powComplex, imaginary part

Percentage Accurate: 40.4% → 77.2%

Time: 31.1s

Alternatives: 30

Speedup: 2.6×

• 36.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (sin (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * sin(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.sin(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.sin(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 40.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (sin (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * sin(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.sin(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.sin(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 77.2% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\\ t_3 := y.im \cdot t\_2\\ t_4 := \sin t\_3\\ t_5 := \cos t\_3\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -2600000000 \lor \neg \left(y.re \leq 3.8 \cdot 10^{-25}\right):\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0} \cdot \left(\sin t\_1 + y.im \cdot \left(t\_2 \cdot \cos t\_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_4 + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot t\_5 + y.re \cdot \left(-0.5 \cdot \left(t\_4 \cdot {\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}^{2}\right) + \left(y.re \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(t\_5 \cdot {\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}^{3}\right)\right)\right)}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2 (log (hypot x.im x.re)))
        (t_3 (* y.im t_2))
        (t_4 (sin t_3))
        (t_5 (cos t_3)))
   (if (or (<= y.re -2600000000.0) (not (<= y.re 3.8e-25)))
     (*
      (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0))
      (+ (sin t_1) (* y.im (* t_2 (cos t_1)))))
     (/
      (+
       t_4
       (*
        y.re
        (+
         (* (atan2 x.im x.re) t_5)
         (*
          y.re
          (+
           (* -0.5 (* t_4 (pow (atan2 x.im x.re) 2.0)))
           (*
            (* y.re -0.16666666666666666)
            (* t_5 (pow (atan2 x.im x.re) 3.0))))))))
      (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	double t_3 = y_46_im * t_2;
	double t_4 = sin(t_3);
	double t_5 = cos(t_3);
	double tmp;
	if ((y_46_re <= -2600000000.0) || !(y_46_re <= 3.8e-25)) {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (sin(t_1) + (y_46_im * (t_2 * cos(t_1))));
	} else {
		tmp = (t_4 + (y_46_re * ((atan2(x_46_im, x_46_re) * t_5) + (y_46_re * ((-0.5 * (t_4 * pow(atan2(x_46_im, x_46_re), 2.0))) + ((y_46_re * -0.16666666666666666) * (t_5 * pow(atan2(x_46_im, x_46_re), 3.0)))))))) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re));
	double t_3 = y_46_im * t_2;
	double t_4 = Math.sin(t_3);
	double t_5 = Math.cos(t_3);
	double tmp;
	if ((y_46_re <= -2600000000.0) || !(y_46_re <= 3.8e-25)) {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (Math.sin(t_1) + (y_46_im * (t_2 * Math.cos(t_1))));
	} else {
		tmp = (t_4 + (y_46_re * ((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * t_5) + (y_46_re * ((-0.5 * (t_4 * Math.pow(Math.atan2(x_46_im, x_46_re), 2.0))) + ((y_46_re * -0.16666666666666666) * (t_5 * Math.pow(Math.atan2(x_46_im, x_46_re), 3.0)))))))) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))
	t_3 = y_46_im * t_2
	t_4 = math.sin(t_3)
	t_5 = math.cos(t_3)
	tmp = 0
	if (y_46_re <= -2600000000.0) or not (y_46_re <= 3.8e-25):
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (math.sin(t_1) + (y_46_im * (t_2 * math.cos(t_1))))
	else:
		tmp = (t_4 + (y_46_re * ((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * t_5) + (y_46_re * ((-0.5 * (t_4 * math.pow(math.atan2(x_46_im, x_46_re), 2.0))) + ((y_46_re * -0.16666666666666666) * (t_5 * math.pow(math.atan2(x_46_im, x_46_re), 3.0)))))))) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = log(hypot(x_46_im, x_46_re))
	t_3 = Float64(y_46_im * t_2)
	t_4 = sin(t_3)
	t_5 = cos(t_3)
	tmp = 0.0
	if ((y_46_re <= -2600000000.0) || !(y_46_re <= 3.8e-25))
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * Float64(sin(t_1) + Float64(y_46_im * Float64(t_2 * cos(t_1)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_4 + Float64(y_46_re * Float64(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * t_5) + Float64(y_46_re * Float64(Float64(-0.5 * Float64(t_4 * (atan(x_46_im, x_46_re) ^ 2.0))) + Float64(Float64(y_46_re * -0.16666666666666666) * Float64(t_5 * (atan(x_46_im, x_46_re) ^ 3.0)))))))) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	t_3 = y_46_im * t_2;
	t_4 = sin(t_3);
	t_5 = cos(t_3);
	tmp = 0.0;
	if ((y_46_re <= -2600000000.0) || ~((y_46_re <= 3.8e-25)))
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (sin(t_1) + (y_46_im * (t_2 * cos(t_1))));
	else
		tmp = (t_4 + (y_46_re * ((atan2(x_46_im, x_46_re) * t_5) + (y_46_re * ((-0.5 * (t_4 * (atan2(x_46_im, x_46_re) ^ 2.0))) + ((y_46_re * -0.16666666666666666) * (t_5 * (atan2(x_46_im, x_46_re) ^ 3.0)))))))) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(y$46$im * t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sin[t$95$3], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Cos[t$95$3], $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[y$46$re, -2600000000.0], N[Not[LessEqual[y$46$re, 3.8e-25]], $MachinePrecision]], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] + N[(y$46$im * N[(t$95$2 * N[Cos[t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$4 + N[(y$46$re * N[(N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * t$95$5), $MachinePrecision] + N[(y$46$re * N[(N[(-0.5 * N[(t$95$4 * N[Power[N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(y$46$re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(t$95$5 * N[Power[N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -2.6e9 or 3.7999999999999998e-25 < y.re

   1. Initial program 35.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(\color{blue}{y.im} \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 78.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 78.2%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)} \]

   if -2.6e9 < y.re < 3.7999999999999998e-25

   1. Initial program 41.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 84.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot {\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot {\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}^{3}\right)\right)\right) + \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left(y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot {\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot {\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}^{3}\right)\right)\right) + \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 84.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot {\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}^{2}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot y.re\right) \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot {\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}^{3}\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -2600000000 \lor \neg \left(y.re \leq 3.8 \cdot 10^{-25}\right):\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot {\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}^{2}\right) + \left(y.re \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot {\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}^{3}\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 76.3% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ t_3 := e^{y.re \cdot t\_2 - t\_0} \cdot \sin \left(t\_1 + t\_2 \cdot y.im\right)\\ \mathbf{if}\;t\_3 \leq \infty:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(t\_1 + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))))
        (t_3 (* (exp (- (* y.re t_2) t_0)) (sin (+ t_1 (* t_2 y.im))))))
   (if (<= t_3 INFINITY)
     t_3
     (/
      (sin (+ t_1 (* y.im (log (hypot x.re x.im)))))
      (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	double t_3 = exp(((y_46_re * t_2) - t_0)) * sin((t_1 + (t_2 * y_46_im)));
	double tmp;
	if (t_3 <= ((double) INFINITY)) {
		tmp = t_3;
	} else {
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	double t_3 = Math.exp(((y_46_re * t_2) - t_0)) * Math.sin((t_1 + (t_2 * y_46_im)));
	double tmp;
	if (t_3 <= Double.POSITIVE_INFINITY) {
		tmp = t_3;
	} else {
		tmp = Math.sin((t_1 + (y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	t_3 = math.exp(((y_46_re * t_2) - t_0)) * math.sin((t_1 + (t_2 * y_46_im)))
	tmp = 0
	if t_3 <= math.inf:
		tmp = t_3
	else:
		tmp = math.sin((t_1 + (y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	t_3 = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * t_2) - t_0)) * sin(Float64(t_1 + Float64(t_2 * y_46_im))))
	tmp = 0.0
	if (t_3 <= Inf)
		tmp = t_3;
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(t_1 + Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	t_3 = exp(((y_46_re * t_2) - t_0)) * sin((t_1 + (t_2 * y_46_im)));
	tmp = 0.0;
	if (t_3 <= Inf)
		tmp = t_3;
	else
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * t$95$2), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(t$95$1 + N[(t$95$2 * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$3, Infinity], t$95$3, N[(N[Sin[N[(t$95$1 + N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (exp.f64 (-.f64 (*.f64 (log.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 x.re x.re) (*.f64 x.im x.im)))) y.re) (*.f64 (atan2.f64 x.im x.re) y.im))) (sin.f64 (+.f64 (*.f64 (log.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 x.re x.re) (*.f64 x.im x.im)))) y.im) (*.f64 (atan2.f64 x.im x.re) y.re)))) < +inf.0

   1. Initial program 80.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if +inf.0 < (*.f64 (exp.f64 (-.f64 (*.f64 (log.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 x.re x.re) (*.f64 x.im x.im)))) y.re) (*.f64 (atan2.f64 x.im x.re) y.im))) (sin.f64 (+.f64 (*.f64 (log.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 x.re x.re) (*.f64 x.im x.im)))) y.im) (*.f64 (atan2.f64 x.im x.re) y.re))))

   1. Initial program 0.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 75.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 77.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im\right) \leq \infty:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 77.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\\ t_3 := y.im \cdot t\_2\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -5.5 \cdot 10^{-5} \lor \neg \left(y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}\right):\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0} \cdot \left(\sin t\_1 + y.im \cdot \left(t\_2 \cdot \cos t\_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin t\_3 + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos t\_3\right)}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2 (log (hypot x.im x.re)))
        (t_3 (* y.im t_2)))
   (if (or (<= y.re -5.5e-5) (not (<= y.re 2.4e-22)))
     (*
      (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0))
      (+ (sin t_1) (* y.im (* t_2 (cos t_1)))))
     (/
      (+ (sin t_3) (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (cos t_3))))
      (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	double t_3 = y_46_im * t_2;
	double tmp;
	if ((y_46_re <= -5.5e-5) || !(y_46_re <= 2.4e-22)) {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (sin(t_1) + (y_46_im * (t_2 * cos(t_1))));
	} else {
		tmp = (sin(t_3) + (y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * cos(t_3)))) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re));
	double t_3 = y_46_im * t_2;
	double tmp;
	if ((y_46_re <= -5.5e-5) || !(y_46_re <= 2.4e-22)) {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (Math.sin(t_1) + (y_46_im * (t_2 * Math.cos(t_1))));
	} else {
		tmp = (Math.sin(t_3) + (y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.cos(t_3)))) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))
	t_3 = y_46_im * t_2
	tmp = 0
	if (y_46_re <= -5.5e-5) or not (y_46_re <= 2.4e-22):
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (math.sin(t_1) + (y_46_im * (t_2 * math.cos(t_1))))
	else:
		tmp = (math.sin(t_3) + (y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.cos(t_3)))) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = log(hypot(x_46_im, x_46_re))
	t_3 = Float64(y_46_im * t_2)
	tmp = 0.0
	if ((y_46_re <= -5.5e-5) || !(y_46_re <= 2.4e-22))
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * Float64(sin(t_1) + Float64(y_46_im * Float64(t_2 * cos(t_1)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sin(t_3) + Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * cos(t_3)))) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	t_3 = y_46_im * t_2;
	tmp = 0.0;
	if ((y_46_re <= -5.5e-5) || ~((y_46_re <= 2.4e-22)))
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (sin(t_1) + (y_46_im * (t_2 * cos(t_1))));
	else
		tmp = (sin(t_3) + (y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * cos(t_3)))) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(y$46$im * t$95$2), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[y$46$re, -5.5e-5], N[Not[LessEqual[y$46$re, 2.4e-22]], $MachinePrecision]], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] + N[(y$46$im * N[(t$95$2 * N[Cos[t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sin[t$95$3], $MachinePrecision] + N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Cos[t$95$3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -5.5000000000000002e-5 or 2.40000000000000002e-22 < y.re

