Quadratic roots, narrow range

Percentage Accurate: 56.8% → 99.6%

Time: 16.9s

Alternatives: 11

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < a \land a < 94906265.62425156\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < b \land b < 94906265.62425156\right)\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < c \land c < 94906265.62425156\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 56.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -2}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* c -2.0) (+ b (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -2.0) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (-2.0d0)) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -2.0) / (b + Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * -2.0) / (b + math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * -2.0) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * -2.0) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * -2.0), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}}} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 57.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -4\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* c (/ -2.0 (+ b (sqrt (+ (* b b) (* c (* a -4.0))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-2.0 / (b + sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((-2.0d0) / (b + sqrt(((b * b) + (c * (a * (-4.0d0)))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-2.0 / (b + Math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * (-2.0 / (b + math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(-2.0 / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(c * Float64(a * -4.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * (-2.0 / (b + sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(-2.0 / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(c * N[(a * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}}} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 57.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/l* N/A

       \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \cdot \color{blue}{c} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}\right), \color{blue}{c}\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-2, \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right), c\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right), c\right) \]

    6. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}\right)\right)\right), c\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right), c\right) \]

    8. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), c\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), c\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), c\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -4\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), c\right) \]

    12. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(-4 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), c\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(-4 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), c\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 99.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-4, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), c\right) \]

11. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}} \cdot c} \]

12. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto c \cdot \frac{-2}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -4\right)}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 87.7% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -2}{b \cdot 2 + c \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{a}{b}\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* c -2.0)
  (+ (* b 2.0) (* c (* -2.0 (+ (/ (* c (* a a)) (* b (* b b))) (/ a b)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -2.0) / ((b * 2.0) + (c * (-2.0 * (((c * (a * a)) / (b * (b * b))) + (a / b)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (-2.0d0)) / ((b * 2.0d0) + (c * ((-2.0d0) * (((c * (a * a)) / (b * (b * b))) + (a / b)))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -2.0) / ((b * 2.0) + (c * (-2.0 * (((c * (a * a)) / (b * (b * b))) + (a / b)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * -2.0) / ((b * 2.0) + (c * (-2.0 * (((c * (a * a)) / (b * (b * b))) + (a / b)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * -2.0) / Float64(Float64(b * 2.0) + Float64(c * Float64(-2.0 * Float64(Float64(Float64(c * Float64(a * a)) / Float64(b * Float64(b * b))) + Float64(a / b))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * -2.0) / ((b * 2.0) + (c * (-2.0 * (((c * (a * a)) / (b * (b * b))) + (a / b)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * -2.0), $MachinePrecision] / N[(N[(b * 2.0), $MachinePrecision] + N[(c * N[(-2.0 * N[(N[(N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}}} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 57.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \color{blue}{\left(2 \cdot b + c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot b\right), \color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 2\right), \left(\color{blue}{c} \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\color{blue}{c} \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}} + \color{blue}{-2 \cdot \frac{a}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}} + \frac{a}{b}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}} + \frac{a}{b}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{b}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot c\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{a}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot {a}^{2}\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. /-lowering-/.f64 88.8%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 88.8%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -2}{\color{blue}{b \cdot 2 + c \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{a}{b}\right)\right)}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 87.6% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -2}{b + \left(b + c \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{a}{b}\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* c -2.0)
  (+ b (+ b (* c (* -2.0 (+ (/ (* c (* a a)) (* b (* b b))) (/ a b))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -2.0) / (b + (b + (c * (-2.0 * (((c * (a * a)) / (b * (b * b))) + (a / b))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (-2.0d0)) / (b + (b + (c * ((-2.0d0) * (((c * (a * a)) / (b * (b * b))) + (a / b))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -2.0) / (b + (b + (c * (-2.0 * (((c * (a * a)) / (b * (b * b))) + (a / b))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * -2.0) / (b + (b + (c * (-2.0 * (((c * (a * a)) / (b * (b * b))) + (a / b))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * -2.0) / Float64(b + Float64(b + Float64(c * Float64(-2.0 * Float64(Float64(Float64(c * Float64(a * a)) / Float64(b * Float64(b * b))) + Float64(a / b)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * -2.0) / (b + (b + (c * (-2.0 * (((c * (a * a)) / (b * (b * b))) + (a / b))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * -2.0), $MachinePrecision] / N[(b + N[(b + N[(c * N[(-2.0 * N[(N[(N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}}} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 57.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(b + c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}} + \color{blue}{-2 \cdot \frac{a}{b}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}} + \frac{a}{b}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}} + \frac{a}{b}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{b}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot c\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{a}}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot {a}^{2}\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\frac{a}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. /-lowering-/.f64 88.8%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 88.8%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -2}{b + \color{blue}{\left(b + c \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{a}{b}\right)\right)\right)}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 87.5% accurate, 4.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5}{-0.5 \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(a \cdot \frac{c \cdot 0.5}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{0.5}{b}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  0.5
  (+ (* -0.5 (/ b c)) (* a (+ (* a (/ (* c 0.5) (* b (* b b)))) (/ 0.5 b))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / ((-0.5 * (b / c)) + (a * ((a * ((c * 0.5) / (b * (b * b)))) + (0.5 / b))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.5d0 / (((-0.5d0) * (b / c)) + (a * ((a * ((c * 0.5d0) / (b * (b * b)))) + (0.5d0 / b))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / ((-0.5 * (b / c)) + (a * ((a * ((c * 0.5) / (b * (b * b)))) + (0.5 / b))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.5 / ((-0.5 * (b / c)) + (a * ((a * ((c * 0.5) / (b * (b * b)))) + (0.5 / b))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.5 / Float64(Float64(-0.5 * Float64(b / c)) + Float64(a * Float64(Float64(a * Float64(Float64(c * 0.5) / Float64(b * Float64(b * b)))) + Float64(0.5 / b)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.5 / ((-0.5 * (b / c)) + (a * ((a * ((c * 0.5) / (b * (b * b)))) + (0.5 / b))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.5 / N[(N[(-0.5 * N[(b / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(a * N[(N[(c * 0.5), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 55.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{b}{c}\right)\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 88.6%

