Beckmann Sample, normalization factor

Percentage Accurate: 97.9% → 98.5%

Time: 14.2s

Alternatives: 18

Speedup: 2.5×

Specification

\[\left(0 < cosTheta \land cosTheta < 0.9999\right) \land \left(-1 < c \land c < 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (/ (sqrt (- (- 1.0 cosTheta) cosTheta)) cosTheta))
    (exp (* (- cosTheta) cosTheta))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (((1.0f / sqrtf(((float) M_PI))) * (sqrtf(((1.0f - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * expf((-cosTheta * cosTheta))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / sqrt(Float32(pi))) * Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp(Float32(Float32(-cosTheta) * cosTheta)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (((single(1.0) / sqrt(single(pi))) * (sqrt(((single(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp((-cosTheta * cosTheta))));
end

Initial Program: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (/ (sqrt (- (- 1.0 cosTheta) cosTheta)) cosTheta))
    (exp (* (- cosTheta) cosTheta))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (((1.0f / sqrtf(((float) M_PI))) * (sqrtf(((1.0f - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * expf((-cosTheta * cosTheta))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / sqrt(Float32(pi))) * Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp(Float32(Float32(-cosTheta) * cosTheta)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (((single(1.0) / sqrt(single(pi))) * (sqrt(((single(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp((-cosTheta * cosTheta))));
end

Alternative 1: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{{\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{0.5}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(cosTheta \cdot {\pi}^{0.5}\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (/
    (pow (+ 1.0 (* cosTheta -2.0)) 0.5)
    (* (exp (* cosTheta cosTheta)) (* cosTheta (pow PI 0.5)))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (powf((1.0f + (cosTheta * -2.0f)), 0.5f) / (expf((cosTheta * cosTheta)) * (cosTheta * powf(((float) M_PI), 0.5f)))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32((Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0))) ^ Float32(0.5)) / Float32(exp(Float32(cosTheta * cosTheta)) * Float32(cosTheta * (Float32(pi) ^ Float32(0.5)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (((single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0))) ^ single(0.5)) / (exp((cosTheta * cosTheta)) * (cosTheta * (single(pi) ^ single(0.5))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right) \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right) \]

   3. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left({\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)} \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(1 + cosTheta \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)} \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\left(e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{{\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{0.5}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left({\pi}^{0.5} \cdot cosTheta\right)}}} \]

7. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{{\left(1 + cosTheta \cdot -2\right)}^{0.5}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(cosTheta \cdot {\pi}^{0.5}\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.4% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\frac{{\left(\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}\right)}^{-0.5}}{\frac{\frac{1}{cosTheta}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (/
    1.0
    (/
     (pow (/ (+ 1.0 (* cosTheta -2.0)) PI) -0.5)
     (/ (/ 1.0 cosTheta) (exp (* cosTheta cosTheta))))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (1.0f / (powf(((1.0f + (cosTheta * -2.0f)) / ((float) M_PI)), -0.5f) / ((1.0f / cosTheta) / expf((cosTheta * cosTheta))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(1.0) / Float32((Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0))) / Float32(pi)) ^ Float32(-0.5)) / Float32(Float32(Float32(1.0) / cosTheta) / exp(Float32(cosTheta * cosTheta)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (single(1.0) / ((((single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0))) / single(pi)) ^ single(-0.5)) / ((single(1.0) / cosTheta) / exp((cosTheta * cosTheta))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-undiv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta} \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot \color{blue}{cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f32 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\sqrt{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{cosTheta}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}}}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{cosTheta}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}}}{\frac{1}{\color{blue}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\frac{1}{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left({\left({\left(\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{-1}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + cosTheta \cdot -2\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{cosTheta}}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, cosTheta\right), \left(e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}\right)}^{-0.5}}{\frac{\frac{1}{cosTheta}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}}}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.4% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \left(cosTheta \cdot \left(1 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(0.5 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (/
    1.0
    (*
     (sqrt (/ PI (+ 1.0 (* cosTheta -2.0))))
     (*
      cosTheta
      (+
       1.0
       (*
        (* cosTheta cosTheta)
        (+
         1.0
         (*
          cosTheta
          (*
           cosTheta
           (+ 0.5 (* (* cosTheta cosTheta) 0.16666666666666666)))))))))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (1.0f / (sqrtf((((float) M_PI) / (1.0f + (cosTheta * -2.0f)))) * (cosTheta * (1.0f + ((cosTheta * cosTheta) * (1.0f + (cosTheta * (cosTheta * (0.5f + ((cosTheta * cosTheta) * 0.16666666666666666f)))))))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(1.0) / Float32(sqrt(Float32(Float32(pi) / Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0))))) * Float32(cosTheta * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(cosTheta * cosTheta) * Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(cosTheta * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(cosTheta * cosTheta) * Float32(0.16666666666666666)))))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (single(1.0) / (sqrt((single(pi) / (single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0))))) * (cosTheta * (single(1.0) + ((cosTheta * cosTheta) * (single(1.0) + (cosTheta * (cosTheta * (single(0.5) + ((cosTheta * cosTheta) * single(0.16666666666666666))))))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-undiv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta} \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot \color{blue}{cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f32 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}}} \]

7. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(1 + \left({cosTheta}^{2} \cdot 1 + \color{blue}{{cosTheta}^{2} \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(1 + \left({cosTheta}^{2} + \color{blue}{{cosTheta}^{2}} \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} + {cosTheta}^{2} \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({cosTheta}^{2} \cdot 1 + \color{blue}{{cosTheta}^{2}} \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({cosTheta}^{2} \cdot \color{blue}{\left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({cosTheta}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right), \left(\color{blue}{1} + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \left(\color{blue}{1} + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({cosTheta}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({cosTheta}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(1 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(0.5 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.1% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \left(cosTheta \cdot \left(1 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(0.5 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (/
    1.0
    (*
     (sqrt (/ PI (+ 1.0 (* cosTheta -2.0))))
     (*
      cosTheta
      (+
       1.0
       (*
        (* cosTheta cosTheta)
        (+
         1.0
         (*
          cosTheta
          (*
           cosTheta
           (+ 0.5 (* (* cosTheta cosTheta) 0.16666666666666666)))))))))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (1.0f / (sqrtf((((float) M_PI) / (1.0f + (cosTheta * -2.0f)))) * (cosTheta * (1.0f + ((cosTheta * cosTheta) * (1.0f + (cosTheta * (cosTheta * (0.5f + ((cosTheta * cosTheta) * 0.16666666666666666f)))))))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(sqrt(Float32(Float32(pi) / Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0))))) * Float32(cosTheta * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(cosTheta * cosTheta) * Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(cosTheta * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(cosTheta * cosTheta) * Float32(0.16666666666666666)))))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (single(1.0) / (sqrt((single(pi) / (single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0))))) * (cosTheta * (single(1.0) + ((cosTheta * cosTheta) * (single(1.0) + (cosTheta * (cosTheta * (single(0.5) + ((cosTheta * cosTheta) * single(0.16666666666666666))))))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-undiv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta} \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot \color{blue}{cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f32 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}}} \]

7. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(1 + \left({cosTheta}^{2} \cdot 1 + \color{blue}{{cosTheta}^{2} \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(1 + \left({cosTheta}^{2} + \color{blue}{{cosTheta}^{2}} \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} + {cosTheta}^{2} \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({cosTheta}^{2} \cdot 1 + \color{blue}{{cosTheta}^{2}} \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({cosTheta}^{2} \cdot \color{blue}{\left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({cosTheta}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right), \left(\color{blue}{1} + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \left(\color{blue}{1} + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({cosTheta}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({cosTheta}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(1 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(0.5 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}}} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

12. Simplified 98.3%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} + \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \left(cosTheta \cdot \left(1 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(0.5 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.2% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \left(cosTheta \cdot \left(1 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot 0.5\right)\right)\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (/
    1.0
    (*
     (sqrt (/ PI (+ 1.0 (* cosTheta -2.0))))
     (*
      cosTheta
      (+
       1.0
       (* (* cosTheta cosTheta) (+ 1.0 (* cosTheta (* cosTheta 0.5)))))))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (1.0f / (sqrtf((((float) M_PI) / (1.0f + (cosTheta * -2.0f)))) * (cosTheta * (1.0f + ((cosTheta * cosTheta) * (1.0f + (cosTheta * (cosTheta * 0.5f)))))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(1.0) / Float32(sqrt(Float32(Float32(pi) / Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0))))) * Float32(cosTheta * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(cosTheta * cosTheta) * Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(cosTheta * Float32(0.5)))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (single(1.0) / (sqrt((single(pi) / (single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0))))) * (cosTheta * (single(1.0) + ((cosTheta * cosTheta) * (single(1.0) + (cosTheta * (cosTheta * single(0.5))))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-undiv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta} \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot \color{blue}{cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f32 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}}} \]

7. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(1 + {cosTheta}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(1 + \left(1 \cdot {cosTheta}^{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right) \cdot {cosTheta}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(1 + \left({cosTheta}^{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right)} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(1 + \left({cosTheta}^{2} + \left({cosTheta}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot {\color{blue}{cosTheta}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(1 + \left({cosTheta}^{2} + {cosTheta}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({cosTheta}^{2} \cdot 1 + \color{blue}{{cosTheta}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \left({cosTheta}^{2} \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({cosTheta}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({cosTheta}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 98.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(1 + \left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot 0.5\right)\right)\right)\right)}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \left(cosTheta \cdot \left(1 + cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (/
    1.0
    (*
     (sqrt (/ PI (+ 1.0 (* cosTheta -2.0))))
     (* cosTheta (+ 1.0 (* cosTheta cosTheta))))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (1.0f / (sqrtf((((float) M_PI) / (1.0f + (cosTheta * -2.0f)))) * (cosTheta * (1.0f + (cosTheta * cosTheta))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(1.0) / Float32(sqrt(Float32(Float32(pi) / Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0))))) * Float32(cosTheta * Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * cosTheta)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (single(1.0) / (sqrt((single(pi) / (single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0))))) * (cosTheta * (single(1.0) + (cosTheta * cosTheta))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-undiv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta} \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot \color{blue}{cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f32 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}}} \]

7. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(1 + {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(1 + {cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 97.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 97.7%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(1 + cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.0% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{cosTheta \cdot \sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+ (+ 1.0 c) (/ 1.0 (* cosTheta (sqrt (/ PI (+ 1.0 (* cosTheta -2.0)))))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (1.0f / (cosTheta * sqrtf((((float) M_PI) / (1.0f + (cosTheta * -2.0f)))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(1.0) / Float32(cosTheta * sqrt(Float32(Float32(pi) / Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (single(1.0) / (cosTheta * sqrt((single(pi) / (single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-undiv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta} \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot \color{blue}{cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f32 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}}} \]

7. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 96.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{cosTheta}}} \]

10. Final simplification 96.2%

    \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{cosTheta \cdot \sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 95.6% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{cosTheta \cdot \left(\left(1 + cosTheta\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/ 1.0 (+ (+ 1.0 c) (/ 1.0 (* cosTheta (* (+ 1.0 cosTheta) (sqrt PI)))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (1.0f / (cosTheta * ((1.0f + cosTheta) * sqrtf(((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(1.0) / Float32(cosTheta * Float32(Float32(Float32(1.0) + cosTheta) * sqrt(Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (single(1.0) / (cosTheta * ((single(1.0) + cosTheta) * sqrt(single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \color{blue}{\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-undiv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}}\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{1 + cosTheta \cdot -2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(1 + cosTheta \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{cosTheta} \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot \color{blue}{cosTheta}}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f32 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{1 + cosTheta \cdot -2}} \cdot \frac{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}{\frac{1}{cosTheta}}}}} \]

7. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + cosTheta \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + cosTheta \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\left(cosTheta + 1\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta + 1\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, 1\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, 1\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 95.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, 1\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\color{blue}{cosTheta \cdot \left(\left(cosTheta + 1\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}}} \]

10. Final simplification 95.9%

    \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{cosTheta \cdot \left(\left(1 + cosTheta\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 95.3% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}}{cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/ 1.0 (+ (+ 1.0 c) (/ (/ (- 1.0 cosTheta) (pow PI 0.5)) cosTheta))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (((1.0f - cosTheta) / powf(((float) M_PI), 0.5f)) / cosTheta));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) / (Float32(pi) ^ Float32(0.5))) / cosTheta)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (((single(1.0) - cosTheta) / (single(pi) ^ single(0.5))) / cosTheta));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + c\right) + 1\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \color{blue}{\left(c + 1\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(1 + \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(1 + c\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}} + \left(1 + c\right)}} \]

8. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta}\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, c\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot cosTheta + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 95.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(1 - cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}} + \left(1 + c\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, c\right)\right)\right) \]

    2. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    4. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1 - cosTheta}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    6. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    7. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    8. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 95.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}}{cosTheta}} + \left(1 + c\right)} \]

13. Final simplification 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}}{cosTheta}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 95.2% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \left(c + \left(1 - cosTheta\right) \cdot \frac{{\pi}^{-0.5}}{cosTheta}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/ 1.0 (+ 1.0 (+ c (* (- 1.0 cosTheta) (/ (pow PI -0.5) cosTheta))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (c + ((1.0f - cosTheta) * (powf(((float) M_PI), -0.5f) / cosTheta))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(c + Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) * Float32((Float32(pi) ^ Float32(-0.5)) / cosTheta)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (c + ((single(1.0) - cosTheta) * ((single(pi) ^ single(-0.5)) / cosTheta))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + c\right) + 1\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \color{blue}{\left(c + 1\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(1 + \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(1 + c\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}} + \left(1 + c\right)}} \]

8. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta}\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, c\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot cosTheta + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 95.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(1 - cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}} + \left(1 + c\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\left(1 - cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta} + \left(c + \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

    2. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\frac{\left(1 - cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta} + c\right) + \color{blue}{1}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(1 - cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta} + c\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(1 - cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta}\right), c\right), 1\right)\right) \]

    5. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta}\right), c\right), 1\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta}\right)\right), c\right), 1\right)\right) \]

    7. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta}\right)\right), c\right), 1\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right)\right), c\right), 1\right)\right) \]

    9. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{-1}}\right), cosTheta\right)\right), c\right), 1\right)\right) \]

    10. sqrt-pow1 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), cosTheta\right)\right), c\right), 1\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), cosTheta\right)\right), c\right), 1\right)\right) \]

    12. pow-lowering-pow.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), c\right), 1\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 95.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), c\right), 1\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \frac{{\pi}^{-0.5}}{cosTheta} + c\right) + 1}} \]

13. Final simplification 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + \left(c + \left(1 - cosTheta\right) \cdot \frac{{\pi}^{-0.5}}{cosTheta}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 11: 95.1% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + {\pi}^{-0.5} \cdot \frac{1 - cosTheta}{cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/ 1.0 (+ (+ 1.0 c) (* (pow PI -0.5) (/ (- 1.0 cosTheta) cosTheta)))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (powf(((float) M_PI), -0.5f) * ((1.0f - cosTheta) / cosTheta)));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32((Float32(pi) ^ Float32(-0.5)) * Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) / cosTheta))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + ((single(pi) ^ single(-0.5)) * ((single(1.0) - cosTheta) / cosTheta)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + c\right) + 1\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \color{blue}{\left(c + 1\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(1 + \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(1 + c\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}} + \left(1 + c\right)}} \]

8. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta}\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, c\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot cosTheta + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 95.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(1 - cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}} + \left(1 + c\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)}{cosTheta}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    2. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, c\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, c\right)\right)\right) \]

    4. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{-1}}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    5. sqrt-pow1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    7. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    10. --lowering--.f32 95.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\pi}^{-0.5} \cdot \frac{1 - cosTheta}{cosTheta}} + \left(1 + c\right)} \]

13. Final simplification 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + {\pi}^{-0.5} \cdot \frac{1 - cosTheta}{cosTheta}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 12: 95.0% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\frac{1}{cosTheta} + -1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/ 1.0 (+ 1.0 (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (+ (/ 1.0 cosTheta) -1.0)))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (sqrtf((1.0f / ((float) M_PI))) * ((1.0f / cosTheta) + -1.0f)));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi))) * Float32(Float32(Float32(1.0) / cosTheta) + Float32(-1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (sqrt((single(1.0) / single(pi))) * ((single(1.0) / cosTheta) + single(-1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + c\right) + 1\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \color{blue}{\left(c + 1\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(1 + \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(1 + c\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}} + \left(1 + c\right)}} \]

8. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta}\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, c\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot cosTheta + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 95.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(1 - cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}} + \left(1 + c\right)} \]

11. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \frac{1 - cosTheta}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{1 - cosTheta}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

    5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1 - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1} - cosTheta}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

    8. div-sub N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta} - \color{blue}{\frac{cosTheta}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{cosTheta}{cosTheta}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-inverses N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta} + -1\right)\right)\right)\right) \]

    12. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{cosTheta}\right), \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

    13. /-lowering-/.f32 95.3%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, cosTheta\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 95.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\frac{1}{cosTheta} + -1\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 13: 95.0% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + {\pi}^{-0.5} \cdot \frac{1 - cosTheta}{cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/ 1.0 (+ 1.0 (* (pow PI -0.5) (/ (- 1.0 cosTheta) cosTheta)))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (powf(((float) M_PI), -0.5f) * ((1.0f - cosTheta) / cosTheta)));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32((Float32(pi) ^ Float32(-0.5)) * Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) / cosTheta))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + ((single(pi) ^ single(-0.5)) * ((single(1.0) - cosTheta) / cosTheta)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + c\right) + 1\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \color{blue}{\left(c + 1\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(1 + \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(1 + c\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}} + \left(1 + c\right)}} \]

8. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta}\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, c\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot cosTheta + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 95.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(1 - cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}} + \left(1 + c\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)}{cosTheta}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    2. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, c\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, c\right)\right)\right) \]

    4. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{-1}}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    5. sqrt-pow1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    7. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

    10. --lowering--.f32 95.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, c\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 95.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\pi}^{-0.5} \cdot \frac{1 - cosTheta}{cosTheta}} + \left(1 + c\right)} \]

13. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), cosTheta\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

15. Simplified 95.2%

    \[\leadsto \frac{1}{{\pi}^{-0.5} \cdot \frac{1 - cosTheta}{cosTheta} + \color{blue}{1}} \]

16. Final simplification 95.2%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + {\pi}^{-0.5} \cdot \frac{1 - cosTheta}{cosTheta}} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 14: 93.2% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - cosTheta \cdot \left(c \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (* cosTheta (- (sqrt PI) (* cosTheta (* c PI)))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return cosTheta * (sqrtf(((float) M_PI)) - (cosTheta * (c * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(cosTheta * Float32(sqrt(Float32(pi)) - Float32(cosTheta * Float32(c * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = cosTheta * (sqrt(single(pi)) - (cosTheta * (c * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} - \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{cosTheta} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - \left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in c around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(c \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(cosTheta \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot c\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot c\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{c}\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 93.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), c\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 93.2%

   \[\leadsto cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\pi \cdot c\right)}\right) \]

9. Final simplification 93.2%

   \[\leadsto cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - cosTheta \cdot \left(c \cdot \pi\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 15: 93.2% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ cosTheta \cdot \sqrt{\pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c) :precision binary32 (* cosTheta (sqrt PI)))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return cosTheta * sqrtf(((float) M_PI));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(cosTheta * sqrt(Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = cosTheta * sqrt(single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 93.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.2%

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \sqrt{\pi}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 16: 10.9% accurate, 35.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 - c \cdot \left(cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (- 0.0 (* c (* cosTheta (* cosTheta PI)))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 0.0f - (c * (cosTheta * (cosTheta * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(0.0) - Float32(c * Float32(cosTheta * Float32(cosTheta * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(0.0) - (c * (cosTheta * (cosTheta * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} - \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{cosTheta} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - \left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in c around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(c \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(c \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\left(c \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(c, \left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(c, \left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(c, \left(cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 11.0%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 11.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-c \cdot \left(cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right)} \]

9. Final simplification 11.0%

   \[\leadsto 0 - c \cdot \left(cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 17: 10.7% accurate, 107.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - c \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c) :precision binary32 (- 1.0 c))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f - c;
}

Fortran

real(4) function code(costheta, c)
    real(4), intent (in) :: costheta
    real(4), intent (in) :: c
    code = 1.0e0 - c
end function

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) - c)
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) - c;
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{cosTheta}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 92.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 92.7%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\color{blue}{\frac{1}{cosTheta}}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}} \]

8. Taylor expanded in cosTheta around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + c}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + c\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 10.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{c}\right)\right) \]

10. Simplified 10.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + c}} \]

11. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \color{blue}{1 + -1 \cdot c} \]
12. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto 1 + \left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right) \]

    2. unsub-neg N/A

       \[\leadsto 1 - \color{blue}{c} \]

    3. --lowering--.f32 10.8%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{c}\right) \]

13. Simplified 10.8%

    \[\leadsto \color{blue}{1 - c} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 18: 10.7% accurate, 322.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c) :precision binary32 1.0)

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f;
}

Fortran

real(4) function code(costheta, c)
    real(4), intent (in) :: costheta
    real(4), intent (in) :: c
    code = 1.0e0
end function

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + c\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot 1}{\color{blue}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{e^{\color{blue}{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   9. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{cosTheta}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 92.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 92.7%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{\color{blue}{\frac{1}{cosTheta}}}{\sqrt{\pi} \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}} \]

8. Taylor expanded in cosTheta around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + c}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + c\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 10.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{c}\right)\right) \]

10. Simplified 10.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + c}} \]

11. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \color{blue}{1} \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 10.8%

    \[\leadsto \color{blue}{1} \]
14. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024138 
(FPCore (cosTheta c)
  :name "Beckmann Sample, normalization factor"
  :precision binary32
  :pre (and (and (< 0.0 cosTheta) (< cosTheta 0.9999)) (and (< -1.0 c) (< c 1.0)))
  (/ 1.0 (+ (+ 1.0 c) (* (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (/ (sqrt (- (- 1.0 cosTheta) cosTheta)) cosTheta)) (exp (* (- cosTheta) cosTheta))))))