   1. Initial program 37.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(\color{blue}{y.im} \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 78.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 78.8%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)} \]

   if -5.5000000000000002e-5 < y.re < 2.40000000000000002e-22

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 83.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 83.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.5 \cdot 10^{-5} \lor \neg \left(y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}\right):\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 76.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1 \cdot 10^{-32} \lor \neg \left(y.re \leq 2.1 \cdot 10^{-22}\right):\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0} \cdot \left(\sin t\_1 + y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \cos t\_1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(t\_1 + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im)) (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (or (<= y.re -1e-32) (not (<= y.re 2.1e-22)))
     (*
      (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0))
      (+ (sin t_1) (* y.im (* (log (hypot x.im x.re)) (cos t_1)))))
     (/
      (sin (+ t_1 (* y.im (log (hypot x.re x.im)))))
      (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if ((y_46_re <= -1e-32) || !(y_46_re <= 2.1e-22)) {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (sin(t_1) + (y_46_im * (log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * cos(t_1))));
	} else {
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if ((y_46_re <= -1e-32) || !(y_46_re <= 2.1e-22)) {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (Math.sin(t_1) + (y_46_im * (Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)) * Math.cos(t_1))));
	} else {
		tmp = Math.sin((t_1 + (y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if (y_46_re <= -1e-32) or not (y_46_re <= 2.1e-22):
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (math.sin(t_1) + (y_46_im * (math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)) * math.cos(t_1))))
	else:
		tmp = math.sin((t_1 + (y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if ((y_46_re <= -1e-32) || !(y_46_re <= 2.1e-22))
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * Float64(sin(t_1) + Float64(y_46_im * Float64(log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * cos(t_1)))));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(t_1 + Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if ((y_46_re <= -1e-32) || ~((y_46_re <= 2.1e-22)))
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * (sin(t_1) + (y_46_im * (log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * cos(t_1))));
	else
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[y$46$re, -1e-32], N[Not[LessEqual[y$46$re, 2.1e-22]], $MachinePrecision]], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] + N[(y$46$im * N[(N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(t$95$1 + N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -1.00000000000000006e-32 or 2.10000000000000008e-22 < y.re

   1. Initial program 37.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(\color{blue}{y.im} \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 78.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 78.6%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)} \]

   if -1.00000000000000006e-32 < y.re < 2.10000000000000008e-22

   1. Initial program 39.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 84.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1 \cdot 10^{-32} \lor \neg \left(y.re \leq 2.1 \cdot 10^{-22}\right):\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 75.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -55000000000:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(t\_0 + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{t\_1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_1} \cdot \sin t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re))) (t_1 (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
   (if (<= y.re -55000000000.0)
     (* t_0 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
     (if (<= y.re 2.4e-22)
       (/
        (sin (+ t_0 (* y.im (log (hypot x.re x.im)))))
        (/ (exp t_1) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (*
        (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_1))
        (sin t_0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -55000000000.0) {
		tmp = t_0 * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 2.4e-22) {
		tmp = sin((t_0 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_1) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * sin(t_0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -55000000000.0) {
		tmp = t_0 * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 2.4e-22) {
		tmp = Math.sin((t_0 + (y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (Math.exp(t_1) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * Math.sin(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_1 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	tmp = 0
	if y_46_re <= -55000000000.0:
		tmp = t_0 * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= 2.4e-22:
		tmp = math.sin((t_0 + (y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (math.exp(t_1) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * math.sin(t_0)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_1 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -55000000000.0)
		tmp = Float64(t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 2.4e-22)
		tmp = Float64(sin(Float64(t_0 + Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / Float64(exp(t_1) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * sin(t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_1 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -55000000000.0)
		tmp = t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= 2.4e-22)
		tmp = sin((t_0 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_1) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * sin(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -55000000000.0], N[(t$95$0 * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.4e-22], N[(N[Sin[N[(t$95$0 + N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -5.5e10

   1. Initial program 34.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 67.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 71.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 80.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   10. Simplified 80.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if -5.5e10 < y.re < 2.40000000000000002e-22

   1. Initial program 41.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 84.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   if 2.40000000000000002e-22 < y.re

   1. Initial program 37.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 65.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 65.6%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -55000000000:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 67.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\\ t_3 := \frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}\\ \mathbf{if}\;x.re \leq -1.6 \cdot 10^{-208}:\\ \;\;\;\;e^{t\_2 \cdot \left(0 - y.re\right) - t\_0} \cdot \sin \left(t\_1 - y.im \cdot t\_2\right)\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 3.6 \cdot 10^{-231}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin t\_1}{t\_3}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 1.5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{t\_3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\left(0 - y.re\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right) - t\_0} \cdot \sin \left(t\_1 + y.im \cdot \log x.re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2 (log (/ -1.0 x.re)))
        (t_3 (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re))))
   (if (<= x.re -1.6e-208)
     (* (exp (- (* t_2 (- 0.0 y.re)) t_0)) (sin (- t_1 (* y.im t_2))))
     (if (<= x.re 3.6e-231)
       (/ (sin t_1) t_3)
       (if (<= x.re 1.5e-15)
         (/ (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re)))) t_3)
         (*
          (exp (- (* (- 0.0 y.re) (log (/ 1.0 x.re))) t_0))
          (sin (+ t_1 (* y.im (log x.re))))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = log((-1.0 / x_46_re));
	double t_3 = exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (x_46_re <= -1.6e-208) {
		tmp = exp(((t_2 * (0.0 - y_46_re)) - t_0)) * sin((t_1 - (y_46_im * t_2)));
	} else if (x_46_re <= 3.6e-231) {
		tmp = sin(t_1) / t_3;
	} else if (x_46_re <= 1.5e-15) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_3;
	} else {
		tmp = exp((((0.0 - y_46_re) * log((1.0 / x_46_re))) - t_0)) * sin((t_1 + (y_46_im * log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.log((-1.0 / x_46_re));
	double t_3 = Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (x_46_re <= -1.6e-208) {
		tmp = Math.exp(((t_2 * (0.0 - y_46_re)) - t_0)) * Math.sin((t_1 - (y_46_im * t_2)));
	} else if (x_46_re <= 3.6e-231) {
		tmp = Math.sin(t_1) / t_3;
	} else if (x_46_re <= 1.5e-15) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_3;
	} else {
		tmp = Math.exp((((0.0 - y_46_re) * Math.log((1.0 / x_46_re))) - t_0)) * Math.sin((t_1 + (y_46_im * Math.log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.log((-1.0 / x_46_re))
	t_3 = math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	tmp = 0
	if x_46_re <= -1.6e-208:
		tmp = math.exp(((t_2 * (0.0 - y_46_re)) - t_0)) * math.sin((t_1 - (y_46_im * t_2)))
	elif x_46_re <= 3.6e-231:
		tmp = math.sin(t_1) / t_3
	elif x_46_re <= 1.5e-15:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_3
	else:
		tmp = math.exp((((0.0 - y_46_re) * math.log((1.0 / x_46_re))) - t_0)) * math.sin((t_1 + (y_46_im * math.log(x_46_re))))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = log(Float64(-1.0 / x_46_re))
	t_3 = Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re))
	tmp = 0.0
	if (x_46_re <= -1.6e-208)
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(t_2 * Float64(0.0 - y_46_re)) - t_0)) * sin(Float64(t_1 - Float64(y_46_im * t_2))));
	elseif (x_46_re <= 3.6e-231)
		tmp = Float64(sin(t_1) / t_3);
	elseif (x_46_re <= 1.5e-15)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_3);
	else
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(Float64(0.0 - y_46_re) * log(Float64(1.0 / x_46_re))) - t_0)) * sin(Float64(t_1 + Float64(y_46_im * log(x_46_re)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = log((-1.0 / x_46_re));
	t_3 = exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (x_46_re <= -1.6e-208)
		tmp = exp(((t_2 * (0.0 - y_46_re)) - t_0)) * sin((t_1 - (y_46_im * t_2)));
	elseif (x_46_re <= 3.6e-231)
		tmp = sin(t_1) / t_3;
	elseif (x_46_re <= 1.5e-15)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_3;
	else
		tmp = exp((((0.0 - y_46_re) * log((1.0 / x_46_re))) - t_0)) * sin((t_1 + (y_46_im * log(x_46_re))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Log[N[(-1.0 / x$46$re), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x$46$re, -1.6e-208], N[(N[Exp[N[(N[(t$95$2 * N[(0.0 - y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(t$95$1 - N[(y$46$im * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$re, 3.6e-231], N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] / t$95$3), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$re, 1.5e-15], N[(N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$3), $MachinePrecision], N[(N[Exp[N[(N[(N[(0.0 - y$46$re), $MachinePrecision] * N[Log[N[(1.0 / x$46$re), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(t$95$1 + N[(y$46$im * N[Log[x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if x.re < -1.6000000000000001e-208

   1. Initial program 40.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x.re around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \color{blue}{\sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \sin \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(y.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\log \left(\frac{-1}{x.re}\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.re}\right)\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(y.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      12. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \color{blue}{\log \left(\frac{-1}{x.re}\right)}\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot \left(-y.re\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} - y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)} \]

   if -1.6000000000000001e-208 < x.re < 3.59999999999999973e-231

   1. Initial program 40.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 79.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 71.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 71.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 3.59999999999999973e-231 < x.re < 1.5e-15

   1. Initial program 47.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 74.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 74.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 1.5e-15 < x.re

