Midpoint on a great circle

Percentage Accurate: 98.5% → 99.7%

Time: 18.7s

Alternatives: 20

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (*
    (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1)))
    (cos phi2))
   (+
    (cos phi1)
    (*
     (cos phi2)
     (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1))) * Math.cos(phi2)), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1))) * math.cos(phi2)), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1))) * cos(phi2)), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))) * cos(phi2)), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2} \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+
    (cos phi1)
    (*
     (cos phi2)
     (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2} \]

7. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 89.8% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.105:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(-0.5 + \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right) + \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + 1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + \phi_2 \cdot \left(\phi_2 \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= (cos phi2) 0.105)
     (+
      lambda1
      (atan2
       t_0
       (+
        (*
         phi1
         (*
          phi1
          (+
           -0.5
           (*
            (* phi1 phi1)
            (+
             0.041666666666666664
             (* (* phi1 phi1) -0.001388888888888889))))))
        (+ (* (cos lambda2) (cos phi2)) 1.0))))
     (if (<= (cos phi2) 0.99)
       (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos phi2) (cos phi1))))
       (+
        lambda1
        (atan2
         t_0
         (+
          (cos phi1)
          (*
           (cos (- lambda1 lambda2))
           (+
            1.0
            (*
             (* phi2 phi2)
             (+ -0.5 (* phi2 (* phi2 0.041666666666666664)))))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.105) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((phi1 * (phi1 * (-0.5 + ((phi1 * phi1) * (0.041666666666666664 + ((phi1 * phi1) * -0.001388888888888889)))))) + ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + 1.0)));
	} else if (cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (-0.5 + (phi2 * (phi2 * 0.041666666666666664))))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.105d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((phi1 * (phi1 * ((-0.5d0) + ((phi1 * phi1) * (0.041666666666666664d0 + ((phi1 * phi1) * (-0.001388888888888889d0))))))) + ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + 1.0d0)))
    else if (cos(phi2) <= 0.99d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0d0 + ((phi2 * phi2) * ((-0.5d0) + (phi2 * (phi2 * 0.041666666666666664d0))))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.105) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, ((phi1 * (phi1 * (-0.5 + ((phi1 * phi1) * (0.041666666666666664 + ((phi1 * phi1) * -0.001388888888888889)))))) + ((Math.cos(lambda2) * Math.cos(phi2)) + 1.0)));
	} else if (Math.cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi1) + (Math.cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (-0.5 + (phi2 * (phi2 * 0.041666666666666664))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.105:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, ((phi1 * (phi1 * (-0.5 + ((phi1 * phi1) * (0.041666666666666664 + ((phi1 * phi1) * -0.001388888888888889)))))) + ((math.cos(lambda2) * math.cos(phi2)) + 1.0)))
	elif math.cos(phi2) <= 0.99:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi1) + (math.cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (-0.5 + (phi2 * (phi2 * 0.041666666666666664))))))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.105)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(Float64(phi1 * Float64(phi1 * Float64(-0.5 + Float64(Float64(phi1 * phi1) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(phi1 * phi1) * -0.001388888888888889)))))) + Float64(Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)) + 1.0))));
	elseif (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi2) + cos(phi1))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi1) + Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(phi2 * phi2) * Float64(-0.5 + Float64(phi2 * Float64(phi2 * 0.041666666666666664)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.105)
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((phi1 * (phi1 * (-0.5 + ((phi1 * phi1) * (0.041666666666666664 + ((phi1 * phi1) * -0.001388888888888889)))))) + ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + 1.0)));
	elseif (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (-0.5 + (phi2 * (phi2 * 0.041666666666666664))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.105], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(phi1 * N[(phi1 * N[(-0.5 + N[(N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision] * -0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.99], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(phi2 * N[(phi2 * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.104999999999999996

   1. Initial program 98.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 98.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + {\phi_1}^{2} \cdot \left({\phi_1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {\phi_1}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right) + \color{blue}{{\phi_1}^{2} \cdot \left({\phi_1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {\phi_1}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left({\phi_1}^{2} \cdot \left({\phi_1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {\phi_1}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\phi_1}^{2} \cdot \left({\phi_1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {\phi_1}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 81.8%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(-0.5 + \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + -0.001388888888888889 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) + \left(1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right)}} \]

   if 0.104999999999999996 < (cos.f64 phi2) < 0.98999999999999999

   1. Initial program 99.3%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 99.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 86.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 86.3%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]

   if 0.98999999999999999 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 99.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)} + \color{blue}{\lambda_1} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)}, \color{blue}{\lambda_1}\right) \]