   \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{-0.5 \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(a \cdot \frac{0.5 \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{0.5}{b}\right)}} \]

10. Final simplification 88.6%

    \[\leadsto \frac{0.5}{-0.5 \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(a \cdot \frac{c \cdot 0.5}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{0.5}{b}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 87.4% accurate, 5.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c}{a}}{c \cdot \left(\frac{a}{b \cdot \frac{b \cdot b}{c}} - \frac{-1}{b}\right) - \frac{b}{a}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (/ c a) (- (* c (- (/ a (* b (/ (* b b) c))) (/ -1.0 b))) (/ b a))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / ((c * ((a / (b * ((b * b) / c))) - (-1.0 / b))) - (b / a));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c / a) / ((c * ((a / (b * ((b * b) / c))) - ((-1.0d0) / b))) - (b / a))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / ((c * ((a / (b * ((b * b) / c))) - (-1.0 / b))) - (b / a));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c / a) / ((c * ((a / (b * ((b * b) / c))) - (-1.0 / b))) - (b / a))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c / a) / Float64(Float64(c * Float64(Float64(a / Float64(b * Float64(Float64(b * b) / c))) - Float64(-1.0 / b))) - Float64(b / a)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c / a) / ((c * ((a / (b * ((b * b) / c))) - (-1.0 / b))) - (b / a));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c / a), $MachinePrecision] / N[(N[(c * N[(N[(a / N[(b * N[(N[(b * b), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-1.0 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 56.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot c}{a}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \color{blue}{\left(c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{b}\right) + \frac{b}{a}\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{b}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)}\right)\right) \]

12. Simplified 88.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{-c}{a}}{\color{blue}{c \cdot \left(\left(0 - a \cdot \frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-1}{b}\right) + \frac{b}{a}}} \]

14. Applied egg-rr 88.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{-c}{a}}{c \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{b} - \frac{a}{b \cdot \frac{b \cdot b}{c}}\right)} + \frac{b}{a}} \]

15. Final simplification 88.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{a}}{c \cdot \left(\frac{a}{b \cdot \frac{b \cdot b}{c}} - \frac{-1}{b}\right) - \frac{b}{a}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 7: 81.2% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -2}{b \cdot 2 + \frac{-2 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* c -2.0) (+ (* b 2.0) (/ (* -2.0 (* c a)) b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -2.0) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * (c * a)) / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (-2.0d0)) / ((b * 2.0d0) + (((-2.0d0) * (c * a)) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -2.0) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * (c * a)) / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * -2.0) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * (c * a)) / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * -2.0) / Float64(Float64(b * 2.0) + Float64(Float64(-2.0 * Float64(c * a)) / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * -2.0) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * (c * a)) / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * -2.0), $MachinePrecision] / N[(N[(b * 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(-2.0 * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}}} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 57.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{b} + 2 \cdot b\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \left(2 \cdot b + \color{blue}{-2 \cdot \frac{a \cdot c}{b}}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot b\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -2\right), b\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot c\right), -2\right), b\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot a\right), -2\right), b\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 82.7%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), -2\right), b\right)\right)\right) \]