   1. Initial program 30.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x.re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \color{blue}{\sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \sin \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right) \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(y.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right) \cdot \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{x.re}\right)\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(y.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      12. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \color{blue}{\log \left(\frac{1}{x.re}\right)}\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\frac{1}{x.re}\right) \cdot \left(-y.re\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} - \left(-y.im \cdot \log x.re\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 74.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \leq -1.6 \cdot 10^{-208}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot \left(0 - y.re\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} - y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 3.6 \cdot 10^{-231}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 1.5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\left(0 - y.re\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log x.re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 67.4% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_2 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_3 := \sin t\_2\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -2.75 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.3 \cdot 10^{-225}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_3}{\frac{e^{t\_1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 6.6 \cdot 10^{-94}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_1} \cdot t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im))))
        (t_1 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_2 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_3 (sin t_2)))
   (if (<= y.re -2.75e+70)
     (* t_2 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
     (if (<= y.re -2.3e-225)
       (/ t_3 (/ (exp t_1) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (if (<= y.re 6.6e-94)
         (* (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re)))) t_0)
         (if (<= y.re 2.4e-22)
           (* y.re (* (atan2 x.im x.re) t_0))
           (*
            (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_1))
            t_3)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	double t_1 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_2 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_3 = sin(t_2);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.75e+70) {
		tmp = t_2 * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= -2.3e-225) {
		tmp = t_3 / (exp(t_1) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (y_46_re <= 6.6e-94) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) * t_0;
	} else if (y_46_re <= 2.4e-22) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * t_0);
	} else {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_3;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	double t_1 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_2 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_3 = Math.sin(t_2);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.75e+70) {
		tmp = t_2 * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= -2.3e-225) {
		tmp = t_3 / (Math.exp(t_1) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (y_46_re <= 6.6e-94) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) * t_0;
	} else if (y_46_re <= 2.4e-22) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * t_0);
	} else {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)))
	t_1 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_2 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_3 = math.sin(t_2)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -2.75e+70:
		tmp = t_2 * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= -2.3e-225:
		tmp = t_3 / (math.exp(t_1) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	elif y_46_re <= 6.6e-94:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) * t_0
	elif y_46_re <= 2.4e-22:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * t_0)
	else:
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_3
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))
	t_1 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_2 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_3 = sin(t_2)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -2.75e+70)
		tmp = Float64(t_2 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= -2.3e-225)
		tmp = Float64(t_3 / Float64(exp(t_1) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	elseif (y_46_re <= 6.6e-94)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) * t_0);
	elseif (y_46_re <= 2.4e-22)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * t_0));
	else
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_3);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	t_1 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_2 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_3 = sin(t_2);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -2.75e+70)
		tmp = t_2 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= -2.3e-225)
		tmp = t_3 / (exp(t_1) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 6.6e-94)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) * t_0;
	elseif (y_46_re <= 2.4e-22)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * t_0);
	else
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -2.75e+70], N[(t$95$2 * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -2.3e-225], N[(t$95$3 / N[(N[Exp[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 6.6e-94], N[(N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.4e-22], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y.re < -2.74999999999999993e70

   1. Initial program 37.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 65.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 72.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 81.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   10. Simplified 81.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if -2.74999999999999993e70 < y.re < -2.2999999999999999e-225

   1. Initial program 35.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 82.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 73.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if -2.2999999999999999e-225 < y.re < 6.6000000000000003e-94

   1. Initial program 46.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(0 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. accelerator-lowering-hypot.f64 80.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.5%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{y.im \cdot \left(0 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]

   if 6.6000000000000003e-94 < y.re < 2.40000000000000002e-22

   1. Initial program 21.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 32.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 32.6%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 64.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if 2.40000000000000002e-22 < y.re

   1. Initial program 37.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 65.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 65.6%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 74.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -2.75 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.3 \cdot 10^{-225}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 6.6 \cdot 10^{-94}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 66.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\\ \mathbf{if}\;x.re \leq -4.8 \cdot 10^{-208}:\\ \;\;\;\;e^{t\_2 \cdot \left(0 - y.re\right) - t\_0} \cdot \sin \left(t\_1 - y.im \cdot t\_2\right)\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 3.6 \cdot 10^{-125}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin t\_1}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 1.85 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\left(0 - y.re\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right) - t\_0} \cdot \sin \left(t\_1 + y.im \cdot \log x.re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2 (log (/ -1.0 x.re))))
   (if (<= x.re -4.8e-208)
     (* (exp (- (* t_2 (- 0.0 y.re)) t_0)) (sin (- t_1 (* y.im t_2))))
     (if (<= x.re 3.6e-125)
       (/ (sin t_1) (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (if (<= x.re 1.85e-15)
         (* y.im (* (log (hypot x.im x.re)) (pow (hypot x.im x.re) y.re)))
         (*
          (exp (- (* (- 0.0 y.re) (log (/ 1.0 x.re))) t_0))
          (sin (+ t_1 (* y.im (log x.re))))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = log((-1.0 / x_46_re));
	double tmp;
	if (x_46_re <= -4.8e-208) {
		tmp = exp(((t_2 * (0.0 - y_46_re)) - t_0)) * sin((t_1 - (y_46_im * t_2)));
	} else if (x_46_re <= 3.6e-125) {
		tmp = sin(t_1) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (x_46_re <= 1.85e-15) {
		tmp = y_46_im * (log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re));
	} else {
		tmp = exp((((0.0 - y_46_re) * log((1.0 / x_46_re))) - t_0)) * sin((t_1 + (y_46_im * log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.log((-1.0 / x_46_re));
	double tmp;
	if (x_46_re <= -4.8e-208) {
		tmp = Math.exp(((t_2 * (0.0 - y_46_re)) - t_0)) * Math.sin((t_1 - (y_46_im * t_2)));
	} else if (x_46_re <= 3.6e-125) {
		tmp = Math.sin(t_1) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (x_46_re <= 1.85e-15) {
		tmp = y_46_im * (Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)) * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re));
	} else {
		tmp = Math.exp((((0.0 - y_46_re) * Math.log((1.0 / x_46_re))) - t_0)) * Math.sin((t_1 + (y_46_im * Math.log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.log((-1.0 / x_46_re))
	tmp = 0
	if x_46_re <= -4.8e-208:
		tmp = math.exp(((t_2 * (0.0 - y_46_re)) - t_0)) * math.sin((t_1 - (y_46_im * t_2)))
	elif x_46_re <= 3.6e-125:
		tmp = math.sin(t_1) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	elif x_46_re <= 1.85e-15:
		tmp = y_46_im * (math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)) * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re))
	else:
		tmp = math.exp((((0.0 - y_46_re) * math.log((1.0 / x_46_re))) - t_0)) * math.sin((t_1 + (y_46_im * math.log(x_46_re))))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = log(Float64(-1.0 / x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (x_46_re <= -4.8e-208)
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(t_2 * Float64(0.0 - y_46_re)) - t_0)) * sin(Float64(t_1 - Float64(y_46_im * t_2))));
	elseif (x_46_re <= 3.6e-125)
		tmp = Float64(sin(t_1) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	elseif (x_46_re <= 1.85e-15)
		tmp = Float64(y_46_im * Float64(log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(Float64(0.0 - y_46_re) * log(Float64(1.0 / x_46_re))) - t_0)) * sin(Float64(t_1 + Float64(y_46_im * log(x_46_re)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = log((-1.0 / x_46_re));
	tmp = 0.0;
	if (x_46_re <= -4.8e-208)
		tmp = exp(((t_2 * (0.0 - y_46_re)) - t_0)) * sin((t_1 - (y_46_im * t_2)));
	elseif (x_46_re <= 3.6e-125)
		tmp = sin(t_1) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	elseif (x_46_re <= 1.85e-15)
		tmp = y_46_im * (log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	else
		tmp = exp((((0.0 - y_46_re) * log((1.0 / x_46_re))) - t_0)) * sin((t_1 + (y_46_im * log(x_46_re))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Log[N[(-1.0 / x$46$re), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x$46$re, -4.8e-208], N[(N[Exp[N[(N[(t$95$2 * N[(0.0 - y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(t$95$1 - N[(y$46$im * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$re, 3.6e-125], N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$re, 1.85e-15], N[(y$46$im * N[(N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Exp[N[(N[(N[(0.0 - y$46$re), $MachinePrecision] * N[Log[N[(1.0 / x$46$re), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(t$95$1 + N[(y$46$im * N[Log[x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if x.re < -4.7999999999999998e-208

   1. Initial program 40.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x.re around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \color{blue}{\sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \sin \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(y.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\log \left(\frac{-1}{x.re}\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.re}\right)\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(y.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      12. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \color{blue}{\log \left(\frac{-1}{x.re}\right)}\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot \left(-y.re\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} - y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)} \]

   if -4.7999999999999998e-208 < x.re < 3.6000000000000002e-125

   1. Initial program 41.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 77.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 65.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 65.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 3.6000000000000002e-125 < x.re < 1.85000000000000008e-15

   1. Initial program 52.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 89.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 89.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \left({\left(\sqrt{{\color{blue}{x.im}}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{\color{blue}{2}} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. accelerator-lowering-hypot.f64 82.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 82.9%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)} \]

