2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.5% → 99.6%

Time: 23.6s

Alternatives: 12

Speedup: 2.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{-2}\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_1, 1\right)\\ t_3 := t\_0 \cdot t\_1\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(-0.5, t\_2, 0.16666666666666666 \cdot t\_3\right)\\ t_5 := t\_0 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_2\right)\\ t_6 := \frac{\sin x \cdot t\_2}{\cos x}\\ \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, -0.16666666666666666 + \left(\left(t\_5 - t\_4\right) - \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\left(0.16666666666666666 + t\_4\right) - t\_5, \tan x, t\_6 \cdot -0.3333333333333333\right)\right), t\_6\right), t\_3\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (pow (cos x) -2.0))
        (t_2 (fma t_0 t_1 1.0))
        (t_3 (* t_0 t_1))
        (t_4 (fma -0.5 t_2 (* 0.16666666666666666 t_3)))
        (t_5 (* t_0 (* t_1 t_2)))
        (t_6 (/ (* (sin x) t_2) (cos x))))
   (*
    eps
    (exp
     (log1p
      (fma
       eps
       (fma
        eps
        (+
         -0.16666666666666666
         (-
          (- t_5 t_4)
          (*
           eps
           (fma
            (- (+ 0.16666666666666666 t_4) t_5)
            (tan x)
            (* t_6 -0.3333333333333333)))))
        t_6)
       t_3))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), -2.0);
	double t_2 = fma(t_0, t_1, 1.0);
	double t_3 = t_0 * t_1;
	double t_4 = fma(-0.5, t_2, (0.16666666666666666 * t_3));
	double t_5 = t_0 * (t_1 * t_2);
	double t_6 = (sin(x) * t_2) / cos(x);
	return eps * exp(log1p(fma(eps, fma(eps, (-0.16666666666666666 + ((t_5 - t_4) - (eps * fma(((0.16666666666666666 + t_4) - t_5), tan(x), (t_6 * -0.3333333333333333))))), t_6), t_3)));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ -2.0
	t_2 = fma(t_0, t_1, 1.0)
	t_3 = Float64(t_0 * t_1)
	t_4 = fma(-0.5, t_2, Float64(0.16666666666666666 * t_3))
	t_5 = Float64(t_0 * Float64(t_1 * t_2))
	t_6 = Float64(Float64(sin(x) * t_2) / cos(x))
	return Float64(eps * exp(log1p(fma(eps, fma(eps, Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(t_5 - t_4) - Float64(eps * fma(Float64(Float64(0.16666666666666666 + t_4) - t_5), tan(x), Float64(t_6 * -0.3333333333333333))))), t_6), t_3))))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 * t$95$1 + 1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(-0.5 * t$95$2 + N[(0.16666666666666666 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(t$95$0 * N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[Exp[N[Log[1 + N[(eps * N[(eps * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(t$95$5 - t$95$4), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(N[(0.16666666666666666 + t$95$4), $MachinePrecision] - t$95$5), $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[(t$95$6 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$6), $MachinePrecision] + t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, -0.16666666666666666 - \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right) - {\sin x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right) \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right) + \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)\right) - {\sin x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right) \cdot {\cos x}^{-2}\right), \tan x, \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x} \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x}\right), {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)}} \]

8. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, -0.16666666666666666 + \left(\left({\sin x}^{2} \cdot \left({\cos x}^{-2} \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)\right) - {\sin x}^{2} \cdot \left({\cos x}^{-2} \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)\right), \tan x, \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x} \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x}\right), {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_0}{t\_1}\\ t_3 := t\_2 + 1\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(-0.5, t\_3, 0.16666666666666666 \cdot t\_2\right) + t\_0 \cdot \frac{-1 - t\_2}{t\_1}\\ t_5 := \sin x \cdot \frac{t\_3}{\cos x}\\ \varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - t\_4\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + t\_4\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot t\_5\right), t\_5\right), t\_2\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (pow (cos x) 2.0))
        (t_2 (/ t_0 t_1))
        (t_3 (+ t_2 1.0))
        (t_4
         (+
          (fma -0.5 t_3 (* 0.16666666666666666 t_2))
          (* t_0 (/ (- -1.0 t_2) t_1))))
        (t_5 (* (sin x) (/ t_3 (cos x)))))
   (*
    eps
    (+
     (fma
      eps
      (fma
       eps
       (-
        (- -0.16666666666666666 t_4)
        (*
         eps
         (+
          (* (+ 0.16666666666666666 t_4) (/ (sin x) (cos x)))
          (* -0.3333333333333333 t_5))))
       t_5)
      t_2)
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	double t_3 = t_2 + 1.0;
	double t_4 = fma(-0.5, t_3, (0.16666666666666666 * t_2)) + (t_0 * ((-1.0 - t_2) / t_1));
	double t_5 = sin(x) * (t_3 / cos(x));
	return eps * (fma(eps, fma(eps, ((-0.16666666666666666 - t_4) - (eps * (((0.16666666666666666 + t_4) * (sin(x) / cos(x))) + (-0.3333333333333333 * t_5)))), t_5), t_2) + 1.0);
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_0 / t_1)
	t_3 = Float64(t_2 + 1.0)
	t_4 = Float64(fma(-0.5, t_3, Float64(0.16666666666666666 * t_2)) + Float64(t_0 * Float64(Float64(-1.0 - t_2) / t_1)))
	t_5 = Float64(sin(x) * Float64(t_3 / cos(x)))
	return Float64(eps * Float64(fma(eps, fma(eps, Float64(Float64(-0.16666666666666666 - t_4) - Float64(eps * Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 + t_4) * Float64(sin(x) / cos(x))) + Float64(-0.3333333333333333 * t_5)))), t_5), t_2) + 1.0))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 + 1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(-0.5 * t$95$3 + N[(0.16666666666666666 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(N[(-1.0 - t$95$2), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$3 / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(eps * N[(eps * N[(N[(-0.16666666666666666 - t$95$4), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(N[(0.16666666666666666 + t$95$4), $MachinePrecision] * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.3333333333333333 * t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$5), $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + {\sin x}^{2} \cdot \frac{-1 - \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + {\sin x}^{2} \cdot \frac{-1 - \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \left(\sin x \cdot \frac{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1}{\cos x}\right)\right), \sin x \cdot \frac{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 1\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{-2}\\ t_2 := t\_0 \cdot t\_1\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_1, 1\right)\\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(t\_0, \frac{t\_3}{{\cos x}^{2}}, -0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, t\_2, -0.5 \cdot t\_3\right), \sin x \cdot \frac{t\_3}{\cos x}\right), t\_2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (pow (cos x) -2.0))
        (t_2 (* t_0 t_1))
        (t_3 (fma t_0 t_1 1.0)))
   (+
    eps
    (*
     eps
     (fma
      eps
      (fma
       eps
       (-
        (fma t_0 (/ t_3 (pow (cos x) 2.0)) -0.16666666666666666)
        (fma 0.16666666666666666 t_2 (* -0.5 t_3)))
       (* (sin x) (/ t_3 (cos x))))
      t_2)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), -2.0);
	double t_2 = t_0 * t_1;
	double t_3 = fma(t_0, t_1, 1.0);
	return eps + (eps * fma(eps, fma(eps, (fma(t_0, (t_3 / pow(cos(x), 2.0)), -0.16666666666666666) - fma(0.16666666666666666, t_2, (-0.5 * t_3))), (sin(x) * (t_3 / cos(x)))), t_2));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ -2.0
	t_2 = Float64(t_0 * t_1)
	t_3 = fma(t_0, t_1, 1.0)
	return Float64(eps + Float64(eps * fma(eps, fma(eps, Float64(fma(t_0, Float64(t_3 / (cos(x) ^ 2.0)), -0.16666666666666666) - fma(0.16666666666666666, t_2, Float64(-0.5 * t_3))), Float64(sin(x) * Float64(t_3 / cos(x)))), t_2)))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$0 * t$95$1 + 1.0), $MachinePrecision]}, N[(eps + N[(eps * N[(eps * N[(eps * N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$3 / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - N[(0.16666666666666666 * t$95$2 + N[(-0.5 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$3 / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in eps around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) + \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

8. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, \frac{\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{{\cos x}^{2}}, -0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}, -0.5 \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)\right), \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x}\right), {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right) \cdot \varepsilon} \]

9. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, \frac{\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{{\cos x}^{2}}, -0.16666666666666666\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}, -0.5 \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)\right), \sin x \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x}\right), {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_0}{t\_1}\\ t_3 := t\_2 + 1\\ \varepsilon \cdot \left(\left(t\_2 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{t\_0 \cdot t\_3}{t\_1} - \left(0.16666666666666666 + \left(0.16666666666666666 \cdot t\_2 + -0.5 \cdot t\_3\right)\right)\right) + \frac{\sin x \cdot t\_3}{\cos x}\right)\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (pow (cos x) 2.0))
        (t_2 (/ t_0 t_1))
        (t_3 (+ t_2 1.0)))
   (*
    eps
    (+
     (+
      t_2
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (-
          (/ (* t_0 t_3) t_1)
          (+
           0.16666666666666666
           (+ (* 0.16666666666666666 t_2) (* -0.5 t_3)))))
        (/ (* (sin x) t_3) (cos x)))))
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	double t_3 = t_2 + 1.0;
	return eps * ((t_2 + (eps * ((eps * (((t_0 * t_3) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((0.16666666666666666 * t_2) + (-0.5 * t_3))))) + ((sin(x) * t_3) / cos(x))))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    t_0 = sin(x) ** 2.0d0
    t_1 = cos(x) ** 2.0d0
    t_2 = t_0 / t_1
    t_3 = t_2 + 1.0d0
    code = eps * ((t_2 + (eps * ((eps * (((t_0 * t_3) / t_1) - (0.16666666666666666d0 + ((0.16666666666666666d0 * t_2) + ((-0.5d0) * t_3))))) + ((sin(x) * t_3) / cos(x))))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	double t_3 = t_2 + 1.0;
	return eps * ((t_2 + (eps * ((eps * (((t_0 * t_3) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((0.16666666666666666 * t_2) + (-0.5 * t_3))))) + ((Math.sin(x) * t_3) / Math.cos(x))))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0)
	t_1 = math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_2 = t_0 / t_1
	t_3 = t_2 + 1.0
	return eps * ((t_2 + (eps * ((eps * (((t_0 * t_3) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((0.16666666666666666 * t_2) + (-0.5 * t_3))))) + ((math.sin(x) * t_3) / math.cos(x))))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_0 / t_1)
	t_3 = Float64(t_2 + 1.0)
	return Float64(eps * Float64(Float64(t_2 + Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(Float64(t_0 * t_3) / t_1) - Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(0.16666666666666666 * t_2) + Float64(-0.5 * t_3))))) + Float64(Float64(sin(x) * t_3) / cos(x))))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0;
	t_1 = cos(x) ^ 2.0;
	t_2 = t_0 / t_1;
	t_3 = t_2 + 1.0;
	tmp = eps * ((t_2 + (eps * ((eps * (((t_0 * t_3) / t_1) - (0.16666666666666666 + ((0.16666666666666666 * t_2) + (-0.5 * t_3))))) + ((sin(x) * t_3) / cos(x))))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 + 1.0), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(t$95$2 + N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$3), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision] - N[(0.16666666666666666 + N[(N[(0.16666666666666666 * t$95$2), $MachinePrecision] + N[(-0.5 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in eps around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) + \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.5 \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)\right)\right)\right) + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)}{\cos x}\right)\right) + 1\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\\ \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(t\_0 + 1\right)}{\cos x} + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0))))
   (*
    eps
    (+
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+ (/ (* (sin x) (+ t_0 1.0)) (cos x)) (* eps 0.3333333333333333))))
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0);
	return eps * ((t_0 + (eps * (((sin(x) * (t_0 + 1.0)) / cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = (sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)
    code = eps * ((t_0 + (eps * (((sin(x) * (t_0 + 1.0d0)) / cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333d0)))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	return eps * ((t_0 + (eps * (((Math.sin(x) * (t_0 + 1.0)) / Math.cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)
	return eps * ((t_0 + (eps * (((math.sin(x) * (t_0 + 1.0)) / math.cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))
	return Float64(eps * Float64(Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(t_0 + 1.0)) / cos(x)) + Float64(eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = (sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0);
	tmp = eps * ((t_0 + (eps * (((sin(x) * (t_0 + 1.0)) / cos(x)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(t$95$0 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in eps around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) + \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \varepsilon} + \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

8. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)}{\cos x} + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + 1\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{\frac{\cos \left(x \cdot 2\right) + 1}{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (exp
   (+
    (log1p (/ (pow (sin x) 2.0) (/ (+ (cos (* x 2.0)) 1.0) 2.0)))
    (/ (* eps (sin x)) (cos x))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * exp((log1p((pow(sin(x), 2.0) / ((cos((x * 2.0)) + 1.0) / 2.0))) + ((eps * sin(x)) / cos(x))));
}

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * Math.exp((Math.log1p((Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / ((Math.cos((x * 2.0)) + 1.0) / 2.0))) + ((eps * Math.sin(x)) / Math.cos(x))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * math.exp((math.log1p((math.pow(math.sin(x), 2.0) / ((math.cos((x * 2.0)) + 1.0) / 2.0))) + ((eps * math.sin(x)) / math.cos(x))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * exp(Float64(log1p(Float64((sin(x) ^ 2.0) / Float64(Float64(cos(Float64(x * 2.0)) + 1.0) / 2.0))) + Float64(Float64(eps * sin(x)) / cos(x)))))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[Exp[N[(N[Log[1 + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[(eps * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, -0.16666666666666666 - \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right) - {\sin x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right) \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right) + \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)\right) - {\sin x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right) \cdot {\cos x}^{-2}\right), \tan x, \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x} \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x}\right), {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in eps around 0 99.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\log \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. log1p-define 99.2%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}} \]

   2. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \varepsilon}}{\cos x}} \]

10. Simplified 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. unpow2 99.2%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{\cos x \cdot \cos x}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}} \]

    2. cos-mult 99.2%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x + x\right) + \cos \left(x - x\right)}{2}}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}} \]

12. Applied egg-rr 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x + x\right) + \cos \left(x - x\right)}{2}}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-commutative 99.2%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{\frac{\color{blue}{\cos \left(x - x\right) + \cos \left(x + x\right)}}{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}} \]

    2. +-inverses 99.2%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{\frac{\cos \color{blue}{0} + \cos \left(x + x\right)}{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}} \]

    3. cos-0 99.2%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{\frac{\color{blue}{1} + \cos \left(x + x\right)}{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}} \]

    4. count-2 99.2%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{\frac{1 + \cos \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}}{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}} \]

    5. *-commutative 99.2%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{\frac{1 + \cos \color{blue}{\left(x \cdot 2\right)}}{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}} \]

14. Simplified 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{\frac{1 + \cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}} \]

15. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{\frac{\cos \left(x \cdot 2\right) + 1}{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (+
    (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0))
    (* eps (+ x (* eps 0.3333333333333333))))
   1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (((pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0)) + (eps * (x + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((((sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)) + (eps * (x + (eps * 0.3333333333333333d0)))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (((Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0)) + (eps * (x + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (((math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)) + (eps * (x + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + Float64(eps * Float64(x + Float64(eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + (eps * (x + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(x + N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in eps around 0 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) + \frac{\sin x \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0 98.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(x + 0.3333333333333333 \cdot \varepsilon\right)} + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

8. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + 1\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)) 1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0)) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (((sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0)) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 98.4%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

   2. mul-1-neg 98.4%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   3. remove-double-neg 98.4%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) \]

5. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.3% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + x \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (exp
   (*
    x
    (+
     eps
     (*
      x
      (+
       (* x (+ (* eps 0.3333333333333333) (* x 0.16666666666666666)))
       1.0)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * exp((x * (eps + (x * ((x * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * 0.16666666666666666))) + 1.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * exp((x * (eps + (x * ((x * ((eps * 0.3333333333333333d0) + (x * 0.16666666666666666d0))) + 1.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * Math.exp((x * (eps + (x * ((x * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * 0.16666666666666666))) + 1.0)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * math.exp((x * (eps + (x * ((x * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * 0.16666666666666666))) + 1.0)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * exp(Float64(x * Float64(eps + Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(Float64(eps * 0.3333333333333333) + Float64(x * 0.16666666666666666))) + 1.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * exp((x * (eps + (x * ((x * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * 0.16666666666666666))) + 1.0)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[Exp[N[(x * N[(eps + N[(x * N[(N[(x * N[(N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, -0.16666666666666666 - \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right) - {\sin x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right) \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right) + \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)\right) - {\sin x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right) \cdot {\cos x}^{-2}\right), \tan x, \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x} \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x}\right), {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in eps around 0 99.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\log \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. log1p-define 99.2%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}} \]

