Distance on a great circle

Percentage Accurate: 61.8% → 87.2%

Time: 49.2s

Alternatives: 20

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1}}{\sqrt{1 - t\_1}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (+
          (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)
          (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0) t_0))))
   (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt t_1) (sqrt (- 1.0 t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0d0 - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(t_1), Math.sqrt((1.0 - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0) * t_0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(t_1), math.sqrt((1.0 - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(t_1), sqrt(Float64(1.0 - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Initial Program: 61.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1}}{\sqrt{1 - t\_1}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (+
          (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)
          (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0) t_0))))
   (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt t_1) (sqrt (- 1.0 t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0d0 - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(t_1), Math.sqrt((1.0 - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0) * t_0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(t_1), math.sqrt((1.0 - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(t_1), sqrt(Float64(1.0 - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Alternative 1: 87.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\\ t_1 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_2 := \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\\ t_3 := t\_0 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\\ t_4 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_5 := \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\\ t_6 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ t_7 := \sqrt{\left(0.5 + t\_6\right) + \frac{t\_4 \cdot \left(-1 + t\_3\right)}{2}}\\ t_8 := 0.5 - t\_6\\ t_9 := \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -4.5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_8 + \frac{t\_4 \cdot \left(1 - \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, t\_0\right)\right)}{2}}}{t\_7} \cdot \left(2 \cdot R\right)\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\mathsf{fma}\left(t\_5, t\_2, 0 - t\_9\right)\right)}^{2} + t\_4 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right)}}{\sqrt{1 + \left(t\_4 \cdot \left(t\_1 \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(t\_5 \cdot t\_2 - t\_9\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_8 + \frac{t\_4 \cdot \left(1 - t\_3\right)}{2}}}{t\_7}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin lambda1) (sin lambda2)))
        (t_1 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_2 (cos (/ phi2 2.0)))
        (t_3 (+ t_0 (* (cos lambda2) (cos lambda1))))
        (t_4 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_5 (sin (/ phi1 2.0)))
        (t_6 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
        (t_7 (sqrt (+ (+ 0.5 t_6) (/ (* t_4 (+ -1.0 t_3)) 2.0))))
        (t_8 (- 0.5 t_6))
        (t_9 (* (cos (/ phi1 2.0)) (sin (/ phi2 2.0)))))
   (if (<= lambda1 -4.5e-6)
     (*
      (atan2
       (sqrt
        (+ t_8 (/ (* t_4 (- 1.0 (fma (cos lambda2) (cos lambda1) t_0))) 2.0)))
       t_7)
      (* 2.0 R))
     (if (<= lambda1 2e-20)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (pow (fma t_5 t_2 (- 0.0 t_9)) 2.0) (* t_4 (* t_1 t_1))))
         (sqrt
          (+
           1.0
           (-
            (* t_4 (* t_1 (sin (/ (- lambda1 lambda2) -2.0))))
            (pow (- (* t_5 t_2) t_9) 2.0))))))
       (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (+ t_8 (/ (* t_4 (- 1.0 t_3)) 2.0))) t_7))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	double t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_2 = cos((phi2 / 2.0));
	double t_3 = t_0 + (cos(lambda2) * cos(lambda1));
	double t_4 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_5 = sin((phi1 / 2.0));
	double t_6 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	double t_7 = sqrt(((0.5 + t_6) + ((t_4 * (-1.0 + t_3)) / 2.0)));
	double t_8 = 0.5 - t_6;
	double t_9 = cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -4.5e-6) {
		tmp = atan2(sqrt((t_8 + ((t_4 * (1.0 - fma(cos(lambda2), cos(lambda1), t_0))) / 2.0))), t_7) * (2.0 * R);
	} else if (lambda1 <= 2e-20) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(fma(t_5, t_2, (0.0 - t_9)), 2.0) + (t_4 * (t_1 * t_1)))), sqrt((1.0 + ((t_4 * (t_1 * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - pow(((t_5 * t_2) - t_9), 2.0)))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_8 + ((t_4 * (1.0 - t_3)) / 2.0))), t_7);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))
	t_1 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_2 = cos(Float64(phi2 / 2.0))
	t_3 = Float64(t_0 + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))
	t_4 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_5 = sin(Float64(phi1 / 2.0))
	t_6 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))
	t_7 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_6) + Float64(Float64(t_4 * Float64(-1.0 + t_3)) / 2.0)))
	t_8 = Float64(0.5 - t_6)
	t_9 = Float64(cos(Float64(phi1 / 2.0)) * sin(Float64(phi2 / 2.0)))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -4.5e-6)
		tmp = Float64(atan(sqrt(Float64(t_8 + Float64(Float64(t_4 * Float64(1.0 - fma(cos(lambda2), cos(lambda1), t_0))) / 2.0))), t_7) * Float64(2.0 * R));
	elseif (lambda1 <= 2e-20)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((fma(t_5, t_2, Float64(0.0 - t_9)) ^ 2.0) + Float64(t_4 * Float64(t_1 * t_1)))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_4 * Float64(t_1 * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - (Float64(Float64(t_5 * t_2) - t_9) ^ 2.0))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(t_8 + Float64(Float64(t_4 * Float64(1.0 - t_3)) / 2.0))), t_7));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$0 + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$7 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$6), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$4 * N[(-1.0 + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$8 = N[(0.5 - t$95$6), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$9 = N[(N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -4.5e-6], N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$8 + N[(N[(t$95$4 * N[(1.0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$7], $MachinePrecision] * N[(2.0 * R), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda1, 2e-20], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[(t$95$5 * t$95$2 + N[(0.0 - t$95$9), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$4 * N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$4 * N[(t$95$1 * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[(N[(t$95$5 * t$95$2), $MachinePrecision] - t$95$9), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$8 + N[(N[(t$95$4 * N[(1.0 - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$7], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda1 < -4.50000000000000011e-6

   1. Initial program 46.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 47.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 47.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 82.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 82.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -4.50000000000000011e-6 < lambda1 < 1.99999999999999989e-20

   1. Initial program 78.5%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 79.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 79.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 1.99999999999999989e-20 < lambda1

