Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, D

Percentage Accurate: 97.9% → 99.4%

Time: 17.1s

Alternatives: 3

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (1.0d0 / 3.0d0) * acos((((3.0d0 * (x / (y * 27.0d0))) / (z * 2.0d0)) * sqrt(t)))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * Math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * Math.sqrt(t)));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (1.0 / 3.0) * math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * math.sqrt(t)))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(1.0 / 3.0) * acos(Float64(Float64(Float64(3.0 * Float64(x / Float64(y * 27.0))) / Float64(z * 2.0)) * sqrt(t))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision] * N[ArcCos[N[(N[(N[(3.0 * N[(x / N[(y * 27.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(z * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (1.0d0 / 3.0d0) * acos((((3.0d0 * (x / (y * 27.0d0))) / (z * 2.0d0)) * sqrt(t)))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * Math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * Math.sqrt(t)));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (1.0 / 3.0) * math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * math.sqrt(t)))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(1.0 / 3.0) * acos(Float64(Float64(Float64(3.0 * Float64(x / Float64(y * 27.0))) / Float64(z * 2.0)) * sqrt(t))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision] * N[ArcCos[N[(N[(N[(3.0 * N[(x / N[(y * 27.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(z * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{\frac{x}{y}}{z} \cdot \left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right)\right), 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  -1.0
  (fma
   0.3333333333333333
   (acos (* (/ (/ x y) z) (* 0.05555555555555555 (sqrt t))))
   1.0)))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return -1.0 + fma(0.3333333333333333, acos((((x / y) / z) * (0.05555555555555555 * sqrt(t)))), 1.0);
}

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(-1.0 + fma(0.3333333333333333, acos(Float64(Float64(Float64(x / y) / z) * Float64(0.05555555555555555 * sqrt(t)))), 1.0))
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(-1.0 + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(N[(N[(x / y), $MachinePrecision] / z), $MachinePrecision] * N[(0.05555555555555555 * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0 97.7%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{0.05555555555555555 \cdot x}{y \cdot z}} \cdot \sqrt{t}\right) \]

   2. *-commutative 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{x \cdot 0.05555555555555555}}{y \cdot z} \cdot \sqrt{t}\right) \]

7. Simplified 97.7%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{x \cdot 0.05555555555555555}{y \cdot z}} \cdot \sqrt{t}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x \cdot 0.05555555555555555}{y \cdot z} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-undefine 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x \cdot 0.05555555555555555}{y \cdot z} \cdot \sqrt{t}\right)\right)} - 1} \]

   3. clear-num 99.1%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{y \cdot z}{x \cdot 0.05555555555555555}}} \cdot \sqrt{t}\right)\right)} - 1 \]

   4. associate-*l/ 99.1%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{1 \cdot \sqrt{t}}{\frac{y \cdot z}{x \cdot 0.05555555555555555}}\right)}\right)} - 1 \]

   5. *-un-lft-identity 99.1%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{t}}}{\frac{y \cdot z}{x \cdot 0.05555555555555555}}\right)\right)} - 1 \]

   6. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{\color{blue}{z \cdot y}}{x \cdot 0.05555555555555555}}\right)\right)} - 1 \]

   7. times-frac 98.6%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{t}}{\color{blue}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}}\right)\right)} - 1 \]

9. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)\right)} - 1} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sub-neg 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)\right)} + \left(-1\right)} \]

    2. metadata-eval 98.6%

       \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)\right)} + \color{blue}{-1} \]

    3. +-commutative 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{-1 + e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)\right)}} \]

    4. log1p-undefine 96.2%

       \[\leadsto -1 + e^{\color{blue}{\log \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)\right)}} \]

    5. rem-exp-log 96.2%

       \[\leadsto -1 + \color{blue}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)\right)} \]

    6. +-commutative 96.2%

       \[\leadsto -1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right) + 1\right)} \]

    7. fma-define 98.6%

       \[\leadsto -1 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right), 1\right)} \]

11. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \color{blue}{-1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{\frac{x}{y}}{z} \cdot \left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right)\right), 1\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} 0, 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+ -1.0 (fma 0.3333333333333333 (acos 0.0) 1.0)))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return -1.0 + fma(0.3333333333333333, acos(0.0), 1.0);
}

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(-1.0 + fma(0.3333333333333333, acos(0.0), 1.0))
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(-1.0 + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[0.0], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0 97.7%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{0.05555555555555555 \cdot x}{y \cdot z}} \cdot \sqrt{t}\right) \]

   2. *-commutative 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{x \cdot 0.05555555555555555}}{y \cdot z} \cdot \sqrt{t}\right) \]

7. Simplified 97.7%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{x \cdot 0.05555555555555555}{y \cdot z}} \cdot \sqrt{t}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot 0.05555555555555555\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \]

   2. expm1-log1p-u 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   3. associate-*r* 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{y \cdot z} \cdot \left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. expm1-undefine 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot \left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right)\right)} - 1\right)} \]

   5. associate-*r* 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}}\right)} - 1\right) \]

   6. associate-*l/ 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x \cdot 0.05555555555555555}{y \cdot z}} \cdot \sqrt{t}\right)} - 1\right) \]