   9. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + \phi_2 \cdot \left(\phi_2 \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} + \lambda_1} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.105:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(-0.5 + \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right) + \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + 1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + \phi_2 \cdot \left(\phi_2 \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 89.8% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.105:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + \phi_2 \cdot \left(\phi_2 \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= (cos phi2) 0.105)
     (+
      lambda1
      (atan2
       t_0
       (+ (* (cos lambda2) (cos phi2)) (+ 1.0 (* -0.5 (* phi1 phi1))))))
     (if (<= (cos phi2) 0.99)
       (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos phi2) (cos phi1))))
       (+
        lambda1
        (atan2
         t_0
         (+
          (cos phi1)
          (*
           (cos (- lambda1 lambda2))
           (+
            1.0
            (*
             (* phi2 phi2)
             (+ -0.5 (* phi2 (* phi2 0.041666666666666664)))))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.105) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	} else if (cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (-0.5 + (phi2 * (phi2 * 0.041666666666666664))))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.105d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + (1.0d0 + ((-0.5d0) * (phi1 * phi1)))))
    else if (cos(phi2) <= 0.99d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0d0 + ((phi2 * phi2) * ((-0.5d0) + (phi2 * (phi2 * 0.041666666666666664d0))))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.105) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, ((Math.cos(lambda2) * Math.cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	} else if (Math.cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi1) + (Math.cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (-0.5 + (phi2 * (phi2 * 0.041666666666666664))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.105:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, ((math.cos(lambda2) * math.cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))))
	elif math.cos(phi2) <= 0.99:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi1) + (math.cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (-0.5 + (phi2 * (phi2 * 0.041666666666666664))))))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.105)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)) + Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(phi1 * phi1))))));
	elseif (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi2) + cos(phi1))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi1) + Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(phi2 * phi2) * Float64(-0.5 + Float64(phi2 * Float64(phi2 * 0.041666666666666664)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.105)
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	elseif (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (-0.5 + (phi2 * (phi2 * 0.041666666666666664))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.105], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.99], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(phi2 * N[(phi2 * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.104999999999999996

   1. Initial program 98.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 98.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right) + \color{blue}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \lambda_2\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 81.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 81.3%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2 + \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}} \]

   if 0.104999999999999996 < (cos.f64 phi2) < 0.98999999999999999

   1. Initial program 99.3%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 99.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 86.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 86.3%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]

   if 0.98999999999999999 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 99.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)} + \color{blue}{\lambda_1} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)}, \color{blue}{\lambda_1}\right) \]

   9. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + \phi_2 \cdot \left(\phi_2 \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} + \lambda_1} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.105:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(-0.5 + \phi_2 \cdot \left(\phi_2 \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 89.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_1 \leq 0.6:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_1 + t\_0 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_1 \leq 0.999:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_2 \cdot t\_0 + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= (cos phi1) 0.6)
     (+
      lambda1
      (atan2 t_1 (+ (cos phi1) (* t_0 (+ 1.0 (* -0.5 (* phi2 phi2)))))))
     (if (<= (cos phi1) 0.999)
       (+ lambda1 (atan2 t_1 (+ (cos phi2) (cos phi1))))
       (+
        lambda1
        (atan2 t_1 (+ (* (cos phi2) t_0) (+ 1.0 (* phi1 (* phi1 -0.5))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi1) <= 0.6) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	} else if (cos(phi1) <= 0.999) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, ((cos(phi2) * t_0) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi1) <= 0.6d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (t_0 * (1.0d0 + ((-0.5d0) * (phi2 * phi2))))))
    else if (cos(phi1) <= 0.999d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi2) + cos(phi1)))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, ((cos(phi2) * t_0) + (1.0d0 + (phi1 * (phi1 * (-0.5d0))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi1) <= 0.6) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (Math.cos(phi1) + (t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	} else if (Math.cos(phi1) <= 0.999) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, ((Math.cos(phi2) * t_0) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi1) <= 0.6:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (math.cos(phi1) + (t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))))
	elif math.cos(phi1) <= 0.999:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, ((math.cos(phi2) * t_0) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi1) <= 0.6)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(cos(phi1) + Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(phi2 * phi2)))))));
	elseif (cos(phi1) <= 0.999)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(cos(phi2) + cos(phi1))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(Float64(cos(phi2) * t_0) + Float64(1.0 + Float64(phi1 * Float64(phi1 * -0.5))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi1) <= 0.6)
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi1) + (t_0 * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	elseif (cos(phi1) <= 0.999)
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, ((cos(phi2) * t_0) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi1], $MachinePrecision], 0.6], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Cos[phi1], $MachinePrecision], 0.999], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(phi1 * N[(phi1 * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (cos.f64 phi1) < 0.599999999999999978