   1. Initial program 47.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 47.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 47.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 47.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 76.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -4.5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}} \cdot \left(2 \cdot R\right)\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 77.4% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ t_2 := \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\\ t_3 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_4 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_5 := \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\\ t_6 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_4\right)\\ \mathbf{if}\;{\sin t\_4}^{2} + t\_0 \cdot \left(t\_3 \cdot t\_0\right) \leq 2 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_3 \cdot {t\_1}^{2} + {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot t\_5\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(t\_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot -0.5\right)\right)\right)\right) - {t\_5}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - t\_6\right) + \frac{t\_3 \cdot \left(1 - t\_2\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + t\_6\right) + \frac{t\_3 \cdot \left(-1 + t\_2\right)}{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1 (sin (* 0.5 (- lambda1 lambda2))))
        (t_2
         (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1))))
        (t_3 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_4 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_5 (sin (* 0.5 phi2)))
        (t_6 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_4)))))
   (if (<= (+ (pow (sin t_4) 2.0) (* t_0 (* t_3 t_0))) 2e-5)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt
        (+
         (* t_3 (pow t_1 2.0))
         (pow
          (-
           (* (sin (* 0.5 phi1)) (cos (* 0.5 phi2)))
           (* (cos (* 0.5 phi1)) t_5))
          2.0)))
       (sqrt
        (-
         (+
          1.0
          (*
           (cos phi1)
           (* t_1 (* (cos phi2) (sin (* (- lambda1 lambda2) -0.5))))))
         (pow t_5 2.0)))))
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt (+ (- 0.5 t_6) (/ (* t_3 (- 1.0 t_2)) 2.0)))
       (sqrt (+ (+ 0.5 t_6) (/ (* t_3 (+ -1.0 t_2)) 2.0))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = sin((0.5 * (lambda1 - lambda2)));
	double t_2 = (sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1));
	double t_3 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_5 = sin((0.5 * phi2));
	double t_6 = 0.5 * cos((2.0 * t_4));
	double tmp;
	if ((pow(sin(t_4), 2.0) + (t_0 * (t_3 * t_0))) <= 2e-5) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_3 * pow(t_1, 2.0)) + pow(((sin((0.5 * phi1)) * cos((0.5 * phi2))) - (cos((0.5 * phi1)) * t_5)), 2.0))), sqrt(((1.0 + (cos(phi1) * (t_1 * (cos(phi2) * sin(((lambda1 - lambda2) * -0.5)))))) - pow(t_5, 2.0))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((0.5 - t_6) + ((t_3 * (1.0 - t_2)) / 2.0))), sqrt(((0.5 + t_6) + ((t_3 * (-1.0 + t_2)) / 2.0))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = sin((0.5d0 * (lambda1 - lambda2)))
    t_2 = (sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))
    t_3 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_5 = sin((0.5d0 * phi2))
    t_6 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * t_4))
    if (((sin(t_4) ** 2.0d0) + (t_0 * (t_3 * t_0))) <= 2d-5) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((t_3 * (t_1 ** 2.0d0)) + (((sin((0.5d0 * phi1)) * cos((0.5d0 * phi2))) - (cos((0.5d0 * phi1)) * t_5)) ** 2.0d0))), sqrt(((1.0d0 + (cos(phi1) * (t_1 * (cos(phi2) * sin(((lambda1 - lambda2) * (-0.5d0))))))) - (t_5 ** 2.0d0))))
    else
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((0.5d0 - t_6) + ((t_3 * (1.0d0 - t_2)) / 2.0d0))), sqrt(((0.5d0 + t_6) + ((t_3 * ((-1.0d0) + t_2)) / 2.0d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.sin((0.5 * (lambda1 - lambda2)));
	double t_2 = (Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1));
	double t_3 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_5 = Math.sin((0.5 * phi2));
	double t_6 = 0.5 * Math.cos((2.0 * t_4));
	double tmp;
	if ((Math.pow(Math.sin(t_4), 2.0) + (t_0 * (t_3 * t_0))) <= 2e-5) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_3 * Math.pow(t_1, 2.0)) + Math.pow(((Math.sin((0.5 * phi1)) * Math.cos((0.5 * phi2))) - (Math.cos((0.5 * phi1)) * t_5)), 2.0))), Math.sqrt(((1.0 + (Math.cos(phi1) * (t_1 * (Math.cos(phi2) * Math.sin(((lambda1 - lambda2) * -0.5)))))) - Math.pow(t_5, 2.0))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 - t_6) + ((t_3 * (1.0 - t_2)) / 2.0))), Math.sqrt(((0.5 + t_6) + ((t_3 * (-1.0 + t_2)) / 2.0))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.sin((0.5 * (lambda1 - lambda2)))
	t_2 = (math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1))
	t_3 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_5 = math.sin((0.5 * phi2))
	t_6 = 0.5 * math.cos((2.0 * t_4))
	tmp = 0
	if (math.pow(math.sin(t_4), 2.0) + (t_0 * (t_3 * t_0))) <= 2e-5:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((t_3 * math.pow(t_1, 2.0)) + math.pow(((math.sin((0.5 * phi1)) * math.cos((0.5 * phi2))) - (math.cos((0.5 * phi1)) * t_5)), 2.0))), math.sqrt(((1.0 + (math.cos(phi1) * (t_1 * (math.cos(phi2) * math.sin(((lambda1 - lambda2) * -0.5)))))) - math.pow(t_5, 2.0))))
	else:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((0.5 - t_6) + ((t_3 * (1.0 - t_2)) / 2.0))), math.sqrt(((0.5 + t_6) + ((t_3 * (-1.0 + t_2)) / 2.0))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = sin(Float64(0.5 * Float64(lambda1 - lambda2)))
	t_2 = Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))
	t_3 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_4 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_5 = sin(Float64(0.5 * phi2))
	t_6 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_4)))
	tmp = 0.0
	if (Float64((sin(t_4) ^ 2.0) + Float64(t_0 * Float64(t_3 * t_0))) <= 2e-5)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_3 * (t_1 ^ 2.0)) + (Float64(Float64(sin(Float64(0.5 * phi1)) * cos(Float64(0.5 * phi2))) - Float64(cos(Float64(0.5 * phi1)) * t_5)) ^ 2.0))), sqrt(Float64(Float64(1.0 + Float64(cos(phi1) * Float64(t_1 * Float64(cos(phi2) * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) * -0.5)))))) - (t_5 ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - t_6) + Float64(Float64(t_3 * Float64(1.0 - t_2)) / 2.0))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_6) + Float64(Float64(t_3 * Float64(-1.0 + t_2)) / 2.0)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = sin((0.5 * (lambda1 - lambda2)));
	t_2 = (sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1));
	t_3 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_5 = sin((0.5 * phi2));
	t_6 = 0.5 * cos((2.0 * t_4));
	tmp = 0.0;
	if (((sin(t_4) ^ 2.0) + (t_0 * (t_3 * t_0))) <= 2e-5)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_3 * (t_1 ^ 2.0)) + (((sin((0.5 * phi1)) * cos((0.5 * phi2))) - (cos((0.5 * phi1)) * t_5)) ^ 2.0))), sqrt(((1.0 + (cos(phi1) * (t_1 * (cos(phi2) * sin(((lambda1 - lambda2) * -0.5)))))) - (t_5 ^ 2.0))));
	else
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((0.5 - t_6) + ((t_3 * (1.0 - t_2)) / 2.0))), sqrt(((0.5 + t_6) + ((t_3 * (-1.0 + t_2)) / 2.0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(0.5 * N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Sin[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$4), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[Power[N[Sin[t$95$4], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$3 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2e-5], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$3 * N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(1.0 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(t$95$1 * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[t$95$5, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - t$95$6), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$3 * N[(1.0 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$6), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$3 * N[(-1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (pow.f64 (sin.f64 (/.f64 (-.f64 phi1 phi2) #s(literal 2 binary64))) #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 (*.f64 (cos.f64 phi1) (cos.f64 phi2)) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64)))) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64))))) < 2.00000000000000016e-5

   1. Initial program 68.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 68.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 68.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 68.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 83.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 83.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 83.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   12. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 75.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. Simplified 75.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \color{blue}{{\sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 2.00000000000000016e-5 < (+.f64 (pow.f64 (sin.f64 (/.f64 (-.f64 phi1 phi2) #s(literal 2 binary64))) #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 (*.f64 (cos.f64 phi1) (cos.f64 phi2)) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64)))) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64)))))

