Main:z from

Percentage Accurate: 92.0% → 97.9%

Time: 25.7s

Alternatives: 23

Speedup: 1.6×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y)))
   (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z)))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0d0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0d0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((y + 1.0)) - Math.sqrt(y))) + (Math.sqrt((z + 1.0)) - Math.sqrt(z))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((y + 1.0)) - math.sqrt(y))) + (math.sqrt((z + 1.0)) - math.sqrt(z))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) - sqrt(y))) + Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) - sqrt(z))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 92.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y)))
   (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z)))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0d0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0d0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((y + 1.0)) - Math.sqrt(y))) + (Math.sqrt((z + 1.0)) - Math.sqrt(z))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((y + 1.0)) - math.sqrt(y))) + (math.sqrt((z + 1.0)) - math.sqrt(z))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) - sqrt(y))) + Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) - sqrt(z))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\\ t_2 := \sqrt{x + 1}\\ t_3 := t\_2 - \sqrt{x}\\ t_4 := \sqrt{1 + t}\\ t_5 := \sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\\ t_6 := \left(t\_3 + t\_5\right) + t\_1\\ \mathbf{if}\;t\_6 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;t\_5 + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_6 \leq 2.00001:\\ \;\;\;\;\left(t\_4 - \sqrt{t}\right) + \left(\left(t\_3 + \frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t\_1 + \left(\left(1 + t\_2\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{\frac{\sqrt{t} + t\_4}{\left(1 + t\right) - t}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)))
        (t_2 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_3 (- t_2 (sqrt x)))
        (t_4 (sqrt (+ 1.0 t)))
        (t_5 (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)))
        (t_6 (+ (+ t_3 t_5) t_1)))
   (if (<= t_6 0.0001)
     (+
      t_5
      (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))))
     (if (<= t_6 2.00001)
       (+
        (- t_4 (sqrt t))
        (+
         (+ t_3 (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) (pow (+ 1.0 y) 0.5))))
         (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z)))))
       (+
        (+
         t_1
         (+ (+ 1.0 t_2) (- (* y (+ 0.5 (* y -0.125))) (+ (sqrt x) (sqrt y)))))
        (/ 1.0 (/ (+ (sqrt t) t_4) (- (+ 1.0 t) t))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	double t_2 = sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = t_2 - sqrt(x);
	double t_4 = sqrt((1.0 + t));
	double t_5 = sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y);
	double t_6 = (t_3 + t_5) + t_1;
	double tmp;
	if (t_6 <= 0.0001) {
		tmp = t_5 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else if (t_6 <= 2.00001) {
		tmp = (t_4 - sqrt(t)) + ((t_3 + (((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + pow((1.0 + y), 0.5)))) + (0.5 * sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = (t_1 + ((1.0 + t_2) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (sqrt(x) + sqrt(y))))) + (1.0 / ((sqrt(t) + t_4) / ((1.0 + t) - t)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)
    t_2 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_3 = t_2 - sqrt(x)
    t_4 = sqrt((1.0d0 + t))
    t_5 = sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)
    t_6 = (t_3 + t_5) + t_1
    if (t_6 <= 0.0001d0) then
        tmp = t_5 + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))))
    else if (t_6 <= 2.00001d0) then
        tmp = (t_4 - sqrt(t)) + ((t_3 + (((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + ((1.0d0 + y) ** 0.5d0)))) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))))
    else
        tmp = (t_1 + ((1.0d0 + t_2) + ((y * (0.5d0 + (y * (-0.125d0)))) - (sqrt(x) + sqrt(y))))) + (1.0d0 / ((sqrt(t) + t_4) / ((1.0d0 + t) - t)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z);
	double t_2 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = t_2 - Math.sqrt(x);
	double t_4 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double t_5 = Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y);
	double t_6 = (t_3 + t_5) + t_1;
	double tmp;
	if (t_6 <= 0.0001) {
		tmp = t_5 + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else if (t_6 <= 2.00001) {
		tmp = (t_4 - Math.sqrt(t)) + ((t_3 + (((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + Math.pow((1.0 + y), 0.5)))) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = (t_1 + ((1.0 + t_2) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y))))) + (1.0 / ((Math.sqrt(t) + t_4) / ((1.0 + t) - t)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)
	t_2 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_3 = t_2 - math.sqrt(x)
	t_4 = math.sqrt((1.0 + t))
	t_5 = math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)
	t_6 = (t_3 + t_5) + t_1
	tmp = 0
	if t_6 <= 0.0001:
		tmp = t_5 + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))))
	elif t_6 <= 2.00001:
		tmp = (t_4 - math.sqrt(t)) + ((t_3 + (((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + math.pow((1.0 + y), 0.5)))) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / z))))
	else:
		tmp = (t_1 + ((1.0 + t_2) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))))) + (1.0 / ((math.sqrt(t) + t_4) / ((1.0 + t) - t)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))
	t_2 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_3 = Float64(t_2 - sqrt(x))
	t_4 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	t_5 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))
	t_6 = Float64(Float64(t_3 + t_5) + t_1)
	tmp = 0.0
	if (t_6 <= 0.0001)
		tmp = Float64(t_5 + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x)))))));
	elseif (t_6 <= 2.00001)
		tmp = Float64(Float64(t_4 - sqrt(t)) + Float64(Float64(t_3 + Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + (Float64(1.0 + y) ^ 0.5)))) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_1 + Float64(Float64(1.0 + t_2) + Float64(Float64(y * Float64(0.5 + Float64(y * -0.125))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))))) + Float64(1.0 / Float64(Float64(sqrt(t) + t_4) / Float64(Float64(1.0 + t) - t))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	t_2 = sqrt((x + 1.0));
	t_3 = t_2 - sqrt(x);
	t_4 = sqrt((1.0 + t));
	t_5 = sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y);
	t_6 = (t_3 + t_5) + t_1;
	tmp = 0.0;
	if (t_6 <= 0.0001)
		tmp = t_5 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	elseif (t_6 <= 2.00001)
		tmp = (t_4 - sqrt(t)) + ((t_3 + (((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + ((1.0 + y) ^ 0.5)))) + (0.5 * sqrt((1.0 / z))));
	else
		tmp = (t_1 + ((1.0 + t_2) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (sqrt(x) + sqrt(y))))) + (1.0 / ((sqrt(t) + t_4) / ((1.0 + t) - t)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(N[(t$95$3 + t$95$5), $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$6, 0.0001], N[(t$95$5 + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$6, 2.00001], N[(N[(t$95$4 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$3 + N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + y), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$1 + N[(N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision] + N[(N[(y * N[(0.5 + N[(y * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + t), $MachinePrecision] - t), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 47.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 47.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 47.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right) - \sqrt{y}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{\color{blue}{y}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)}\right) \]

   11. Simplified 23.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

   if 1.00000000000000005e-4 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.00001000000000007