12. Simplified 82.7%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -2}{\color{blue}{b \cdot 2 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -2}{b}}} \]

13. Final simplification 82.7%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -2}{b \cdot 2 + \frac{-2 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 81.1% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -2}{b + \left(b + \frac{-2 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* c -2.0) (+ b (+ b (/ (* -2.0 (* c a)) b)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -2.0) / (b + (b + ((-2.0 * (c * a)) / b)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (-2.0d0)) / (b + (b + (((-2.0d0) * (c * a)) / b)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -2.0) / (b + (b + ((-2.0 * (c * a)) / b)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * -2.0) / (b + (b + ((-2.0 * (c * a)) / b)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * -2.0) / Float64(b + Float64(b + Float64(Float64(-2.0 * Float64(c * a)) / b))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * -2.0) / (b + (b + ((-2.0 * (c * a)) / b)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * -2.0), $MachinePrecision] / N[(b + N[(b + N[(N[(-2.0 * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}}} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 57.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\frac{a \cdot 2}{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(b + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -2\right), b\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot c\right), -2\right), b\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot a\right), -2\right), b\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 82.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), -2\right), b\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 82.6%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -2}{b + \color{blue}{\left(b + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -2}{b}\right)}} \]

13. Final simplification 82.6%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -2}{b + \left(b + \frac{-2 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 9: 81.0% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5}{-0.5 \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ 0.5 (+ (* -0.5 (/ b c)) (/ (* a 0.5) b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / ((-0.5 * (b / c)) + ((a * 0.5) / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.5d0 / (((-0.5d0) * (b / c)) + ((a * 0.5d0) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / ((-0.5 * (b / c)) + ((a * 0.5) / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.5 / ((-0.5 * (b / c)) + ((a * 0.5) / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.5 / Float64(Float64(-0.5 * Float64(b / c)) + Float64(Float64(a * 0.5) / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.5 / ((-0.5 * (b / c)) + ((a * 0.5) / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.5 / N[(N[(-0.5 * N[(b / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 55.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{a}}{b}\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{b}{c}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\frac{a}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{a}{b}}\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\color{blue}{a}}{b}\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 82.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

9. Simplified 82.5%

   \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{-0.5 \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 81.0% accurate, 10.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c}{a}}{\frac{c}{b} - \frac{b}{a}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ (/ c a) (- (/ c b) (/ b a))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / ((c / b) - (b / a));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c / a) / ((c / b) - (b / a))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / ((c / b) - (b / a));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c / a) / ((c / b) - (b / a))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c / a) / Float64(Float64(c / b) - Float64(b / a)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c / a) / ((c / b) - (b / a));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c / a), $MachinePrecision] / N[(N[(c / b), $MachinePrecision] - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 56.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot c}{a}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{b} + \frac{b}{a}\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \left(\frac{b}{a} + \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}}\right)\right) \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \left(\frac{b}{a} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    3. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \left(\frac{b}{a} - \color{blue}{\frac{c}{b}}\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{b}{a}\right), \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, a\right), \left(\frac{\color{blue}{c}}{b}\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 82.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, a\right), \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

12. Simplified 82.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{-c}{a}}{\color{blue}{\frac{b}{a} - \frac{c}{b}}} \]

13. Final simplification 82.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{a}}{\frac{c}{b} - \frac{b}{a}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 11: 63.2% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (- 0.0 (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0 - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.0d0 - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0 - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.0 - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.0 - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.0 - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.0 - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\frac{c}{b}} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 64.4%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right) \]

7. Simplified 64.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{-1 \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), b\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 64.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), b\right) \]

10. Simplified 64.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-c}{b}} \]

11. Final simplification 64.4%

    \[\leadsto 0 - \frac{c}{b} \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024138 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, narrow range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.0536712127723509e-8 a) (< a 94906265.62425156)) (and (< 1.0536712127723509e-8 b) (< b 94906265.62425156))) (and (< 1.0536712127723509e-8 c) (< c 94906265.62425156)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))