   1. Initial program 58.7%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 59.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 59.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 79.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 79.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \leq 2 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot -0.5\right)\right)\right)\right) - {\sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 77.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ t_2 := \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\\ t_3 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_4 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_5 := \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\\ t_6 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_4\right)\\ \mathbf{if}\;{\sin t\_4}^{2} + t\_0 \cdot \left(t\_3 \cdot t\_0\right) \leq 2 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_3 \cdot {t\_1}^{2} + {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot t\_5\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(t\_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot -0.5\right)\right) - {t\_5}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - t\_6\right) + \frac{t\_3 \cdot \left(1 - t\_2\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + t\_6\right) + \frac{t\_3 \cdot \left(-1 + t\_2\right)}{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1 (sin (* 0.5 (- lambda1 lambda2))))
        (t_2
         (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1))))
        (t_3 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_4 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_5 (sin (* 0.5 phi2)))
        (t_6 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_4)))))
   (if (<= (+ (pow (sin t_4) 2.0) (* t_0 (* t_3 t_0))) 2e-5)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt
        (+
         (* t_3 (pow t_1 2.0))
         (pow
          (-
           (* (sin (* 0.5 phi1)) (cos (* 0.5 phi2)))
           (* (cos (* 0.5 phi1)) t_5))
          2.0)))
       (sqrt
        (+
         1.0
         (-
          (* t_1 (* (cos phi2) (sin (* (- lambda1 lambda2) -0.5))))
          (pow t_5 2.0))))))
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt (+ (- 0.5 t_6) (/ (* t_3 (- 1.0 t_2)) 2.0)))
       (sqrt (+ (+ 0.5 t_6) (/ (* t_3 (+ -1.0 t_2)) 2.0))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = sin((0.5 * (lambda1 - lambda2)));
	double t_2 = (sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1));
	double t_3 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_5 = sin((0.5 * phi2));
	double t_6 = 0.5 * cos((2.0 * t_4));
	double tmp;
	if ((pow(sin(t_4), 2.0) + (t_0 * (t_3 * t_0))) <= 2e-5) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_3 * pow(t_1, 2.0)) + pow(((sin((0.5 * phi1)) * cos((0.5 * phi2))) - (cos((0.5 * phi1)) * t_5)), 2.0))), sqrt((1.0 + ((t_1 * (cos(phi2) * sin(((lambda1 - lambda2) * -0.5)))) - pow(t_5, 2.0)))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((0.5 - t_6) + ((t_3 * (1.0 - t_2)) / 2.0))), sqrt(((0.5 + t_6) + ((t_3 * (-1.0 + t_2)) / 2.0))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = sin((0.5d0 * (lambda1 - lambda2)))
    t_2 = (sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))
    t_3 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_5 = sin((0.5d0 * phi2))
    t_6 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * t_4))
    if (((sin(t_4) ** 2.0d0) + (t_0 * (t_3 * t_0))) <= 2d-5) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((t_3 * (t_1 ** 2.0d0)) + (((sin((0.5d0 * phi1)) * cos((0.5d0 * phi2))) - (cos((0.5d0 * phi1)) * t_5)) ** 2.0d0))), sqrt((1.0d0 + ((t_1 * (cos(phi2) * sin(((lambda1 - lambda2) * (-0.5d0))))) - (t_5 ** 2.0d0)))))
    else
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((0.5d0 - t_6) + ((t_3 * (1.0d0 - t_2)) / 2.0d0))), sqrt(((0.5d0 + t_6) + ((t_3 * ((-1.0d0) + t_2)) / 2.0d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.sin((0.5 * (lambda1 - lambda2)));
	double t_2 = (Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1));
	double t_3 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_5 = Math.sin((0.5 * phi2));
	double t_6 = 0.5 * Math.cos((2.0 * t_4));
	double tmp;
	if ((Math.pow(Math.sin(t_4), 2.0) + (t_0 * (t_3 * t_0))) <= 2e-5) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_3 * Math.pow(t_1, 2.0)) + Math.pow(((Math.sin((0.5 * phi1)) * Math.cos((0.5 * phi2))) - (Math.cos((0.5 * phi1)) * t_5)), 2.0))), Math.sqrt((1.0 + ((t_1 * (Math.cos(phi2) * Math.sin(((lambda1 - lambda2) * -0.5)))) - Math.pow(t_5, 2.0)))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 - t_6) + ((t_3 * (1.0 - t_2)) / 2.0))), Math.sqrt(((0.5 + t_6) + ((t_3 * (-1.0 + t_2)) / 2.0))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.sin((0.5 * (lambda1 - lambda2)))
	t_2 = (math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1))
	t_3 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_5 = math.sin((0.5 * phi2))
	t_6 = 0.5 * math.cos((2.0 * t_4))
	tmp = 0
	if (math.pow(math.sin(t_4), 2.0) + (t_0 * (t_3 * t_0))) <= 2e-5:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((t_3 * math.pow(t_1, 2.0)) + math.pow(((math.sin((0.5 * phi1)) * math.cos((0.5 * phi2))) - (math.cos((0.5 * phi1)) * t_5)), 2.0))), math.sqrt((1.0 + ((t_1 * (math.cos(phi2) * math.sin(((lambda1 - lambda2) * -0.5)))) - math.pow(t_5, 2.0)))))
	else:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((0.5 - t_6) + ((t_3 * (1.0 - t_2)) / 2.0))), math.sqrt(((0.5 + t_6) + ((t_3 * (-1.0 + t_2)) / 2.0))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = sin(Float64(0.5 * Float64(lambda1 - lambda2)))
	t_2 = Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))
	t_3 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_4 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_5 = sin(Float64(0.5 * phi2))
	t_6 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_4)))
	tmp = 0.0
	if (Float64((sin(t_4) ^ 2.0) + Float64(t_0 * Float64(t_3 * t_0))) <= 2e-5)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_3 * (t_1 ^ 2.0)) + (Float64(Float64(sin(Float64(0.5 * phi1)) * cos(Float64(0.5 * phi2))) - Float64(cos(Float64(0.5 * phi1)) * t_5)) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_1 * Float64(cos(phi2) * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) * -0.5)))) - (t_5 ^ 2.0))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - t_6) + Float64(Float64(t_3 * Float64(1.0 - t_2)) / 2.0))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_6) + Float64(Float64(t_3 * Float64(-1.0 + t_2)) / 2.0)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = sin((0.5 * (lambda1 - lambda2)));
	t_2 = (sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1));
	t_3 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_4 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_5 = sin((0.5 * phi2));
	t_6 = 0.5 * cos((2.0 * t_4));
	tmp = 0.0;
	if (((sin(t_4) ^ 2.0) + (t_0 * (t_3 * t_0))) <= 2e-5)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_3 * (t_1 ^ 2.0)) + (((sin((0.5 * phi1)) * cos((0.5 * phi2))) - (cos((0.5 * phi1)) * t_5)) ^ 2.0))), sqrt((1.0 + ((t_1 * (cos(phi2) * sin(((lambda1 - lambda2) * -0.5)))) - (t_5 ^ 2.0)))));
	else
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((0.5 - t_6) + ((t_3 * (1.0 - t_2)) / 2.0))), sqrt(((0.5 + t_6) + ((t_3 * (-1.0 + t_2)) / 2.0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(0.5 * N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Sin[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$4), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[Power[N[Sin[t$95$4], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$3 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2e-5], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$3 * N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$1 * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[t$95$5, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - t$95$6), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$3 * N[(1.0 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$6), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$3 * N[(-1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (pow.f64 (sin.f64 (/.f64 (-.f64 phi1 phi2) #s(literal 2 binary64))) #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 (*.f64 (cos.f64 phi1) (cos.f64 phi2)) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64)))) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64))))) < 2.00000000000000016e-5

   1. Initial program 68.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 68.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 68.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 68.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 83.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 83.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 83.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   12. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. Simplified 75.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\color{blue}{1 + \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot -0.5\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - {\sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 2.00000000000000016e-5 < (+.f64 (pow.f64 (sin.f64 (/.f64 (-.f64 phi1 phi2) #s(literal 2 binary64))) #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 (*.f64 (cos.f64 phi1) (cos.f64 phi2)) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64)))) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64)))))

   1. Initial program 58.7%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 59.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 59.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 79.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 79.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \leq 2 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot -0.5\right)\right) - {\sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 87.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\\ t_1 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ t_2 := 0.5 - t\_1\\ t_3 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_4 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_5 := t\_0 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\\ t_6 := \sqrt{\left(0.5 + t\_1\right) + \frac{t\_3 \cdot \left(-1 + t\_5\right)}{2}}\\ t_7 := {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -2.65 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 + \frac{t\_3 \cdot \left(1 - \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, t\_0\right)\right)}{2}}}{t\_6} \cdot \left(2 \cdot R\right)\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_3 \cdot \left(t\_4 \cdot t\_4\right) + t\_7}}{\sqrt{1 + \left(t\_3 \cdot \left(t\_4 \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - t\_7\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 + \frac{t\_3 \cdot \left(1 - t\_5\right)}{2}}}{t\_6}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin lambda1) (sin lambda2)))
        (t_1 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
        (t_2 (- 0.5 t_1))
        (t_3 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_4 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_5 (+ t_0 (* (cos lambda2) (cos lambda1))))
        (t_6 (sqrt (+ (+ 0.5 t_1) (/ (* t_3 (+ -1.0 t_5)) 2.0))))
        (t_7
         (pow
          (-
           (* (sin (/ phi1 2.0)) (cos (/ phi2 2.0)))
           (* (cos (/ phi1 2.0)) (sin (/ phi2 2.0))))
          2.0)))
   (if (<= lambda1 -2.65e-5)
     (*
      (atan2
       (sqrt
        (+ t_2 (/ (* t_3 (- 1.0 (fma (cos lambda2) (cos lambda1) t_0))) 2.0)))
       t_6)
      (* 2.0 R))
     (if (<= lambda1 2e-20)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (* t_3 (* t_4 t_4)) t_7))
         (sqrt
          (+ 1.0 (- (* t_3 (* t_4 (sin (/ (- lambda1 lambda2) -2.0)))) t_7)))))
       (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (+ t_2 (/ (* t_3 (- 1.0 t_5)) 2.0))) t_6))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	double t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	double t_2 = 0.5 - t_1;
	double t_3 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_4 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_5 = t_0 + (cos(lambda2) * cos(lambda1));
	double t_6 = sqrt(((0.5 + t_1) + ((t_3 * (-1.0 + t_5)) / 2.0)));
	double t_7 = pow(((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))), 2.0);
	double tmp;
	if (lambda1 <= -2.65e-5) {
		tmp = atan2(sqrt((t_2 + ((t_3 * (1.0 - fma(cos(lambda2), cos(lambda1), t_0))) / 2.0))), t_6) * (2.0 * R);
	} else if (lambda1 <= 2e-20) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_3 * (t_4 * t_4)) + t_7)), sqrt((1.0 + ((t_3 * (t_4 * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - t_7))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_2 + ((t_3 * (1.0 - t_5)) / 2.0))), t_6);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))
	t_1 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))
	t_2 = Float64(0.5 - t_1)
	t_3 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_4 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_5 = Float64(t_0 + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))
	t_6 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_1) + Float64(Float64(t_3 * Float64(-1.0 + t_5)) / 2.0)))
	t_7 = Float64(Float64(sin(Float64(phi1 / 2.0)) * cos(Float64(phi2 / 2.0))) - Float64(cos(Float64(phi1 / 2.0)) * sin(Float64(phi2 / 2.0)))) ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -2.65e-5)
		tmp = Float64(atan(sqrt(Float64(t_2 + Float64(Float64(t_3 * Float64(1.0 - fma(cos(lambda2), cos(lambda1), t_0))) / 2.0))), t_6) * Float64(2.0 * R));
	elseif (lambda1 <= 2e-20)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_3 * Float64(t_4 * t_4)) + t_7)), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_3 * Float64(t_4 * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - t_7)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(t_2 + Float64(Float64(t_3 * Float64(1.0 - t_5)) / 2.0))), t_6));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(t$95$0 + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$3 * N[(-1.0 + t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$7 = N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -2.65e-5], N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$2 + N[(N[(t$95$3 * N[(1.0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$6], $MachinePrecision] * N[(2.0 * R), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda1, 2e-20], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$3 * N[(t$95$4 * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$7), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$3 * N[(t$95$4 * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$7), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$2 + N[(N[(t$95$3 * N[(1.0 - t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$6], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda1 < -2.65e-5