   if 1.85000000000000008e-15 < x.re

   1. Initial program 30.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x.re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \color{blue}{\sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \sin \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right) \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(y.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right) \cdot \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{x.re}\right)\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \left(-1 \cdot y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(y.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      12. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \color{blue}{\log \left(\frac{1}{x.re}\right)}\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(y.re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\frac{1}{x.re}\right) \cdot \left(-y.re\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} - \left(-y.im \cdot \log x.re\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 73.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \leq -4.8 \cdot 10^{-208}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(\frac{-1}{x.re}\right) \cdot \left(0 - y.re\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} - y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 3.6 \cdot 10^{-125}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 1.85 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\left(0 - y.re\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log x.re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 68.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := \frac{\sin t\_1}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ t_3 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -2.5 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot t\_3\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1.95 \cdot 10^{-225}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 5.8 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.im \cdot t\_0\right) \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 7.5 \cdot 10^{+67}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(t\_0 \cdot t\_3\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (hypot x.im x.re)))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2
         (/
          (sin t_1)
          (/ (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im)) (pow (hypot x.re x.im) y.re))))
        (t_3 (pow (hypot x.im x.re) y.re)))
   (if (<= y.re -2.5e+70)
     (* t_1 t_3)
     (if (<= y.re -1.95e-225)
       t_2
       (if (<= y.re 5.8e-96)
         (* (sin (* y.im t_0)) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im))))
         (if (<= y.re 7.5e+67) t_2 (* y.im (* t_0 t_3))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = sin(t_1) / (exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	double t_3 = pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.5e+70) {
		tmp = t_1 * t_3;
	} else if (y_46_re <= -1.95e-225) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_re <= 5.8e-96) {
		tmp = sin((y_46_im * t_0)) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else if (y_46_re <= 7.5e+67) {
		tmp = t_2;
	} else {
		tmp = y_46_im * (t_0 * t_3);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re));
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.sin(t_1) / (Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	double t_3 = Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.5e+70) {
		tmp = t_1 * t_3;
	} else if (y_46_re <= -1.95e-225) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_re <= 5.8e-96) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * t_0)) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else if (y_46_re <= 7.5e+67) {
		tmp = t_2;
	} else {
		tmp = y_46_im * (t_0 * t_3);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.sin(t_1) / (math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	t_3 = math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -2.5e+70:
		tmp = t_1 * t_3
	elif y_46_re <= -1.95e-225:
		tmp = t_2
	elif y_46_re <= 5.8e-96:
		tmp = math.sin((y_46_im * t_0)) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)))
	elif y_46_re <= 7.5e+67:
		tmp = t_2
	else:
		tmp = y_46_im * (t_0 * t_3)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(hypot(x_46_im, x_46_re))
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = Float64(sin(t_1) / Float64(exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)))
	t_3 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -2.5e+70)
		tmp = Float64(t_1 * t_3);
	elseif (y_46_re <= -1.95e-225)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_re <= 5.8e-96)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_im * t_0)) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im))));
	elseif (y_46_re <= 7.5e+67)
		tmp = t_2;
	else
		tmp = Float64(y_46_im * Float64(t_0 * t_3));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = sin(t_1) / (exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	t_3 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -2.5e+70)
		tmp = t_1 * t_3;
	elseif (y_46_re <= -1.95e-225)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_re <= 5.8e-96)
		tmp = sin((y_46_im * t_0)) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	elseif (y_46_re <= 7.5e+67)
		tmp = t_2;
	else
		tmp = y_46_im * (t_0 * t_3);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -2.5e+70], N[(t$95$1 * t$95$3), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -1.95e-225], t$95$2, If[LessEqual[y$46$re, 5.8e-96], N[(N[Sin[N[(y$46$im * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 7.5e+67], t$95$2, N[(y$46$im * N[(t$95$0 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y.re < -2.5000000000000001e70

   1. Initial program 37.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 65.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 72.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 81.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   10. Simplified 81.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if -2.5000000000000001e70 < y.re < -1.95e-225 or 5.79999999999999987e-96 < y.re < 7.5000000000000005e67

   1. Initial program 37.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 76.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 70.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 70.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if -1.95e-225 < y.re < 5.79999999999999987e-96

   1. Initial program 46.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(0 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. accelerator-lowering-hypot.f64 80.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.5%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{y.im \cdot \left(0 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]

   if 7.5000000000000005e67 < y.re

   1. Initial program 27.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 50.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 36.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 36.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \left({\left(\sqrt{{\color{blue}{x.im}}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{\color{blue}{2}} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. accelerator-lowering-hypot.f64 61.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 61.2%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 74.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -2.5 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1.95 \cdot 10^{-225}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 5.8 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 7.5 \cdot 10^{+67}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 65.1% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ t_1 := y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot t\_0\right)\\ t_2 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_3 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -9.8 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot t\_3\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.3 \cdot 10^{-225}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.2 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_2 \cdot t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im))))
        (t_1 (* y.re (* (atan2 x.im x.re) t_0)))
        (t_2 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_3 (pow (hypot x.im x.re) y.re)))
   (if (<= y.re -9.8e-45)
     (* t_2 t_3)
     (if (<= y.re -2.3e-225)
       t_1
       (if (<= y.re 2.2e-96)
         (* (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re)))) t_0)
         (if (<= y.re 2.4e-22) t_1 (* (sin t_2) t_3)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	double t_1 = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * t_0);
	double t_2 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_3 = pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -9.8e-45) {
		tmp = t_2 * t_3;
	} else if (y_46_re <= -2.3e-225) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 2.2e-96) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) * t_0;
	} else if (y_46_re <= 2.4e-22) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = sin(t_2) * t_3;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	double t_1 = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * t_0);
	double t_2 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_3 = Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -9.8e-45) {
		tmp = t_2 * t_3;
	} else if (y_46_re <= -2.3e-225) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 2.2e-96) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) * t_0;
	} else if (y_46_re <= 2.4e-22) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = Math.sin(t_2) * t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)))
	t_1 = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * t_0)
	t_2 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_3 = math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -9.8e-45:
		tmp = t_2 * t_3
	elif y_46_re <= -2.3e-225:
		tmp = t_1
	elif y_46_re <= 2.2e-96:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) * t_0
	elif y_46_re <= 2.4e-22:
		tmp = t_1
	else:
		tmp = math.sin(t_2) * t_3
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))
	t_1 = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * t_0))
	t_2 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_3 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -9.8e-45)
		tmp = Float64(t_2 * t_3);
	elseif (y_46_re <= -2.3e-225)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 2.2e-96)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) * t_0);
	elseif (y_46_re <= 2.4e-22)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = Float64(sin(t_2) * t_3);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	t_1 = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * t_0);
	t_2 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_3 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -9.8e-45)
		tmp = t_2 * t_3;
	elseif (y_46_re <= -2.3e-225)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 2.2e-96)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) * t_0;
	elseif (y_46_re <= 2.4e-22)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = sin(t_2) * t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -9.8e-45], N[(t$95$2 * t$95$3), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -2.3e-225], t$95$1, If[LessEqual[y$46$re, 2.2e-96], N[(N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.4e-22], t$95$1, N[(N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y.re < -9.7999999999999996e-45

   1. Initial program 38.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 78.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   10. Simplified 78.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if -9.7999999999999996e-45 < y.re < -2.2999999999999999e-225 or 2.19999999999999979e-96 < y.re < 2.40000000000000002e-22

   1. Initial program 27.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 37.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 37.6%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 68.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -2.2999999999999999e-225 < y.re < 2.19999999999999979e-96

   1. Initial program 46.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(0 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. accelerator-lowering-hypot.f64 80.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.5%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{y.im \cdot \left(0 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]

   if 2.40000000000000002e-22 < y.re

   1. Initial program 37.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 60.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 60.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 73.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -9.8 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.3 \cdot 10^{-225}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.2 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 65.1% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -9.8 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot t\_2\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.1 \cdot 10^{-227}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.5 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_1 \cdot t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          y.re
          (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im))))))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2 (pow (hypot x.im x.re) y.re)))
   (if (<= y.re -9.8e-45)
     (* t_1 t_2)
     (if (<= y.re -4.1e-227)
       t_0
       (if (<= y.re 3.5e-96)
         (/
          (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re))))
          (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
         (if (<= y.re 2.4e-22) t_0 (* (sin t_1) t_2)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -9.8e-45) {
		tmp = t_1 * t_2;
	} else if (y_46_re <= -4.1e-227) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 3.5e-96) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else if (y_46_re <= 2.4e-22) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = sin(t_1) * t_2;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -9.8e-45) {
		tmp = t_1 * t_2;
	} else if (y_46_re <= -4.1e-227) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 3.5e-96) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else if (y_46_re <= 2.4e-22) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = Math.sin(t_1) * t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -9.8e-45:
		tmp = t_1 * t_2
	elif y_46_re <= -4.1e-227:
		tmp = t_0
	elif y_46_re <= 3.5e-96:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	elif y_46_re <= 2.4e-22:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = math.sin(t_1) * t_2
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))))
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -9.8e-45)
		tmp = Float64(t_1 * t_2);
	elseif (y_46_re <= -4.1e-227)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 3.5e-96)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)));
	elseif (y_46_re <= 2.4e-22)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(sin(t_1) * t_2);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -9.8e-45)
		tmp = t_1 * t_2;
	elseif (y_46_re <= -4.1e-227)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 3.5e-96)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	elseif (y_46_re <= 2.4e-22)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = sin(t_1) * t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -9.8e-45], N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -4.1e-227], t$95$0, If[LessEqual[y$46$re, 3.5e-96], N[(N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.4e-22], t$95$0, N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y.re < -9.7999999999999996e-45

   1. Initial program 38.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 78.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   10. Simplified 78.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if -9.7999999999999996e-45 < y.re < -4.10000000000000009e-227 or 3.4999999999999999e-96 < y.re < 2.40000000000000002e-22

   1. Initial program 27.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 37.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 37.6%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 68.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -4.10000000000000009e-227 < y.re < 3.4999999999999999e-96

   1. Initial program 46.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 88.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 80.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 2.40000000000000002e-22 < y.re

   1. Initial program 37.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 60.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 60.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 73.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -9.8 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.1 \cdot 10^{-227}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.5 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 64.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ t_1 := y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot t\_0\right)\\ t_2 := e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ t_3 := \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{if}\;y.im \leq -33000:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot t\_2\right)\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq -3.3 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 10^{-142}:\\ \;\;\;\;t\_3 \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 6.4 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3 \cdot t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
        (t_1 (* y.im (* (log (hypot x.im x.re)) t_0)))
        (t_2 (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im))))
        (t_3 (sin (* y.re (atan2 x.im x.re)))))
   (if (<= y.im -33000.0)
     (* y.re (* (atan2 x.im x.re) t_2))
     (if (<= y.im -3.3e-96)
       t_1
       (if (<= y.im 1e-142)
         (* t_3 t_0)
         (if (<= y.im 6.4e+18) t_1 (* t_3 t_2)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double t_1 = y_46_im * (log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_0);
	double t_2 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	double t_3 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double tmp;
	if (y_46_im <= -33000.0) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * t_2);
	} else if (y_46_im <= -3.3e-96) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_im <= 1e-142) {
		tmp = t_3 * t_0;
	} else if (y_46_im <= 6.4e+18) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = t_3 * t_2;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double t_1 = y_46_im * (Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_0);
	double t_2 = Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	double t_3 = Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double tmp;
	if (y_46_im <= -33000.0) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * t_2);
	} else if (y_46_im <= -3.3e-96) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_im <= 1e-142) {
		tmp = t_3 * t_0;
	} else if (y_46_im <= 6.4e+18) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = t_3 * t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	t_1 = y_46_im * (math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_0)
	t_2 = math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)))
	t_3 = math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	tmp = 0
	if y_46_im <= -33000.0:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * t_2)
	elif y_46_im <= -3.3e-96:
		tmp = t_1
	elif y_46_im <= 1e-142:
		tmp = t_3 * t_0
	elif y_46_im <= 6.4e+18:
		tmp = t_1
	else:
		tmp = t_3 * t_2
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re
	t_1 = Float64(y_46_im * Float64(log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_0))
	t_2 = exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))
	t_3 = sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_im <= -33000.0)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * t_2));
	elseif (y_46_im <= -3.3e-96)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_im <= 1e-142)
		tmp = Float64(t_3 * t_0);
	elseif (y_46_im <= 6.4e+18)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = Float64(t_3 * t_2);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	t_1 = y_46_im * (log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_0);
	t_2 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	t_3 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_im <= -33000.0)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * t_2);
	elseif (y_46_im <= -3.3e-96)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_im <= 1e-142)
		tmp = t_3 * t_0;
	elseif (y_46_im <= 6.4e+18)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = t_3 * t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$im * N[(N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$im, -33000.0], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$im, -3.3e-96], t$95$1, If[LessEqual[y$46$im, 1e-142], N[(t$95$3 * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$im, 6.4e+18], t$95$1, N[(t$95$3 * t$95$2), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y.im < -33000