   1. Initial program 96.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 50.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 50.2%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(y + 1\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left({\left(1 + y\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left({\left(y + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(y + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + y\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 50.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 50.2%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.00001000000000007 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 89.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.8%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}\right)}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1}} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\sqrt{t + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt{t + 1}} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\left(1 + t\right) - \color{blue}{\sqrt{t}} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\left(1 + t\right) - t\right)\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), \color{blue}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 89.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 89.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}}{\left(1 + t\right) - t}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 53.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 2.00001:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(1 + \sqrt{x + 1}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{\frac{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}{\left(1 + t\right) - t}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.7% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\\ t_2 := \sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\\ t_3 := \sqrt{x + 1}\\ t_4 := t\_3 - \sqrt{x}\\ t_5 := \left(t\_4 + t\_2\right) + t\_1\\ t_6 := \sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\\ \mathbf{if}\;t\_5 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;t\_2 + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_5 \leq 2.00001:\\ \;\;\;\;t\_6 + \left(\left(t\_4 + \frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_6 + \left(t\_1 + \left(\left(1 + t\_3\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)))
        (t_2 (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)))
        (t_3 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_4 (- t_3 (sqrt x)))
        (t_5 (+ (+ t_4 t_2) t_1))
        (t_6 (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))))
   (if (<= t_5 0.0001)
     (+
      t_2
      (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))))
     (if (<= t_5 2.00001)
       (+
        t_6
        (+
         (+ t_4 (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) (pow (+ 1.0 y) 0.5))))
         (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z)))))
       (+
        t_6
        (+
         t_1
         (+
          (+ 1.0 t_3)
          (- (* y (+ 0.5 (* y -0.125))) (+ (sqrt x) (sqrt y))))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	double t_2 = sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y);
	double t_3 = sqrt((x + 1.0));
	double t_4 = t_3 - sqrt(x);
	double t_5 = (t_4 + t_2) + t_1;
	double t_6 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.0001) {
		tmp = t_2 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else if (t_5 <= 2.00001) {
		tmp = t_6 + ((t_4 + (((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + pow((1.0 + y), 0.5)))) + (0.5 * sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = t_6 + (t_1 + ((1.0 + t_3) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)
    t_2 = sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)
    t_3 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_4 = t_3 - sqrt(x)
    t_5 = (t_4 + t_2) + t_1
    t_6 = sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)
    if (t_5 <= 0.0001d0) then
        tmp = t_2 + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))))
    else if (t_5 <= 2.00001d0) then
        tmp = t_6 + ((t_4 + (((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + ((1.0d0 + y) ** 0.5d0)))) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))))
    else
        tmp = t_6 + (t_1 + ((1.0d0 + t_3) + ((y * (0.5d0 + (y * (-0.125d0)))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z);
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y);
	double t_3 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_4 = t_3 - Math.sqrt(x);
	double t_5 = (t_4 + t_2) + t_1;
	double t_6 = Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t);
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.0001) {
		tmp = t_2 + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else if (t_5 <= 2.00001) {
		tmp = t_6 + ((t_4 + (((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + Math.pow((1.0 + y), 0.5)))) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))));
	} else {
		tmp = t_6 + (t_1 + ((1.0 + t_3) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)
	t_2 = math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)
	t_3 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_4 = t_3 - math.sqrt(x)
	t_5 = (t_4 + t_2) + t_1
	t_6 = math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)
	tmp = 0
	if t_5 <= 0.0001:
		tmp = t_2 + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))))
	elif t_5 <= 2.00001:
		tmp = t_6 + ((t_4 + (((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + math.pow((1.0 + y), 0.5)))) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / z))))
	else:
		tmp = t_6 + (t_1 + ((1.0 + t_3) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))
	t_2 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))
	t_3 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_4 = Float64(t_3 - sqrt(x))
	t_5 = Float64(Float64(t_4 + t_2) + t_1)
	t_6 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t))
	tmp = 0.0
	if (t_5 <= 0.0001)
		tmp = Float64(t_2 + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x)))))));
	elseif (t_5 <= 2.00001)
		tmp = Float64(t_6 + Float64(Float64(t_4 + Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + (Float64(1.0 + y) ^ 0.5)))) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z)))));
	else
		tmp = Float64(t_6 + Float64(t_1 + Float64(Float64(1.0 + t_3) + Float64(Float64(y * Float64(0.5 + Float64(y * -0.125))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	t_2 = sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y);
	t_3 = sqrt((x + 1.0));
	t_4 = t_3 - sqrt(x);
	t_5 = (t_4 + t_2) + t_1;
	t_6 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	tmp = 0.0;
	if (t_5 <= 0.0001)
		tmp = t_2 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	elseif (t_5 <= 2.00001)
		tmp = t_6 + ((t_4 + (((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + ((1.0 + y) ^ 0.5)))) + (0.5 * sqrt((1.0 / z))));
	else
		tmp = t_6 + (t_1 + ((1.0 + t_3) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$3 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(t$95$4 + t$95$2), $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$5, 0.0001], N[(t$95$2 + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$5, 2.00001], N[(t$95$6 + N[(N[(t$95$4 + N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + y), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$6 + N[(t$95$1 + N[(N[(1.0 + t$95$3), $MachinePrecision] + N[(N[(y * N[(0.5 + N[(y * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 47.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 47.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 47.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right) - \sqrt{y}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{\color{blue}{y}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)}\right) \]

   11. Simplified 23.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

   if 1.00000000000000005e-4 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.00001000000000007

   1. Initial program 96.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 50.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 50.2%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(y + 1\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left({\left(1 + y\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left({\left(y + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(y + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + y\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 50.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 50.2%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.00001000000000007 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 89.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.8%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 53.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 2.00001:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(1 + \sqrt{x + 1}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\\ t_2 := \sqrt{1 + y}\\ t_3 := t\_2 - \sqrt{y}\\ t_4 := \sqrt{x + 1}\\ t_5 := \left(\left(t\_4 - \sqrt{x}\right) + t\_3\right) + t\_1\\ t_6 := \sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\\ \mathbf{if}\;t\_5 \leq 0.1:\\ \;\;\;\;t\_3 + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_5 \leq 2.00001:\\ \;\;\;\;t\_6 + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + t\_2} + \left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_6 + \left(t\_1 + \left(\left(1 + t\_4\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_3 (- t_2 (sqrt y)))
        (t_4 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_5 (+ (+ (- t_4 (sqrt x)) t_3) t_1))
        (t_6 (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))))
   (if (<= t_5 0.1)
     (+
      t_3
      (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))))
     (if (<= t_5 2.00001)
       (+
        t_6
        (+
         (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z)))
         (+
          (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) t_2))
          (+ 1.0 (- (* x 0.5) (sqrt x))))))
       (+
        t_6
        (+
         t_1
         (+
          (+ 1.0 t_4)
          (- (* y (+ 0.5 (* y -0.125))) (+ (sqrt x) (sqrt y))))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	double t_2 = sqrt((1.0 + y));
	double t_3 = t_2 - sqrt(y);
	double t_4 = sqrt((x + 1.0));
	double t_5 = ((t_4 - sqrt(x)) + t_3) + t_1;
	double t_6 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.1) {
		tmp = t_3 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else if (t_5 <= 2.00001) {
		tmp = t_6 + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_2)) + (1.0 + ((x * 0.5) - sqrt(x)))));
	} else {
		tmp = t_6 + (t_1 + ((1.0 + t_4) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)
    t_2 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_3 = t_2 - sqrt(y)
    t_4 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_5 = ((t_4 - sqrt(x)) + t_3) + t_1
    t_6 = sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)
    if (t_5 <= 0.1d0) then
        tmp = t_3 + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))))
    else if (t_5 <= 2.00001d0) then
        tmp = t_6 + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + ((((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_2)) + (1.0d0 + ((x * 0.5d0) - sqrt(x)))))
    else
        tmp = t_6 + (t_1 + ((1.0d0 + t_4) + ((y * (0.5d0 + (y * (-0.125d0)))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z);
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_3 = t_2 - Math.sqrt(y);
	double t_4 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_5 = ((t_4 - Math.sqrt(x)) + t_3) + t_1;
	double t_6 = Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t);
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.1) {
		tmp = t_3 + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else if (t_5 <= 2.00001) {
		tmp = t_6 + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + t_2)) + (1.0 + ((x * 0.5) - Math.sqrt(x)))));
	} else {
		tmp = t_6 + (t_1 + ((1.0 + t_4) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)
	t_2 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_3 = t_2 - math.sqrt(y)
	t_4 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_5 = ((t_4 - math.sqrt(x)) + t_3) + t_1
	t_6 = math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)
	tmp = 0
	if t_5 <= 0.1:
		tmp = t_3 + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))))
	elif t_5 <= 2.00001:
		tmp = t_6 + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + t_2)) + (1.0 + ((x * 0.5) - math.sqrt(x)))))
	else:
		tmp = t_6 + (t_1 + ((1.0 + t_4) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_3 = Float64(t_2 - sqrt(y))
	t_4 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_5 = Float64(Float64(Float64(t_4 - sqrt(x)) + t_3) + t_1)
	t_6 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t))
	tmp = 0.0
	if (t_5 <= 0.1)
		tmp = Float64(t_3 + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x)))))));
	elseif (t_5 <= 2.00001)
		tmp = Float64(t_6 + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + t_2)) + Float64(1.0 + Float64(Float64(x * 0.5) - sqrt(x))))));
	else
		tmp = Float64(t_6 + Float64(t_1 + Float64(Float64(1.0 + t_4) + Float64(Float64(y * Float64(0.5 + Float64(y * -0.125))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	t_2 = sqrt((1.0 + y));
	t_3 = t_2 - sqrt(y);
	t_4 = sqrt((x + 1.0));
	t_5 = ((t_4 - sqrt(x)) + t_3) + t_1;
	t_6 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	tmp = 0.0;
	if (t_5 <= 0.1)
		tmp = t_3 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	elseif (t_5 <= 2.00001)
		tmp = t_6 + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_2)) + (1.0 + ((x * 0.5) - sqrt(x)))));
	else
		tmp = t_6 + (t_1 + ((1.0 + t_4) + ((y * (0.5 + (y * -0.125))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(N[(t$95$4 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$3), $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$5, 0.1], N[(t$95$3 + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$5, 2.00001], N[(t$95$6 + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$6 + N[(t$95$1 + N[(N[(1.0 + t$95$4), $MachinePrecision] + N[(N[(y * N[(0.5 + N[(y * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 0.10000000000000001

