bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.2% → 96.9%

Time: 14.8s

Alternatives: 7

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 2.5985763660861452e+203

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 96.9% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\\ \left({\left({x}^{2} \cdot t\_0\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, t\_0 \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, t\_0, -0.16666666666666666\right), 0.027777777777777776\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma (pow x 2.0) 0.0003527336860670194 -0.005555555555555556)))
   (*
    (+ (pow (* (pow x 2.0) t_0) 3.0) 0.004629629629629629)
    (/
     (pow x 2.0)
     (fma
      (pow x 2.0)
      (* t_0 (fma (pow x 2.0) t_0 -0.16666666666666666))
      0.027777777777777776)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = fma(pow(x, 2.0), 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556);
	return (pow((pow(x, 2.0) * t_0), 3.0) + 0.004629629629629629) * (pow(x, 2.0) / fma(pow(x, 2.0), (t_0 * fma(pow(x, 2.0), t_0, -0.16666666666666666)), 0.027777777777777776));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = fma((x ^ 2.0), 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556)
	return Float64(Float64((Float64((x ^ 2.0) * t_0) ^ 3.0) + 0.004629629629629629) * Float64((x ^ 2.0) / fma((x ^ 2.0), Float64(t_0 * fma((x ^ 2.0), t_0, -0.16666666666666666)), 0.027777777777777776)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194 + -0.005555555555555556), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Power[N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] + 0.004629629629629629), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] / N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * t$95$0 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 52.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ 95.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{{0.16666666666666666}^{3} + {\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}^{3}}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)\right)}} \]

   2. associate-*r/ 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left({0.16666666666666666}^{3} + {\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}^{3}\right)}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)\right)}} \]

5. Applied egg-rr 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right)}{0.027777777777777776 + \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot {x}^{2}}}{0.027777777777777776 + \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right)} \]

   2. associate-/l* 96.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.027777777777777776 + \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right)}} \]

   3. +-commutative 96.6%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right) + 0.027777777777777776}} \]

   4. associate-*l* 96.6%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right)\right)} + 0.027777777777777776} \]

   5. fma-define 96.6%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right), 0.027777777777777776\right)}} \]

   6. fma-neg 96.6%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right), -0.16666666666666666\right)}, 0.027777777777777776\right)} \]

   7. metadata-eval 96.6%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right), \color{blue}{-0.16666666666666666}\right), 0.027777777777777776\right)} \]

7. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right), -0.16666666666666666\right), 0.027777777777777776\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.9% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\\ \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, t\_0 \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, t\_0, -0.16666666666666666\right), 0.027777777777777776\right)} \cdot \left(0.004629629629629629 + 4.388749675006229 \cdot 10^{-11} \cdot {x}^{12}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma (pow x 2.0) 0.0003527336860670194 -0.005555555555555556)))
   (*
    (/
     (pow x 2.0)
     (fma
      (pow x 2.0)
      (* t_0 (fma (pow x 2.0) t_0 -0.16666666666666666))
      0.027777777777777776))
    (+ 0.004629629629629629 (* 4.388749675006229e-11 (pow x 12.0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = fma(pow(x, 2.0), 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556);
	return (pow(x, 2.0) / fma(pow(x, 2.0), (t_0 * fma(pow(x, 2.0), t_0, -0.16666666666666666)), 0.027777777777777776)) * (0.004629629629629629 + (4.388749675006229e-11 * pow(x, 12.0)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = fma((x ^ 2.0), 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556)
	return Float64(Float64((x ^ 2.0) / fma((x ^ 2.0), Float64(t_0 * fma((x ^ 2.0), t_0, -0.16666666666666666)), 0.027777777777777776)) * Float64(0.004629629629629629 + Float64(4.388749675006229e-11 * (x ^ 12.0))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194 + -0.005555555555555556), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] / N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * t$95$0 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.004629629629629629 + N[(4.388749675006229e-11 * N[Power[x, 12.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 52.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ 95.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{{0.16666666666666666}^{3} + {\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}^{3}}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)\right)}} \]

   2. associate-*r/ 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left({0.16666666666666666}^{3} + {\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}^{3}\right)}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)\right)}} \]

5. Applied egg-rr 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right)}{0.027777777777777776 + \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot {x}^{2}}}{0.027777777777777776 + \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right)} \]

   2. associate-/l* 96.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.027777777777777776 + \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right)}} \]

   3. +-commutative 96.6%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right) + 0.027777777777777776}} \]

   4. associate-*l* 96.6%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right)\right)} + 0.027777777777777776} \]

   5. fma-define 96.6%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666\right), 0.027777777777777776\right)}} \]

   6. fma-neg 96.6%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right), -0.16666666666666666\right)}, 0.027777777777777776\right)} \]

   7. metadata-eval 96.6%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right), \color{blue}{-0.16666666666666666}\right), 0.027777777777777776\right)} \]

7. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right), -0.16666666666666666\right), 0.027777777777777776\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around inf 96.6%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{4.388749675006229 \cdot 10^{-11} \cdot {x}^{12}} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right), -0.16666666666666666\right), 0.027777777777777776\right)} \]

9. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right), -0.16666666666666666\right), 0.027777777777777776\right)} \cdot \left(0.004629629629629629 + 4.388749675006229 \cdot 10^{-11} \cdot {x}^{12}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (fma (pow x 2.0) 0.0003527336860670194 -0.005555555555555556) (pow x 4.0))
  (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return (fma(pow(x, 2.0), 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556) * pow(x, 4.0)) + (pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(fma((x ^ 2.0), 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556) * (x ^ 4.0)) + Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194 + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. +-commutative 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   3. *-commutative 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   4. associate-*l* 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   5. *-commutative 96.5%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194} - 0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   6. fma-neg 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   7. metadata-eval 96.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   8. pow-prod-up 96.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   9. metadata-eval 96.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{\color{blue}{4}} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   10. *-commutative 96.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

5. Applied egg-rr 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194, -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* 0.0003527336860670194 (* x x)) 0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * (x * x)) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * ((0.0003527336860670194d0 * (x * x)) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * (x * x)) - 0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * (x * x)) - 0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64(0.0003527336860670194 * Float64(x * x)) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * ((0.0003527336860670194 * (x * x)) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0003527336860670194 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]

5. Applied egg-rr 96.5%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* -0.005555555555555556 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((-0.005555555555555556d0) * (x * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.005555555555555556 * Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.005555555555555556 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.1%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 96.1%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.005555555555555556\right) \]

8. Final simplification 96.1%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.3% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 52.1%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 52.1%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]

5. Simplified 52.1%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 95.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

8. Simplified 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 95.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

11. Final simplification 95.8%

    \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 49.8% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 52.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 50.6%

   \[\leadsto \log \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0} \]

5. Applied egg-rr 50.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024135 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs x) 17/200) (let ((x2 (* x x))) (* x2 (fma (fma (fma -1/37800 x2 1/2835) x2 -1/180) x2 1/6))) (log (/ (sinh x) x))))

  (log (/ (sinh x) x)))