2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.3% → 99.4%

Time: 21.6s

Alternatives: 11

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sin x}{\cos x}\\ t_1 := {t\_0}^{2}\\ t_2 := 1 + t\_1\\ 0 - {\left({\left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(t\_0 \cdot t\_2 + \varepsilon \cdot \left(\left({\left(t\_0 \cdot \mathsf{hypot}\left(1, t\_0\right)\right)}^{2} - \mathsf{fma}\left(-0.5, t\_2, t\_1 \cdot 0.16666666666666666\right)\right) - 0.16666666666666666\right)\right)\right) + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-\varepsilon\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sin x) (cos x))) (t_1 (pow t_0 2.0)) (t_2 (+ 1.0 t_1)))
   (-
    0.0
    (*
     (pow
      (pow
       (+
        (+
         1.0
         (*
          eps
          (+
           (* t_0 t_2)
           (*
            eps
            (-
             (-
              (pow (* t_0 (hypot 1.0 t_0)) 2.0)
              (fma -0.5 t_2 (* t_1 0.16666666666666666)))
             0.16666666666666666)))))
        (* (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) -2.0)))
       3.0)
      0.3333333333333333)
     (- eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = sin(x) / cos(x);
	double t_1 = pow(t_0, 2.0);
	double t_2 = 1.0 + t_1;
	return 0.0 - (pow(pow(((1.0 + (eps * ((t_0 * t_2) + (eps * ((pow((t_0 * hypot(1.0, t_0)), 2.0) - fma(-0.5, t_2, (t_1 * 0.16666666666666666))) - 0.16666666666666666))))) + (pow(sin(x), 2.0) * pow(cos(x), -2.0))), 3.0), 0.3333333333333333) * -eps);
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(sin(x) / cos(x))
	t_1 = t_0 ^ 2.0
	t_2 = Float64(1.0 + t_1)
	return Float64(0.0 - Float64(((Float64(Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(Float64(t_0 * t_2) + Float64(eps * Float64(Float64((Float64(t_0 * hypot(1.0, t_0)) ^ 2.0) - fma(-0.5, t_2, Float64(t_1 * 0.16666666666666666))) - 0.16666666666666666))))) + Float64((sin(x) ^ 2.0) * (cos(x) ^ -2.0))) ^ 3.0) ^ 0.3333333333333333) * Float64(-eps)))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]}, N[(0.0 - N[(N[Power[N[Power[N[(N[(1.0 + N[(eps * N[(N[(t$95$0 * t$95$2), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[Power[N[(t$95$0 * N[Sqrt[1.0 ^ 2 + t$95$0 ^ 2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] - N[(-0.5 * t$95$2 + N[(t$95$1 * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] * N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision], 0.3333333333333333], $MachinePrecision] * (-eps)), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{{\left({\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-1, \varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}, \left(1 + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right) \cdot -0.5\right)\right)\right), \sin x \cdot \frac{1 + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}}{\cos x}\right), 1\right) + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

6. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot {\left({\left(\color{blue}{\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)} + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

8. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot {\left({\left(\left(1 + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(-\varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, {\left(\frac{\sin x \cdot \mathsf{hypot}\left(1, \frac{\sin x}{\cos x}\right)}{\cos x}\right)}^{2}, \mathsf{fma}\left(1 + {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}, -0.5, 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \frac{1 + {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}}{\cos x}\right)\right)}\right) + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

10. Simplified 99.6%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot {\left({\left(\left(1 + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} - \varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}, 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}\right) - {\left(\mathsf{hypot}\left(1, \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right) + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

11. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto 0 - {\left({\left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \mathsf{hypot}\left(1, \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)}^{2} - \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}, {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right) - 0.16666666666666666\right)\right)\right) + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-\varepsilon\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.2% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \frac{1 + t\_0}{\cos x}\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0))))
   (* eps (+ 1.0 (+ t_0 (* eps (* (sin x) (/ (+ 1.0 t_0) (cos x)))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0);
	return eps * (1.0 + (t_0 + (eps * (sin(x) * ((1.0 + t_0) / cos(x))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = (sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)
    code = eps * (1.0d0 + (t_0 + (eps * (sin(x) * ((1.0d0 + t_0) / cos(x))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	return eps * (1.0 + (t_0 + (eps * (Math.sin(x) * ((1.0 + t_0) / Math.cos(x))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)
	return eps * (1.0 + (t_0 + (eps * (math.sin(x) * ((1.0 + t_0) / math.cos(x))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(sin(x) * Float64(Float64(1.0 + t_0) / cos(x)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = (sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0);
	tmp = eps * (1.0 + (t_0 + (eps * (sin(x) * ((1.0 + t_0) / cos(x))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(1.0 + N[(t$95$0 + N[(eps * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{{\left({\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-1, \varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-1, {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}, \left(1 + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right) \cdot -0.5\right)\right)\right), \sin x \cdot \frac{1 + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}}{\cos x}\right), 1\right) + {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