   7. clear-num 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{y \cdot z}{x \cdot 0.05555555555555555}}} \cdot \sqrt{t}\right)} - 1\right) \]

   8. associate-*l/ 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{1 \cdot \sqrt{t}}{\frac{y \cdot z}{x \cdot 0.05555555555555555}}}\right)} - 1\right) \]

   9. *-un-lft-identity 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{t}}}{\frac{y \cdot z}{x \cdot 0.05555555555555555}}\right)} - 1\right) \]

   10. *-commutative 97.7%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{\color{blue}{z \cdot y}}{x \cdot 0.05555555555555555}}\right)} - 1\right) \]

   11. times-frac 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\color{blue}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}}\right)} - 1\right) \]

9. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)} - 1\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sub-neg 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)} + \left(-1\right)\right)} \]

    2. metadata-eval 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)} + \color{blue}{-1}\right) \]

    3. +-commutative 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 + e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)}\right)} \]

    4. log1p-undefine 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + e^{\color{blue}{\log \left(1 + \frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)}}\right) \]

    5. rem-exp-log 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \color{blue}{\left(1 + \frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)}\right) \]

    6. +-commutative 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}} + 1\right)}\right) \]

    7. associate-*r/ 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\frac{\sqrt{t}}{\color{blue}{\frac{\frac{z}{x} \cdot y}{0.05555555555555555}}} + 1\right)\right) \]

    8. *-commutative 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{\color{blue}{y \cdot \frac{z}{x}}}{0.05555555555555555}} + 1\right)\right) \]

    9. associate-/r/ 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{t}}{y \cdot \frac{z}{x}} \cdot 0.05555555555555555} + 1\right)\right) \]

    10. *-commutative 97.1%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{0.05555555555555555 \cdot \frac{\sqrt{t}}{y \cdot \frac{z}{x}}} + 1\right)\right) \]

    11. associate-/l* 97.1%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{\frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{y \cdot \frac{z}{x}}} + 1\right)\right) \]

    12. associate-*r/ 97.7%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\frac{y \cdot z}{x}}} + 1\right)\right) \]

    13. associate-/r/ 97.7%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{\frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{y \cdot z} \cdot x} + 1\right)\right) \]

    14. /-rgt-identity 97.7%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{y \cdot z} \cdot \color{blue}{\frac{x}{1}} + 1\right)\right) \]

    15. times-frac 96.9%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{\frac{\left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right) \cdot x}{\left(y \cdot z\right) \cdot 1}} + 1\right)\right) \]

    16. *-rgt-identity 96.9%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\frac{\left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right) \cdot x}{\color{blue}{y \cdot z}} + 1\right)\right) \]

    17. associate-*r/ 97.7%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{x}{y \cdot z}} + 1\right)\right) \]

    18. associate-*r* 97.7%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{0.05555555555555555 \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)} + 1\right)\right) \]

11. Simplified 98.5%

    \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 + \mathsf{fma}\left(0.05555555555555555, \frac{\frac{x}{y}}{z} \cdot \sqrt{t}, 1\right)\right)} \]

12. Taylor expanded in x around 0 96.5%

    \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \color{blue}{1}\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. expm1-log1p-u 96.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + 1\right)\right)\right)} \]

    2. expm1-undefine 98.0%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + 1\right)\right)} - 1} \]

    3. metadata-eval 98.0%

       \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{0}\right)} - 1 \]

14. Applied egg-rr 98.0%

    \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} 0\right)} - 1} \]
15. Step-by-step derivation

    1. sub-neg 98.0%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} 0\right)} + \left(-1\right)} \]

    2. metadata-eval 98.0%

       \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} 0\right)} + \color{blue}{-1} \]

    3. +-commutative 98.0%

       \[\leadsto \color{blue}{-1 + e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} 0\right)}} \]

    4. log1p-undefine 95.6%

       \[\leadsto -1 + e^{\color{blue}{\log \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} 0\right)}} \]

    5. rem-exp-log 95.6%

       \[\leadsto -1 + \color{blue}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} 0\right)} \]

    6. +-commutative 95.6%

       \[\leadsto -1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} 0 + 1\right)} \]

    7. fma-define 98.0%

       \[\leadsto -1 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} 0, 1\right)} \]

16. Simplified 98.0%

    \[\leadsto \color{blue}{-1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} 0, 1\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* 0.3333333333333333 (acos 0.0)))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.3333333333333333 * acos(0.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.3333333333333333d0 * acos(0.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.3333333333333333 * Math.acos(0.0);
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return 0.3333333333333333 * math.acos(0.0)

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.3333333333333333 * acos(0.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.3333333333333333 * acos(0.0);
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[0.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0 97.7%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{0.05555555555555555 \cdot x}{y \cdot z}} \cdot \sqrt{t}\right) \]

   2. *-commutative 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{x \cdot 0.05555555555555555}}{y \cdot z} \cdot \sqrt{t}\right) \]

7. Simplified 97.7%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{x \cdot 0.05555555555555555}{y \cdot z}} \cdot \sqrt{t}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot 0.05555555555555555\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \]