   2. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \varepsilon}}{\cos x}} \]

10. Simplified 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}}} \]

11. Taylor expanded in x around 0 97.5%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \varepsilon + 0.16666666666666666 \cdot x\right) - -0.5 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. sub-neg 97.5%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \varepsilon + 0.16666666666666666 \cdot x\right) + \left(--0.5 \cdot \varepsilon\right)\right)}\right)\right)} \]

    2. +-commutative 97.5%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x + -0.16666666666666666 \cdot \varepsilon\right)} + \left(--0.5 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)} \]

    3. associate-+l+ 97.5%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \varepsilon + \left(--0.5 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)}\right)\right)} \]

    4. *-commutative 97.5%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 0.16666666666666666} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \varepsilon + \left(--0.5 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)} \]

    5. sub-neg 97.5%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \varepsilon - -0.5 \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)} \]

    6. distribute-rgt-out-- 97.5%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(-0.16666666666666666 - -0.5\right)}\right)\right)\right)} \]

    7. metadata-eval 97.5%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + \varepsilon \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)\right)} \]

    8. *-commutative 97.5%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \varepsilon}\right)\right)\right)} \]

13. Simplified 97.5%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + 0.3333333333333333 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)}} \]

14. Final simplification 97.5%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + x \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 98.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (exp (* x (+ eps x)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * exp((x * (eps + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * exp((x * (eps + x)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * Math.exp((x * (eps + x)));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * math.exp((x * (eps + x)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * exp(Float64(x * Float64(eps + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * exp((x * (eps + x)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[Exp[N[(x * N[(eps + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, -0.16666666666666666 - \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right) - {\sin x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right) \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right) + \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)\right) - {\sin x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right) \cdot {\cos x}^{-2}\right), \tan x, \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x} \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x}\right), {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in eps around 0 99.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\log \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. log1p-define 99.2%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}} \]

   2. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \varepsilon}}{\cos x}} \]

10. Simplified 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}}} \]

11. Taylor expanded in x around 0 97.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon + x\right)}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative 97.2%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{x \cdot \color{blue}{\left(x + \varepsilon\right)}} \]

13. Simplified 97.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{x \cdot \left(x + \varepsilon\right)}} \]

14. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon + x\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 97.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot e^{\varepsilon \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (exp (* eps x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * exp((eps * x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * exp((eps * x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * Math.exp((eps * x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * math.exp((eps * x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * exp(Float64(eps * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * exp((eps * x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[Exp[N[(eps * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, -0.16666666666666666 - \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right) - {\sin x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right) \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right) + \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right), 0.16666666666666666 \cdot \left({\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)\right) - {\sin x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right) \cdot {\cos x}^{-2}\right), \tan x, \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x} \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\sin x \cdot \mathsf{fma}\left({\sin x}^{2}, {\cos x}^{-2}, 1\right)}{\cos x}\right), {\sin x}^{2} \cdot {\cos x}^{-2}\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in eps around 0 99.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\log \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. log1p-define 99.2%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}} \]

   2. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \varepsilon}}{\cos x}} \]

10. Simplified 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}}} \]

11. Taylor expanded in x around 0 96.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\varepsilon \cdot x}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 96.9%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{x \cdot \varepsilon}} \]

13. Simplified 96.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{x \cdot \varepsilon}} \]

14. Final simplification 96.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\varepsilon \cdot x} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 12: 7.9% accurate, 102.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- x))

C

double code(double x, double eps) {
	return -x;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = -x
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return -x;
}

Python

def code(x, eps):
	return -x

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(-x)
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = -x;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := (-x)

Derivation

1. Initial program 63.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 60.7%

   \[\leadsto \tan \left(x + \varepsilon\right) - \color{blue}{x} \]

4. Taylor expanded in x around inf 7.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. neg-mul-1 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-x} \]

6. Simplified 7.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-x} \]
7. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024131 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))