ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.3% → 99.3%

Time: 12.3s

Alternatives: 5

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* (* x x) 0.16666666666666666) (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * x) * 0.16666666666666666d0) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   2. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{2}} \]

   4. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2} \]

   5. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]

   6. pow-prod-up 99.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \]

   7. metadata-eval 99.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{4}} \]

7. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

9. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* (* x x) -0.06388888888888888))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.06388888888888888));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * (-0.06388888888888888d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.06388888888888888));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.06388888888888888))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * -0.06388888888888888)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.06388888888888888));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

7. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.06388888888888888\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (cos x) (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return cos(x) * (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = cos(x) * (x * (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cos(x) * (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return math.cos(x) * (x * (x * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(cos(x) * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = cos(x) * (x * (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-quot 54.1%

      \[\leadsto \frac{x - \sin x}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\cos x}}} \]

   2. associate-/r/ 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x - \sin x}{\sin x} \cdot \cos x} \]

4. Applied egg-rr 54.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x - \sin x}{\sin x} \cdot \cos x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \frac{x - \sin x}{\sin x}} \]

   2. div-sub 54.1%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(\frac{x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]

   3. *-inverses 54.1%

      \[\leadsto \cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} - \color{blue}{1}\right) \]

6. Simplified 54.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} - 1\right)} \]

7. Taylor expanded in x around inf 54.1%

   \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0 98.8%

   \[\leadsto \cos x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}\right) \]

9. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \cos x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* x x) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 98.7%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

8. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 54.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
5. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 1/6 (* x x)))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))