Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 14.4s

Alternatives: 18

Speedup: 9.2×

• 99.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

\[x \geq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Alternative 1: 100.0% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{{\left(e^{x}\right)}^{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (/
   (*
    (pow (exp x) x)
    (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x))))
   (sqrt PI))
  x))

C

double code(double x) {
	return ((pow(exp(x), x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)))) / sqrt(((double) M_PI))) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.pow(Math.exp(x), x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)))) / Math.sqrt(Math.PI)) / x;
}

Python

def code(x):
	return ((math.pow(math.exp(x), x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)))) / math.sqrt(math.pi)) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64((exp(x) ^ x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x)))) / sqrt(pi)) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((exp(x) ^ x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)))) / sqrt(pi)) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Power[N[Exp[x], $MachinePrecision], x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\frac{1}{\frac{1}{x}}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{x}\right)}^{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{\left(e^{x}\right)}^{x}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\frac{1}{\frac{1}{x}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. remove-double-div 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right) \]

10. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto \frac{\frac{{\left(e^{x}\right)}^{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\color{blue}{x}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 9.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (/
   (*
    (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
    (exp (* x x)))
   (sqrt PI))
  x))

C

double code(double x) {
	return (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * exp((x * x))) / sqrt(((double) M_PI))) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * Math.exp((x * x))) / Math.sqrt(Math.PI)) / x;
}

Python

def code(x):
	return (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * math.exp((x * x))) / math.sqrt(math.pi)) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * exp(Float64(x * x))) / sqrt(pi)) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * exp((x * x))) / sqrt(pi)) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\frac{1}{\frac{1}{x}}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. remove-double-div 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right) \]

8. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\color{blue}{x}} \]

9. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 100.0% accurate, 9.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{x}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
  (/ x (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x / (exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x / (Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x / (math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x / Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x / (exp((x * x)) / sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x / N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. remove-double-div 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{\color{blue}{x}}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 9.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e^{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (exp (* x x))
  (/ (/ (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x))) (sqrt PI)) x)))

C

double code(double x) {
	return exp((x * x)) * (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) / sqrt(((double) M_PI))) / x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.exp((x * x)) * (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) / Math.sqrt(Math.PI)) / x);
}

Python

def code(x):
	return math.exp((x * x)) * (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) / math.sqrt(math.pi)) / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(exp(Float64(x * x)) * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / sqrt(pi)) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = exp((x * x)) * (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) / sqrt(pi)) / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

9. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \color{blue}{\frac{0.75}{x \cdot x}}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]
10. Step-by-step derivation

    1. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{x}} \]

    2. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x} \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto e^{x \cdot x} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}} \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right)}\right) \]

    5. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}{x}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{\color{blue}{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 98.6%

    \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.6% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (/ (* (exp (* x x)) (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))) (sqrt PI)) (/ 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return ((exp((x * x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / sqrt(((double) M_PI))) * (1.0 / x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.exp((x * x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / Math.sqrt(Math.PI)) * (1.0 / x);
}

Python

def code(x):
	return ((math.exp((x * x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / math.sqrt(math.pi)) * (1.0 / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) * Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x)))) / sqrt(pi)) * Float64(1.0 / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((exp((x * x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / sqrt(pi)) * (1.0 / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

9. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)}}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.5% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) (/ 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return (exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) * (1.0 / x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) * (1.0 / x);
}

Python

def code(x):
	return (math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) * (1.0 / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) * Float64(1.0 / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp((x * x)) / sqrt(pi)) * (1.0 / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(e^{{x}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

9. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{e^{x \cdot x}}}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 92.3% accurate, 10.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 - x \cdot x\\ t_1 := 0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ t_2 := x \cdot \left(x \cdot t\_1\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(t\_2 \cdot t\_2\right) + \left(1 + x \cdot x\right) \cdot t\_0}{x \cdot \left(x \cdot t\_2\right) + t\_0}}{\sqrt{\pi}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot t\_1\right)}{\sqrt{\pi}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- -1.0 (* x x)))
        (t_1 (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))
        (t_2 (* x (* x t_1))))
   (if (<= x 3.2e+51)
     (*
      (/ 1.0 x)
      (/
       (*
        (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
        (/
         (+ (* (* x (* x (* x x))) (* t_2 t_2)) (* (+ 1.0 (* x x)) t_0))
         (+ (* x (* x t_2)) t_0)))
       (sqrt PI)))
     (* (/ 1.0 x) (/ (+ 1.0 (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) t_1)))) (sqrt PI))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = -1.0 - (x * x);
	double t_1 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	double t_2 = x * (x * t_1);
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (1.0 / x) * (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((((x * (x * (x * x))) * (t_2 * t_2)) + ((1.0 + (x * x)) * t_0)) / ((x * (x * t_2)) + t_0))) / sqrt(((double) M_PI)));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_1)))) / sqrt(((double) M_PI)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = -1.0 - (x * x);
	double t_1 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	double t_2 = x * (x * t_1);
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (1.0 / x) * (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((((x * (x * (x * x))) * (t_2 * t_2)) + ((1.0 + (x * x)) * t_0)) / ((x * (x * t_2)) + t_0))) / Math.sqrt(Math.PI));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_1)))) / Math.sqrt(Math.PI));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = -1.0 - (x * x)
	t_1 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)
	t_2 = x * (x * t_1)
	tmp = 0
	if x <= 3.2e+51:
		tmp = (1.0 / x) * (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((((x * (x * (x * x))) * (t_2 * t_2)) + ((1.0 + (x * x)) * t_0)) / ((x * (x * t_2)) + t_0))) / math.sqrt(math.pi))
	else:
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_1)))) / math.sqrt(math.pi))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(-1.0 - Float64(x * x))
	t_1 = Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))
	t_2 = Float64(x * Float64(x * t_1))
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))) * Float64(t_2 * t_2)) + Float64(Float64(1.0 + Float64(x * x)) * t_0)) / Float64(Float64(x * Float64(x * t_2)) + t_0))) / sqrt(pi)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * t_1)))) / sqrt(pi)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = -1.0 - (x * x);
	t_1 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	t_2 = x * (x * t_1);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = (1.0 / x) * (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((((x * (x * (x * x))) * (t_2 * t_2)) + ((1.0 + (x * x)) * t_0)) / ((x * (x * t_2)) + t_0))) / sqrt(pi));
	else
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_1)))) / sqrt(pi));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 - N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(x * N[(x * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 3.2e+51], N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$2 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(x * N[(x * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.2000000000000002e51

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 6.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   9. Simplified 6.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       3. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       4. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(1 + x \cdot x\right) + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + x \cdot x\right), \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       12. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       15. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 6.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 6.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(1 + x \cdot x\right) + \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

   13. Applied egg-rr 56.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) - \left(1 + x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot x\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) - \left(1 + x \cdot x\right)}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

   if 3.2000000000000002e51 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

   10. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{1}}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) + \left(1 + x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - x \cdot x\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) + \left(-1 - x \cdot x\right)}}{\sqrt{\pi}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 92.3% accurate, 11.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - t\_0\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(1 + t\_0\right)\right) \cdot t\_1\right)\right)}{1 + t\_1}}{\sqrt{\pi}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))
        (t_1 (* (* x x) (- -1.0 t_0))))
   (if (<= x 3.2e+51)
     (*
      (/ 1.0 x)
      (/
       (/
        (*
         (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
         (+ 1.0 (* x (* (* x (+ 1.0 t_0)) t_1))))
        (+ 1.0 t_1))
       (sqrt PI)))
     (*
      (/ 1.0 x)
      (/
       (+
        1.0
        (*
         (* x x)
         (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))
       (sqrt PI))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	double t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (1.0 / x) * ((((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (x * ((x * (1.0 + t_0)) * t_1)))) / (1.0 + t_1)) / sqrt(((double) M_PI)));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(((double) M_PI)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	double t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (1.0 / x) * ((((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (x * ((x * (1.0 + t_0)) * t_1)))) / (1.0 + t_1)) / Math.sqrt(Math.PI));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / Math.sqrt(Math.PI));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)))
	t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0)
	tmp = 0
	if x <= 3.2e+51:
		tmp = (1.0 / x) * ((((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (x * ((x * (1.0 + t_0)) * t_1)))) / (1.0 + t_1)) / math.sqrt(math.pi))
	else:
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / math.sqrt(math.pi))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * Float64(-1.0 - t_0))
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(1.0 + t_0)) * t_1)))) / Float64(1.0 + t_1)) / sqrt(pi)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = (1.0 / x) * ((((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (x * ((x * (1.0 + t_0)) * t_1)))) / (1.0 + t_1)) / sqrt(pi));
	else
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 3.2e+51], N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(N[(x * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.2000000000000002e51