   1. Initial program 49.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 46.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 46.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right) - \sqrt{y}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{\color{blue}{y}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)}\right) \]

   11. Simplified 23.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

   if 0.10000000000000001 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.00001000000000007

   1. Initial program 96.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 50.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 50.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 35.4%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 35.4%

       \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.00001000000000007 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 89.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.8%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 42.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0.1:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 2.00001:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(1 + \sqrt{x + 1}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\\ t_2 := \sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\\ t_3 := \sqrt{1 + y}\\ t_4 := t\_3 - \sqrt{y}\\ t_5 := \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + t\_4\right) + t\_1\\ t_6 := 1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\\ \mathbf{if}\;t\_5 \leq 0.1:\\ \;\;\;\;t\_4 + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_5 \leq 2.00001:\\ \;\;\;\;t\_2 + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + t\_3} + t\_6\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 + \left(t\_1 + \left(t\_4 + t\_6\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)))
        (t_2 (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t)))
        (t_3 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_4 (- t_3 (sqrt y)))
        (t_5 (+ (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) t_4) t_1))
        (t_6 (+ 1.0 (- (* x 0.5) (sqrt x)))))
   (if (<= t_5 0.1)
     (+
      t_4
      (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))))
     (if (<= t_5 2.00001)
       (+
        t_2
        (+
         (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z)))
         (+ (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) t_3)) t_6)))
       (+ t_2 (+ t_1 (+ t_4 t_6)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	double t_2 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	double t_3 = sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = t_3 - sqrt(y);
	double t_5 = ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_4) + t_1;
	double t_6 = 1.0 + ((x * 0.5) - sqrt(x));
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.1) {
		tmp = t_4 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else if (t_5 <= 2.00001) {
		tmp = t_2 + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_3)) + t_6));
	} else {
		tmp = t_2 + (t_1 + (t_4 + t_6));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)
    t_2 = sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)
    t_3 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_4 = t_3 - sqrt(y)
    t_5 = ((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + t_4) + t_1
    t_6 = 1.0d0 + ((x * 0.5d0) - sqrt(x))
    if (t_5 <= 0.1d0) then
        tmp = t_4 + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))))
    else if (t_5 <= 2.00001d0) then
        tmp = t_2 + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + ((((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_3)) + t_6))
    else
        tmp = t_2 + (t_1 + (t_4 + t_6))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z);
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t);
	double t_3 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = t_3 - Math.sqrt(y);
	double t_5 = ((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + t_4) + t_1;
	double t_6 = 1.0 + ((x * 0.5) - Math.sqrt(x));
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.1) {
		tmp = t_4 + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else if (t_5 <= 2.00001) {
		tmp = t_2 + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + t_3)) + t_6));
	} else {
		tmp = t_2 + (t_1 + (t_4 + t_6));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)
	t_2 = math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)
	t_3 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_4 = t_3 - math.sqrt(y)
	t_5 = ((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + t_4) + t_1
	t_6 = 1.0 + ((x * 0.5) - math.sqrt(x))
	tmp = 0
	if t_5 <= 0.1:
		tmp = t_4 + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))))
	elif t_5 <= 2.00001:
		tmp = t_2 + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + t_3)) + t_6))
	else:
		tmp = t_2 + (t_1 + (t_4 + t_6))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))
	t_2 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t))
	t_3 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_4 = Float64(t_3 - sqrt(y))
	t_5 = Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_4) + t_1)
	t_6 = Float64(1.0 + Float64(Float64(x * 0.5) - sqrt(x)))
	tmp = 0.0
	if (t_5 <= 0.1)
		tmp = Float64(t_4 + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x)))))));
	elseif (t_5 <= 2.00001)
		tmp = Float64(t_2 + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + t_3)) + t_6)));
	else
		tmp = Float64(t_2 + Float64(t_1 + Float64(t_4 + t_6)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	t_2 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	t_3 = sqrt((1.0 + y));
	t_4 = t_3 - sqrt(y);
	t_5 = ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_4) + t_1;
	t_6 = 1.0 + ((x * 0.5) - sqrt(x));
	tmp = 0.0;
	if (t_5 <= 0.1)
		tmp = t_4 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	elseif (t_5 <= 2.00001)
		tmp = t_2 + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_3)) + t_6));
	else
		tmp = t_2 + (t_1 + (t_4 + t_6));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$3 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(1.0 + N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$5, 0.1], N[(t$95$4 + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$5, 2.00001], N[(t$95$2 + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 + N[(t$95$1 + N[(t$95$4 + t$95$6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 0.10000000000000001

   1. Initial program 49.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 46.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 46.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right) - \sqrt{y}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{\color{blue}{y}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)}\right) \]

   11. Simplified 23.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

   if 0.10000000000000001 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.00001000000000007

   1. Initial program 96.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 50.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 50.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 35.4%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 35.4%

       \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.00001000000000007 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 99.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 43.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0.1:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 2.00001:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ t_2 := \sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\\ t_3 := \sqrt{1 + y}\\ t_4 := t\_3 - \sqrt{y}\\ t_5 := \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + t\_4\right) + \left(t\_1 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{if}\;t\_5 \leq 0.1:\\ \;\;\;\;t\_4 + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_5 \leq 2.00001:\\ \;\;\;\;t\_2 + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + t\_3} + \left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 + \left(\left(\left(1 + t\_3\right) + t\_1\right) - \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z)))
        (t_2 (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t)))
        (t_3 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_4 (- t_3 (sqrt y)))
        (t_5 (+ (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) t_4) (- t_1 (sqrt z)))))
   (if (<= t_5 0.1)
     (+
      t_4
      (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))))
     (if (<= t_5 2.00001)
       (+
        t_2
        (+
         (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z)))
         (+
          (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) t_3))
          (+ 1.0 (- (* x 0.5) (sqrt x))))))
       (+ t_2 (- (+ (+ 1.0 t_3) t_1) (+ (sqrt y) (+ (sqrt x) (sqrt z)))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	double t_3 = sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = t_3 - sqrt(y);
	double t_5 = ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_4) + (t_1 - sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.1) {
		tmp = t_4 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else if (t_5 <= 2.00001) {
		tmp = t_2 + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_3)) + (1.0 + ((x * 0.5) - sqrt(x)))));
	} else {
		tmp = t_2 + (((1.0 + t_3) + t_1) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)
    t_3 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_4 = t_3 - sqrt(y)
    t_5 = ((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + t_4) + (t_1 - sqrt(z))
    if (t_5 <= 0.1d0) then
        tmp = t_4 + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))))
    else if (t_5 <= 2.00001d0) then
        tmp = t_2 + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + ((((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_3)) + (1.0d0 + ((x * 0.5d0) - sqrt(x)))))
    else
        tmp = t_2 + (((1.0d0 + t_3) + t_1) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t);
	double t_3 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = t_3 - Math.sqrt(y);
	double t_5 = ((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + t_4) + (t_1 - Math.sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.1) {
		tmp = t_4 + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else if (t_5 <= 2.00001) {
		tmp = t_2 + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + t_3)) + (1.0 + ((x * 0.5) - Math.sqrt(x)))));
	} else {
		tmp = t_2 + (((1.0 + t_3) + t_1) - (Math.sqrt(y) + (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(z))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)
	t_3 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_4 = t_3 - math.sqrt(y)
	t_5 = ((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + t_4) + (t_1 - math.sqrt(z))
	tmp = 0
	if t_5 <= 0.1:
		tmp = t_4 + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))))
	elif t_5 <= 2.00001:
		tmp = t_2 + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + t_3)) + (1.0 + ((x * 0.5) - math.sqrt(x)))))
	else:
		tmp = t_2 + (((1.0 + t_3) + t_1) - (math.sqrt(y) + (math.sqrt(x) + math.sqrt(z))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_2 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t))
	t_3 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_4 = Float64(t_3 - sqrt(y))
	t_5 = Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_4) + Float64(t_1 - sqrt(z)))
	tmp = 0.0
	if (t_5 <= 0.1)
		tmp = Float64(t_4 + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x)))))));
	elseif (t_5 <= 2.00001)
		tmp = Float64(t_2 + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + t_3)) + Float64(1.0 + Float64(Float64(x * 0.5) - sqrt(x))))));
	else
		tmp = Float64(t_2 + Float64(Float64(Float64(1.0 + t_3) + t_1) - Float64(sqrt(y) + Float64(sqrt(x) + sqrt(z)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	t_2 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	t_3 = sqrt((1.0 + y));
	t_4 = t_3 - sqrt(y);
	t_5 = ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_4) + (t_1 - sqrt(z));
	tmp = 0.0;
	if (t_5 <= 0.1)
		tmp = t_4 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	elseif (t_5 <= 2.00001)
		tmp = t_2 + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_3)) + (1.0 + ((x * 0.5) - sqrt(x)))));
	else
		tmp = t_2 + (((1.0 + t_3) + t_1) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$3 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$5, 0.1], N[(t$95$4 + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$5, 2.00001], N[(t$95$2 + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 + N[(N[(N[(1.0 + t$95$3), $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 0.10000000000000001