   1. Initial program 99.1%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}} + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(1 + \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_2 \cdot \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 83.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 83.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}} \]

   if 0.599999999999999978 < (cos.f64 phi1) < 0.998999999999999999

   1. Initial program 99.8%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 96.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 82.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 82.2%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]

   if 0.998999999999999999 < (cos.f64 phi1)

   1. Initial program 98.8%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right) + \color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_1 \leq 0.6:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_1 \leq 0.999:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 89.8% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.105:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= (cos phi2) 0.105)
     (+
      lambda1
      (atan2
       t_0
       (+ (* (cos lambda2) (cos phi2)) (+ 1.0 (* -0.5 (* phi1 phi1))))))
     (if (<= (cos phi2) 0.99)
       (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos phi2) (cos phi1))))
       (+
        lambda1
        (atan2
         t_0
         (+
          (cos phi1)
          (* (cos (- lambda1 lambda2)) (+ 1.0 (* -0.5 (* phi2 phi2)))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.105) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	} else if (cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.105d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + (1.0d0 + ((-0.5d0) * (phi1 * phi1)))))
    else if (cos(phi2) <= 0.99d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0d0 + ((-0.5d0) * (phi2 * phi2))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.105) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, ((Math.cos(lambda2) * Math.cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	} else if (Math.cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi1) + (Math.cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.105:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, ((math.cos(lambda2) * math.cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))))
	elif math.cos(phi2) <= 0.99:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi1) + (math.cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.105)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)) + Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(phi1 * phi1))))));
	elseif (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi2) + cos(phi1))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi1) + Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) * Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(phi2 * phi2)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.105)
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	elseif (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos((lambda1 - lambda2)) * (1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.105], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.99], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.104999999999999996

   1. Initial program 98.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 98.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right) + \color{blue}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \lambda_2\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 81.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 81.3%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2 + \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}} \]

   if 0.104999999999999996 < (cos.f64 phi2) < 0.98999999999999999

   1. Initial program 99.3%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 99.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 86.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 86.3%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]

   if 0.98999999999999999 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 99.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}} + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(1 + \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_2 \cdot \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.105:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 89.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot t\_0\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.105:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))) (t_1 (* (cos phi2) t_0)))
   (if (<= (cos phi2) 0.105)
     (+
      lambda1
      (atan2
       t_1
       (+ (* (cos lambda2) (cos phi2)) (+ 1.0 (* -0.5 (* phi1 phi1))))))
     (if (<= (cos phi2) 0.99)
       (+ lambda1 (atan2 t_1 (+ (cos phi2) (cos phi1))))
       (+
        lambda1
        (atan2
         t_0
         (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2))))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos(phi2) * t_0;
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.105) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	} else if (cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = cos(phi2) * t_0
    if (cos(phi2) <= 0.105d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + (1.0d0 + ((-0.5d0) * (phi1 * phi1)))))
    else if (cos(phi2) <= 0.99d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi2) + cos(phi1)))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.cos(phi2) * t_0;
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.105) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, ((Math.cos(lambda2) * Math.cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	} else if (Math.cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_1, (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.cos(phi2) * t_0
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.105:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, ((math.cos(lambda2) * math.cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))))
	elif math.cos(phi2) <= 0.99:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_1, (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * t_0)
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.105)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)) + Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(phi1 * phi1))))));
	elseif (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_1, Float64(cos(phi2) + cos(phi1))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = cos(phi2) * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.105)
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + (1.0 + (-0.5 * (phi1 * phi1)))));
	elseif (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = lambda1 + atan2(t_1, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.105], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.99], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.104999999999999996

