Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 8.8% → 97.5%

Time: 9.7s

Alternatives: 8

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 8.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, 2 + {x}^{4} \cdot \left(0.016666666666666666 + {x}^{2} \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (*
   x
   (fma
    (pow x 2.0)
    0.3333333333333333
    (+
     2.0
     (*
      (pow x 4.0)
      (+ 0.016666666666666666 (* (pow x 2.0) 0.0003968253968253968))))))
  (+ (exp x) (exp (- x)))))

C

double code(double x) {
	return (x * fma(pow(x, 2.0), 0.3333333333333333, (2.0 + (pow(x, 4.0) * (0.016666666666666666 + (pow(x, 2.0) * 0.0003968253968253968)))))) / (exp(x) + exp(-x));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * fma((x ^ 2.0), 0.3333333333333333, Float64(2.0 + Float64((x ^ 4.0) * Float64(0.016666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * 0.0003968253968253968)))))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333 + N[(2.0 + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * N[(0.016666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. distribute-lft-in 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. *-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. associate-+l+ 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. *-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333} + \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. fma-define 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. associate-*r* 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   8. *-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   9. fma-define 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot {x}^{2}, 2\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003968253968253968, 0.016666666666666666\right), {x}^{4}, 2\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{2 + {x}^{4} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right) + 2}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. fma-define 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}, 2\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. metadata-eval 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}}, 0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}, 2\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. pow-sqr 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot {x}^{2}}, 0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}, 2\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. fma-define 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right) + 2}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. associate-*r* 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. +-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{2 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   8. associate-*r* 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, 2 + \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   9. pow-sqr 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, 2 + \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   10. metadata-eval 96.6%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, 2 + {x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   11. *-commutative 96.6%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, 2 + {x}^{4} \cdot \left(0.016666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.0003968253968253968}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

8. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{2 + {x}^{4} \cdot \left(0.016666666666666666 + {x}^{2} \cdot 0.0003968253968253968\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + {x}^{2} \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (*
   x
   (+
    2.0
    (*
     (pow x 2.0)
     (+
      0.3333333333333333
      (*
       (pow x 2.0)
       (+ 0.016666666666666666 (* (pow x 2.0) 0.0003968253968253968)))))))
  (+ (exp x) (exp (- x)))))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (pow(x, 2.0) * (0.3333333333333333 + (pow(x, 2.0) * (0.016666666666666666 + (pow(x, 2.0) * 0.0003968253968253968))))))) / (exp(x) + exp(-x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + ((x ** 2.0d0) * (0.3333333333333333d0 + ((x ** 2.0d0) * (0.016666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * 0.0003968253968253968d0))))))) / (exp(x) + exp(-x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (Math.pow(x, 2.0) * (0.3333333333333333 + (Math.pow(x, 2.0) * (0.016666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * 0.0003968253968253968))))))) / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (math.pow(x, 2.0) * (0.3333333333333333 + (math.pow(x, 2.0) * (0.016666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * 0.0003968253968253968))))))) / (math.exp(x) + math.exp(-x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.3333333333333333 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.016666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * 0.0003968253968253968))))))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + ((x ^ 2.0) * (0.3333333333333333 + ((x ^ 2.0) * (0.016666666666666666 + ((x ^ 2.0) * 0.0003968253968253968))))))) / (exp(x) + exp(-x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.016666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.0003968253968253968}\right)\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + {x}^{2} \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.4% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot 0.08333333333333333\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (* x (+ 2.0 (* (pow x 2.0) 0.3333333333333333)))
  (+ 2.0 (fma x x (* (pow x 4.0) 0.08333333333333333)))))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (pow(x, 2.0) * 0.3333333333333333))) / (2.0 + fma(x, x, (pow(x, 4.0) * 0.08333333333333333)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64((x ^ 2.0) * 0.3333333333333333))) / Float64(2.0 + fma(x, x, Float64((x ^ 4.0) * 0.08333333333333333))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Simplified 96.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{\color{blue}{2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.08333333333333333}\right)} \]

8. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{\color{blue}{2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + \color{blue}{\left(1 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   2. *-un-lft-identity 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + \left(\color{blue}{{x}^{2}} + \left({x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. unpow2 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + \left(\color{blue}{x \cdot x} + \left({x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   4. fma-define 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, \left({x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   5. *-commutative 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2}\right)} \]

   6. associate-*l* 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right)} \]

   7. pow-prod-up 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}}\right)} \]

   8. metadata-eval 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right)} \]

10. Applied egg-rr 96.5%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

11. Final simplification 96.5%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.13333333333333333 - 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   1.0
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* (pow x 2.0) 0.13333333333333333) 0.3333333333333333)))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * 0.13333333333333333d0) - 0.3333333333333333d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333)));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)} \]

4. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.13333333333333333 - 0.3333333333333333\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* (pow x 2.0) 0.3333333333333333))) (fma x x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (pow(x, 2.0) * 0.3333333333333333))) / fma(x, x, 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64((x ^ 2.0) * 0.3333333333333333))) / fma(x, x, 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Simplified 96.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

   2. unpow2 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

   3. fma-define 96.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

8. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.0% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ x (* -0.3333333333333333 (pow x 3.0))))

C

double code(double x) {
	return x + (-0.3333333333333333 * pow(x, 3.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + ((-0.3333333333333333d0) * (x ** 3.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + (-0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0));
}

Python

def code(x):
	return x + (-0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64(-0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + (-0.3333333333333333 * (x ^ 3.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(-0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. distribute-lft-in 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. *-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. associate-+l+ 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. *-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333} + \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. fma-define 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. associate-*r* 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   8. *-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   9. fma-define 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot {x}^{2}, 2\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003968253968253968, 0.016666666666666666\right), {x}^{4}, 2\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

   2. *-lft-identity 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   3. associate-*r* 96.1%

      \[\leadsto x + \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} \]

   4. unpow2 96.1%

      \[\leadsto x + -0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) \]

   5. unpow3 96.1%

      \[\leadsto x + -0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{3}} \]

8. Simplified 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.9% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 4.0% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1.3503968253968255 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.3503968253968255)

C

double code(double x) {
	return 1.3503968253968255;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.3503968253968255d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.3503968253968255;
}

Python

def code(x):
	return 1.3503968253968255

Julia

function code(x)
	return 1.3503968253968255
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.3503968253968255;
end

Wolfram

code[x_] := 1.3503968253968255

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. distribute-lft-in 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. *-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. associate-+l+ 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. *-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333} + \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. fma-define 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. associate-*r* 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   8. *-commutative 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   9. fma-define 96.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666 + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot {x}^{2}, 2\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003968253968253968, 0.016666666666666666\right), {x}^{4}, 2\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

7. Applied egg-rr 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1.3503968253968255} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024130 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))