   2. expm1-log1p-u 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   3. associate-*r* 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{y \cdot z} \cdot \left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. expm1-undefine 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot \left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right)\right)} - 1\right)} \]

   5. associate-*r* 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}}\right)} - 1\right) \]

   6. associate-*l/ 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x \cdot 0.05555555555555555}{y \cdot z}} \cdot \sqrt{t}\right)} - 1\right) \]

   7. clear-num 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{y \cdot z}{x \cdot 0.05555555555555555}}} \cdot \sqrt{t}\right)} - 1\right) \]

   8. associate-*l/ 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{1 \cdot \sqrt{t}}{\frac{y \cdot z}{x \cdot 0.05555555555555555}}}\right)} - 1\right) \]

   9. *-un-lft-identity 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{t}}}{\frac{y \cdot z}{x \cdot 0.05555555555555555}}\right)} - 1\right) \]

   10. *-commutative 97.7%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{\color{blue}{z \cdot y}}{x \cdot 0.05555555555555555}}\right)} - 1\right) \]

   11. times-frac 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\color{blue}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}}\right)} - 1\right) \]

9. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)} - 1\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sub-neg 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)} + \left(-1\right)\right)} \]

    2. metadata-eval 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)} + \color{blue}{-1}\right) \]

    3. +-commutative 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 + e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)}\right)} \]

    4. log1p-undefine 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + e^{\color{blue}{\log \left(1 + \frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)}}\right) \]

    5. rem-exp-log 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \color{blue}{\left(1 + \frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}}\right)}\right) \]

    6. +-commutative 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{z}{x} \cdot \frac{y}{0.05555555555555555}} + 1\right)}\right) \]

    7. associate-*r/ 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\frac{\sqrt{t}}{\color{blue}{\frac{\frac{z}{x} \cdot y}{0.05555555555555555}}} + 1\right)\right) \]

    8. *-commutative 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\frac{\sqrt{t}}{\frac{\color{blue}{y \cdot \frac{z}{x}}}{0.05555555555555555}} + 1\right)\right) \]

    9. associate-/r/ 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{t}}{y \cdot \frac{z}{x}} \cdot 0.05555555555555555} + 1\right)\right) \]

    10. *-commutative 97.1%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{0.05555555555555555 \cdot \frac{\sqrt{t}}{y \cdot \frac{z}{x}}} + 1\right)\right) \]

    11. associate-/l* 97.1%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{\frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{y \cdot \frac{z}{x}}} + 1\right)\right) \]

    12. associate-*r/ 97.7%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\frac{y \cdot z}{x}}} + 1\right)\right) \]

    13. associate-/r/ 97.7%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{\frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{y \cdot z} \cdot x} + 1\right)\right) \]

    14. /-rgt-identity 97.7%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\frac{0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}}{y \cdot z} \cdot \color{blue}{\frac{x}{1}} + 1\right)\right) \]

    15. times-frac 96.9%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{\frac{\left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right) \cdot x}{\left(y \cdot z\right) \cdot 1}} + 1\right)\right) \]

    16. *-rgt-identity 96.9%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\frac{\left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right) \cdot x}{\color{blue}{y \cdot z}} + 1\right)\right) \]

    17. associate-*r/ 97.7%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(0.05555555555555555 \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{x}{y \cdot z}} + 1\right)\right) \]

    18. associate-*r* 97.7%

        \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \left(\color{blue}{0.05555555555555555 \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)} + 1\right)\right) \]

11. Simplified 98.5%

    \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 + \mathsf{fma}\left(0.05555555555555555, \frac{\frac{x}{y}}{z} \cdot \sqrt{t}, 1\right)\right)} \]

12. Taylor expanded in x around 0 96.5%

    \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + \color{blue}{1}\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. pow1 96.5%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 + 1\right)\right)}^{1}} \]

    2. metadata-eval 96.5%

       \[\leadsto {\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{0}\right)}^{1} \]

14. Applied egg-rr 96.5%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} 0\right)}^{1}} \]
15. Step-by-step derivation

    1. unpow1 96.5%

       \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} 0} \]

16. Simplified 96.5%

    \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} 0} \]
17. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{x}{27}}{y \cdot z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\frac{2}{3}}\right)}{3} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (/ (acos (* (/ (/ x 27.0) (* y z)) (/ (sqrt t) (/ 2.0 3.0)))) 3.0))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = acos((((x / 27.0d0) / (y * z)) * (sqrt(t) / (2.0d0 / 3.0d0)))) / 3.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return Math.acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (Math.sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0;
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return math.acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (math.sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(acos(Float64(Float64(Float64(x / 27.0) / Float64(y * z)) * Float64(sqrt(t) / Float64(2.0 / 3.0)))) / 3.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0;
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[ArcCos[N[(N[(N[(x / 27.0), $MachinePrecision] / N[(y * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] / N[(2.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024137 
(FPCore (x y z t)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, D"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (acos (* (/ (/ x 27) (* y z)) (/ (sqrt t) (/ 2 3)))) 3))

  (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))