2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 98.5%

Time: 6.6s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (fma PI 0.6666666666666666 (/ (acos (/ g (- h))) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos((g / -h)) / 3.0)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(g / Float64(-h))) / 3.0))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. fma-define 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   5. distribute-frac-neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   6. distribute-frac-neg2 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (acos (/ g (- h))) 3.0) (* PI 0.6666666666666666)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((acos((g / -h)) / 3.0) + (((double) M_PI) * 0.6666666666666666)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.acos((g / -h)) / 3.0) + (Math.PI * 0.6666666666666666)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((math.acos((g / -h)) / 3.0) + (math.pi * 0.6666666666666666)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(acos(Float64(g / Float64(-h))) / 3.0) + Float64(pi * 0.6666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((acos((g / -h)) / 3.0) + (pi * 0.6666666666666666)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. distribute-frac-neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right) \]

   5. distribute-frac-neg2 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 1.1666666666666667 - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (- (* PI 1.1666666666666667) (asin (/ g h))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((((double) M_PI) * 1.1666666666666667) - asin((g / h))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.PI * 1.1666666666666667) - Math.asin((g / h))));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((math.pi * 1.1666666666666667) - math.asin((g / h))))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(pi * 1.1666666666666667) - asin(Float64(g / h)))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((pi * 1.1666666666666667) - asin((g / h))));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(Pi * 1.1666666666666667), $MachinePrecision] - N[ArcSin[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. distribute-frac-neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right) \]

   5. distribute-frac-neg2 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. fma-define 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   2. frac-2neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{\frac{-\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}}\right)\right) \]

   3. distribute-frac-neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{-\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}}\right)\right) \]

   4. fmm-undef 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}\right)} \]

   5. add-sqr-sqrt 48.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{-h} \cdot \sqrt{-h}}}\right)}{-3}\right) \]

   6. sqrt-unprod 91.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{\left(-h\right) \cdot \left(-h\right)}}}\right)}{-3}\right) \]

   7. sqr-neg 91.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot h}}}\right)}{-3}\right) \]

   8. sqrt-unprod 48.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{h}}}\right)}{-3}\right) \]

   9. add-sqr-sqrt 96.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{h}}\right)}{-3}\right) \]

   10. metadata-eval 96.2%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{\color{blue}{-3}}\right) \]

6. Applied egg-rr 96.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3}\right)} \]

8. Applied egg-rr 94.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 94.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]

   2. fma-define 94.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}\right) \]

   3. +-commutative 94.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)}\right) \]

   4. associate-+r+ 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

   5. fma-undefine 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   6. *-commutative 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333} + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   7. distribute-lft-out 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)} + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   8. metadata-eval 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   9. distribute-lft-out 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + 0.3333333333333333\right)} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   10. metadata-eval 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{1} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   11. *-rgt-identity 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   12. *-commutative 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \pi}\right) \]

10. Simplified 95.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. acos-asin 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

    2. associate-+l- 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \left(\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} \]

    3. div-inv 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{1}{2}} - \left(\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \]

    4. metadata-eval 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{0.5} - \left(\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 95.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.5 - \left(\sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) - 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. associate--r- 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot 0.5 - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]

    2. +-commutative 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \left(\pi \cdot 0.5 - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)} \]

    3. associate--l+ 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \pi \cdot 0.5\right) - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)} \]

    4. *-commutative 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\color{blue}{\pi \cdot 0.6666666666666666} + \pi \cdot 0.5\right) - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

    5. distribute-lft-out 94.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \left(0.6666666666666666 + 0.5\right)} - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

    6. metadata-eval 97.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{1.1666666666666667} - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

14. Simplified 97.7%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 1.1666666666666667 - \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (acos (/ g h)) (* PI 0.6666666666666666)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((acos((g / h)) + (((double) M_PI) * 0.6666666666666666)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((Math.acos((g / h)) + (Math.PI * 0.6666666666666666)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((math.acos((g / h)) + (math.pi * 0.6666666666666666)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(acos(Float64(g / h)) + Float64(pi * 0.6666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((acos((g / h)) + (pi * 0.6666666666666666)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\pi \cdot 2}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/l* 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. distribute-frac-neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)}}{3}\right) \]

   5. distribute-frac-neg2 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{-h}\right)}}{3}\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. fma-define 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   2. frac-2neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{\frac{-\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}}\right)\right) \]

   3. distribute-frac-neg 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \color{blue}{-\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}}\right)\right) \]

   4. fmm-undef 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{-3}\right)} \]

   5. add-sqr-sqrt 48.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{-h} \cdot \sqrt{-h}}}\right)}{-3}\right) \]

   6. sqrt-unprod 91.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{\left(-h\right) \cdot \left(-h\right)}}}\right)}{-3}\right) \]

   7. sqr-neg 91.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot h}}}\right)}{-3}\right) \]

   8. sqrt-unprod 48.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\sqrt{h} \cdot \sqrt{h}}}\right)}{-3}\right) \]

   9. add-sqr-sqrt 96.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{h}}\right)}{-3}\right) \]

   10. metadata-eval 96.2%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{\color{blue}{-3}}\right) \]

6. Applied egg-rr 96.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}{-3}\right)} \]

8. Applied egg-rr 94.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 94.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]

   2. fma-define 94.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}\right) \]

   3. +-commutative 94.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)}\right) \]

   4. associate-+r+ 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

   5. fma-undefine 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   6. *-commutative 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333} + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   7. distribute-lft-out 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)} + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   8. metadata-eval 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.6666666666666666} + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   9. distribute-lft-out 95.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + 0.3333333333333333\right)} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   10. metadata-eval 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{1} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   11. *-rgt-identity 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

   12. *-commutative 95.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \pi}\right) \]

10. Simplified 95.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]

11. Final simplification 95.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024132 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))