   1. Initial program 98.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 98.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2} + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right) + \color{blue}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2}\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \lambda_2\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 81.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 81.3%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2 + \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}} \]

   if 0.104999999999999996 < (cos.f64 phi2) < 0.98999999999999999

   1. Initial program 99.3%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 99.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 86.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 86.3%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]

   if 0.98999999999999999 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 99.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 97.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.105:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + \left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 88.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= (cos phi2) 0.99)
     (+ lambda1 (atan2 (* (cos phi2) t_0) (+ (cos phi2) (cos phi1))))
     (+
      lambda1
      (atan2 t_0 (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (cos(phi2) + cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.99d0) then
        tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (cos(phi2) + cos(phi1)))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.99:
		tmp = lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * t_0), Float64(cos(phi2) + cos(phi1))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (cos(phi2) + cos(phi1)));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.99], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.98999999999999999

   1. Initial program 98.8%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 98.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 76.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 76.3%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]

   if 0.98999999999999999 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 99.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 97.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 88.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= (cos phi2) 0.99)
     (+ lambda1 (atan2 (* (cos phi2) t_0) (+ (cos phi2) (cos phi1))))
     (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (cos(phi2) + cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.99d0) then
        tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (cos(phi2) + cos(phi1)))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.99) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi1) + Math.cos((lambda1 - lambda2))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.99:
		tmp = lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi1) + math.cos((lambda1 - lambda2))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * t_0), Float64(cos(phi2) + cos(phi1))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi1) + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.99)
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), (cos(phi2) + cos(phi1)));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.99], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.98999999999999999

   1. Initial program 98.8%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 98.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 76.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 76.3%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]

   if 0.98999999999999999 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 99.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 96.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 96.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       3. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 97.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 97.6%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.99:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 11: 97.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2
   (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
   (+ (cos phi1) (* (cos lambda2) (cos phi2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(lambda2) * cos(phi2))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(lambda2) * cos(phi2))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (Math.cos(phi1) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(phi2))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (math.cos(phi1) + (math.cos(lambda2) * math.cos(phi2))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(cos(phi1) + Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (cos(phi1) + (cos(lambda2) * cos(phi2))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 98.2%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

8. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 12: 82.2% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.98:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(-0.5 + \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + \left(\cos \phi_2 + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= (cos phi2) 0.98)
     (+
      lambda1
      (atan2
       (* (cos phi2) t_0)
       (+
        (* phi1 (* phi1 (+ -0.5 (* (* phi1 phi1) 0.041666666666666664))))
        (+ (cos phi2) 1.0))))
     (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (cos(phi2) <= 0.98) {
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), ((phi1 * (phi1 * (-0.5 + ((phi1 * phi1) * 0.041666666666666664)))) + (cos(phi2) + 1.0)));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (cos(phi2) <= 0.98d0) then
        tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), ((phi1 * (phi1 * ((-0.5d0) + ((phi1 * phi1) * 0.041666666666666664d0)))) + (cos(phi2) + 1.0d0)))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (Math.cos(phi2) <= 0.98) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), ((phi1 * (phi1 * (-0.5 + ((phi1 * phi1) * 0.041666666666666664)))) + (Math.cos(phi2) + 1.0)));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi1) + Math.cos((lambda1 - lambda2))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if math.cos(phi2) <= 0.98:
		tmp = lambda1 + math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), ((phi1 * (phi1 * (-0.5 + ((phi1 * phi1) * 0.041666666666666664)))) + (math.cos(phi2) + 1.0)))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi1) + math.cos((lambda1 - lambda2))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (cos(phi2) <= 0.98)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(Float64(cos(phi2) * t_0), Float64(Float64(phi1 * Float64(phi1 * Float64(-0.5 + Float64(Float64(phi1 * phi1) * 0.041666666666666664)))) + Float64(cos(phi2) + 1.0))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi1) + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (cos(phi2) <= 0.98)
		tmp = lambda1 + atan2((cos(phi2) * t_0), ((phi1 * (phi1 * (-0.5 + ((phi1 * phi1) * 0.041666666666666664)))) + (cos(phi2) + 1.0)));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Cos[phi2], $MachinePrecision], 0.98], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[(phi1 * N[(phi1 * N[(-0.5 + N[(N[(phi1 * phi1), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f64 phi2) < 0.97999999999999998