   1. Initial program 49.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 46.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 46.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right) - \sqrt{y}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{\color{blue}{y}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)}\right) \]

   11. Simplified 23.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

   if 0.10000000000000001 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.00001000000000007

   1. Initial program 96.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 50.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 50.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 35.4%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 35.4%

       \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.00001000000000007 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 43.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0.1:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 2.00001:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\\ t_2 := \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + t\_1\\ \mathbf{if}\;t\_2 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t\_2 + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}\right) + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)))
        (t_2 (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) t_1)))
   (if (<= t_2 0.0001)
     (+
      t_1
      (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))))
     (+
      (+ t_2 (/ (- (+ 1.0 z) z) (+ (sqrt z) (pow (+ 1.0 z) 0.5))))
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y);
	double t_2 = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_1;
	double tmp;
	if (t_2 <= 0.0001) {
		tmp = t_1 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else {
		tmp = (t_2 + (((1.0 + z) - z) / (sqrt(z) + pow((1.0 + z), 0.5)))) + (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)
    t_2 = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + t_1
    if (t_2 <= 0.0001d0) then
        tmp = t_1 + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))))
    else
        tmp = (t_2 + (((1.0d0 + z) - z) / (sqrt(z) + ((1.0d0 + z) ** 0.5d0)))) + (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y);
	double t_2 = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + t_1;
	double tmp;
	if (t_2 <= 0.0001) {
		tmp = t_1 + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else {
		tmp = (t_2 + (((1.0 + z) - z) / (Math.sqrt(z) + Math.pow((1.0 + z), 0.5)))) + (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)
	t_2 = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + t_1
	tmp = 0
	if t_2 <= 0.0001:
		tmp = t_1 + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))))
	else:
		tmp = (t_2 + (((1.0 + z) - z) / (math.sqrt(z) + math.pow((1.0 + z), 0.5)))) + (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))
	t_2 = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_1)
	tmp = 0.0
	if (t_2 <= 0.0001)
		tmp = Float64(t_1 + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_2 + Float64(Float64(Float64(1.0 + z) - z) / Float64(sqrt(z) + (Float64(1.0 + z) ^ 0.5)))) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y);
	t_2 = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_1;
	tmp = 0.0;
	if (t_2 <= 0.0001)
		tmp = t_1 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	else
		tmp = (t_2 + (((1.0 + z) - z) / (sqrt(z) + ((1.0 + z) ^ 0.5)))) + (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$2, 0.0001], N[(t$95$1 + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$2 + N[(N[(N[(1.0 + z), $MachinePrecision] - z), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + z), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 75.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 27.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right) - \sqrt{y}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{\color{blue}{y}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)}\right) \]

   11. Simplified 14.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

   if 1.00000000000000005e-4 < (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y)))

   1. Initial program 97.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(z + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(z + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 97.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}\right) + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.6% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ t_2 := \sqrt{1 + y}\\ t_3 := t\_2 - \sqrt{y}\\ \mathbf{if}\;t\_1 + t\_3 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;t\_3 + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(t\_1 + \frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + t\_2}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_3 (- t_2 (sqrt y))))
   (if (<= (+ t_1 t_3) 0.0001)
     (+
      t_3
      (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))))
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+
       (+ t_1 (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) t_2)))
       (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	double t_2 = sqrt((1.0 + y));
	double t_3 = t_2 - sqrt(y);
	double tmp;
	if ((t_1 + t_3) <= 0.0001) {
		tmp = t_3 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((t_1 + (((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_2))) + (sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    t_2 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_3 = t_2 - sqrt(y)
    if ((t_1 + t_3) <= 0.0001d0) then
        tmp = t_3 + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))))
    else
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + ((t_1 + (((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_2))) + (sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_3 = t_2 - Math.sqrt(y);
	double tmp;
	if ((t_1 + t_3) <= 0.0001) {
		tmp = t_3 + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + ((t_1 + (((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + t_2))) + (Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	t_2 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_3 = t_2 - math.sqrt(y)
	tmp = 0
	if (t_1 + t_3) <= 0.0001:
		tmp = t_3 + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))))
	else:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + ((t_1 + (((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + t_2))) + (math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_3 = Float64(t_2 - sqrt(y))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_1 + t_3) <= 0.0001)
		tmp = Float64(t_3 + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(t_1 + Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + t_2))) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	t_2 = sqrt((1.0 + y));
	t_3 = t_2 - sqrt(y);
	tmp = 0.0;
	if ((t_1 + t_3) <= 0.0001)
		tmp = t_3 + ((0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))));
	else
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((t_1 + (((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_2))) + (sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$1 + t$95$3), $MachinePrecision], 0.0001], N[(t$95$3 + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 + N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 75.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 27.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right) - \sqrt{y}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{\color{blue}{y}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)}\right) \]

   11. Simplified 14.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)} \]

   if 1.00000000000000005e-4 < (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y)))

   1. Initial program 97.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(y + 1\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 97.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.2%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq 0.00025:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t\_1 + \left(\left(1 + \sqrt{x + 1}\right) + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) + \frac{1}{\frac{\sqrt{t} + {\left(1 + t\right)}^{0.5}}{\left(1 + t\right) - t}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z))))
   (if (<= t_1 0.00025)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+
       (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z)))
       (+
        (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) (sqrt (+ 1.0 y))))
        (+ 1.0 (- (* x 0.5) (sqrt x))))))
     (+
      (+ t_1 (+ (+ 1.0 (sqrt (+ x 1.0))) (* -0.125 (* y y))))
      (/ 1.0 (/ (+ (sqrt t) (pow (+ 1.0 t) 0.5)) (- (+ 1.0 t) t)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.00025) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 + ((x * 0.5) - sqrt(x)))));
	} else {
		tmp = (t_1 + ((1.0 + sqrt((x + 1.0))) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((sqrt(t) + pow((1.0 + t), 0.5)) / ((1.0 + t) - t)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)
    if (t_1 <= 0.00025d0) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + ((((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + sqrt((1.0d0 + y)))) + (1.0d0 + ((x * 0.5d0) - sqrt(x)))))
    else
        tmp = (t_1 + ((1.0d0 + sqrt((x + 1.0d0))) + ((-0.125d0) * (y * y)))) + (1.0d0 / ((sqrt(t) + ((1.0d0 + t) ** 0.5d0)) / ((1.0d0 + t) - t)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z);
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.00025) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + Math.sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 + ((x * 0.5) - Math.sqrt(x)))));
	} else {
		tmp = (t_1 + ((1.0 + Math.sqrt((x + 1.0))) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((Math.sqrt(t) + Math.pow((1.0 + t), 0.5)) / ((1.0 + t) - t)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)
	tmp = 0
	if t_1 <= 0.00025:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + math.sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 + ((x * 0.5) - math.sqrt(x)))))
	else:
		tmp = (t_1 + ((1.0 + math.sqrt((x + 1.0))) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((math.sqrt(t) + math.pow((1.0 + t), 0.5)) / ((1.0 + t) - t)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= 0.00025)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + sqrt(Float64(1.0 + y)))) + Float64(1.0 + Float64(Float64(x * 0.5) - sqrt(x))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_1 + Float64(Float64(1.0 + sqrt(Float64(x + 1.0))) + Float64(-0.125 * Float64(y * y)))) + Float64(1.0 / Float64(Float64(sqrt(t) + (Float64(1.0 + t) ^ 0.5)) / Float64(Float64(1.0 + t) - t))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= 0.00025)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)))) + (1.0 + ((x * 0.5) - sqrt(x)))));
	else
		tmp = (t_1 + ((1.0 + sqrt((x + 1.0))) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((sqrt(t) + ((1.0 + t) ^ 0.5)) / ((1.0 + t) - t)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, 0.00025], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$1 + N[(N[(1.0 + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + t), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + t), $MachinePrecision] - t), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)) < 2.5000000000000001e-4

