ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 54.2% → 99.6%

Time: 13.1s

Alternatives: 5

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.00023644179894179894 - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (*
   (pow x 4.0)
   (-
    (*
     (pow x 2.0)
     (- (* (pow x 2.0) -0.00023644179894179894) 0.0007275132275132275))
    0.06388888888888888))
  (* (* x x) 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 4.0) * ((pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * -0.00023644179894179894) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)) + ((x * x) * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 4.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (-0.00023644179894179894d0)) - 0.0007275132275132275d0)) - 0.06388888888888888d0)) + ((x * x) * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 4.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * -0.00023644179894179894) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)) + ((x * x) * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 4.0) * ((math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * -0.00023644179894179894) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)) + ((x * x) * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 4.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * -0.00023644179894179894) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)) + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 4.0) * (((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * -0.00023644179894179894) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)) + ((x * x) * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.00023644179894179894), $MachinePrecision] - 0.0007275132275132275), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.3%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right) + 0.16666666666666666\right)} \]

   2. distribute-rgt-in 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right) \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   3. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   4. associate-*l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   5. fma-neg 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   6. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.00023644179894179894} - 0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   7. fma-neg 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.00023644179894179894, -0.0007275132275132275\right)}, -0.06388888888888888\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   8. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.00023644179894179894, \color{blue}{-0.0007275132275132275}\right), -0.06388888888888888\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   9. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.00023644179894179894, -0.0007275132275132275\right), \color{blue}{-0.06388888888888888}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   10. pow-prod-up 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.00023644179894179894, -0.0007275132275132275\right), -0.06388888888888888\right) \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   11. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.00023644179894179894, -0.0007275132275132275\right), -0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{\color{blue}{4}} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   12. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.00023644179894179894, -0.0007275132275132275\right), -0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

5. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.00023644179894179894, -0.0007275132275132275\right), -0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{4} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.3%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right) + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

8. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto {x}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right) + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

9. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto {x}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.00023644179894179894 - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (-
     (* (* x x) (- (* -0.00023644179894179894 (* x x)) 0.0007275132275132275))
     0.06388888888888888)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * (((x * x) * ((-0.00023644179894179894 * (x * x)) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x * x) * (((-0.00023644179894179894d0) * (x * x)) - 0.0007275132275132275d0)) - 0.06388888888888888d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * (((x * x) * ((-0.00023644179894179894 * (x * x)) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * (((x * x) * ((-0.00023644179894179894 * (x * x)) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * Float64(x * x)) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x * x) * ((-0.00023644179894179894 * (x * x)) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.0007275132275132275), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.3%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right) + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

5. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.3%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right) + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

7. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* (* x x) -0.06388888888888888))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.06388888888888888));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * (-0.06388888888888888d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.06388888888888888));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.06388888888888888))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * -0.06388888888888888)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.06388888888888888));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.3%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right) + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

7. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.06388888888888888\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* x x) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 84.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

6. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.3%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right) + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

8. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 55.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
5. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024136 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 1/6 (* x x)))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))