6. Taylor expanded in eps around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{\varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

8. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right)\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(1 + \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0))
   (+ 1.0 (* eps (+ x (* eps 0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0)) + (1.0 + (eps * (x + (eps * 0.3333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (((sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)) + (1.0d0 + (eps * (x + (eps * 0.3333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0)) + (1.0 + (eps * (x + (eps * 0.3333333333333333)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)) + (1.0 + (eps * (x + (eps * 0.3333333333333333)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(x + Float64(eps * 0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + (1.0 + (eps * (x + (eps * 0.3333333333333333)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(eps * N[(x + N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(x + 0.3333333333333333 \cdot \varepsilon\right)}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(x + \color{blue}{\varepsilon \cdot 0.3333333333333333}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

6. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(x + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

7. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(1 + \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ 1.0 (pow (/ (sin x) (cos x)) 2.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + pow((sin(x) / cos(x)), 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + ((sin(x) / cos(x)) ** 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + Math.pow((Math.sin(x) / Math.cos(x)), 2.0));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + math.pow((math.sin(x) / math.cos(x)), 2.0))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + (Float64(sin(x) / cos(x)) ^ 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + ((sin(x) / cos(x)) ^ 2.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[Power[N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 25.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}} \]

   2. pow1/3 24.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   3. pow3 24.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

4. Applied egg-rr 24.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 35.5%

   \[\leadsto {\color{blue}{\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 35.5%

      \[\leadsto {\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\color{blue}{\left(1 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   2. mul-1-neg 35.5%

      \[\leadsto {\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 + \left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   3. remove-double-neg 35.5%

      \[\leadsto {\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

7. Simplified 35.5%

   \[\leadsto {\color{blue}{\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 37.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}^{3}}} \]

   2. *-commutative 37.8%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}^{3} \cdot {\varepsilon}^{3}}} \]

   3. cbrt-prod 37.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{\varepsilon}^{3}}} \]

   4. rem-cbrt-cube 37.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \cdot \sqrt[3]{{\varepsilon}^{3}} \]

   5. rem-cbrt-cube 99.1%

      \[\leadsto \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

9. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}\right) \cdot \varepsilon} \]

10. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + {\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{2}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.2% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot 1.3333333333333333 + x \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right)\right) - {x}^{2} \cdot \left(-1 + {x}^{2} \cdot -0.6666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (-
   (+
    1.0
    (*
     eps
     (+
      (* eps 0.3333333333333333)
      (*
       x
       (+
        1.0
        (* x (+ (* eps 1.3333333333333333) (* x 1.3333333333333333))))))))
   (* (pow x 2.0) (+ -1.0 (* (pow x 2.0) -0.6666666666666666))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + (eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * (1.0 + (x * ((eps * 1.3333333333333333) + (x * 1.3333333333333333)))))))) - (pow(x, 2.0) * (-1.0 + (pow(x, 2.0) * -0.6666666666666666))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((1.0d0 + (eps * ((eps * 0.3333333333333333d0) + (x * (1.0d0 + (x * ((eps * 1.3333333333333333d0) + (x * 1.3333333333333333d0)))))))) - ((x ** 2.0d0) * ((-1.0d0) + ((x ** 2.0d0) * (-0.6666666666666666d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + (eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * (1.0 + (x * ((eps * 1.3333333333333333) + (x * 1.3333333333333333)))))))) - (Math.pow(x, 2.0) * (-1.0 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.6666666666666666))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((1.0 + (eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * (1.0 + (x * ((eps * 1.3333333333333333) + (x * 1.3333333333333333)))))))) - (math.pow(x, 2.0) * (-1.0 + (math.pow(x, 2.0) * -0.6666666666666666))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(Float64(eps * 0.3333333333333333) + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(eps * 1.3333333333333333) + Float64(x * 1.3333333333333333)))))))) - Float64((x ^ 2.0) * Float64(-1.0 + Float64((x ^ 2.0) * -0.6666666666666666)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((1.0 + (eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * (1.0 + (x * ((eps * 1.3333333333333333) + (x * 1.3333333333333333)))))))) - ((x ^ 2.0) * (-1.0 + ((x ^ 2.0) * -0.6666666666666666))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(1.0 + N[(eps * N[(N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(N[(eps * 1.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot \varepsilon + 1.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right)}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0 98.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot \varepsilon + 1.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right)\right) - \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{2} - 1\right)}\right) \]

6. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot 1.3333333333333333 + x \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right)\right) - {x}^{2} \cdot \left(-1 + {x}^{2} \cdot -0.6666666666666666\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+ eps (* (pow x 2.0) (+ eps (* (pow x 2.0) (* eps 0.6666666666666666))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (pow(x, 2.0) * (eps + (pow(x, 2.0) * (eps * 0.6666666666666666))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + ((x ** 2.0d0) * (eps + ((x ** 2.0d0) * (eps * 0.6666666666666666d0))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (Math.pow(x, 2.0) * (eps + (Math.pow(x, 2.0) * (eps * 0.6666666666666666))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (math.pow(x, 2.0) * (eps + (math.pow(x, 2.0) * (eps * 0.6666666666666666))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64((x ^ 2.0) * Float64(eps + Float64((x ^ 2.0) * Float64(eps * 0.6666666666666666)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + ((x ^ 2.0) * (eps + ((x ^ 2.0) * (eps * 0.6666666666666666))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(eps + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(eps * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 25.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}} \]

   2. pow1/3 24.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   3. pow3 24.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

4. Applied egg-rr 24.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 35.5%

   \[\leadsto {\color{blue}{\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 35.5%

      \[\leadsto {\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\color{blue}{\left(1 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   2. mul-1-neg 35.5%

      \[\leadsto {\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 + \left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   3. remove-double-neg 35.5%

      \[\leadsto {\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

7. Simplified 35.5%

   \[\leadsto {\color{blue}{\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

8. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right) \cdot {x}^{2}}\right) \]

   2. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right)} \cdot {x}^{2}\right) \]

10. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

11. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.1% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot 1.3333333333333333 + x \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + {x}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (+
    1.0
    (*
     eps
     (+
      (* eps 0.3333333333333333)
      (*
       x
       (+
        1.0
        (* x (+ (* eps 1.3333333333333333) (* x 1.3333333333333333))))))))
   (pow x 2.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + (eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * (1.0 + (x * ((eps * 1.3333333333333333) + (x * 1.3333333333333333)))))))) + pow(x, 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((1.0d0 + (eps * ((eps * 0.3333333333333333d0) + (x * (1.0d0 + (x * ((eps * 1.3333333333333333d0) + (x * 1.3333333333333333d0)))))))) + (x ** 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + (eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * (1.0 + (x * ((eps * 1.3333333333333333) + (x * 1.3333333333333333)))))))) + Math.pow(x, 2.0));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((1.0 + (eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * (1.0 + (x * ((eps * 1.3333333333333333) + (x * 1.3333333333333333)))))))) + math.pow(x, 2.0))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(Float64(eps * 0.3333333333333333) + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(eps * 1.3333333333333333) + Float64(x * 1.3333333333333333)))))))) + (x ^ 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((1.0 + (eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * (1.0 + (x * ((eps * 1.3333333333333333) + (x * 1.3333333333333333)))))))) + (x ^ 2.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(1.0 + N[(eps * N[(N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(N[(eps * 1.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot \varepsilon + 1.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right)}\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot \varepsilon + 1.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right)\right) - \color{blue}{-1 \cdot {x}^{2}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 98.6%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot \varepsilon + 1.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right)\right) - \color{blue}{\left(-{x}^{2}\right)}\right) \]

7. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(1.3333333333333333 \cdot \varepsilon + 1.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right)\right) - \color{blue}{\left(-{x}^{2}\right)}\right) \]

8. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot 1.3333333333333333 + x \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + {x}^{2}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* eps (pow x 2.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * pow(x, 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * (x ** 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * Math.pow(x, 2.0));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * math.pow(x, 2.0))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * (x ^ 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * (x ^ 2.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 25.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}} \]

   2. pow1/3 24.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)\right) \cdot \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   3. pow3 24.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

4. Applied egg-rr 24.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 35.5%

   \[\leadsto {\color{blue}{\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 35.5%

      \[\leadsto {\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\color{blue}{\left(1 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   2. mul-1-neg 35.5%

      \[\leadsto {\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 + \left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

   3. remove-double-neg 35.5%

      \[\leadsto {\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

7. Simplified 35.5%

   \[\leadsto {\color{blue}{\left({\varepsilon}^{3} \cdot {\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

8. Taylor expanded in x around 0 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + \varepsilon \cdot {x}^{2}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 97.6% accurate, 22.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ 1.0 (* 0.3333333333333333 (* eps eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (0.3333333333333333 * (eps * eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (eps * eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (0.3333333333333333 * (eps * eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + (0.3333333333333333 * (eps * eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + (0.3333333333333333 * (eps * eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.2%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{{\varepsilon}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right) \]

6. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + {\varepsilon}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.2%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)} \cdot 0.3333333333333333\right) \]

8. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)} \cdot 0.3333333333333333\right) \]

9. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 97.6% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.2%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{{\varepsilon}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right) \]

6. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + {\varepsilon}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

7. Taylor expanded in eps around 0 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 11: 5.4% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x, double eps) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x, eps):
	return 0.0

Julia

function code(x, eps)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 62.9%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 5.4%

   \[\leadsto \tan \color{blue}{x} - \tan x \]

4. Taylor expanded in x around 0 5.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
5. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024137 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))