   1. Initial program 85.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 90.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.7%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 55.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.2%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 55.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 55.2%

       \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.5000000000000001e-4 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 30.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 24.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 24.6%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}\right)}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1}} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(t + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(t + 1\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + t\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\sqrt{t + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt{t + 1}} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\left(t + 1\right) - \color{blue}{\sqrt{t}} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\left(t + 1\right) - t\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(t + 1\right), \color{blue}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 24.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 24.6%

       \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{\frac{{\left(1 + t\right)}^{0.5} + \sqrt{t}}{\left(1 + t\right) - t}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 38.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \leq 0.00025:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(1 + \sqrt{x + 1}\right) + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) + \frac{1}{\frac{\sqrt{t} + {\left(1 + t\right)}^{0.5}}{\left(1 + t\right) - t}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 92.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq 0.00025:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t\_1 + \left(\left(1 + \sqrt{x + 1}\right) + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) + \frac{1}{\frac{\sqrt{t} + {\left(1 + t\right)}^{0.5}}{\left(1 + t\right) - t}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z))))
   (if (<= t_1 0.00025)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+
       (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z)))
       (+ (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)) (+ 1.0 (- (* x 0.5) (sqrt x))))))
     (+
      (+ t_1 (+ (+ 1.0 (sqrt (+ x 1.0))) (* -0.125 (* y y))))
      (/ 1.0 (/ (+ (sqrt t) (pow (+ 1.0 t) 0.5)) (- (+ 1.0 t) t)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.00025) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (1.0 + ((x * 0.5) - sqrt(x)))));
	} else {
		tmp = (t_1 + ((1.0 + sqrt((x + 1.0))) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((sqrt(t) + pow((1.0 + t), 0.5)) / ((1.0 + t) - t)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)
    if (t_1 <= 0.00025d0) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + ((sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)) + (1.0d0 + ((x * 0.5d0) - sqrt(x)))))
    else
        tmp = (t_1 + ((1.0d0 + sqrt((x + 1.0d0))) + ((-0.125d0) * (y * y)))) + (1.0d0 / ((sqrt(t) + ((1.0d0 + t) ** 0.5d0)) / ((1.0d0 + t) - t)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z);
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.00025) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + ((Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y)) + (1.0 + ((x * 0.5) - Math.sqrt(x)))));
	} else {
		tmp = (t_1 + ((1.0 + Math.sqrt((x + 1.0))) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((Math.sqrt(t) + Math.pow((1.0 + t), 0.5)) / ((1.0 + t) - t)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)
	tmp = 0
	if t_1 <= 0.00025:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + ((math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)) + (1.0 + ((x * 0.5) - math.sqrt(x)))))
	else:
		tmp = (t_1 + ((1.0 + math.sqrt((x + 1.0))) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((math.sqrt(t) + math.pow((1.0 + t), 0.5)) / ((1.0 + t) - t)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= 0.00025)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)) + Float64(1.0 + Float64(Float64(x * 0.5) - sqrt(x))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_1 + Float64(Float64(1.0 + sqrt(Float64(x + 1.0))) + Float64(-0.125 * Float64(y * y)))) + Float64(1.0 / Float64(Float64(sqrt(t) + (Float64(1.0 + t) ^ 0.5)) / Float64(Float64(1.0 + t) - t))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= 0.00025)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (1.0 + ((x * 0.5) - sqrt(x)))));
	else
		tmp = (t_1 + ((1.0 + sqrt((x + 1.0))) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((sqrt(t) + ((1.0 + t) ^ 0.5)) / ((1.0 + t) - t)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, 0.00025], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$1 + N[(N[(1.0 + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + t), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + t), $MachinePrecision] - t), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)) < 2.5000000000000001e-4

   1. Initial program 85.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 90.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.7%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 55.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.2%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.5000000000000001e-4 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 30.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 24.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 24.6%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}\right)}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1}} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(t + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(t + 1\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + t\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\sqrt{t + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt{t + 1}} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\left(t + 1\right) - \color{blue}{\sqrt{t}} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\left(t + 1\right) - t\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(t + 1\right), \color{blue}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 24.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 24.6%

       \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{\frac{{\left(1 + t\right)}^{0.5} + \sqrt{t}}{\left(1 + t\right) - t}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 38.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \leq 0.00025:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(1 + \left(x \cdot 0.5 - \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(1 + \sqrt{x + 1}\right) + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) + \frac{1}{\frac{\sqrt{t} + {\left(1 + t\right)}^{0.5}}{\left(1 + t\right) - t}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 91.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\\ t_2 := \sqrt{1 + z}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq 0:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + t\_2}\right) - \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(\left(t\_2 - \sqrt{z}\right) + \left(-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right) + 2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))) (t_2 (sqrt (+ 1.0 z))))
   (if (<= t_1 0.0)
     (+ 1.0 (- (+ (sqrt (+ 1.0 y)) (/ 1.0 (+ (sqrt z) t_2))) (sqrt y)))
     (+ t_1 (+ (- t_2 (sqrt z)) (+ (* -0.125 (* y y)) 2.0))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	double t_2 = sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.0) {
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_2))) - sqrt(y));
	} else {
		tmp = t_1 + ((t_2 - sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)
    t_2 = sqrt((1.0d0 + z))
    if (t_1 <= 0.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + y)) + (1.0d0 / (sqrt(z) + t_2))) - sqrt(y))
    else
        tmp = t_1 + ((t_2 - sqrt(z)) + (((-0.125d0) * (y * y)) + 2.0d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t);
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.0) {
		tmp = 1.0 + ((Math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + t_2))) - Math.sqrt(y));
	} else {
		tmp = t_1 + ((t_2 - Math.sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)
	t_2 = math.sqrt((1.0 + z))
	tmp = 0
	if t_1 <= 0.0:
		tmp = 1.0 + ((math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (math.sqrt(z) + t_2))) - math.sqrt(y))
	else:
		tmp = t_1 + ((t_2 - math.sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= 0.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + t_2))) - sqrt(y)));
	else
		tmp = Float64(t_1 + Float64(Float64(t_2 - sqrt(z)) + Float64(Float64(-0.125 * Float64(y * y)) + 2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	t_2 = sqrt((1.0 + z));
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= 0.0)
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_2))) - sqrt(y));
	else
		tmp = t_1 + ((t_2 - sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, 0.0], N[(1.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 + N[(N[(t$95$2 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.125 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t)) < 0.0

   1. Initial program 88.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(z + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(z + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 88.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 88.4%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 45.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 45.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 47.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 47.8%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in y around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 57.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 57.2%

       \[\leadsto 1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) \]

   if 0.0 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t))