   1. Initial program 46.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 47.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 47.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 82.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 82.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -2.65e-5 < lambda1 < 1.99999999999999989e-20

   1. Initial program 78.5%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 79.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 79.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 1.99999999999999989e-20 < lambda1

   1. Initial program 47.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 47.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 47.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 47.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 76.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -2.65 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}} \cdot \left(2 \cdot R\right)\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 87.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\\ t_1 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ t_2 := 0.5 - t\_1\\ t_3 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_4 := \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ t_5 := t\_0 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\\ t_6 := \sqrt{\left(0.5 + t\_1\right) + \frac{t\_3 \cdot \left(-1 + t\_5\right)}{2}}\\ t_7 := {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -0.00027:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 + \frac{t\_3 \cdot \left(1 - \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, t\_0\right)\right)}{2}}}{t\_6} \cdot \left(2 \cdot R\right)\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_3 \cdot {t\_4}^{2} + t\_7}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(t\_4 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot -0.5\right)\right)\right)\right) - t\_7}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 + \frac{t\_3 \cdot \left(1 - t\_5\right)}{2}}}{t\_6}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin lambda1) (sin lambda2)))
        (t_1 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
        (t_2 (- 0.5 t_1))
        (t_3 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_4 (sin (* 0.5 (- lambda1 lambda2))))
        (t_5 (+ t_0 (* (cos lambda2) (cos lambda1))))
        (t_6 (sqrt (+ (+ 0.5 t_1) (/ (* t_3 (+ -1.0 t_5)) 2.0))))
        (t_7
         (pow
          (-
           (* (sin (* 0.5 phi1)) (cos (* 0.5 phi2)))
           (* (cos (* 0.5 phi1)) (sin (* 0.5 phi2))))
          2.0)))
   (if (<= lambda1 -0.00027)
     (*
      (atan2
       (sqrt
        (+ t_2 (/ (* t_3 (- 1.0 (fma (cos lambda2) (cos lambda1) t_0))) 2.0)))
       t_6)
      (* 2.0 R))
     (if (<= lambda1 2e-20)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (* t_3 (pow t_4 2.0)) t_7))
         (sqrt
          (-
           (+
            1.0
            (*
             (cos phi1)
             (* t_4 (* (cos phi2) (sin (* (- lambda1 lambda2) -0.5))))))
           t_7))))
       (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (+ t_2 (/ (* t_3 (- 1.0 t_5)) 2.0))) t_6))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	double t_1 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	double t_2 = 0.5 - t_1;
	double t_3 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_4 = sin((0.5 * (lambda1 - lambda2)));
	double t_5 = t_0 + (cos(lambda2) * cos(lambda1));
	double t_6 = sqrt(((0.5 + t_1) + ((t_3 * (-1.0 + t_5)) / 2.0)));
	double t_7 = pow(((sin((0.5 * phi1)) * cos((0.5 * phi2))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((0.5 * phi2)))), 2.0);
	double tmp;
	if (lambda1 <= -0.00027) {
		tmp = atan2(sqrt((t_2 + ((t_3 * (1.0 - fma(cos(lambda2), cos(lambda1), t_0))) / 2.0))), t_6) * (2.0 * R);
	} else if (lambda1 <= 2e-20) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_3 * pow(t_4, 2.0)) + t_7)), sqrt(((1.0 + (cos(phi1) * (t_4 * (cos(phi2) * sin(((lambda1 - lambda2) * -0.5)))))) - t_7)));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_2 + ((t_3 * (1.0 - t_5)) / 2.0))), t_6);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))
	t_1 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))
	t_2 = Float64(0.5 - t_1)
	t_3 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_4 = sin(Float64(0.5 * Float64(lambda1 - lambda2)))
	t_5 = Float64(t_0 + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))
	t_6 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_1) + Float64(Float64(t_3 * Float64(-1.0 + t_5)) / 2.0)))
	t_7 = Float64(Float64(sin(Float64(0.5 * phi1)) * cos(Float64(0.5 * phi2))) - Float64(cos(Float64(0.5 * phi1)) * sin(Float64(0.5 * phi2)))) ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -0.00027)
		tmp = Float64(atan(sqrt(Float64(t_2 + Float64(Float64(t_3 * Float64(1.0 - fma(cos(lambda2), cos(lambda1), t_0))) / 2.0))), t_6) * Float64(2.0 * R));
	elseif (lambda1 <= 2e-20)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_3 * (t_4 ^ 2.0)) + t_7)), sqrt(Float64(Float64(1.0 + Float64(cos(phi1) * Float64(t_4 * Float64(cos(phi2) * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) * -0.5)))))) - t_7))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(t_2 + Float64(Float64(t_3 * Float64(1.0 - t_5)) / 2.0))), t_6));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sin[N[(0.5 * N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(t$95$0 + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$3 * N[(-1.0 + t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$7 = N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -0.00027], N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$2 + N[(N[(t$95$3 * N[(1.0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$6], $MachinePrecision] * N[(2.0 * R), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda1, 2e-20], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$3 * N[Power[t$95$4, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$7), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(1.0 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(t$95$4 * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$7), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$2 + N[(N[(t$95$3 * N[(1.0 - t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$6], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda1 < -2.70000000000000003e-4

   1. Initial program 46.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 47.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 47.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 82.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 82.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -2.70000000000000003e-4 < lambda1 < 1.99999999999999989e-20

   1. Initial program 78.5%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 79.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 79.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 1.99999999999999989e-20 < lambda1