   1. Initial program 98.8%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 98.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + {\phi_1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + {\phi_1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left({\phi_1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\color{blue}{{\phi_1}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \lambda_2\right), \left(\color{blue}{{\phi_1}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right), \left({\color{blue}{\phi_1}}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left({\phi_1}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\phi_1}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\phi_1 \cdot \phi_1\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2}} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2}} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left({\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 74.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 74.1%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{1 + \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot \left(-0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right)\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\cos \phi_2 + {\phi_1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(1 + \cos \phi_2\right) + \color{blue}{{\phi_1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left({\phi_1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\phi_1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right), \left(1 + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\phi_1 \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(1 + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       8. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       9. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(1 + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right), \left(1 + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(1 + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({\phi_1}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \left(1 + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\phi_1}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \left(1 + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\phi_1 \cdot \phi_1\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \left(1 + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \left(1 + \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

       16. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

       17. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

       18. cos-lowering-cos.f64 60.4%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \phi_1\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 60.4%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(-0.5 + \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + \left(\cos \phi_2 + 1\right)}} \]

   if 0.97999999999999998 < (cos.f64 phi2)

   1. Initial program 99.2%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.9%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 94.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 94.8%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       3. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 96.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 96.7%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 80.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \phi_2 \leq 0.98:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(-0.5 + \left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + \left(\cos \phi_2 + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 84.3% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq 0.34:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 0.34)
     (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2))) 1.0)))
     (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos phi2) (cos phi1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= 0.34) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))) + 1.0));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= 0.34d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))) + 1.0d0))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= 0.34) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, ((Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2))) + 1.0));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= 0.34:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, ((math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2))) + 1.0))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= 0.34)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))) + 1.0)));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi2) + cos(phi1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= 0.34)
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))) + 1.0));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, 0.34], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < 0.340000000000000024

   1. Initial program 98.9%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 84.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 84.1%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}} \]

   if 0.340000000000000024 < phi1

   1. Initial program 99.7%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 99.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 80.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 80.1%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 83.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq 0.34:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 84.0% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq 0.34:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + 1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 0.34)
     (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (* (cos lambda2) (cos phi2)) 1.0)))
     (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos phi2) (cos phi1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= 0.34) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + 1.0));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= 0.34d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + 1.0d0))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= 0.34) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, ((Math.cos(lambda2) * Math.cos(phi2)) + 1.0));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(phi2) + Math.cos(phi1)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= 0.34:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, ((math.cos(lambda2) * math.cos(phi2)) + 1.0))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(phi2) + math.cos(phi1)))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= 0.34)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)) + 1.0)));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(phi2) + cos(phi1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= 0.34)
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, ((cos(lambda2) * cos(phi2)) + 1.0));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(phi2) + cos(phi1)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, 0.34], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < 0.340000000000000024

   1. Initial program 98.9%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 83.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 83.8%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   if 0.340000000000000024 < phi1

   1. Initial program 99.7%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 99.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 + \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\cos \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 80.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 80.1%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 83.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq 0.34:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2 + 1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_2 + \cos \phi_1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 69.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq 0.031:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \lambda_1 + \cos \phi_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi1 0.031)
     (+
      lambda1
      (atan2 t_0 (+ (cos (- lambda1 lambda2)) (+ 1.0 (* phi1 (* phi1 -0.5))))))
     (+ lambda1 (atan2 t_0 (+ (cos lambda1) (cos phi1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= 0.031) {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(lambda1) + cos(phi1)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= 0.031d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) + (1.0d0 + (phi1 * (phi1 * (-0.5d0))))))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(lambda1) + cos(phi1)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= 0.031) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos((lambda1 - lambda2)) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(t_0, (Math.cos(lambda1) + Math.cos(phi1)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= 0.031:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos((lambda1 - lambda2)) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(t_0, (math.cos(lambda1) + math.cos(phi1)))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= 0.031)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) + Float64(1.0 + Float64(phi1 * Float64(phi1 * -0.5))))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(t_0, Float64(cos(lambda1) + cos(phi1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= 0.031)
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos((lambda1 - lambda2)) + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(t_0, (cos(lambda1) + cos(phi1)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, 0.031], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(phi1 * N[(phi1 * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < 0.031