   1. Initial program 37.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 57.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 57.0%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 58.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 58.8%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -33000 < y.im < -3.2999999999999999e-96 or 1e-142 < y.im < 6.4e18

   1. Initial program 36.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 87.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 82.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 82.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \left({\left(\sqrt{{\color{blue}{x.im}}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{\color{blue}{2}} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. accelerator-lowering-hypot.f64 78.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 78.3%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)} \]

   if -3.2999999999999999e-96 < y.im < 1e-142

   1. Initial program 44.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 78.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 78.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if 6.4e18 < y.im

   1. Initial program 33.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 55.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      6. atan2-lowering-atan2.f64 63.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 63.8%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 70.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \leq -33000:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq -3.3 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 10^{-142}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 6.4 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 65.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ t_1 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ t_2 := y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot t\_1\right)\\ \mathbf{if}\;y.im \leq -40000:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq -3.3 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 1.25 \cdot 10^{-142}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 0.054:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          y.re
          (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im))))))
        (t_1 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
        (t_2 (* y.im (* (log (hypot x.im x.re)) t_1))))
   (if (<= y.im -40000.0)
     t_0
     (if (<= y.im -3.3e-96)
       t_2
       (if (<= y.im 1.25e-142)
         (* (sin (* y.re (atan2 x.im x.re))) t_1)
         (if (<= y.im 0.054) t_2 t_0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	double t_1 = pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double t_2 = y_46_im * (log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_1);
	double tmp;
	if (y_46_im <= -40000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_im <= -3.3e-96) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_im <= 1.25e-142) {
		tmp = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * t_1;
	} else if (y_46_im <= 0.054) {
		tmp = t_2;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	double t_1 = Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double t_2 = y_46_im * (Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_1);
	double tmp;
	if (y_46_im <= -40000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_im <= -3.3e-96) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_im <= 1.25e-142) {
		tmp = Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * t_1;
	} else if (y_46_im <= 0.054) {
		tmp = t_2;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	t_1 = math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	t_2 = y_46_im * (math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_1)
	tmp = 0
	if y_46_im <= -40000.0:
		tmp = t_0
	elif y_46_im <= -3.3e-96:
		tmp = t_2
	elif y_46_im <= 1.25e-142:
		tmp = math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * t_1
	elif y_46_im <= 0.054:
		tmp = t_2
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))))
	t_1 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re
	t_2 = Float64(y_46_im * Float64(log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_1))
	tmp = 0.0
	if (y_46_im <= -40000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_im <= -3.3e-96)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_im <= 1.25e-142)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))) * t_1);
	elseif (y_46_im <= 0.054)
		tmp = t_2;
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	t_1 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	t_2 = y_46_im * (log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_1);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_im <= -40000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_im <= -3.3e-96)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_im <= 1.25e-142)
		tmp = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * t_1;
	elseif (y_46_im <= 0.054)
		tmp = t_2;
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(y$46$im * N[(N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$im, -40000.0], t$95$0, If[LessEqual[y$46$im, -3.3e-96], t$95$2, If[LessEqual[y$46$im, 1.25e-142], N[(N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$im, 0.054], t$95$2, t$95$0]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.im < -4e4 or 0.0539999999999999994 < y.im

   1. Initial program 34.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 56.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 56.0%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 57.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 57.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -4e4 < y.im < -3.2999999999999999e-96 or 1.2500000000000001e-142 < y.im < 0.0539999999999999994

   1. Initial program 37.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 87.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 87.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \left({\left(\sqrt{{\color{blue}{x.im}}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{\color{blue}{2}} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. accelerator-lowering-hypot.f64 82.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 82.7%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)} \]

   if -3.2999999999999999e-96 < y.im < 1.2500000000000001e-142

   1. Initial program 44.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 78.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 78.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 69.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \leq -40000:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq -3.3 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 1.25 \cdot 10^{-142}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 0.054:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 64.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ t_1 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ t_2 := y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot t\_1\right)\\ \mathbf{if}\;y.im \leq -205000000:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq -3.3 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 8.5 \cdot 10^{-142}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 0.054:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          y.re
          (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im))))))
        (t_1 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
        (t_2 (* y.im (* (log (hypot x.im x.re)) t_1))))
   (if (<= y.im -205000000.0)
     t_0
     (if (<= y.im -3.3e-96)
       t_2
       (if (<= y.im 8.5e-142)
         (* (* y.re (atan2 x.im x.re)) t_1)
         (if (<= y.im 0.054) t_2 t_0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	double t_1 = pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double t_2 = y_46_im * (log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_1);
	double tmp;
	if (y_46_im <= -205000000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_im <= -3.3e-96) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_im <= 8.5e-142) {
		tmp = (y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)) * t_1;
	} else if (y_46_im <= 0.054) {
		tmp = t_2;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	double t_1 = Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	double t_2 = y_46_im * (Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_1);
	double tmp;
	if (y_46_im <= -205000000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_im <= -3.3e-96) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_im <= 8.5e-142) {
		tmp = (y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)) * t_1;
	} else if (y_46_im <= 0.054) {
		tmp = t_2;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	t_1 = math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	t_2 = y_46_im * (math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_1)
	tmp = 0
	if y_46_im <= -205000000.0:
		tmp = t_0
	elif y_46_im <= -3.3e-96:
		tmp = t_2
	elif y_46_im <= 8.5e-142:
		tmp = (y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)) * t_1
	elif y_46_im <= 0.054:
		tmp = t_2
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))))
	t_1 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re
	t_2 = Float64(y_46_im * Float64(log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_1))
	tmp = 0.0
	if (y_46_im <= -205000000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_im <= -3.3e-96)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_im <= 8.5e-142)
		tmp = Float64(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)) * t_1);
	elseif (y_46_im <= 0.054)
		tmp = t_2;
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	t_1 = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	t_2 = y_46_im * (log(hypot(x_46_im, x_46_re)) * t_1);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_im <= -205000000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_im <= -3.3e-96)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_im <= 8.5e-142)
		tmp = (y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)) * t_1;
	elseif (y_46_im <= 0.054)
		tmp = t_2;
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(y$46$im * N[(N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$im, -205000000.0], t$95$0, If[LessEqual[y$46$im, -3.3e-96], t$95$2, If[LessEqual[y$46$im, 8.5e-142], N[(N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$im, 0.054], t$95$2, t$95$0]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.im < -2.05e8 or 0.0539999999999999994 < y.im

   1. Initial program 34.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 56.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 56.0%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 57.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 57.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -2.05e8 < y.im < -3.2999999999999999e-96 or 8.4999999999999996e-142 < y.im < 0.0539999999999999994

   1. Initial program 37.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 87.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 87.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \left({\left(\sqrt{{\color{blue}{x.im}}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{\color{blue}{2}} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. accelerator-lowering-hypot.f64 82.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 82.7%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)} \]

   if -3.2999999999999999e-96 < y.im < 8.4999999999999996e-142

   1. Initial program 44.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 92.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 75.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   10. Simplified 75.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 68.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \leq -205000000:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq -3.3 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 8.5 \cdot 10^{-142}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 0.054:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 40.7% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ t_1 := t\_0 \cdot {x.re}^{y.re}\\ t_2 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ \mathbf{if}\;x.re \leq -860:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 1.12 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 2.35 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \frac{{t\_2}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log t\_2}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 5.2 \cdot 10^{+167}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log x.re \cdot e^{y.re \cdot \log x.re}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* y.re (atan2 x.im x.re))))
        (t_1 (* t_0 (pow x.re y.re)))
        (t_2 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))
   (if (<= x.re -860.0)
     t_1
     (if (<= x.re 1.12e-64)
       (* t_0 (pow x.im y.re))
       (if (<= x.re 2.35e+70)
         (* y.im (/ (pow t_2 (/ y.re 2.0)) (/ 2.0 (log t_2))))
         (if (<= x.re 5.2e+167)
           t_1
           (* y.im (* (log x.re) (exp (* y.re (log x.re)))))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_1 = t_0 * pow(x_46_re, y_46_re);
	double t_2 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (x_46_re <= -860.0) {
		tmp = t_1;
	} else if (x_46_re <= 1.12e-64) {
		tmp = t_0 * pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (x_46_re <= 2.35e+70) {
		tmp = y_46_im * (pow(t_2, (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / log(t_2)));
	} else if (x_46_re <= 5.2e+167) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = y_46_im * (log(x_46_re) * exp((y_46_re * log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((y_46re * atan2(x_46im, x_46re)))
    t_1 = t_0 * (x_46re ** y_46re)
    t_2 = (x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)
    if (x_46re <= (-860.0d0)) then
        tmp = t_1
    else if (x_46re <= 1.12d-64) then
        tmp = t_0 * (x_46im ** y_46re)
    else if (x_46re <= 2.35d+70) then
        tmp = y_46im * ((t_2 ** (y_46re / 2.0d0)) / (2.0d0 / log(t_2)))
    else if (x_46re <= 5.2d+167) then
        tmp = t_1
    else
        tmp = y_46im * (log(x_46re) * exp((y_46re * log(x_46re))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_1 = t_0 * Math.pow(x_46_re, y_46_re);
	double t_2 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (x_46_re <= -860.0) {
		tmp = t_1;
	} else if (x_46_re <= 1.12e-64) {
		tmp = t_0 * Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (x_46_re <= 2.35e+70) {
		tmp = y_46_im * (Math.pow(t_2, (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / Math.log(t_2)));
	} else if (x_46_re <= 5.2e+167) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = y_46_im * (Math.log(x_46_re) * Math.exp((y_46_re * Math.log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	t_1 = t_0 * math.pow(x_46_re, y_46_re)
	t_2 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	tmp = 0
	if x_46_re <= -860.0:
		tmp = t_1
	elif x_46_re <= 1.12e-64:
		tmp = t_0 * math.pow(x_46_im, y_46_re)
	elif x_46_re <= 2.35e+70:
		tmp = y_46_im * (math.pow(t_2, (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / math.log(t_2)))
	elif x_46_re <= 5.2e+167:
		tmp = t_1
	else:
		tmp = y_46_im * (math.log(x_46_re) * math.exp((y_46_re * math.log(x_46_re))))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))
	t_1 = Float64(t_0 * (x_46_re ^ y_46_re))
	t_2 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	tmp = 0.0
	if (x_46_re <= -860.0)
		tmp = t_1;
	elseif (x_46_re <= 1.12e-64)
		tmp = Float64(t_0 * (x_46_im ^ y_46_re));
	elseif (x_46_re <= 2.35e+70)
		tmp = Float64(y_46_im * Float64((t_2 ^ Float64(y_46_re / 2.0)) / Float64(2.0 / log(t_2))));
	elseif (x_46_re <= 5.2e+167)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = Float64(y_46_im * Float64(log(x_46_re) * exp(Float64(y_46_re * log(x_46_re)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	t_1 = t_0 * (x_46_re ^ y_46_re);
	t_2 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	tmp = 0.0;
	if (x_46_re <= -860.0)
		tmp = t_1;
	elseif (x_46_re <= 1.12e-64)
		tmp = t_0 * (x_46_im ^ y_46_re);
	elseif (x_46_re <= 2.35e+70)
		tmp = y_46_im * ((t_2 ^ (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / log(t_2)));
	elseif (x_46_re <= 5.2e+167)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = y_46_im * (log(x_46_re) * exp((y_46_re * log(x_46_re))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x$46$re, -860.0], t$95$1, If[LessEqual[x$46$re, 1.12e-64], N[(t$95$0 * N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$re, 2.35e+70], N[(y$46$im * N[(N[Power[t$95$2, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(2.0 / N[Log[t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$re, 5.2e+167], t$95$1, N[(y$46$im * N[(N[Log[x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(y$46$re * N[Log[x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if x.re < -860 or 2.3499999999999999e70 < x.re < 5.2000000000000004e167