   1. Initial program 47.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 47.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 47.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 47.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 76.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -0.00027:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}} \cdot \left(2 \cdot R\right)\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot -0.5\right)\right)\right)\right) - {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 87.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ t_3 := 0.5 - t\_2\\ t_4 := t\_0 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\\ t_5 := \sqrt{\left(0.5 + t\_2\right) + \frac{t\_1 \cdot \left(-1 + t\_4\right)}{2}}\\ t_6 := {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -4.5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_3 + \frac{t\_1 \cdot \left(1 - \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, t\_0\right)\right)}{2}}}{t\_5} \cdot \left(2 \cdot R\right)\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + t\_6}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) - t\_6\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_3 + \frac{t\_1 \cdot \left(1 - t\_4\right)}{2}}}{t\_5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin lambda1) (sin lambda2)))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_2 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
        (t_3 (- 0.5 t_2))
        (t_4 (+ t_0 (* (cos lambda2) (cos lambda1))))
        (t_5 (sqrt (+ (+ 0.5 t_2) (/ (* t_1 (+ -1.0 t_4)) 2.0))))
        (t_6
         (pow
          (-
           (* (sin (* 0.5 phi1)) (cos (* 0.5 phi2)))
           (* (cos (* 0.5 phi1)) (sin (* 0.5 phi2))))
          2.0)))
   (if (<= lambda1 -4.5e-6)
     (*
      (atan2
       (sqrt
        (+ t_3 (/ (* t_1 (- 1.0 (fma (cos lambda2) (cos lambda1) t_0))) 2.0)))
       t_5)
      (* 2.0 R))
     (if (<= lambda1 2e-20)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (* t_1 (pow (sin (* 0.5 (- lambda1 lambda2))) 2.0)) t_6))
         (sqrt
          (+
           1.0
           (-
            (*
             (cos phi1)
             (* (* (cos phi2) (sin (* lambda2 -0.5))) (sin (* 0.5 lambda2))))
            t_6)))))
       (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (+ t_3 (/ (* t_1 (- 1.0 t_4)) 2.0))) t_5))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_2 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	double t_3 = 0.5 - t_2;
	double t_4 = t_0 + (cos(lambda2) * cos(lambda1));
	double t_5 = sqrt(((0.5 + t_2) + ((t_1 * (-1.0 + t_4)) / 2.0)));
	double t_6 = pow(((sin((0.5 * phi1)) * cos((0.5 * phi2))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((0.5 * phi2)))), 2.0);
	double tmp;
	if (lambda1 <= -4.5e-6) {
		tmp = atan2(sqrt((t_3 + ((t_1 * (1.0 - fma(cos(lambda2), cos(lambda1), t_0))) / 2.0))), t_5) * (2.0 * R);
	} else if (lambda1 <= 2e-20) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_1 * pow(sin((0.5 * (lambda1 - lambda2))), 2.0)) + t_6)), sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * sin((lambda2 * -0.5))) * sin((0.5 * lambda2)))) - t_6))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_3 + ((t_1 * (1.0 - t_4)) / 2.0))), t_5);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_2 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))
	t_3 = Float64(0.5 - t_2)
	t_4 = Float64(t_0 + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))
	t_5 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_2) + Float64(Float64(t_1 * Float64(-1.0 + t_4)) / 2.0)))
	t_6 = Float64(Float64(sin(Float64(0.5 * phi1)) * cos(Float64(0.5 * phi2))) - Float64(cos(Float64(0.5 * phi1)) * sin(Float64(0.5 * phi2)))) ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -4.5e-6)
		tmp = Float64(atan(sqrt(Float64(t_3 + Float64(Float64(t_1 * Float64(1.0 - fma(cos(lambda2), cos(lambda1), t_0))) / 2.0))), t_5) * Float64(2.0 * R));
	elseif (lambda1 <= 2e-20)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_1 * (sin(Float64(0.5 * Float64(lambda1 - lambda2))) ^ 2.0)) + t_6)), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda2 * -0.5))) * sin(Float64(0.5 * lambda2)))) - t_6)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(t_3 + Float64(Float64(t_1 * Float64(1.0 - t_4)) / 2.0))), t_5));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(0.5 - t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$0 + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$2), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 * N[(-1.0 + t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -4.5e-6], N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$3 + N[(N[(t$95$1 * N[(1.0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$5], $MachinePrecision] * N[(2.0 * R), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda1, 2e-20], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$1 * N[Power[N[Sin[N[(0.5 * N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$6), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda2 * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$3 + N[(N[(t$95$1 * N[(1.0 - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda1 < -4.50000000000000011e-6

   1. Initial program 46.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 47.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 47.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 82.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 82.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -4.50000000000000011e-6 < lambda1 < 1.99999999999999989e-20

   1. Initial program 78.5%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 79.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 79.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   12. Taylor expanded in lambda1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. Simplified 99.0%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\color{blue}{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 1.99999999999999989e-20 < lambda1

   1. Initial program 47.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 47.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 47.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 47.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 76.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 76.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -4.5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}} \cdot \left(2 \cdot R\right)\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 2 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) - {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 87.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ t_3 := 0.5 - t\_2\\ t_4 := t\_0 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\\ t_5 := \sqrt{\left(0.5 + t\_2\right) + \frac{t\_1 \cdot \left(-1 + t\_4\right)}{2}}\\ t_6 := {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -8.4 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_3 + \frac{t\_1 \cdot \left(1 - \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, t\_0\right)\right)}{2}}}{t\_5} \cdot \left(2 \cdot R\right)\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 6.5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + t\_6}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 \cdot -0.5\right)\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 \cdot 0.5\right)\right) - t\_6\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_3 + \frac{t\_1 \cdot \left(1 - t\_4\right)}{2}}}{t\_5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin lambda1) (sin lambda2)))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_2 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
        (t_3 (- 0.5 t_2))
        (t_4 (+ t_0 (* (cos lambda2) (cos lambda1))))
        (t_5 (sqrt (+ (+ 0.5 t_2) (/ (* t_1 (+ -1.0 t_4)) 2.0))))
        (t_6
         (pow
          (-
           (* (sin (* 0.5 phi1)) (cos (* 0.5 phi2)))
           (* (cos (* 0.5 phi1)) (sin (* 0.5 phi2))))
          2.0)))
   (if (<= lambda2 -8.4e-10)
     (*
      (atan2
       (sqrt
        (+ t_3 (/ (* t_1 (- 1.0 (fma (cos lambda2) (cos lambda1) t_0))) 2.0)))
       t_5)
      (* 2.0 R))
     (if (<= lambda2 6.5e-16)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (* t_1 (pow (sin (* 0.5 (- lambda1 lambda2))) 2.0)) t_6))
         (sqrt
          (+
           1.0
           (-
            (*
             (cos phi1)
             (* (* (cos phi2) (sin (* lambda1 -0.5))) (sin (* lambda1 0.5))))
            t_6)))))
       (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (+ t_3 (/ (* t_1 (- 1.0 t_4)) 2.0))) t_5))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(lambda1) * sin(lambda2);
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_2 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	double t_3 = 0.5 - t_2;
	double t_4 = t_0 + (cos(lambda2) * cos(lambda1));
	double t_5 = sqrt(((0.5 + t_2) + ((t_1 * (-1.0 + t_4)) / 2.0)));
	double t_6 = pow(((sin((0.5 * phi1)) * cos((0.5 * phi2))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((0.5 * phi2)))), 2.0);
	double tmp;
	if (lambda2 <= -8.4e-10) {
		tmp = atan2(sqrt((t_3 + ((t_1 * (1.0 - fma(cos(lambda2), cos(lambda1), t_0))) / 2.0))), t_5) * (2.0 * R);
	} else if (lambda2 <= 6.5e-16) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_1 * pow(sin((0.5 * (lambda1 - lambda2))), 2.0)) + t_6)), sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * sin((lambda1 * -0.5))) * sin((lambda1 * 0.5)))) - t_6))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_3 + ((t_1 * (1.0 - t_4)) / 2.0))), t_5);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_2 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))
	t_3 = Float64(0.5 - t_2)
	t_4 = Float64(t_0 + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))
	t_5 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_2) + Float64(Float64(t_1 * Float64(-1.0 + t_4)) / 2.0)))
	t_6 = Float64(Float64(sin(Float64(0.5 * phi1)) * cos(Float64(0.5 * phi2))) - Float64(cos(Float64(0.5 * phi1)) * sin(Float64(0.5 * phi2)))) ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -8.4e-10)
		tmp = Float64(atan(sqrt(Float64(t_3 + Float64(Float64(t_1 * Float64(1.0 - fma(cos(lambda2), cos(lambda1), t_0))) / 2.0))), t_5) * Float64(2.0 * R));
	elseif (lambda2 <= 6.5e-16)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_1 * (sin(Float64(0.5 * Float64(lambda1 - lambda2))) ^ 2.0)) + t_6)), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 * -0.5))) * sin(Float64(lambda1 * 0.5)))) - t_6)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(t_3 + Float64(Float64(t_1 * Float64(1.0 - t_4)) / 2.0))), t_5));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(0.5 - t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$0 + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$2), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 * N[(-1.0 + t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -8.4e-10], N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$3 + N[(N[(t$95$1 * N[(1.0 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$5], $MachinePrecision] * N[(2.0 * R), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, 6.5e-16], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$1 * N[Power[N[Sin[N[(0.5 * N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$6), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$3 + N[(N[(t$95$1 * N[(1.0 - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda2 < -8.3999999999999999e-10

   1. Initial program 41.8%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 41.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 42.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 42.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 77.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 77.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -8.3999999999999999e-10 < lambda2 < 6.50000000000000011e-16

   1. Initial program 79.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 79.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 80.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 80.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 99.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 99.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   12. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \phi_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right), \left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. Simplified 99.0%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\color{blue}{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 \cdot -0.5\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)\right) - {\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 6.50000000000000011e-16 < lambda2