   1. Initial program 96.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 33.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 33.9%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 27.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 27.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 30.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 30.4%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(2 + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 43.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \leq 0:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right) + 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 91.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + t}\\ \mathbf{if}\;t\_1 - \sqrt{t} \leq 0:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t\_1 + \left(3 + \left(-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right) + 0.5 \cdot z\right)\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 t))))
   (if (<= (- t_1 (sqrt t)) 0.0)
     (+
      1.0
      (- (+ (sqrt (+ 1.0 y)) (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z))))) (sqrt y)))
     (-
      (+ t_1 (+ 3.0 (+ (* -0.125 (* y y)) (* 0.5 z))))
      (+ (sqrt z) (sqrt t))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + t));
	double tmp;
	if ((t_1 - sqrt(t)) <= 0.0) {
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - sqrt(y));
	} else {
		tmp = (t_1 + (3.0 + ((-0.125 * (y * y)) + (0.5 * z)))) - (sqrt(z) + sqrt(t));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + t))
    if ((t_1 - sqrt(t)) <= 0.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + y)) + (1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z))))) - sqrt(y))
    else
        tmp = (t_1 + (3.0d0 + (((-0.125d0) * (y * y)) + (0.5d0 * z)))) - (sqrt(z) + sqrt(t))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double tmp;
	if ((t_1 - Math.sqrt(t)) <= 0.0) {
		tmp = 1.0 + ((Math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z))))) - Math.sqrt(y));
	} else {
		tmp = (t_1 + (3.0 + ((-0.125 * (y * y)) + (0.5 * z)))) - (Math.sqrt(z) + Math.sqrt(t));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + t))
	tmp = 0
	if (t_1 - math.sqrt(t)) <= 0.0:
		tmp = 1.0 + ((math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z))))) - math.sqrt(y))
	else:
		tmp = (t_1 + (3.0 + ((-0.125 * (y * y)) + (0.5 * z)))) - (math.sqrt(z) + math.sqrt(t))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_1 - sqrt(t)) <= 0.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z))))) - sqrt(y)));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_1 + Float64(3.0 + Float64(Float64(-0.125 * Float64(y * y)) + Float64(0.5 * z)))) - Float64(sqrt(z) + sqrt(t)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + t));
	tmp = 0.0;
	if ((t_1 - sqrt(t)) <= 0.0)
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - sqrt(y));
	else
		tmp = (t_1 + (3.0 + ((-0.125 * (y * y)) + (0.5 * z)))) - (sqrt(z) + sqrt(t));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$1 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0], N[(1.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$1 + N[(3.0 + N[(N[(-0.125 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t)) < 0.0

   1. Initial program 88.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(z + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(z + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 88.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 88.4%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 45.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 45.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 47.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 47.8%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in y around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 57.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 57.2%

       \[\leadsto 1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) \]

   if 0.0 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t))

   1. Initial program 96.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 33.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 33.9%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 27.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 27.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{z} + \color{blue}{\sqrt{t}}\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

       15. sqrt-lowering-sqrt.f64 16.9%

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 16.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)} \]

   12. Taylor expanded in z around 0

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(3 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{2} \cdot z\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(3 + \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{2} \cdot z\right) + \sqrt{1 + t}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       2. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(3 + \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{2} \cdot z\right)\right) + \sqrt{1 + t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(3 + \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{2} \cdot z\right)\right), \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(3, \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{2} \cdot z\right)\right), \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{z}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \left(z \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 16.9%

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 16.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(3 + \left(-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right) + z \cdot 0.5\right)\right) + \sqrt{1 + t}\right)} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 36.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \leq 0:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} + \left(3 + \left(-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right) + 0.5 \cdot z\right)\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 93.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1}\\ t_2 := \sqrt{1 + z}\\ \mathbf{if}\;y \leq 7.2 \cdot 10^{-68}:\\ \;\;\;\;\left(\left(t\_2 - \sqrt{z}\right) + \left(\left(1 + t\_1\right) + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) + \frac{1}{\frac{\sqrt{t} + {\left(1 + t\right)}^{0.5}}{\left(1 + t\right) - t}}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 190000000:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + t\_2}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t\_1 - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ x 1.0))) (t_2 (sqrt (+ 1.0 z))))
   (if (<= y 7.2e-68)
     (+
      (+ (- t_2 (sqrt z)) (+ (+ 1.0 t_1) (* -0.125 (* y y))))
      (/ 1.0 (/ (+ (sqrt t) (pow (+ 1.0 t) 0.5)) (- (+ 1.0 t) t))))
     (if (<= y 190000000.0)
       (+
        (- (- 1.0 (sqrt x)) (sqrt y))
        (+ (sqrt (+ 1.0 y)) (/ 1.0 (+ (sqrt z) t_2))))
       (+ (- t_1 (sqrt x)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0));
	double t_2 = sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (y <= 7.2e-68) {
		tmp = ((t_2 - sqrt(z)) + ((1.0 + t_1) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((sqrt(t) + pow((1.0 + t), 0.5)) / ((1.0 + t) - t)));
	} else if (y <= 190000000.0) {
		tmp = ((1.0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_2)));
	} else {
		tmp = (t_1 - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + z))
    if (y <= 7.2d-68) then
        tmp = ((t_2 - sqrt(z)) + ((1.0d0 + t_1) + ((-0.125d0) * (y * y)))) + (1.0d0 / ((sqrt(t) + ((1.0d0 + t) ** 0.5d0)) / ((1.0d0 + t) - t)))
    else if (y <= 190000000.0d0) then
        tmp = ((1.0d0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0d0 + y)) + (1.0d0 / (sqrt(z) + t_2)))
    else
        tmp = (t_1 - sqrt(x)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (y <= 7.2e-68) {
		tmp = ((t_2 - Math.sqrt(z)) + ((1.0 + t_1) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((Math.sqrt(t) + Math.pow((1.0 + t), 0.5)) / ((1.0 + t) - t)));
	} else if (y <= 190000000.0) {
		tmp = ((1.0 - Math.sqrt(x)) - Math.sqrt(y)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + t_2)));
	} else {
		tmp = (t_1 - Math.sqrt(x)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + z))
	tmp = 0
	if y <= 7.2e-68:
		tmp = ((t_2 - math.sqrt(z)) + ((1.0 + t_1) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((math.sqrt(t) + math.pow((1.0 + t), 0.5)) / ((1.0 + t) - t)))
	elif y <= 190000000.0:
		tmp = ((1.0 - math.sqrt(x)) - math.sqrt(y)) + (math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (math.sqrt(z) + t_2)))
	else:
		tmp = (t_1 - math.sqrt(x)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	tmp = 0.0
	if (y <= 7.2e-68)
		tmp = Float64(Float64(Float64(t_2 - sqrt(z)) + Float64(Float64(1.0 + t_1) + Float64(-0.125 * Float64(y * y)))) + Float64(1.0 / Float64(Float64(sqrt(t) + (Float64(1.0 + t) ^ 0.5)) / Float64(Float64(1.0 + t) - t))));
	elseif (y <= 190000000.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + t_2))));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_1 - sqrt(x)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0));
	t_2 = sqrt((1.0 + z));
	tmp = 0.0;
	if (y <= 7.2e-68)
		tmp = ((t_2 - sqrt(z)) + ((1.0 + t_1) + (-0.125 * (y * y)))) + (1.0 / ((sqrt(t) + ((1.0 + t) ^ 0.5)) / ((1.0 + t) - t)));
	elseif (y <= 190000000.0)
		tmp = ((1.0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_2)));
	else
		tmp = (t_1 - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 7.2e-68], N[(N[(N[(t$95$2 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + t), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + t), $MachinePrecision] - t), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 190000000.0], N[(N[(N[(1.0 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$1 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 7.20000000000000015e-68

   1. Initial program 96.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 63.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 54.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.5%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}\right)}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1}} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(t + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(t + 1\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + t\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\sqrt{t + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt{t + 1}} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\left(t + 1\right) - \color{blue}{\sqrt{t}} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\left(t + 1\right) - t\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(t + 1\right), \color{blue}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 54.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 54.5%

       \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{\frac{{\left(1 + t\right)}^{0.5} + \sqrt{t}}{\left(1 + t\right) - t}}} \]

   if 7.20000000000000015e-68 < y < 1.9e8

   1. Initial program 97.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(z + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(z + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 25.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 25.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 23.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 23.8%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + 1\right) - \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right) \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + \color{blue}{\left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} + \sqrt{1 + y}\right), \left(\color{blue}{1} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\color{blue}{1} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       13. associate--r+ N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \color{blue}{\sqrt{y}}\right)\right) \]