   1. Initial program 98.9%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 61.6%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 60.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 60.2%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       3. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 71.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 71.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   14. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}}\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. associate-+l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\phi_1}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 63.2%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 63.2%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}} \]

   if 0.031 < phi1

   1. Initial program 99.6%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 65.6%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 65.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 65.0%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       3. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 75.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 75.1%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   14. Taylor expanded in lambda1 around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 67.4%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq 0.031:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \lambda_1 + \cos \phi_1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 67.6% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq 2500000000:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\cos \phi_1 + t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi1 2500000000.0)
     (+
      lambda1
      (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (+ t_0 (+ 1.0 (* phi1 (* phi1 -0.5))))))
     (+ lambda1 (atan2 (sin lambda1) (+ (cos phi1) t_0))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= 2500000000.0) {
		tmp = lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (t_0 + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + atan2(sin(lambda1), (cos(phi1) + t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= 2500000000.0d0) then
        tmp = lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (t_0 + (1.0d0 + (phi1 * (phi1 * (-0.5d0))))))
    else
        tmp = lambda1 + atan2(sin(lambda1), (cos(phi1) + t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= 2500000000.0) {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (t_0 + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	} else {
		tmp = lambda1 + Math.atan2(Math.sin(lambda1), (Math.cos(phi1) + t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= 2500000000.0:
		tmp = lambda1 + math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (t_0 + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))))
	else:
		tmp = lambda1 + math.atan2(math.sin(lambda1), (math.cos(phi1) + t_0))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= 2500000000.0)
		tmp = Float64(lambda1 + atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(t_0 + Float64(1.0 + Float64(phi1 * Float64(phi1 * -0.5))))));
	else
		tmp = Float64(lambda1 + atan(sin(lambda1), Float64(cos(phi1) + t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= 2500000000.0)
		tmp = lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (t_0 + (1.0 + (phi1 * (phi1 * -0.5)))));
	else
		tmp = lambda1 + atan2(sin(lambda1), (cos(phi1) + t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, 2500000000.0], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(t$95$0 + N[(1.0 + N[(phi1 * N[(phi1 * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(lambda1 + N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < 2.5e9

   1. Initial program 98.9%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 98.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 61.4%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 59.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 59.9%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       3. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 70.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 70.7%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   14. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}}\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. associate-+l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\phi_1}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\phi_1 \cdot \phi_1\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 62.9%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 62.9%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(1 + \phi_1 \cdot \left(\phi_1 \cdot -0.5\right)\right)}} \]

   if 2.5e9 < phi1

   1. Initial program 99.7%

      \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 66.5%

      \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 66.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 66.2%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       3. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 76.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 76.4%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

   14. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 59.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 59.2%

       \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 17: 76.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (+ (cos phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos(phi1) + Math.cos((lambda1 - lambda2))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos(phi1) + math.cos((lambda1 - lambda2))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(phi1) + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos(phi1) + cos((lambda1 - lambda2))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 62.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 61.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 61.3%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    3. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 71.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 71.9%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 18: 76.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \lambda_2 + \cos \phi_1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+ lambda1 (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (+ (cos lambda2) (cos phi1)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos(lambda2) + cos(phi1)));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos(lambda2) + cos(phi1)))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos(lambda2) + Math.cos(phi1)));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos(lambda2) + math.cos(phi1)))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(lambda2) + cos(phi1))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos(lambda2) + cos(phi1)));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 62.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 61.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 61.3%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    3. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 71.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 71.9%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

14. Taylor expanded in lambda1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. cos-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f64 71.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 71.1%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

17. Final simplification 71.1%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \lambda_2 + \cos \phi_1} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 19: 67.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (+
  lambda1
  (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (+ (cos (- lambda1 lambda2)) 1.0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1 + Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1 + math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(lambda1 + atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1 + atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda1 - lambda2)) + 1.0));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(lambda1 + N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{{\phi_2}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 62.5%

   \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 61.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 61.3%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

    3. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 71.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 71.9%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]

14. Taylor expanded in phi1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

    3. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 61.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

16. Simplified 61.1%

    \[\leadsto \lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + 1}} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 20: 53.6% accurate, 614.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \lambda_1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2) :precision binary64 lambda1)

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = lambda1
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return lambda1;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return lambda1

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return lambda1
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = lambda1;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := lambda1

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 + \cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1 + \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda1 around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 43.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\lambda_1} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024138 
(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Midpoint on a great circle"
  :precision binary64
  (+ lambda1 (atan2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2))) (+ (cos phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2)))))))