   1. Initial program 33.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 61.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({x.re}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{x.re}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 49.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.re, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 49.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]

   if -860 < x.re < 1.12e-64

   1. Initial program 45.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 44.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 44.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 35.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 35.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}} \]

   if 1.12e-64 < x.re < 2.3499999999999999e70

   1. Initial program 67.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 74.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 67.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 35.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 60.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 60.9%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}}\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       3. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right) \]

       7. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{\color{blue}{y.re}}\right)\right) \]

       8. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1 \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{\color{blue}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}}\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}\right)}\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 60.8%

       \[\leadsto y.im \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}} \]

   if 5.2000000000000004e167 < x.re

   1. Initial program 0.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 73.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 0.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 29.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 29.8%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.re around inf

       \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg}\left(y.im \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto y.im \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)} \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto y.im \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\mathsf{neg}\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

       6. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       7. log-rec N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log x.re\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)}\right), \color{blue}{\log x.re}\right)\right) \]

       10. exp-lowering-exp.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right), \log \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

       11. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-neg-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       13. log-rec N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       14. remove-double-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \log x.re\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \log x.re\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       16. log-lowering-log.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{log.f64}\left(x.re\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

   15. Simplified 72.0%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(e^{y.re \cdot \log x.re} \cdot \log x.re\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 47.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \leq -860:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 1.12 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 2.35 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 5.2 \cdot 10^{+167}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log x.re \cdot e^{y.re \cdot \log x.re}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 57.5% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -9.8 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -9.8e-45)
     (* t_0 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
     (if (<= y.re 2.4e-22)
       (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
       (* (sin t_0) (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re 2.0)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -9.8e-45) {
		tmp = t_0 * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 2.4e-22) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = sin(t_0) * pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -9.8e-45) {
		tmp = t_0 * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 2.4e-22) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = Math.sin(t_0) * Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -9.8e-45:
		tmp = t_0 * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= 2.4e-22:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = math.sin(t_0) * math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -9.8e-45)
		tmp = Float64(t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 2.4e-22)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = Float64(sin(t_0) * (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / 2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -9.8e-45)
		tmp = t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= 2.4e-22)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = sin(t_0) * (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / 2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -9.8e-45], N[(t$95$0 * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.4e-22], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision] * N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -9.7999999999999996e-45

   1. Initial program 38.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 78.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   10. Simplified 78.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if -9.7999999999999996e-45 < y.re < 2.40000000000000002e-22

   1. Initial program 38.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 31.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 31.1%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 52.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if 2.40000000000000002e-22 < y.re

   1. Initial program 37.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 60.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 60.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

      4. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      6. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right), \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      15. atan2-lowering-atan2.f64 60.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 60.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 62.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -9.8 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 36.0% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ t_1 := \log t\_0\\ t_2 := \frac{2}{t\_1}\\ t_3 := y.im \cdot \frac{{t\_0}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{t\_2}\\ t_4 := y.re \cdot \log \left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -2.7 \cdot 10^{+109}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;t\_4\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.4 \cdot 10^{-193}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.5 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;t\_4\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 20000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(y.re \cdot \left(\frac{y.re}{t\_2} + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))
        (t_1 (log t_0))
        (t_2 (/ 2.0 t_1))
        (t_3 (* y.im (/ (pow t_0 (/ y.re 2.0)) t_2)))
        (t_4 (* y.re (log (exp (atan2 x.im x.re))))))
   (if (<= y.re -2.7e+109)
     t_3
     (if (<= y.re -4.6e-250)
       t_4
       (if (<= y.re 4.4e-193)
         (* t_1 (* y.im 0.5))
         (if (<= y.re 4.5e-47)
           t_4
           (if (<= y.re 20000.0)
             (* (atan2 x.im x.re) (* y.re (+ (/ y.re t_2) 1.0)))
             t_3)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = log(t_0);
	double t_2 = 2.0 / t_1;
	double t_3 = y_46_im * (pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / t_2);
	double t_4 = y_46_re * log(exp(atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.7e+109) {
		tmp = t_3;
	} else if (y_46_re <= -4.6e-250) {
		tmp = t_4;
	} else if (y_46_re <= 4.4e-193) {
		tmp = t_1 * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 4.5e-47) {
		tmp = t_4;
	} else if (y_46_re <= 20000.0) {
		tmp = atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / t_2) + 1.0));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)
    t_1 = log(t_0)
    t_2 = 2.0d0 / t_1
    t_3 = y_46im * ((t_0 ** (y_46re / 2.0d0)) / t_2)
    t_4 = y_46re * log(exp(atan2(x_46im, x_46re)))
    if (y_46re <= (-2.7d+109)) then
        tmp = t_3
    else if (y_46re <= (-4.6d-250)) then
        tmp = t_4
    else if (y_46re <= 4.4d-193) then
        tmp = t_1 * (y_46im * 0.5d0)
    else if (y_46re <= 4.5d-47) then
        tmp = t_4
    else if (y_46re <= 20000.0d0) then
        tmp = atan2(x_46im, x_46re) * (y_46re * ((y_46re / t_2) + 1.0d0))
    else
        tmp = t_3
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = Math.log(t_0);
	double t_2 = 2.0 / t_1;
	double t_3 = y_46_im * (Math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / t_2);
	double t_4 = y_46_re * Math.log(Math.exp(Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.7e+109) {
		tmp = t_3;
	} else if (y_46_re <= -4.6e-250) {
		tmp = t_4;
	} else if (y_46_re <= 4.4e-193) {
		tmp = t_1 * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 4.5e-47) {
		tmp = t_4;
	} else if (y_46_re <= 20000.0) {
		tmp = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / t_2) + 1.0));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	t_1 = math.log(t_0)
	t_2 = 2.0 / t_1
	t_3 = y_46_im * (math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / t_2)
	t_4 = y_46_re * math.log(math.exp(math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -2.7e+109:
		tmp = t_3
	elif y_46_re <= -4.6e-250:
		tmp = t_4
	elif y_46_re <= 4.4e-193:
		tmp = t_1 * (y_46_im * 0.5)
	elif y_46_re <= 4.5e-47:
		tmp = t_4
	elif y_46_re <= 20000.0:
		tmp = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / t_2) + 1.0))
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	t_1 = log(t_0)
	t_2 = Float64(2.0 / t_1)
	t_3 = Float64(y_46_im * Float64((t_0 ^ Float64(y_46_re / 2.0)) / t_2))
	t_4 = Float64(y_46_re * log(exp(atan(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -2.7e+109)
		tmp = t_3;
	elseif (y_46_re <= -4.6e-250)
		tmp = t_4;
	elseif (y_46_re <= 4.4e-193)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(y_46_im * 0.5));
	elseif (y_46_re <= 4.5e-47)
		tmp = t_4;
	elseif (y_46_re <= 20000.0)
		tmp = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(y_46_re * Float64(Float64(y_46_re / t_2) + 1.0)));
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	t_1 = log(t_0);
	t_2 = 2.0 / t_1;
	t_3 = y_46_im * ((t_0 ^ (y_46_re / 2.0)) / t_2);
	t_4 = y_46_re * log(exp(atan2(x_46_im, x_46_re)));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -2.7e+109)
		tmp = t_3;
	elseif (y_46_re <= -4.6e-250)
		tmp = t_4;
	elseif (y_46_re <= 4.4e-193)
		tmp = t_1 * (y_46_im * 0.5);
	elseif (y_46_re <= 4.5e-47)
		tmp = t_4;
	elseif (y_46_re <= 20000.0)
		tmp = atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / t_2) + 1.0));
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(2.0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(y$46$im * N[(N[Power[t$95$0, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(y$46$re * N[Log[N[Exp[N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -2.7e+109], t$95$3, If[LessEqual[y$46$re, -4.6e-250], t$95$4, If[LessEqual[y$46$re, 4.4e-193], N[(t$95$1 * N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 4.5e-47], t$95$4, If[LessEqual[y$46$re, 20000.0], N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(y$46$re * N[(N[(y$46$re / t$95$2), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$3]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y.re < -2.70000000000000001e109 or 2e4 < y.re

   1. Initial program 35.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 57.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 52.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 52.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 5.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 44.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 44.7%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}}\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       3. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right) \]

       7. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{\color{blue}{y.re}}\right)\right) \]