   1. Initial program 48.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 47.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 49.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 49.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 79.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 79.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -8.4 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}} \cdot \left(2 \cdot R\right)\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 6.5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 \cdot -0.5\right)\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 \cdot 0.5\right)\right) - {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 62.7% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right) - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (* 2.0 R)
  (atan2
   (sqrt
    (+
     (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (pow (sin (* 0.5 (- lambda1 lambda2))) 2.0))
     (pow
      (-
       (* (sin (* 0.5 phi1)) (cos (* 0.5 phi2)))
       (* (cos (* 0.5 phi1)) (sin (* 0.5 phi2))))
      2.0)))
   (sqrt
    (-
     (+
      1.0
      (*
       (sin (/ (- lambda1 lambda2) -2.0))
       (* (cos phi1) (* (cos phi2) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))))
     (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt((((cos(phi1) * cos(phi2)) * pow(sin((0.5 * (lambda1 - lambda2))), 2.0)) + pow(((sin((0.5 * phi1)) * cos((0.5 * phi2))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((0.5 * phi2)))), 2.0))), sqrt(((1.0 + (sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)) * (cos(phi1) * (cos(phi2) * sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)))))) - (0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2)))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin((0.5d0 * (lambda1 - lambda2))) ** 2.0d0)) + (((sin((0.5d0 * phi1)) * cos((0.5d0 * phi2))) - (cos((0.5d0 * phi1)) * sin((0.5d0 * phi2)))) ** 2.0d0))), sqrt(((1.0d0 + (sin(((lambda1 - lambda2) / (-2.0d0))) * (cos(phi1) * (cos(phi2) * sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)))))) - (0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2)))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.pow(Math.sin((0.5 * (lambda1 - lambda2))), 2.0)) + Math.pow(((Math.sin((0.5 * phi1)) * Math.cos((0.5 * phi2))) - (Math.cos((0.5 * phi1)) * Math.sin((0.5 * phi2)))), 2.0))), Math.sqrt(((1.0 + (Math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)) * (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)))))) - (0.5 + (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2)))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * math.pow(math.sin((0.5 * (lambda1 - lambda2))), 2.0)) + math.pow(((math.sin((0.5 * phi1)) * math.cos((0.5 * phi2))) - (math.cos((0.5 * phi1)) * math.sin((0.5 * phi2)))), 2.0))), math.sqrt(((1.0 + (math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)) * (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)))))) - (0.5 + (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2)))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(Float64(0.5 * Float64(lambda1 - lambda2))) ^ 2.0)) + (Float64(Float64(sin(Float64(0.5 * phi1)) * cos(Float64(0.5 * phi2))) - Float64(cos(Float64(0.5 * phi1)) * sin(Float64(0.5 * phi2)))) ^ 2.0))), sqrt(Float64(Float64(1.0 + Float64(sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / -2.0)) * Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)))))) - Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin((0.5 * (lambda1 - lambda2))) ^ 2.0)) + (((sin((0.5 * phi1)) * cos((0.5 * phi2))) - (cos((0.5 * phi1)) * sin((0.5 * phi2)))) ^ 2.0))), sqrt(((1.0 + (sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)) * (cos(phi1) * (cos(phi2) * sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)))))) - (0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2)))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[N[Sin[N[(0.5 * N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(0.5 * phi1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.5 * phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(1.0 + N[(N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.4%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 59.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 60.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 60.3%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 72.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 72.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

9. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right) + {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

11. Simplified 72.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

13. Applied egg-rr 60.2%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\color{blue}{\left(1 + \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right) - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

14. Final simplification 60.2%

    \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\left(\sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)\right)\right) - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 9: 61.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_2}^{2} + t\_0 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_2\right)\right) + \frac{t\_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_2 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt (+ (pow (sin t_2) 2.0) (* t_0 (* t_1 t_0))))
      (sqrt
       (+
        (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_2))))
        (/ (* t_1 (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))) 2.0))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	return R * (2.0 * atan2(sqrt((pow(sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_2)))) + ((t_1 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(((sin(t_2) ** 2.0d0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_2)))) + ((t_1 * ((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_2)))) + ((t_1 * (-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_2)))) + ((t_1 * (-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_2 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64((sin(t_2) ^ 2.0) + Float64(t_0 * Float64(t_1 * t_0)))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_2)))) + Float64(Float64(t_1 * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) / 2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((sin(t_2) ^ 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_2)))) + ((t_1 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 59.4%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 59.5%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}}\right) \]

5. Final simplification 59.5%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 10: 56.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(t\_1, 0.5 - \frac{t\_0}{2}, 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{t\_1 \cdot \left(-1 + t\_0\right)}{2}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))) (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2))))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (fma t_1 (- 0.5 (/ t_0 2.0)) (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2))))))
     (sqrt
      (+
       (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
       (/ (* t_1 (+ -1.0 t_0)) 2.0)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt(fma(t_1, (0.5 - (t_0 / 2.0)), (0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2)))))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + ((t_1 * (-1.0 + t_0)) / 2.0))));
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(fma(t_1, Float64(0.5 - Float64(t_0 / 2.0)), Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2)))))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(Float64(t_1 * Float64(-1.0 + t_0)) / 2.0)))))
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$1 * N[(0.5 - N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 * N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 59.4%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 56.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2} + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \frac{1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{2} + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, \frac{1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, \frac{1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{2}, \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, \frac{1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{2}, {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right), \left(\frac{1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{2}\right), \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 56.3%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, 0.5 - \frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{2}, 0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

7. Final simplification 56.3%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, 0.5 - \frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{2}, 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 11: 56.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - t\_2\right) + \frac{t\_0 \cdot \left(1 - t\_1\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + t\_2\right) + \frac{t\_0 \cdot \left(-1 + t\_1\right)}{2}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0))))))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ (- 0.5 t_2) (/ (* t_0 (- 1.0 t_1)) 2.0)))
     (sqrt (+ (+ 0.5 t_2) (/ (* t_0 (+ -1.0 t_1)) 2.0)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt(((0.5 - t_2) + ((t_0 * (1.0 - t_1)) / 2.0))), sqrt(((0.5 + t_2) + ((t_0 * (-1.0 + t_1)) / 2.0))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0)))
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((0.5d0 - t_2) + ((t_0 * (1.0d0 - t_1)) / 2.0d0))), sqrt(((0.5d0 + t_2) + ((t_0 * ((-1.0d0) + t_1)) / 2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = 0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 - t_2) + ((t_0 * (1.0 - t_1)) / 2.0))), Math.sqrt(((0.5 + t_2) + ((t_0 * (-1.0 + t_1)) / 2.0))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = 0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)))
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((0.5 - t_2) + ((t_0 * (1.0 - t_1)) / 2.0))), math.sqrt(((0.5 + t_2) + ((t_0 * (-1.0 + t_1)) / 2.0))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - t_2) + Float64(Float64(t_0 * Float64(1.0 - t_1)) / 2.0))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_2) + Float64(Float64(t_0 * Float64(-1.0 + t_1)) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = 0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0)));
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((0.5 - t_2) + ((t_0 * (1.0 - t_1)) / 2.0))), sqrt(((0.5 + t_2) + ((t_0 * (-1.0 + t_1)) / 2.0))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - t$95$2), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$2), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * N[(-1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 59.4%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 56.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

5. Final simplification 56.3%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 12: 56.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot t\_0\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + t\_0\right)}{2} - t\_1\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2))))))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ t_1 (* (cos phi1) (* (cos phi2) (+ 0.5 (* -0.5 t_0))))))
     (sqrt
      (+ 1.0 (- (/ (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -1.0 t_0)) 2.0) t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = 0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2)));
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_1 + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * t_0)))))), sqrt((1.0 + ((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = 0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2)))
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((t_1 + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5d0 + ((-0.5d0) * t_0)))))), sqrt((1.0d0 + ((((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-1.0d0) + t_0)) / 2.0d0) - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = 0.5 + (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2)));
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((t_1 + (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * t_0)))))), Math.sqrt((1.0 + ((((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = 0.5 + (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2)))
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((t_1 + (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * t_0)))))), math.sqrt((1.0 + ((((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(t_1 + Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_0)))))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-1.0 + t_0)) / 2.0) - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = 0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2)));
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_1 + (cos(phi1) * (cos(phi2) * (0.5 + (-0.5 * t_0)))))), sqrt((1.0 + ((((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0) - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$1 + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 59.4%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 59.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 60.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 60.3%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Applied egg-rr 56.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \cos 0\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

9. Final simplification 56.3%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2} - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 56.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(1 - t\_1\right) - t\_2\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(t\_2 + t\_0 \cdot \left(-1 + t\_1\right)\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (cos (- phi1 phi2))))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (- (* t_0 (- 1.0 t_1)) t_2))))
     (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ t_2 (* t_0 (+ -1.0 t_1))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos((phi1 - phi2));
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (0.5 * ((t_0 * (1.0 - t_1)) - t_2)))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_2 + (t_0 * (-1.0 + t_1)))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = cos((phi1 - phi2))
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * ((t_0 * (1.0d0 - t_1)) - t_2)))), sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (t_2 + (t_0 * ((-1.0d0) + t_1)))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = Math.cos((phi1 - phi2));
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (0.5 * ((t_0 * (1.0 - t_1)) - t_2)))), Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_2 + (t_0 * (-1.0 + t_1)))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = math.cos((phi1 - phi2))
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (0.5 * ((t_0 * (1.0 - t_1)) - t_2)))), math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_2 + (t_0 * (-1.0 + t_1)))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = cos(Float64(phi1 - phi2))
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(Float64(t_0 * Float64(1.0 - t_1)) - t_2)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(t_2 + Float64(t_0 * Float64(-1.0 + t_1))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = cos((phi1 - phi2));
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (0.5 * ((t_0 * (1.0 - t_1)) - t_2)))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_2 + (t_0 * (-1.0 + t_1)))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(N[(t$95$0 * N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(t$95$2 + N[(t$95$0 * N[(-1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 59.4%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 56.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 56.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 56.9%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Applied egg-rr 56.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