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 6.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   9. Simplified 6.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       2. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right), \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 56.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

   if 3.2000000000000002e51 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

   10. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{1}}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 92.3% accurate, 11.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\\ t_2 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - t\_1\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_1\right)\right) \cdot t\_2\right)}{1 + t\_2}}{\sqrt{\pi}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot t\_0\right)}{\sqrt{\pi}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))
        (t_1 (* x (* x t_0)))
        (t_2 (* (* x x) (- -1.0 t_1))))
   (if (<= x 3.2e+51)
     (*
      (/ 1.0 x)
      (/
       (/
        (*
         (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x)))
         (+ 1.0 (* (* (* x x) (+ 1.0 t_1)) t_2)))
        (+ 1.0 t_2))
       (sqrt PI)))
     (* (/ 1.0 x) (/ (+ 1.0 (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) t_0)))) (sqrt PI))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	double t_1 = x * (x * t_0);
	double t_2 = (x * x) * (-1.0 - t_1);
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (1.0 / x) * ((((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_1)) * t_2))) / (1.0 + t_2)) / sqrt(((double) M_PI)));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_0)))) / sqrt(((double) M_PI)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	double t_1 = x * (x * t_0);
	double t_2 = (x * x) * (-1.0 - t_1);
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (1.0 / x) * ((((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_1)) * t_2))) / (1.0 + t_2)) / Math.sqrt(Math.PI));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_0)))) / Math.sqrt(Math.PI));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)
	t_1 = x * (x * t_0)
	t_2 = (x * x) * (-1.0 - t_1)
	tmp = 0
	if x <= 3.2e+51:
		tmp = (1.0 / x) * ((((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_1)) * t_2))) / (1.0 + t_2)) / math.sqrt(math.pi))
	else:
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_0)))) / math.sqrt(math.pi))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * t_0))
	t_2 = Float64(Float64(x * x) * Float64(-1.0 - t_1))
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + t_1)) * t_2))) / Float64(1.0 + t_2)) / sqrt(pi)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * t_0)))) / sqrt(pi)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	t_1 = x * (x * t_0);
	t_2 = (x * x) * (-1.0 - t_1);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = (1.0 / x) * ((((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_1)) * t_2))) / (1.0 + t_2)) / sqrt(pi));
	else
		tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_0)))) / sqrt(pi));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 3.2e+51], N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.2000000000000002e51

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 6.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   9. Simplified 6.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

   10. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       3. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       4. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 6.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   12. Simplified 6.0%

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       2. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right), \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 55.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

   if 3.2000000000000002e51 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

   10. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{1}}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 83.7% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+
   1.0
   (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))))
  (/
   (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
   (* x (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) * ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) * ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) * ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))))) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) * ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 84.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

9. Simplified 84.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]
10. Step-by-step derivation

    1. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{x}} \]

    2. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x} \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}} \]

    4. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot x}} \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

11. Applied egg-rr 84.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 83.8% accurate, 15.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (*
   (/ (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x))) (sqrt PI))
   (+
    1.0
    (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))))
  x))

C

double code(double x) {
	return (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) / sqrt(((double) M_PI))) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) / Math.sqrt(Math.PI)) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / x;
}

Python

def code(x):
	return (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) / math.sqrt(math.pi)) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / sqrt(pi)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) / sqrt(pi)) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 84.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

9. Simplified 84.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 84.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

12. Simplified 84.6%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

14. Applied egg-rr 84.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x}} \]

15. Final simplification 84.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{x} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 12: 83.8% accurate, 15.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} \cdot \frac{\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ 1.0 x)
  (/
   (*
    (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))
    (+
     1.0
     (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))))
   (sqrt PI))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) * (((1.0 + (0.5 / (x * x))) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(((double) M_PI)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) * (((1.0 + (0.5 / (x * x))) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / Math.sqrt(Math.PI));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) * (((1.0 + (0.5 / (x * x))) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / math.sqrt(math.pi))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) * (((1.0 + (0.5 / (x * x))) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(pi));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 84.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

9. Simplified 84.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 84.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

12. Simplified 84.6%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)}}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

13. Final simplification 84.6%

    \[\leadsto \frac{1}{x} \cdot \frac{\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 13: 83.8% accurate, 16.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ 1.0 x)
  (/
   (+
    1.0
    (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))
   (sqrt PI))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(((double) M_PI)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / Math.sqrt(Math.PI));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / math.sqrt(math.pi))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 84.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

9. Simplified 84.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

12. Simplified 84.6%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{1}}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