       8. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1 \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{\color{blue}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}}\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}\right)}\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 44.7%

       \[\leadsto y.im \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}} \]

   if -2.70000000000000001e109 < y.re < -4.5999999999999999e-250 or 4.39999999999999953e-193 < y.re < 4.5e-47

   1. Initial program 37.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 47.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 47.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 29.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 29.6%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rem-log-exp N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \log \left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      2. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{log.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 35.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 35.9%

       \[\leadsto y.re \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)} \]

   if -4.5999999999999999e-250 < y.re < 4.39999999999999953e-193

   1. Initial program 47.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 89.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 24.8%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 33.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 33.5%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \color{blue}{\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       4. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 33.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 33.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)} \]

   if 4.5e-47 < y.re < 2e4

   1. Initial program 42.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 51.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 51.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 36.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 36.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{y.re} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

   10. Applied egg-rr 64.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.re} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right)\right) \cdot y.re \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot y.re\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot y.re\right)}\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right)} \cdot y.re\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 64.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(\left(\frac{y.re}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} + 1\right) \cdot y.re\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 40.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -2.7 \cdot 10^{+109}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \log \left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.4 \cdot 10^{-193}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.5 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \log \left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 20000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(y.re \cdot \left(\frac{y.re}{\frac{2}{\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}} + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 47.3% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;x.re \leq 1.25 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 8.2 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \frac{{t\_0}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log t\_0}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 1.35 \cdot 10^{+168}:\\ \;\;\;\;\sin t\_1 \cdot {x.re}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log x.re \cdot e^{y.re \cdot \log x.re}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))) (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= x.re 1.25e-64)
     (* t_1 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
     (if (<= x.re 8.2e+70)
       (* y.im (/ (pow t_0 (/ y.re 2.0)) (/ 2.0 (log t_0))))
       (if (<= x.re 1.35e+168)
         (* (sin t_1) (pow x.re y.re))
         (* y.im (* (log x.re) (exp (* y.re (log x.re))))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (x_46_re <= 1.25e-64) {
		tmp = t_1 * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (x_46_re <= 8.2e+70) {
		tmp = y_46_im * (pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / log(t_0)));
	} else if (x_46_re <= 1.35e+168) {
		tmp = sin(t_1) * pow(x_46_re, y_46_re);
	} else {
		tmp = y_46_im * (log(x_46_re) * exp((y_46_re * log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (x_46_re <= 1.25e-64) {
		tmp = t_1 * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (x_46_re <= 8.2e+70) {
		tmp = y_46_im * (Math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / Math.log(t_0)));
	} else if (x_46_re <= 1.35e+168) {
		tmp = Math.sin(t_1) * Math.pow(x_46_re, y_46_re);
	} else {
		tmp = y_46_im * (Math.log(x_46_re) * Math.exp((y_46_re * Math.log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if x_46_re <= 1.25e-64:
		tmp = t_1 * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif x_46_re <= 8.2e+70:
		tmp = y_46_im * (math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / math.log(t_0)))
	elif x_46_re <= 1.35e+168:
		tmp = math.sin(t_1) * math.pow(x_46_re, y_46_re)
	else:
		tmp = y_46_im * (math.log(x_46_re) * math.exp((y_46_re * math.log(x_46_re))))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (x_46_re <= 1.25e-64)
		tmp = Float64(t_1 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (x_46_re <= 8.2e+70)
		tmp = Float64(y_46_im * Float64((t_0 ^ Float64(y_46_re / 2.0)) / Float64(2.0 / log(t_0))));
	elseif (x_46_re <= 1.35e+168)
		tmp = Float64(sin(t_1) * (x_46_re ^ y_46_re));
	else
		tmp = Float64(y_46_im * Float64(log(x_46_re) * exp(Float64(y_46_re * log(x_46_re)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (x_46_re <= 1.25e-64)
		tmp = t_1 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (x_46_re <= 8.2e+70)
		tmp = y_46_im * ((t_0 ^ (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / log(t_0)));
	elseif (x_46_re <= 1.35e+168)
		tmp = sin(t_1) * (x_46_re ^ y_46_re);
	else
		tmp = y_46_im * (log(x_46_re) * exp((y_46_re * log(x_46_re))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x$46$re, 1.25e-64], N[(t$95$1 * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$re, 8.2e+70], N[(y$46$im * N[(N[Power[t$95$0, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(2.0 / N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$re, 1.35e+168], N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] * N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$im * N[(N[Log[x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(y$46$re * N[Log[x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if x.re < 1.25000000000000008e-64

   1. Initial program 39.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 72.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 45.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   10. Simplified 45.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if 1.25000000000000008e-64 < x.re < 8.2000000000000004e70

   1. Initial program 67.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 74.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 67.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 35.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 60.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 60.9%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}}\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       3. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right) \]

       7. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{\color{blue}{y.re}}\right)\right) \]

       8. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1 \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{\color{blue}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}}\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}\right)}\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 60.8%

       \[\leadsto y.im \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}} \]

   if 8.2000000000000004e70 < x.re < 1.35000000000000008e168

   1. Initial program 42.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 69.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 69.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({x.re}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{x.re}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 69.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.re, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 69.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]

   if 1.35000000000000008e168 < x.re

   1. Initial program 0.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 73.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 0.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 29.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 29.8%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.re around inf

       \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg}\left(y.im \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto y.im \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)} \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto y.im \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\mathsf{neg}\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

       6. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       7. log-rec N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log x.re\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)}\right), \color{blue}{\log x.re}\right)\right) \]

       10. exp-lowering-exp.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right), \log \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

       11. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-neg-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       13. log-rec N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       14. remove-double-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \log x.re\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \log x.re\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       16. log-lowering-log.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{log.f64}\left(x.re\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

   15. Simplified 72.0%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(e^{y.re \cdot \log x.re} \cdot \log x.re\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 53.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \leq 1.25 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 8.2 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 1.35 \cdot 10^{+168}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log x.re \cdot e^{y.re \cdot \log x.re}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 55.5% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -9.8 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.2 \cdot 10^{+40}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot {x.re}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -9.8e-45)
     (* t_0 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
     (if (<= y.re 4.2e+40)
       (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
       (* (sin t_0) (pow x.re y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -9.8e-45) {
		tmp = t_0 * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 4.2e+40) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = sin(t_0) * pow(x_46_re, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -9.8e-45) {
		tmp = t_0 * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 4.2e+40) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = Math.sin(t_0) * Math.pow(x_46_re, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -9.8e-45:
		tmp = t_0 * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= 4.2e+40:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = math.sin(t_0) * math.pow(x_46_re, y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -9.8e-45)
		tmp = Float64(t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 4.2e+40)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = Float64(sin(t_0) * (x_46_re ^ y_46_re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -9.8e-45)
		tmp = t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= 4.2e+40)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = sin(t_0) * (x_46_re ^ y_46_re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -9.8e-45], N[(t$95$0 * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 4.2e+40], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision] * N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -9.7999999999999996e-45

   1. Initial program 38.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 78.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   10. Simplified 78.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if -9.7999999999999996e-45 < y.re < 4.2000000000000002e40

   1. Initial program 39.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 36.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 36.1%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 53.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 53.0%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if 4.2000000000000002e40 < y.re

   1. Initial program 34.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 61.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({x.re}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{x.re}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 53.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.re, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 53.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -9.8 \cdot 10^{-45}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.2 \cdot 10^{+40}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 39.0% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ \mathbf{if}\;x.re \leq -5.5 \cdot 10^{+129}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(1 - y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 1.28 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \frac{{t\_0}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log t\_0}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log x.re \cdot e^{y.re \cdot \log x.re}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))
   (if (<= x.re -5.5e+129)
     (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (- 1.0 (* y.re (log (/ -1.0 x.re))))))
     (if (<= x.re 1.28e-15)
       (* y.im (/ (pow t_0 (/ y.re 2.0)) (/ 2.0 (log t_0))))
       (* y.im (* (log x.re) (exp (* y.re (log x.re)))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (x_46_re <= -5.5e+129) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * (1.0 - (y_46_re * log((-1.0 / x_46_re)))));
	} else if (x_46_re <= 1.28e-15) {
		tmp = y_46_im * (pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / log(t_0)));
	} else {
		tmp = y_46_im * (log(x_46_re) * exp((y_46_re * log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)
    if (x_46re <= (-5.5d+129)) then
        tmp = y_46re * (atan2(x_46im, x_46re) * (1.0d0 - (y_46re * log(((-1.0d0) / x_46re)))))
    else if (x_46re <= 1.28d-15) then
        tmp = y_46im * ((t_0 ** (y_46re / 2.0d0)) / (2.0d0 / log(t_0)))
    else
        tmp = y_46im * (log(x_46re) * exp((y_46re * log(x_46re))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (x_46_re <= -5.5e+129) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (1.0 - (y_46_re * Math.log((-1.0 / x_46_re)))));
	} else if (x_46_re <= 1.28e-15) {
		tmp = y_46_im * (Math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / Math.log(t_0)));
	} else {
		tmp = y_46_im * (Math.log(x_46_re) * Math.exp((y_46_re * Math.log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	tmp = 0
	if x_46_re <= -5.5e+129:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (1.0 - (y_46_re * math.log((-1.0 / x_46_re)))))
	elif x_46_re <= 1.28e-15:
		tmp = y_46_im * (math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / math.log(t_0)))
	else:
		tmp = y_46_im * (math.log(x_46_re) * math.exp((y_46_re * math.log(x_46_re))))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	tmp = 0.0
	if (x_46_re <= -5.5e+129)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(1.0 - Float64(y_46_re * log(Float64(-1.0 / x_46_re))))));
	elseif (x_46_re <= 1.28e-15)
		tmp = Float64(y_46_im * Float64((t_0 ^ Float64(y_46_re / 2.0)) / Float64(2.0 / log(t_0))));
	else
		tmp = Float64(y_46_im * Float64(log(x_46_re) * exp(Float64(y_46_re * log(x_46_re)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	tmp = 0.0;
	if (x_46_re <= -5.5e+129)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * (1.0 - (y_46_re * log((-1.0 / x_46_re)))));
	elseif (x_46_re <= 1.28e-15)
		tmp = y_46_im * ((t_0 ^ (y_46_re / 2.0)) / (2.0 / log(t_0)));
	else
		tmp = y_46_im * (log(x_46_re) * exp((y_46_re * log(x_46_re))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x$46$re, -5.5e+129], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(y$46$re * N[Log[N[(-1.0 / x$46$re), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$re, 1.28e-15], N[(y$46$im * N[(N[Power[t$95$0, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(2.0 / N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$im * N[(N[Log[x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(y$46$re * N[Log[x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x.re < -5.49999999999999984e129