9. Final simplification 56.3%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 14: 47.3% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := 0.5 \cdot \cos \phi_1\\ t_2 := \sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + t\_0\right)}{2}}\\ t_3 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - t\_0\right) \cdot t\_1 - t\_1\right)}}{t\_2}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -4 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 2 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{t\_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (* 0.5 (cos phi1)))
        (t_2
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (/ (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -1.0 t_0)) 2.0))))
        (t_3
         (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (+ 0.5 (- (* (- 1.0 t_0) t_1) t_1))) t_2))))
   (if (<= (- lambda1 lambda2) -4e-6)
     t_3
     (if (<= (- lambda1 lambda2) 2e-47)
       (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2))))) t_2))
       t_3))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = 0.5 * cos(phi1);
	double t_2 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	double t_3 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * t_1) - t_1))), t_2);
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -4e-6) {
		tmp = t_3;
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 2e-47) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))), t_2);
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = 0.5d0 * cos(phi1)
    t_2 = sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-1.0d0) + t_0)) / 2.0d0)))
    t_3 = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + (((1.0d0 - t_0) * t_1) - t_1))), t_2)
    if ((lambda1 - lambda2) <= (-4d-6)) then
        tmp = t_3
    else if ((lambda1 - lambda2) <= 2d-47) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2))))), t_2)
    else
        tmp = t_3
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = 0.5 * Math.cos(phi1);
	double t_2 = Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	double t_3 = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * t_1) - t_1))), t_2);
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -4e-6) {
		tmp = t_3;
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 2e-47) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2))))), t_2);
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = 0.5 * math.cos(phi1)
	t_2 = math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)))
	t_3 = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * t_1) - t_1))), t_2)
	tmp = 0
	if (lambda1 - lambda2) <= -4e-6:
		tmp = t_3
	elif (lambda1 - lambda2) <= 2e-47:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2))))), t_2)
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(0.5 * cos(phi1))
	t_2 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-1.0 + t_0)) / 2.0)))
	t_3 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(1.0 - t_0) * t_1) - t_1))), t_2))
	tmp = 0.0
	if (Float64(lambda1 - lambda2) <= -4e-6)
		tmp = t_3;
	elseif (Float64(lambda1 - lambda2) <= 2e-47)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))), t_2));
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = 0.5 * cos(phi1);
	t_2 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	t_3 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * t_1) - t_1))), t_2);
	tmp = 0.0;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -4e-6)
		tmp = t_3;
	elseif ((lambda1 - lambda2) <= 2e-47)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))), t_2);
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], -4e-6], t$95$3, If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], 2e-47], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$3]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 lambda1 lambda2) < -3.99999999999999982e-6 or 1.9999999999999999e-47 < (-.f64 lambda1 lambda2)

   1. Initial program 56.1%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 55.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 42.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 42.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -3.99999999999999982e-6 < (-.f64 lambda1 lambda2) < 1.9999999999999999e-47

   1. Initial program 76.5%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 60.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 60.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \lambda_2\right)\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 60.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 60.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -4 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) - 0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 2 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) - 0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 57.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + t\_0\right)}{2}}\\ t_2 := 1 - t\_0\\ t_3 := 0.5 \cdot \cos \phi_2\\ t_4 := 0.5 \cdot \cos \phi_1\\ t_5 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_2 \cdot t\_4 - t\_4\right)}}{t\_1}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -4.2:\\ \;\;\;\;t\_5\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.45 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_2 \cdot t\_3 - t\_3\right)}}{t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (/ (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -1.0 t_0)) 2.0))))
        (t_2 (- 1.0 t_0))
        (t_3 (* 0.5 (cos phi2)))
        (t_4 (* 0.5 (cos phi1)))
        (t_5 (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (+ 0.5 (- (* t_2 t_4) t_4))) t_1))))
   (if (<= phi1 -4.2)
     t_5
     (if (<= phi1 1.45e-9)
       (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (+ 0.5 (- (* t_2 t_3) t_3))) t_1))
       t_5))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	double t_2 = 1.0 - t_0;
	double t_3 = 0.5 * cos(phi2);
	double t_4 = 0.5 * cos(phi1);
	double t_5 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_2 * t_4) - t_4))), t_1);
	double tmp;
	if (phi1 <= -4.2) {
		tmp = t_5;
	} else if (phi1 <= 1.45e-9) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_2 * t_3) - t_3))), t_1);
	} else {
		tmp = t_5;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-1.0d0) + t_0)) / 2.0d0)))
    t_2 = 1.0d0 - t_0
    t_3 = 0.5d0 * cos(phi2)
    t_4 = 0.5d0 * cos(phi1)
    t_5 = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_2 * t_4) - t_4))), t_1)
    if (phi1 <= (-4.2d0)) then
        tmp = t_5
    else if (phi1 <= 1.45d-9) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_2 * t_3) - t_3))), t_1)
    else
        tmp = t_5
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	double t_2 = 1.0 - t_0;
	double t_3 = 0.5 * Math.cos(phi2);
	double t_4 = 0.5 * Math.cos(phi1);
	double t_5 = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_2 * t_4) - t_4))), t_1);
	double tmp;
	if (phi1 <= -4.2) {
		tmp = t_5;
	} else if (phi1 <= 1.45e-9) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_2 * t_3) - t_3))), t_1);
	} else {
		tmp = t_5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)))
	t_2 = 1.0 - t_0
	t_3 = 0.5 * math.cos(phi2)
	t_4 = 0.5 * math.cos(phi1)
	t_5 = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_2 * t_4) - t_4))), t_1)
	tmp = 0
	if phi1 <= -4.2:
		tmp = t_5
	elif phi1 <= 1.45e-9:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_2 * t_3) - t_3))), t_1)
	else:
		tmp = t_5
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-1.0 + t_0)) / 2.0)))
	t_2 = Float64(1.0 - t_0)
	t_3 = Float64(0.5 * cos(phi2))
	t_4 = Float64(0.5 * cos(phi1))
	t_5 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_2 * t_4) - t_4))), t_1))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -4.2)
		tmp = t_5;
	elseif (phi1 <= 1.45e-9)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_2 * t_3) - t_3))), t_1));
	else
		tmp = t_5;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	t_2 = 1.0 - t_0;
	t_3 = 0.5 * cos(phi2);
	t_4 = 0.5 * cos(phi1);
	t_5 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_2 * t_4) - t_4))), t_1);
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -4.2)
		tmp = t_5;
	elseif (phi1 <= 1.45e-9)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_2 * t_3) - t_3))), t_1);
	else
		tmp = t_5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(0.5 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(0.5 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$2 * t$95$4), $MachinePrecision] - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -4.2], t$95$5, If[LessEqual[phi1, 1.45e-9], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$2 * t$95$3), $MachinePrecision] - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$5]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -4.20000000000000018 or 1.44999999999999996e-9 < phi1

   1. Initial program 46.5%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 46.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 46.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 46.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -4.20000000000000018 < phi1 < 1.44999999999999996e-9

