* t_0 (+ (* ux (+ maxCos -1.0)) 1.0))))
    (* 2.0 (* uy PI)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	return sqrtf((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + -1.0f)) + 1.0f)))) * (2.0f * (uy * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	return Float32(sqrt(Float32(t_0 + Float32(t_0 * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) + Float32(1.0))))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = sqrt((t_0 + (t_0 * ((ux * (maxCos + single(-1.0))) + single(1.0))))) * (single(2.0) * (uy * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 56.8%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   4. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 64.6%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)}} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

10. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. PI-lowering-PI.f32 80.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 80.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

13. Final simplification 80.9%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 14: 81.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* 2.0 (* uy PI))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ 2.0 (- (* ux (* (+ maxCos -1.0) (- 1.0 maxCos))) (* 2.0 maxCos)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f + ((ux * ((maxCos + -1.0f) * (1.0f - maxCos))) - (2.0f * maxCos)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) - Float32(Float32(2.0) * maxCos))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((ux * ((maxCos + single(-1.0)) * (single(1.0) - maxCos))) - (single(2.0) * maxCos)))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) + 1\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   4. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

3. Simplified 56.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 49.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 49.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 80.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.8%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(-ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}} \]

11. Final simplification 80.8%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 81.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* 2.0 (* uy PI))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (* (+ maxCos -1.0) (+ (* ux (- 1.0 maxCos)) -1.0)) (- 1.0 maxCos))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (((maxCos + -1.0f) * ((ux * (1.0f - maxCos)) + -1.0f)) + (1.0f - maxCos))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) + Float32(-1.0))) + Float32(Float32(1.0) - maxCos)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt((ux * (((maxCos + single(-1.0)) * ((ux * (single(1.0) - maxCos)) + single(-1.0))) + (single(1.0) - maxCos))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 56.8%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   4. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \frac{\left({1}^{3} + {\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - 1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 64.6%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)}} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)} \]

10. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - ux \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - ux \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)}} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - ux \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)}\right)}\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - ux \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)}}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)}}\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)}}\right)\right) \]

    6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - ux \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. distribute-lft-out-- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    20. +-lowering-+.f32 80.8%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 80.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}} \]

13. Final simplification 80.8%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 16: 81.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (+ 2.0 (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (+ maxCos -1.0))) (* maxCos -2.0))))
  (* 2.0 (* uy PI))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * ((2.0f + ((ux * (1.0f - maxCos)) * (maxCos + -1.0f))) + (maxCos * -2.0f)))) * (2.0f * (uy * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * ((single(2.0) + ((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (maxCos + single(-1.0)))) + (maxCos * single(-2.0))))) * (single(2.0) * (uy * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 80.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 80.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \]

9. Final simplification 80.8%

   \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 17: 75.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;ux \leq 0.00044999999227002263:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right) + 1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= ux 0.00044999999227002263)
     (* t_0 (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))
     (* t_0 (sqrt (+ (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)) 1.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (ux <= 0.00044999999227002263f) {
		tmp = t_0 * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
	} else {
		tmp = t_0 * sqrtf((((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)) + 1.0f));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (ux <= Float32(0.00044999999227002263))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))));
	else
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))) + Float32(1.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (ux <= single(0.00044999999227002263))
		tmp = t_0 * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
	else
		tmp = t_0 * sqrt((((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0))) + single(1.0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if ux < 4.49999992e-4

   1. Initial program 39.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) + 1\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      4. distribute-lft1-in N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      5. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   3. Simplified 39.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 36.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 36.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 75.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 75.8%

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \]

   if 4.49999992e-4 < ux

   1. Initial program 91.3%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) + 1\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      4. distribute-lft1-in N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

      5. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   3. Simplified 91.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 75.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 75.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + -1 \cdot ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot ux\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. neg-lowering-neg.f32 72.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 72.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(-ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(-ux\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;ux \leq 0.00044999999227002263:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right) + 1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 66.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (* 2.0 (* uy PI)) (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) + 1\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   4. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

3. Simplified 56.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 49.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 49.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 65.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 65.9%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \]

11. Final simplification 65.9%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 19: 7.1% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) + 1\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   4. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)} \]

3. Simplified 56.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 49.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 49.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 7.1%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{1}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot {\left(1 - 1\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot {0}^{\frac{1}{2}} \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 0 \]

    4. mul0-rgt 7.1%

       \[\leadsto 0 \]

12. Applied egg-rr 7.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))