       14. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 23.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} + \sqrt{1 + y}\right) + \left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)} \]

   if 1.9e8 < y

   1. Initial program 87.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 18.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{\color{blue}{x}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + x}} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.2%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 27.2%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 36.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 7.2 \cdot 10^{-68}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(1 + \sqrt{x + 1}\right) + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) + \frac{1}{\frac{\sqrt{t} + {\left(1 + t\right)}^{0.5}}{\left(1 + t\right) - t}}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 190000000:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 93.6% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ \mathbf{if}\;y \leq 2.2 \cdot 10^{-68}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(t\_1 - \sqrt{z}\right) + \left(-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right) + 2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 190000000:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + t\_1}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z))))
   (if (<= y 2.2e-68)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+ (- t_1 (sqrt z)) (+ (* -0.125 (* y y)) 2.0)))
     (if (<= y 190000000.0)
       (+
        (- (- 1.0 (sqrt x)) (sqrt y))
        (+ (sqrt (+ 1.0 y)) (/ 1.0 (+ (sqrt z) t_1))))
       (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (y <= 2.2e-68) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((t_1 - sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0));
	} else if (y <= 190000000.0) {
		tmp = ((1.0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_1)));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    if (y <= 2.2d-68) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + ((t_1 - sqrt(z)) + (((-0.125d0) * (y * y)) + 2.0d0))
    else if (y <= 190000000.0d0) then
        tmp = ((1.0d0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0d0 + y)) + (1.0d0 / (sqrt(z) + t_1)))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (y <= 2.2e-68) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + ((t_1 - Math.sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0));
	} else if (y <= 190000000.0) {
		tmp = ((1.0 - Math.sqrt(x)) - Math.sqrt(y)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + t_1)));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	tmp = 0
	if y <= 2.2e-68:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + ((t_1 - math.sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0))
	elif y <= 190000000.0:
		tmp = ((1.0 - math.sqrt(x)) - math.sqrt(y)) + (math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (math.sqrt(z) + t_1)))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	tmp = 0.0
	if (y <= 2.2e-68)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(t_1 - sqrt(z)) + Float64(Float64(-0.125 * Float64(y * y)) + 2.0)));
	elseif (y <= 190000000.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + t_1))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	tmp = 0.0;
	if (y <= 2.2e-68)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((t_1 - sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0));
	elseif (y <= 190000000.0)
		tmp = ((1.0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_1)));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 2.2e-68], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.125 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 190000000.0], N[(N[(N[(1.0 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 2.20000000000000002e-68

   1. Initial program 96.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 63.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 54.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.5%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 60.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 60.8%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(2 + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.20000000000000002e-68 < y < 1.9e8

   1. Initial program 97.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(z + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(z + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 25.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 25.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 23.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 23.8%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + 1\right) - \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right) \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + \color{blue}{\left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} + \sqrt{1 + y}\right), \left(\color{blue}{1} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\color{blue}{1} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       13. associate--r+ N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \color{blue}{\sqrt{y}}\right)\right) \]

       14. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 23.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} + \sqrt{1 + y}\right) + \left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)} \]

   if 1.9e8 < y

   1. Initial program 87.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 18.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{\color{blue}{x}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + x}} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.2%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 27.2%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 38.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 2.2 \cdot 10^{-68}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right) + 2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 190000000:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 93.6% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ \mathbf{if}\;y \leq 1.1 \cdot 10^{-68}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(t\_1 - \sqrt{z}\right) + \left(-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right) + 2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 190000000:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + t\_1}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z))))
   (if (<= y 1.1e-68)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+ (- t_1 (sqrt z)) (+ (* -0.125 (* y y)) 2.0)))
     (if (<= y 190000000.0)
       (+
        1.0
        (-
         (+ (sqrt (+ 1.0 y)) (/ 1.0 (+ (sqrt z) t_1)))
         (+ (sqrt x) (sqrt y))))
       (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (y <= 1.1e-68) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((t_1 - sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0));
	} else if (y <= 190000000.0) {
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_1))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    if (y <= 1.1d-68) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + ((t_1 - sqrt(z)) + (((-0.125d0) * (y * y)) + 2.0d0))
    else if (y <= 190000000.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + y)) + (1.0d0 / (sqrt(z) + t_1))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (y <= 1.1e-68) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + ((t_1 - Math.sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0));
	} else if (y <= 190000000.0) {
		tmp = 1.0 + ((Math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + t_1))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	tmp = 0
	if y <= 1.1e-68:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + ((t_1 - math.sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0))
	elif y <= 190000000.0:
		tmp = 1.0 + ((math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (math.sqrt(z) + t_1))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	tmp = 0.0
	if (y <= 1.1e-68)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(t_1 - sqrt(z)) + Float64(Float64(-0.125 * Float64(y * y)) + 2.0)));
	elseif (y <= 190000000.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + t_1))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	tmp = 0.0;
	if (y <= 1.1e-68)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((t_1 - sqrt(z)) + ((-0.125 * (y * y)) + 2.0));
	elseif (y <= 190000000.0)
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + t_1))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 1.1e-68], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.125 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 190000000.0], N[(1.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 1.10000000000000001e-68

   1. Initial program 96.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 63.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 54.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.5%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 60.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 60.8%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(2 + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 1.10000000000000001e-68 < y < 1.9e8

   1. Initial program 97.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(z + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(z + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 25.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 25.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 23.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 23.8%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   if 1.9e8 < y

   1. Initial program 87.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 18.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{\color{blue}{x}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + x}} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.2%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 27.2%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 38.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 1.1 \cdot 10^{-68}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right) + 2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 190000000:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 88.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 2.4 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;2 + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 23000000:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + y} + x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= y 2.4e-13)
   (+ 2.0 (- (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))) (+ (sqrt x) (sqrt y))))
   (if (<= y 23000000.0)
     (+ (- (- 1.0 (sqrt x)) (sqrt y)) (+ (sqrt (+ 1.0 y)) (* x 0.5)))
     (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 2.4e-13) {
		tmp = 2.0 + ((1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z)))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	} else if (y <= 23000000.0) {
		tmp = ((1.0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0 + y)) + (x * 0.5));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (y <= 2.4d-13) then
        tmp = 2.0d0 + ((1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z)))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    else if (y <= 23000000.0d0) then
        tmp = ((1.0d0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0d0 + y)) + (x * 0.5d0))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 2.4e-13) {
		tmp = 2.0 + ((1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z)))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	} else if (y <= 23000000.0) {
		tmp = ((1.0 - Math.sqrt(x)) - Math.sqrt(y)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) + (x * 0.5));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if y <= 2.4e-13:
		tmp = 2.0 + ((1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z)))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	elif y <= 23000000.0:
		tmp = ((1.0 - math.sqrt(x)) - math.sqrt(y)) + (math.sqrt((1.0 + y)) + (x * 0.5))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (y <= 2.4e-13)
		tmp = Float64(2.0 + Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z)))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	elseif (y <= 23000000.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) + Float64(x * 0.5)));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 2.4e-13)
		tmp = 2.0 + ((1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z)))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	elseif (y <= 23000000.0)
		tmp = ((1.0 - sqrt(x)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0 + y)) + (x * 0.5));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[y, 2.4e-13], N[(2.0 + N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 23000000.0], N[(N[(N[(1.0 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 2.3999999999999999e-13

   1. Initial program 96.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(z + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(z + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 97.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 34.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 31.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 31.4%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 31.5%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 31.5%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   if 2.3999999999999999e-13 < y < 2.3e7

   1. Initial program 96.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 27.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 13.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 13.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot x\right) + 1\right) - \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right) \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot x\right) + \color{blue}{\left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot x\right), \color{blue}{\left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right), \left(\color{blue}{1} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right), \left(1 - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       9. associate--r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right), \left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \color{blue}{\sqrt{y}}\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

       11. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right) \]

       12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 13.4%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 13.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + x \cdot 0.5\right) + \left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)} \]

   if 2.3e7 < y

   1. Initial program 87.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 18.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{\color{blue}{x}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + x}} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.5%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 27.5%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 28.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 2.4 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;2 + \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 23000000:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + y} + x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 84.5% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 4.3 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(2 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= z 4.3e+17)
   (+ (+ (sqrt (+ 1.0 z)) (* -0.125 (* y y))) (- 2.0 (sqrt z)))
   (+ (sqrt (+ x 1.0)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (+ (sqrt x) (sqrt y))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 4.3e+17) {
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - sqrt(z));
	} else {
		tmp = sqrt((x + 1.0)) + (sqrt((1.0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (z <= 4.3d+17) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + z)) + ((-0.125d0) * (y * y))) + (2.0d0 - sqrt(z))
    else
        tmp = sqrt((x + 1.0d0)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 4.3e+17) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - Math.sqrt(z));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((x + 1.0)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if z <= 4.3e+17:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - math.sqrt(z))
	else:
		tmp = math.sqrt((x + 1.0)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (z <= 4.3e+17)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + Float64(-0.125 * Float64(y * y))) + Float64(2.0 - sqrt(z)));
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (z <= 4.3e+17)
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - sqrt(z));
	else
		tmp = sqrt((x + 1.0)) + (sqrt((1.0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[z, 4.3e+17], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 4.3e17

   1. Initial program 97.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 30.4%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 24.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 24.5%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{z} + \color{blue}{\sqrt{t}}\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

       15. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.8%

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 14.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)} \]

