Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.7% → 8.2%

Time: 17.3s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 8.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\\ \frac{\frac{\pi \cdot \sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}{4}}{\frac{\pi}{2} + t\_0} - \frac{{t\_0}^{2}}{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 2.0 (asin (pow (+ 0.5 (/ x -2.0)) 0.5)))))
   (-
    (/ (/ (* PI (cbrt (* PI (* PI PI)))) 4.0) (+ (/ PI 2.0) t_0))
    (/
     (pow t_0 2.0)
     (+ (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (+ 0.5 (* x -0.5))))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 2.0 * asin(pow((0.5 + (x / -2.0)), 0.5));
	return (((((double) M_PI) * cbrt((((double) M_PI) * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))))) / 4.0) / ((((double) M_PI) / 2.0) + t_0)) - (pow(t_0, 2.0) / ((((double) M_PI) / 2.0) + (2.0 * asin(sqrt((0.5 + (x * -0.5)))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 2.0 * Math.asin(Math.pow((0.5 + (x / -2.0)), 0.5));
	return (((Math.PI * Math.cbrt((Math.PI * (Math.PI * Math.PI)))) / 4.0) / ((Math.PI / 2.0) + t_0)) - (Math.pow(t_0, 2.0) / ((Math.PI / 2.0) + (2.0 * Math.asin(Math.sqrt((0.5 + (x * -0.5)))))));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(2.0 * asin((Float64(0.5 + Float64(x / -2.0)) ^ 0.5)))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(pi * cbrt(Float64(pi * Float64(pi * pi)))) / 4.0) / Float64(Float64(pi / 2.0) + t_0)) - Float64((t_0 ^ 2.0) / Float64(Float64(pi / 2.0) + Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(0.5 + Float64(x * -0.5))))))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(2.0 * N[ArcSin[N[Power[N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(Pi * N[Power[N[(Pi * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 4.0), $MachinePrecision] / N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] / N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 7.6%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 7.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\pi \cdot \pi}{4}}{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)} - \frac{{\left(2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right)}^{2}}{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 9.6%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}} \cdot \pi}{4}}{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)} - \frac{{\left(2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right)}^{2}}{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. asin-lowering-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 9.6%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)} \cdot \pi}{4}}{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)} - \frac{{\left(2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right)}^{2}}{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right)}} \]

10. Final simplification 9.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\pi \cdot \sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}{4}}{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)} - \frac{{\left(2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right)}^{2}}{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)\\ t_1 := \pi + t\_0\\ \frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot 0.125\right)\right) - {t\_1}^{3}}{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.25 + t\_1 \cdot \left(t\_0 + \pi \cdot 1.5\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* -2.0 (acos (sqrt (+ 0.5 (* x -0.5)))))) (t_1 (+ PI t_0)))
   (/
    (- (* PI (* PI (* PI 0.125))) (pow t_1 3.0))
    (+ (* (* PI PI) 0.25) (* t_1 (+ t_0 (* PI 1.5)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = -2.0 * acos(sqrt((0.5 + (x * -0.5))));
	double t_1 = ((double) M_PI) + t_0;
	return ((((double) M_PI) * (((double) M_PI) * (((double) M_PI) * 0.125))) - pow(t_1, 3.0)) / (((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 0.25) + (t_1 * (t_0 + (((double) M_PI) * 1.5))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = -2.0 * Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (x * -0.5))));
	double t_1 = Math.PI + t_0;
	return ((Math.PI * (Math.PI * (Math.PI * 0.125))) - Math.pow(t_1, 3.0)) / (((Math.PI * Math.PI) * 0.25) + (t_1 * (t_0 + (Math.PI * 1.5))));
}

Python

def code(x):
	t_0 = -2.0 * math.acos(math.sqrt((0.5 + (x * -0.5))))
	t_1 = math.pi + t_0
	return ((math.pi * (math.pi * (math.pi * 0.125))) - math.pow(t_1, 3.0)) / (((math.pi * math.pi) * 0.25) + (t_1 * (t_0 + (math.pi * 1.5))))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(-2.0 * acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(x * -0.5)))))
	t_1 = Float64(pi + t_0)
	return Float64(Float64(Float64(pi * Float64(pi * Float64(pi * 0.125))) - (t_1 ^ 3.0)) / Float64(Float64(Float64(pi * pi) * 0.25) + Float64(t_1 * Float64(t_0 + Float64(pi * 1.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = -2.0 * acos(sqrt((0.5 + (x * -0.5))));
	t_1 = pi + t_0;
	tmp = ((pi * (pi * (pi * 0.125))) - (t_1 ^ 3.0)) / (((pi * pi) * 0.25) + (t_1 * (t_0 + (pi * 1.5))));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(-2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(Pi + t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(Pi * N[(Pi * N[(Pi * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[t$95$1, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 0.25), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(t$95$0 + N[(Pi * 1.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 7.6%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 9.5%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

6. Applied egg-rr 9.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{8} - {\left(\pi - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\frac{\pi \cdot \pi}{4} + \left(\pi - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \left(\pi - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} - {\left(\mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)}^{3}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)}} \]

9. Simplified 9.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot 0.125\right)\right) - {\left(\pi + \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right) \cdot -2\right)}^{3}}{0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(\pi \cdot 1.5 + \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right) \cdot -2\right) \cdot \left(\pi + \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right) \cdot -2\right)}} \]

10. Final simplification 9.5%

    \[\leadsto \frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot 0.125\right)\right) - {\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)\right)}^{3}}{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.25 + \left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)\right) \cdot \left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right) + \pi \cdot 1.5\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \pi \cdot -0.5 + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* PI -0.5) (* 2.0 (acos (sqrt (+ 0.5 (* x -0.5)))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) * -0.5) + (2.0 * acos(sqrt((0.5 + (x * -0.5)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI * -0.5) + (2.0 * Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (x * -0.5)))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi * -0.5) + (2.0 * math.acos(math.sqrt((0.5 + (x * -0.5)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi * -0.5) + Float64(2.0 * acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(x * -0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi * -0.5) + (2.0 * acos(sqrt((0.5 + (x * -0.5)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi * -0.5), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.6%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 9.5%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \left(\mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + -1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2} \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot -2\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot 2\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

7. Simplified 9.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\pi \cdot -0.5 + \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right) \cdot 2} \]

8. Final simplification 9.5%

   \[\leadsto \pi \cdot -0.5 + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 5.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \pi \cdot -0.5 + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ (* PI -0.5) (* 2.0 (acos (sqrt 0.5)))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) * -0.5) + (2.0 * acos(sqrt(0.5)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI * -0.5) + (2.0 * Math.acos(Math.sqrt(0.5)));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi * -0.5) + (2.0 * math.acos(math.sqrt(0.5)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi * -0.5) + Float64(2.0 * acos(sqrt(0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi * -0.5) + (2.0 * acos(sqrt(0.5)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi * -0.5), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.6%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 9.5%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \left(\mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + -1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2} \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot -2\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2\right)\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot 2\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

7. Simplified 9.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\pi \cdot -0.5 + \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right) \cdot 2} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right), 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right) \]

10. Simplified 5.5%

    \[\leadsto \pi \cdot -0.5 + \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{0.5}\right)} \cdot 2 \]

11. Final simplification 5.5%

    \[\leadsto \pi \cdot -0.5 + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024138 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))