Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.3% → 100.0%

Time: 12.4s

Alternatives: 7

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 100.0% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tanh x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (tanh x))

C

double code(double x) {
	return tanh(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = tanh(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.tanh(x);
}

Python

def code(x):
	return math.tanh(x)

Julia

function code(x)
	return tanh(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = tanh(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[Tanh[x], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tanh-undef N/A

      \[\leadsto \tanh x \]

   2. tanh-lowering-tanh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{tanh.f64}\left(x\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tanh x} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.3% accurate, 5.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\\ x \cdot \left(\left(1 + t\_0 \cdot \left(\left(0.1111111111111111 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08888888888888889\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + t\_0 \cdot \left(t\_0 + -1\right)}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* x x)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            (* x x)
            (+ 0.13333333333333333 (* (* x x) -0.05396825396825397)))))))
   (*
    x
    (*
     (+
      1.0
      (*
       t_0
       (*
        (+ 0.1111111111111111 (* (* x x) -0.08888888888888889))
        (* x (* x (* x x))))))
     (/ 1.0 (+ 1.0 (* t_0 (+ t_0 -1.0))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.13333333333333333 + ((x * x) * -0.05396825396825397))));
	return x * ((1.0 + (t_0 * ((0.1111111111111111 + ((x * x) * -0.08888888888888889)) * (x * (x * (x * x)))))) * (1.0 / (1.0 + (t_0 * (t_0 + -1.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = (x * x) * ((-0.3333333333333333d0) + ((x * x) * (0.13333333333333333d0 + ((x * x) * (-0.05396825396825397d0)))))
    code = x * ((1.0d0 + (t_0 * ((0.1111111111111111d0 + ((x * x) * (-0.08888888888888889d0))) * (x * (x * (x * x)))))) * (1.0d0 / (1.0d0 + (t_0 * (t_0 + (-1.0d0))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.13333333333333333 + ((x * x) * -0.05396825396825397))));
	return x * ((1.0 + (t_0 * ((0.1111111111111111 + ((x * x) * -0.08888888888888889)) * (x * (x * (x * x)))))) * (1.0 / (1.0 + (t_0 * (t_0 + -1.0)))));
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.13333333333333333 + ((x * x) * -0.05396825396825397))))
	return x * ((1.0 + (t_0 * ((0.1111111111111111 + ((x * x) * -0.08888888888888889)) * (x * (x * (x * x)))))) * (1.0 / (1.0 + (t_0 * (t_0 + -1.0)))))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.13333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * -0.05396825396825397)))))
	return Float64(x * Float64(Float64(1.0 + Float64(t_0 * Float64(Float64(0.1111111111111111 + Float64(Float64(x * x) * -0.08888888888888889)) * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))))) * Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(t_0 * Float64(t_0 + -1.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = (x * x) * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.13333333333333333 + ((x * x) * -0.05396825396825397))));
	tmp = x * ((1.0 + (t_0 * ((0.1111111111111111 + ((x * x) * -0.08888888888888889)) * (x * (x * (x * x)))))) * (1.0 / (1.0 + (t_0 * (t_0 + -1.0)))));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.13333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.05396825396825397), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(x * N[(N[(1.0 + N[(t$95$0 * N[(N[(0.1111111111111111 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.08888888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(1.0 + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 10.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} - \color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)}\right) \]

3. Simplified 12.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{x \cdot -2}} + \frac{1}{-1 - e^{x \cdot 2}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{15}} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{15}} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \color{blue}{\left(\frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-17}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-17}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)}^{3}}{\color{blue}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left({1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left({1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 96.3%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right) - 1\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{-4}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{9} + \frac{-4}{45} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{4}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{9} + \frac{-4}{45} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{9} + \frac{-4}{45} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{9} + \frac{-4}{45} \cdot {x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(\frac{-4}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-4}{45}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \left(x \cdot {x}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 96.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{45}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 96.7%

    \[\leadsto x \cdot \left(\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.1111111111111111 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08888888888888889\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right) - 1\right)}\right) \]

13. Final simplification 96.7%

    \[\leadsto x \cdot \left(\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right) \cdot \left(\left(0.1111111111111111 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08888888888888889\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right) + -1\right)}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.1% accurate, 27.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.13333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+ 1.0 (* (* x x) (+ -0.3333333333333333 (* (* x x) 0.13333333333333333))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.13333333333333333))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x * x) * ((-0.3333333333333333d0) + ((x * x) * 0.13333333333333333d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.13333333333333333))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + ((x * x) * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.13333333333333333))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.13333333333333333)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.13333333333333333))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} - \color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)}\right) \]

3. Simplified 12.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{x \cdot -2}} + \frac{1}{-1 - e^{x \cdot 2}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{15} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{15} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{2}{15} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{2}{15}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{2}{15}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 96.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.13333333333333333\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.1% accurate, 37.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \frac{1}{1 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (/ 1.0 (+ 1.0 (* x (* x 0.3333333333333333))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 / (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 / (1.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 / (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 / (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 / (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} - \color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)}\right) \]

3. Simplified 12.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{x \cdot -2}} + \frac{1}{-1 - e^{x \cdot 2}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{15} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{15}} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{15}} + \frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \color{blue}{\left(\frac{-17}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-17}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-17}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)}^{3}}{\color{blue}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left({1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left({1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{15} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 96.3%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right) - 1\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{15}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-17}{315}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

12. Simplified 96.5%

    \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \frac{1}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.13333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.05396825396825397\right)\right) - 1\right)}\right) \]

13. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 96.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

15. Simplified 96.5%

    \[\leadsto x \cdot \left(1 \cdot \frac{1}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right) \]

16. Final simplification 96.5%

    \[\leadsto x \cdot \frac{1}{1 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.7% accurate, 45.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ x (* x (* (* x x) -0.3333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return x + (x * ((x * x) * -0.3333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + (x * ((x * x) * (-0.3333333333333333d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + (x * ((x * x) * -0.3333333333333333));
}

Python

def code(x):
	return x + (x * ((x * x) * -0.3333333333333333))

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64(x * Float64(Float64(x * x) * -0.3333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + (x * ((x * x) * -0.3333333333333333));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} - \color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)}\right) \]

3. Simplified 12.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{x \cdot -2}} + \frac{1}{-1 - e^{x \cdot 2}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{-1}{3} \cdot {x}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + -0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{1}\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \color{blue}{x \cdot 1} \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + x \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \color{blue}{x}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right) \]

9. Applied egg-rr 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + x} \]

10. Final simplification 96.0%

    \[\leadsto x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.7% accurate, 45.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (+ 1.0 (* (* x x) -0.3333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x * x) * (-0.3333333333333333d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.3333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} - \color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)}\right) \]

3. Simplified 12.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{x \cdot -2}} + \frac{1}{-1 - e^{x \cdot 2}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{-1}{3} \cdot {x}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + -0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

8. Final simplification 96.0%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.5% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 10.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} - \color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}\right)\right)}\right) \]

3. Simplified 12.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{x \cdot -2}} + \frac{1}{-1 - e^{x \cdot 2}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 95.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024138 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))