13. Final simplification 84.6%

    \[\leadsto \frac{1}{x} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 14: 52.4% accurate, 16.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} \cdot \frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(1 + x \cdot x\right)}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ 1.0 x)
  (/
   (* (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x))) (+ 1.0 (* x x)))
   (sqrt PI))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) * (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (x * x))) / sqrt(((double) M_PI)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) * (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (x * x))) / Math.sqrt(Math.PI));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) * (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (x * x))) / math.sqrt(math.pi))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(1.0 + Float64(x * x))) / sqrt(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) * (((1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (1.0 + (x * x))) / sqrt(pi));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

9. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \color{blue}{\frac{0.75}{x \cdot x}}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 55.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right) \]

12. Simplified 55.1%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x \cdot x\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{x} \]

13. Final simplification 55.1%

    \[\leadsto \frac{1}{x} \cdot \frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(1 + x \cdot x\right)}{\sqrt{\pi}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 15: 52.4% accurate, 17.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{0.5}{x \cdot x}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{1 + x \cdot x}{\sqrt{\pi}}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))
  (/ (/ 1.0 (/ 1.0 x)) (/ (+ 1.0 (* x x)) (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) / ((1.0 / (1.0 / x)) / ((1.0 + (x * x)) / sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) / ((1.0 / (1.0 / x)) / ((1.0 + (x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) / ((1.0 / (1.0 / x)) / ((1.0 + (x * x)) / math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) / Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 / x)) / Float64(Float64(1.0 + Float64(x * x)) / sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) / ((1.0 / (1.0 / x)) / ((1.0 + (x * x)) / sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 / N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 55.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 55.2%

   \[\leadsto \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}} \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{x}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 55.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{x}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 55.1%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \frac{0.5}{x \cdot x}}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{1 + x \cdot x}{\sqrt{\pi}}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 16: 52.4% accurate, 18.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{1 + x \cdot x}{\sqrt{\pi}}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ 1.0 (/ (/ 1.0 (/ 1.0 x)) (/ (+ 1.0 (* x x)) (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / ((1.0 / (1.0 / x)) / ((1.0 + (x * x)) / sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / ((1.0 / (1.0 / x)) / ((1.0 + (x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / ((1.0 / (1.0 / x)) / ((1.0 + (x * x)) / math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 / x)) / Float64(Float64(1.0 + Float64(x * x)) / sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / ((1.0 / (1.0 / x)) / ((1.0 + (x * x)) / sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[(1.0 / N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 55.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 55.2%

   \[\leadsto \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}} \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

12. Simplified 55.1%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{1 + x \cdot x}{\sqrt{\pi}}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 17: 5.4% accurate, 18.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(\left(1 + \frac{1.5}{x \cdot x}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* (+ 1.0 (/ 1.5 (* x x))) (sqrt (/ 1.0 PI)))))

C

double code(double x) {
	return x * ((1.0 + (1.5 / (x * x))) * sqrt((1.0 / ((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return x * ((1.0 + (1.5 / (x * x))) * Math.sqrt((1.0 / Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return x * ((1.0 + (1.5 / (x * x))) * math.sqrt((1.0 / math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(Float64(1.0 + Float64(1.5 / Float64(x * x))) * sqrt(Float64(1.0 / pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((1.0 + (1.5 / (x * x))) * sqrt((1.0 / pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[(1.0 + N[(1.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 55.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 55.2%

   \[\leadsto \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}} \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right) \]

    3. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + 1\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + 1\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), 1\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{2}}{{x}^{2}}\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \left({x}^{2}\right)\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \left(x \cdot x\right)\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), 1\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    12. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), 1\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f64 5.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), 1\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 5.6%

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(\frac{1.5}{x \cdot x} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)} \]

13. Final simplification 5.6%

    \[\leadsto x \cdot \left(\left(1 + \frac{1.5}{x \cdot x}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 18: 5.4% accurate, 20.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (sqrt PI)))

C

double code(double x) {
	return x / sqrt(((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return x / Math.sqrt(Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return x / math.sqrt(math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(x / sqrt(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / sqrt(pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 55.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 55.2%

   \[\leadsto \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}}{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}} \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f64 5.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 5.5%

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. sqrt-div N/A

       \[\leadsto x \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    3. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

    5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f64 5.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 5.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024138 
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5"
  :precision binary64
  :pre (>= x 0.5)
  (* (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x)))) (+ (+ (+ (/ 1.0 (fabs x)) (* (/ 1.0 2.0) (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 3.0 4.0) (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 15.0 8.0) (* (* (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x)))))))