   12. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right) - \sqrt{z}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right) + 2\right) - \sqrt{\color{blue}{z}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right) + \color{blue}{\left(2 - \sqrt{z}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right), \color{blue}{\left(2 - \sqrt{z}\right)}\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} - \sqrt{z}\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 25.6%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 25.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(2 - \sqrt{z}\right)} \]

   if 4.3e17 < z

   1. Initial program 86.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 65.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 65.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 34.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 29.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 4.3 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(2 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 84.4% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 4.3 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(2 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= z 4.3e+17)
   (+ (+ (sqrt (+ 1.0 z)) (* -0.125 (* y y))) (- 2.0 (sqrt z)))
   (+ 1.0 (- (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt x)) (sqrt y)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 4.3e+17) {
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - sqrt(z));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (z <= 4.3d+17) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + z)) + ((-0.125d0) * (y * y))) + (2.0d0 - sqrt(z))
    else
        tmp = 1.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 4.3e+17) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - Math.sqrt(z));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(x)) - Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if z <= 4.3e+17:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - math.sqrt(z))
	else:
		tmp = 1.0 + ((math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(x)) - math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (z <= 4.3e+17)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + Float64(-0.125 * Float64(y * y))) + Float64(2.0 - sqrt(z)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (z <= 4.3e+17)
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - sqrt(z));
	else
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[z, 4.3e+17], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 4.3e17

   1. Initial program 97.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 30.4%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 24.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 24.5%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{z} + \color{blue}{\sqrt{t}}\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

       15. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.8%

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 14.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)} \]

   12. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right) - \sqrt{z}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right) + 2\right) - \sqrt{\color{blue}{z}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right) + \color{blue}{\left(2 - \sqrt{z}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right), \color{blue}{\left(2 - \sqrt{z}\right)}\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} - \sqrt{z}\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 25.6%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 25.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(2 - \sqrt{z}\right)} \]

   if 4.3e17 < z

   1. Initial program 86.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(z + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(z + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 86.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 86.1%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 34.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 34.0%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

       3. associate--r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \color{blue}{\sqrt{y}}\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 33.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 33.6%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 18: 59.3% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 3.3 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(2 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= z 3.3e+32)
   (+ (+ (sqrt (+ 1.0 z)) (* -0.125 (* y y))) (- 2.0 (sqrt z)))
   (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 3.3e+32) {
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - sqrt(z));
	} else {
		tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (z <= 3.3d+32) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + z)) + ((-0.125d0) * (y * y))) + (2.0d0 - sqrt(z))
    else
        tmp = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 3.3e+32) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - Math.sqrt(z));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if z <= 3.3e+32:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - math.sqrt(z))
	else:
		tmp = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (z <= 3.3e+32)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + Float64(-0.125 * Float64(y * y))) + Float64(2.0 - sqrt(z)));
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (z <= 3.3e+32)
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + (-0.125 * (y * y))) + (2.0 - sqrt(z));
	else
		tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[z, 3.3e+32], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 3.3000000000000002e32

   1. Initial program 96.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 30.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 25.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 25.1%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{z} + \color{blue}{\sqrt{t}}\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

       15. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.6%

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 14.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)} \]

   12. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right) - \sqrt{z}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right) + 2\right) - \sqrt{\color{blue}{z}} \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right) + \color{blue}{\left(2 - \sqrt{z}\right)} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right), \color{blue}{\left(2 - \sqrt{z}\right)}\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} - \sqrt{z}\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \left(2 - \sqrt{z}\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 26.1%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 26.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(2 - \sqrt{z}\right)} \]

   if 3.3000000000000002e32 < z

   1. Initial program 86.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 66.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 66.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 34.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 24.4%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

   11. Simplified 24.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 25.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 3.3 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(2 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 35.8% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.2%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in z around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   12. sqrt-lowering-sqrt.f64 38.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

5. Simplified 38.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

6. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 22.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in y around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

    4. sqrt-lowering-sqrt.f64 16.6%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

11. Simplified 16.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}} \]

12. Final simplification 16.6%

    \[\leadsto \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 20: 7.7% accurate, 7.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 * sqrt((1.0 / z));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 * Math.sqrt((1.0 / z));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.5 * math.sqrt((1.0 / z))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.5 * sqrt((1.0 / z));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.2%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in z around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 45.3%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

5. Simplified 45.3%

   \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

6. Taylor expanded in z around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 8.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right) \]

8. Simplified 8.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 21: 34.6% accurate, 8.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 1 - \sqrt{x} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (- 1.0 (sqrt x)))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 1.0 - sqrt(x);
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 1.0d0 - sqrt(x)
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 1.0 - Math.sqrt(x);
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 1.0 - math.sqrt(x)

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(1.0 - sqrt(x))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 1.0 - sqrt(x);
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(1.0 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.2%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   12. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   13. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(z + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   14. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(z + 1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f64 92.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 92.3%

   \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

5. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

   15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

   16. sqrt-lowering-sqrt.f64 28.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 28.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

   14. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 30.5%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sqrt{x}\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

    2. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(0 - \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

    3. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

    4. sqrt-lowering-sqrt.f64 15.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

13. Simplified 15.2%

    \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(0 - \sqrt{x}\right)} \]

14. Final simplification 15.2%

    \[\leadsto 1 - \sqrt{x} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 22: 6.1% accurate, 8.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \sqrt{x} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (sqrt x))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return sqrt(x);
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = sqrt(x)
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return Math.sqrt(x);
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return math.sqrt(x)

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return sqrt(x)
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = sqrt(x);
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[Sqrt[x], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.2%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   14. sqrt-lowering-sqrt.f64 31.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

5. Simplified 31.8%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

6. Taylor expanded in y around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({y}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 26.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

8. Simplified 26.5%

   \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

9. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{x}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f64 6.8%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right) \]

11. Simplified 6.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{x}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 23: 2.1% accurate, 164.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ -0.125 \cdot \left(y \cdot y\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* -0.125 (* y y)))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return -0.125 * (y * y);
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (-0.125d0) * (y * y)
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return -0.125 * (y * y);
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return -0.125 * (y * y)

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(-0.125 * Float64(y * y))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = -0.125 * (y * y);
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(-0.125 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.2%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(y \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot y\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(y \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   14. sqrt-lowering-sqrt.f64 31.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{-1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

5. Simplified 31.8%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + \left(y \cdot \left(0.5 + y \cdot -0.125\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

6. Taylor expanded in y around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot {y}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left({y}^{2}\right)}\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(y \cdot \color{blue}{y}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 1.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(y, \color{blue}{y}\right)\right) \]

8. Simplified 1.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.125 \cdot \left(y \cdot y\right)} \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right) + \frac{1}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+
    (/ 1.0 (+ (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)))
    (/ 1.0 (+ (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y))))
   (/ 1.0 (+ (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z))))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((1.0 / (sqrt((x + 1.0)) + sqrt(x))) + (1.0 / (sqrt((y + 1.0)) + sqrt(y)))) + (1.0 / (sqrt((z + 1.0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((1.0d0 / (sqrt((x + 1.0d0)) + sqrt(x))) + (1.0d0 / (sqrt((y + 1.0d0)) + sqrt(y)))) + (1.0d0 / (sqrt((z + 1.0d0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((1.0 / (Math.sqrt((x + 1.0)) + Math.sqrt(x))) + (1.0 / (Math.sqrt((y + 1.0)) + Math.sqrt(y)))) + (1.0 / (Math.sqrt((z + 1.0)) + Math.sqrt(z)))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((1.0 / (math.sqrt((x + 1.0)) + math.sqrt(x))) + (1.0 / (math.sqrt((y + 1.0)) + math.sqrt(y)))) + (1.0 / (math.sqrt((z + 1.0)) + math.sqrt(z)))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + sqrt(x))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) + sqrt(y)))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) + sqrt(z)))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((1.0 / (sqrt((x + 1.0)) + sqrt(x))) + (1.0 / (sqrt((y + 1.0)) + sqrt(y)))) + (1.0 / (sqrt((z + 1.0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024138 
(FPCore (x y z t)
  :name "Main:z from "
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (+ (+ (+ (/ 1 (+ (sqrt (+ x 1)) (sqrt x))) (/ 1 (+ (sqrt (+ y 1)) (sqrt y)))) (/ 1 (+ (sqrt (+ z 1)) (sqrt z)))) (- (sqrt (+ t 1)) (sqrt t))))

  (+ (+ (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y))) (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z))) (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))