   1. Initial program 73.9%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 67.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_2\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      16. cos-lowering-cos.f64 67.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 67.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 56.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -4.2:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) - 0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.45 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) - 0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) - 0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 31.7% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + t\_0\right)}{2}}\\ t_2 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{t\_1}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.04 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 1.9 \cdot 10^{-30}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_2 \cdot \left(1 - t\_0\right)} \cdot \sqrt{0.5}}{t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (/ (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -1.0 t_0)) 2.0))))
        (t_2
         (*
          (* 2.0 R)
          (atan2 (sqrt (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2))))) t_1))))
   (if (<= phi2 -1.04e-64)
     t_2
     (if (<= phi2 1.9e-30)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2 (* (sqrt (* (cos phi2) (- 1.0 t_0))) (sqrt 0.5)) t_1))
       t_2))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	double t_2 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))), t_1);
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.04e-64) {
		tmp = t_2;
	} else if (phi2 <= 1.9e-30) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2((sqrt((cos(phi2) * (1.0 - t_0))) * sqrt(0.5)), t_1);
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-1.0d0) + t_0)) / 2.0d0)))
    t_2 = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2))))), t_1)
    if (phi2 <= (-1.04d-64)) then
        tmp = t_2
    else if (phi2 <= 1.9d-30) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2((sqrt((cos(phi2) * (1.0d0 - t_0))) * sqrt(0.5d0)), t_1)
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	double t_2 = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2))))), t_1);
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.04e-64) {
		tmp = t_2;
	} else if (phi2 <= 1.9e-30) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2((Math.sqrt((Math.cos(phi2) * (1.0 - t_0))) * Math.sqrt(0.5)), t_1);
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)))
	t_2 = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2))))), t_1)
	tmp = 0
	if phi2 <= -1.04e-64:
		tmp = t_2
	elif phi2 <= 1.9e-30:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2((math.sqrt((math.cos(phi2) * (1.0 - t_0))) * math.sqrt(0.5)), t_1)
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-1.0 + t_0)) / 2.0)))
	t_2 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))), t_1))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1.04e-64)
		tmp = t_2;
	elseif (phi2 <= 1.9e-30)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(Float64(sqrt(Float64(cos(phi2) * Float64(1.0 - t_0))) * sqrt(0.5)), t_1));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	t_2 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))), t_1);
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -1.04e-64)
		tmp = t_2;
	elseif (phi2 <= 1.9e-30)
		tmp = (2.0 * R) * atan2((sqrt((cos(phi2) * (1.0 - t_0))) * sqrt(0.5)), t_1);
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1.04e-64], t$95$2, If[LessEqual[phi2, 1.9e-30], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[(N[Sqrt[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -1.04000000000000004e-64 or 1.9000000000000002e-30 < phi2

   1. Initial program 49.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 49.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 33.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \lambda_2\right)\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 28.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 28.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -1.04000000000000004e-64 < phi2 < 1.9000000000000002e-30

   1. Initial program 73.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 65.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \sin \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 65.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 65.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 35.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \cdot \sqrt{0.5}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 31.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.04 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 1.9 \cdot 10^{-30}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \cdot \sqrt{0.5}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 31.7% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + t\_0\right)}{2}}\\ t_2 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{t\_1}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.1 \cdot 10^{-66}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 1.15 \cdot 10^{-31}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(1 - t\_0\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}{t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (/ (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -1.0 t_0)) 2.0))))
        (t_2
         (*
          (* 2.0 R)
          (atan2 (sqrt (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2))))) t_1))))
   (if (<= phi2 -4.1e-66)
     t_2
     (if (<= phi2 1.15e-31)
       (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (* (- 1.0 t_0) (* 0.5 (cos phi2)))) t_1))
       t_2))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	double t_2 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))), t_1);
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.1e-66) {
		tmp = t_2;
	} else if (phi2 <= 1.15e-31) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((1.0 - t_0) * (0.5 * cos(phi2)))), t_1);
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-1.0d0) + t_0)) / 2.0d0)))
    t_2 = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2))))), t_1)
    if (phi2 <= (-4.1d-66)) then
        tmp = t_2
    else if (phi2 <= 1.15d-31) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((1.0d0 - t_0) * (0.5d0 * cos(phi2)))), t_1)
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	double t_2 = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2))))), t_1);
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.1e-66) {
		tmp = t_2;
	} else if (phi2 <= 1.15e-31) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((1.0 - t_0) * (0.5 * Math.cos(phi2)))), t_1);
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)))
	t_2 = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2))))), t_1)
	tmp = 0
	if phi2 <= -4.1e-66:
		tmp = t_2
	elif phi2 <= 1.15e-31:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((1.0 - t_0) * (0.5 * math.cos(phi2)))), t_1)
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-1.0 + t_0)) / 2.0)))
	t_2 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))), t_1))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -4.1e-66)
		tmp = t_2;
	elseif (phi2 <= 1.15e-31)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(1.0 - t_0) * Float64(0.5 * cos(phi2)))), t_1));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	t_2 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))), t_1);
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -4.1e-66)
		tmp = t_2;
	elseif (phi2 <= 1.15e-31)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((1.0 - t_0) * (0.5 * cos(phi2)))), t_1);
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -4.1e-66], t$95$2, If[LessEqual[phi2, 1.15e-31], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -4.09999999999999998e-66 or 1.1499999999999999e-31 < phi2

   1. Initial program 49.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 49.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 33.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \lambda_2\right)\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 28.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 28.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -4.09999999999999998e-66 < phi2 < 1.1499999999999999e-31

   1. Initial program 73.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 65.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \sin \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 65.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 65.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_2\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 35.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 35.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 31.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.1 \cdot 10^{-66}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 1.15 \cdot 10^{-31}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 26.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (* 2.0 R)
  (atan2
   (sqrt (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2)))))
   (sqrt
    (+
     (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
     (/
      (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2))))
      2.0))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2))))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2))))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2))))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.4%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 56.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 36.3%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right) + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \lambda_2\right)\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 25.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 25.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

11. Final simplification 25.5%

    \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 19: 16.4% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \cos \phi_2\\ 2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(t\_0 + \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot t\_0\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (cos phi2))))
   (*
    2.0
    (*
     R
     (atan2
      (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
      (sqrt (+ 0.5 (+ t_0 (* (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2))) t_0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 * cos(phi2);
	return 2.0 * (R * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt((0.5 + (t_0 + ((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * t_0))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.5d0 * cos(phi2)
    code = 2.0d0 * (r * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)), sqrt((0.5d0 + (t_0 + (((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2))) * t_0))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 * Math.cos(phi2);
	return 2.0 * (R * Math.atan2(Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), Math.sqrt((0.5 + (t_0 + ((-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2))) * t_0))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = 0.5 * math.cos(phi2)
	return 2.0 * (R * math.atan2(math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), math.sqrt((0.5 + (t_0 + ((-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2))) * t_0))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(0.5 * cos(phi2))
	return Float64(2.0 * Float64(R * atan(sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_0 + Float64(Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2))) * t_0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = 0.5 * cos(phi2);
	tmp = 2.0 * (R * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt((0.5 + (t_0 + ((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * t_0))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(R * N[ArcTan[N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$0 + N[(N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 59.4%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 59.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right) + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2} + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 40.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) \cdot \left(\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \phi_1 \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 15.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 15.8%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

12. Applied egg-rr 15.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \cos 0\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}\right) \cdot 2} \]

13. Taylor expanded in phi1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}\right)\right), 2\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    2. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    5. cos-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    7. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    9. cos-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

15. Simplified 16.1%

    \[\leadsto \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(\cos \phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right) + \cos \phi_2 \cdot 0.5\right)}}}\right) \cdot 2 \]

16. Final simplification 16.1%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \phi_2 + \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right)\right)}}\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 20: 16.4% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \cos \phi_1\\ 2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(t\_0 + \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot t\_0\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (cos phi1))))
   (*
    2.0
    (*
     R
     (atan2
      (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
      (sqrt (+ 0.5 (+ t_0 (* (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2))) t_0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 * cos(phi1);
	return 2.0 * (R * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt((0.5 + (t_0 + ((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * t_0))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.5d0 * cos(phi1)
    code = 2.0d0 * (r * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)), sqrt((0.5d0 + (t_0 + (((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2))) * t_0))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = 0.5 * Math.cos(phi1);
	return 2.0 * (R * Math.atan2(Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), Math.sqrt((0.5 + (t_0 + ((-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2))) * t_0))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = 0.5 * math.cos(phi1)
	return 2.0 * (R * math.atan2(math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), math.sqrt((0.5 + (t_0 + ((-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2))) * t_0))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(0.5 * cos(phi1))
	return Float64(2.0 * Float64(R * atan(sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_0 + Float64(Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2))) * t_0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = 0.5 * cos(phi1);
	tmp = 2.0 * (R * atan2(sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)), sqrt((0.5 + (t_0 + ((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * t_0))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(R * N[ArcTan[N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$0 + N[(N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 59.4%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 59.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right) + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2} + \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 40.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}^{2} + \sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) \cdot \left(\sin \left(\phi_2 \cdot -0.5\right) + \phi_1 \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot -0.5\right)\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 15.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 15.8%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

12. Applied egg-rr 15.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \cos 0\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)\right)}}\right) \cdot 2} \]

13. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1}\right)}\right)\right), 2\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    2. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    4. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(R, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

15. Simplified 16.0%

    \[\leadsto \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right) + \cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}}\right) \cdot 2 \]

16. Final simplification 16.0%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(R \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \phi_1 + \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right)\right)}}\right) \]
17. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024138 
(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Distance on a great circle"
  :precision binary64
  (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt (+ (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0) (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))) (sqrt (- 1.0 (+ (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0) (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))))))))