2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 100.0%

Time: 13.6s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\\ 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos t\_0 - \sin \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\pi}\right)\right) \cdot \sin t\_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (acos (- 0.0 (/ g h))) 3.0)))
   (*
    2.0
    (-
     (* (cos (* PI 0.6666666666666666)) (cos t_0))
     (* (sin (* (sqrt PI) (* 0.6666666666666666 (sqrt PI)))) (sin t_0))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((0.0 - (g / h))) / 3.0;
	return 2.0 * ((cos((((double) M_PI) * 0.6666666666666666)) * cos(t_0)) - (sin((sqrt(((double) M_PI)) * (0.6666666666666666 * sqrt(((double) M_PI))))) * sin(t_0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	double t_0 = Math.acos((0.0 - (g / h))) / 3.0;
	return 2.0 * ((Math.cos((Math.PI * 0.6666666666666666)) * Math.cos(t_0)) - (Math.sin((Math.sqrt(Math.PI) * (0.6666666666666666 * Math.sqrt(Math.PI)))) * Math.sin(t_0)));
}

Python

def code(g, h):
	t_0 = math.acos((0.0 - (g / h))) / 3.0
	return 2.0 * ((math.cos((math.pi * 0.6666666666666666)) * math.cos(t_0)) - (math.sin((math.sqrt(math.pi) * (0.6666666666666666 * math.sqrt(math.pi)))) * math.sin(t_0)))

Julia

function code(g, h)
	t_0 = Float64(acos(Float64(0.0 - Float64(g / h))) / 3.0)
	return Float64(2.0 * Float64(Float64(cos(Float64(pi * 0.6666666666666666)) * cos(t_0)) - Float64(sin(Float64(sqrt(pi) * Float64(0.6666666666666666 * sqrt(pi)))) * sin(t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	t_0 = acos((0.0 - (g / h))) / 3.0;
	tmp = 2.0 * ((cos((pi * 0.6666666666666666)) * cos(t_0)) - (sin((sqrt(pi) * (0.6666666666666666 * sqrt(pi)))) * sin(t_0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcCos[N[(0.0 - N[(g / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[(N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(0.6666666666666666 * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{-1 \cdot h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{g}{-1}\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, -1\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right)}, 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right)}, 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right)}, 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{g}, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \color{blue}{\left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)} \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

9. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\pi}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\\ t_1 := \cos \left(t\_0 + \pi \cdot -0.6666666666666666\right)\\ t\_1 \cdot \frac{\frac{1}{t\_1}}{\frac{0.5}{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + t\_0\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (acos (- 0.0 (/ g h))) 3.0))
        (t_1 (cos (+ t_0 (* PI -0.6666666666666666)))))
   (* t_1 (/ (/ 1.0 t_1) (/ 0.5 (cos (+ (* PI 0.6666666666666666) t_0)))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((0.0 - (g / h))) / 3.0;
	double t_1 = cos((t_0 + (((double) M_PI) * -0.6666666666666666)));
	return t_1 * ((1.0 / t_1) / (0.5 / cos(((((double) M_PI) * 0.6666666666666666) + t_0))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	double t_0 = Math.acos((0.0 - (g / h))) / 3.0;
	double t_1 = Math.cos((t_0 + (Math.PI * -0.6666666666666666)));
	return t_1 * ((1.0 / t_1) / (0.5 / Math.cos(((Math.PI * 0.6666666666666666) + t_0))));
}

Python

def code(g, h):
	t_0 = math.acos((0.0 - (g / h))) / 3.0
	t_1 = math.cos((t_0 + (math.pi * -0.6666666666666666)))
	return t_1 * ((1.0 / t_1) / (0.5 / math.cos(((math.pi * 0.6666666666666666) + t_0))))

Julia

function code(g, h)
	t_0 = Float64(acos(Float64(0.0 - Float64(g / h))) / 3.0)
	t_1 = cos(Float64(t_0 + Float64(pi * -0.6666666666666666)))
	return Float64(t_1 * Float64(Float64(1.0 / t_1) / Float64(0.5 / cos(Float64(Float64(pi * 0.6666666666666666) + t_0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	t_0 = acos((0.0 - (g / h))) / 3.0;
	t_1 = cos((t_0 + (pi * -0.6666666666666666)));
	tmp = t_1 * ((1.0 / t_1) / (0.5 / cos(((pi * 0.6666666666666666) + t_0))));
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcCos[N[(0.0 - N[(g / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(t$95$0 + N[(Pi * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$1 * N[(N[(1.0 / t$95$1), $MachinePrecision] / N[(0.5 / N[Cos[N[(N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{-1 \cdot h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{g}{-1}\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, -1\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right)}, 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right)}, 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right)}, 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(g, h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{g}, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(g, h\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \color{blue}{\left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)} \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3} + \pi \cdot -0.6666666666666666\right)}}{\frac{0.5}{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3} + \pi \cdot -0.6666666666666666\right)} \]

11. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3} + \pi \cdot -0.6666666666666666\right) \cdot \frac{\frac{1}{\cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3} + \pi \cdot -0.6666666666666666\right)}}{\frac{0.5}{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)\\ t_1 := \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{t\_0}{-3}\right)\\ \frac{2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{t\_0}{3}\right) \cdot t\_1\right)}{t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- 0.0 (/ g h))))
        (t_1 (cos (+ (* PI 0.6666666666666666) (/ t_0 -3.0)))))
   (/ (* 2.0 (* (cos (+ (* PI 0.6666666666666666) (/ t_0 3.0))) t_1)) t_1)))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((0.0 - (g / h)));
	double t_1 = cos(((((double) M_PI) * 0.6666666666666666) + (t_0 / -3.0)));
	return (2.0 * (cos(((((double) M_PI) * 0.6666666666666666) + (t_0 / 3.0))) * t_1)) / t_1;
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	double t_0 = Math.acos((0.0 - (g / h)));
	double t_1 = Math.cos(((Math.PI * 0.6666666666666666) + (t_0 / -3.0)));
	return (2.0 * (Math.cos(((Math.PI * 0.6666666666666666) + (t_0 / 3.0))) * t_1)) / t_1;
}

Python

def code(g, h):
	t_0 = math.acos((0.0 - (g / h)))
	t_1 = math.cos(((math.pi * 0.6666666666666666) + (t_0 / -3.0)))
	return (2.0 * (math.cos(((math.pi * 0.6666666666666666) + (t_0 / 3.0))) * t_1)) / t_1

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(0.0 - Float64(g / h)))
	t_1 = cos(Float64(Float64(pi * 0.6666666666666666) + Float64(t_0 / -3.0)))
	return Float64(Float64(2.0 * Float64(cos(Float64(Float64(pi * 0.6666666666666666) + Float64(t_0 / 3.0))) * t_1)) / t_1)
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	t_0 = acos((0.0 - (g / h)));
	t_1 = cos(((pi * 0.6666666666666666) + (t_0 / -3.0)));
	tmp = (2.0 * (cos(((pi * 0.6666666666666666) + (t_0 / 3.0))) * t_1)) / t_1;
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[(0.0 - N[(g / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 / -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * N[(N[Cos[N[(N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{-1 \cdot h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{g}{-1}\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, -1\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. cos-sum N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right) + \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \cdot 2 \]

   4. cos-diff N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3} - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \cdot 2 \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{-3}\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot 2}{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{-3}\right)}} \]

7. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{3}\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{-3}\right)\right)}{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(0 - \frac{g}{h}\right)}{-3}\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (* PI 0.6666666666666666) (/ (acos (/ (/ g -1.0) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((((double) M_PI) * 0.6666666666666666) + (acos(((g / -1.0) / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.PI * 0.6666666666666666) + (Math.acos(((g / -1.0) / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((math.pi * 0.6666666666666666) + (math.acos(((g / -1.0) / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(pi * 0.6666666666666666) + Float64(acos(Float64(Float64(g / -1.0) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((pi * 0.6666666666666666) + (acos(((g / -1.0) / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[(N[(g / -1.0), $MachinePrecision] / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{2}{3}\right)\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   10. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{g}{-1 \cdot h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{g}{-1}\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, -1\right), h\right)\right), 3\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{g}{-1}}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024138 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))