   1. Initial program 5.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 51.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 51.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 18.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 18.9%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{y.re} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

   10. Applied egg-rr 9.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.re} \]

   11. Taylor expanded in x.re around -inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + -1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), y.re\right) \]

       2. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), y.re\right) \]

       3. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 - y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), y.re\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), y.re\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.re, \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), y.re\right) \]

       6. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), y.re\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), y.re\right) \]

       8. atan2-lowering-atan2.f64 18.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 18.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 - y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot y.re \]

   if -5.49999999999999984e129 < x.re < 1.28000000000000009e-15

   1. Initial program 51.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 73.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 59.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 59.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 14.1%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 34.1%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 34.1%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}}\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       3. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right) \]

       7. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{\color{blue}{y.re}}\right)\right) \]

       8. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1 \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{\color{blue}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}}\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}\right)}\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 32.6%

       \[\leadsto y.im \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}} \]

   if 1.28000000000000009e-15 < x.re

   1. Initial program 30.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 72.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 60.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 60.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 12.8%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 36.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 36.3%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.re around inf

       \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg}\left(y.im \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto y.im \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)} \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto y.im \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\mathsf{neg}\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

       6. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       7. log-rec N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log x.re\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)}\right), \color{blue}{\log x.re}\right)\right) \]

       10. exp-lowering-exp.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right), \log \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

       11. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-neg-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       13. log-rec N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       14. remove-double-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \log x.re\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \log x.re\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       16. log-lowering-log.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{log.f64}\left(x.re\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

   15. Simplified 57.1%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(e^{y.re \cdot \log x.re} \cdot \log x.re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 38.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \leq -5.5 \cdot 10^{+129}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(1 - y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 1.28 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log x.re \cdot e^{y.re \cdot \log x.re}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 39.8% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \leq 1.35 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log x.re \cdot e^{y.re \cdot \log x.re}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= x.re 1.35e-37)
   (* (sin (* y.re (atan2 x.im x.re))) (pow x.im y.re))
   (* y.im (* (log x.re) (exp (* y.re (log x.re)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_re <= 1.35e-37) {
		tmp = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * pow(x_46_im, y_46_re);
	} else {
		tmp = y_46_im * (log(x_46_re) * exp((y_46_re * log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (x_46re <= 1.35d-37) then
        tmp = sin((y_46re * atan2(x_46im, x_46re))) * (x_46im ** y_46re)
    else
        tmp = y_46im * (log(x_46re) * exp((y_46re * log(x_46re))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_re <= 1.35e-37) {
		tmp = Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	} else {
		tmp = y_46_im * (Math.log(x_46_re) * Math.exp((y_46_re * Math.log(x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if x_46_re <= 1.35e-37:
		tmp = math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * math.pow(x_46_im, y_46_re)
	else:
		tmp = y_46_im * (math.log(x_46_re) * math.exp((y_46_re * math.log(x_46_re))))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (x_46_re <= 1.35e-37)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))) * (x_46_im ^ y_46_re));
	else
		tmp = Float64(y_46_im * Float64(log(x_46_re) * exp(Float64(y_46_re * log(x_46_re)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (x_46_re <= 1.35e-37)
		tmp = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * (x_46_im ^ y_46_re);
	else
		tmp = y_46_im * (log(x_46_re) * exp((y_46_re * log(x_46_re))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[x$46$re, 1.35e-37], N[(N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$im * N[(N[Log[x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(y$46$re * N[Log[x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x.re < 1.35000000000000008e-37

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 48.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 48.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 34.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 34.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}} \]

   if 1.35000000000000008e-37 < x.re

   1. Initial program 35.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 74.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 63.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 17.7%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 40.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 40.5%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.re around inf

       \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg}\left(y.im \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto y.im \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)} \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto y.im \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\mathsf{neg}\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

       6. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       7. log-rec N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)} \cdot \log x.re\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)}\right), \color{blue}{\log x.re}\right)\right) \]

       10. exp-lowering-exp.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right), \log \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

       11. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-neg-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       13. log-rec N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       14. remove-double-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.re \cdot \log x.re\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \log x.re\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

       16. log-lowering-log.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{log.f64}\left(x.re\right)\right)\right), \log x.re\right)\right) \]

   15. Simplified 56.6%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(e^{y.re \cdot \log x.re} \cdot \log x.re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 42.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \leq 1.35 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \left(\log x.re \cdot e^{y.re \cdot \log x.re}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 35.5% accurate, 3.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ t_1 := \log t\_0\\ t_2 := \frac{2}{t\_1}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -4.6:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot \log \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 6.8 \cdot 10^{-89}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2100:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(y.re \cdot \left(\frac{y.re}{t\_2} + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \frac{{t\_0}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{t\_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))
        (t_1 (log t_0))
        (t_2 (/ 2.0 t_1)))
   (if (<= y.re -4.6)
     (* (* y.im 0.5) (* (pow x.im y.re) (log (* x.im x.im))))
     (if (<= y.re -4.6e-250)
       (* y.re (atan2 x.im x.re))
       (if (<= y.re 6.8e-89)
         (* t_1 (* y.im 0.5))
         (if (<= y.re 2100.0)
           (* (atan2 x.im x.re) (* y.re (+ (/ y.re t_2) 1.0)))
           (* y.im (/ (pow t_0 (/ y.re 2.0)) t_2))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = log(t_0);
	double t_2 = 2.0 / t_1;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.6) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (pow(x_46_im, y_46_re) * log((x_46_im * x_46_im)));
	} else if (y_46_re <= -4.6e-250) {
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else if (y_46_re <= 6.8e-89) {
		tmp = t_1 * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 2100.0) {
		tmp = atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / t_2) + 1.0));
	} else {
		tmp = y_46_im * (pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / t_2);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)
    t_1 = log(t_0)
    t_2 = 2.0d0 / t_1
    if (y_46re <= (-4.6d0)) then
        tmp = (y_46im * 0.5d0) * ((x_46im ** y_46re) * log((x_46im * x_46im)))
    else if (y_46re <= (-4.6d-250)) then
        tmp = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    else if (y_46re <= 6.8d-89) then
        tmp = t_1 * (y_46im * 0.5d0)
    else if (y_46re <= 2100.0d0) then
        tmp = atan2(x_46im, x_46re) * (y_46re * ((y_46re / t_2) + 1.0d0))
    else
        tmp = y_46im * ((t_0 ** (y_46re / 2.0d0)) / t_2)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = Math.log(t_0);
	double t_2 = 2.0 / t_1;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.6) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (Math.pow(x_46_im, y_46_re) * Math.log((x_46_im * x_46_im)));
	} else if (y_46_re <= -4.6e-250) {
		tmp = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else if (y_46_re <= 6.8e-89) {
		tmp = t_1 * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 2100.0) {
		tmp = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / t_2) + 1.0));
	} else {
		tmp = y_46_im * (Math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / t_2);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	t_1 = math.log(t_0)
	t_2 = 2.0 / t_1
	tmp = 0
	if y_46_re <= -4.6:
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (math.pow(x_46_im, y_46_re) * math.log((x_46_im * x_46_im)))
	elif y_46_re <= -4.6e-250:
		tmp = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	elif y_46_re <= 6.8e-89:
		tmp = t_1 * (y_46_im * 0.5)
	elif y_46_re <= 2100.0:
		tmp = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / t_2) + 1.0))
	else:
		tmp = y_46_im * (math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)) / t_2)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	t_1 = log(t_0)
	t_2 = Float64(2.0 / t_1)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -4.6)
		tmp = Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * Float64((x_46_im ^ y_46_re) * log(Float64(x_46_im * x_46_im))));
	elseif (y_46_re <= -4.6e-250)
		tmp = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re));
	elseif (y_46_re <= 6.8e-89)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(y_46_im * 0.5));
	elseif (y_46_re <= 2100.0)
		tmp = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(y_46_re * Float64(Float64(y_46_re / t_2) + 1.0)));
	else
		tmp = Float64(y_46_im * Float64((t_0 ^ Float64(y_46_re / 2.0)) / t_2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	t_1 = log(t_0);
	t_2 = 2.0 / t_1;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -4.6)
		tmp = (y_46_im * 0.5) * ((x_46_im ^ y_46_re) * log((x_46_im * x_46_im)));
	elseif (y_46_re <= -4.6e-250)
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	elseif (y_46_re <= 6.8e-89)
		tmp = t_1 * (y_46_im * 0.5);
	elseif (y_46_re <= 2100.0)
		tmp = atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / t_2) + 1.0));
	else
		tmp = y_46_im * ((t_0 ^ (y_46_re / 2.0)) / t_2);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(2.0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -4.6], N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision] * N[Log[N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -4.6e-250], N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 6.8e-89], N[(t$95$1 * N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2100.0], N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(y$46$re * N[(N[(y$46$re / t$95$2), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$im * N[(N[Power[t$95$0, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y.re < -4.5999999999999996

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 70.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 70.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 12.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 37.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 37.6%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \left(\color{blue}{\log \left({x.im}^{2}\right)} \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2}\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       5. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 38.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 38.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

   if -4.5999999999999996 < y.re < -4.5999999999999999e-250

   1. Initial program 39.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 40.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 40.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 35.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 35.8%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

   if -4.5999999999999999e-250 < y.re < 6.8000000000000001e-89

   1. Initial program 45.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 87.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 80.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 24.1%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 28.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 28.4%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \color{blue}{\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       4. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 28.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 28.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)} \]

   if 6.8000000000000001e-89 < y.re < 2100

   1. Initial program 36.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 54.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 54.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 46.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 46.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{y.re} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

   10. Applied egg-rr 48.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.re} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right)\right) \cdot y.re \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot y.re\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot y.re\right)}\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right)} \cdot y.re\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 48.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(\left(\frac{y.re}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} + 1\right) \cdot y.re\right)} \]

   if 2100 < y.re

   1. Initial program 33.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 39.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 39.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 2.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 51.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 51.2%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}}\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       3. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right) \]

       7. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{\color{blue}{y.re}}\right)\right) \]

       8. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\frac{1 \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{\color{blue}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}}\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}\right)}\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 51.2%

       \[\leadsto y.im \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 38.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -4.6:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot \log \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 6.8 \cdot 10^{-89}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2100:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(y.re \cdot \left(\frac{y.re}{\frac{2}{\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}} + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{\frac{2}{\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 30.5% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -4.2:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot \log \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 6.8 \cdot 10^{-87}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.7 \cdot 10^{+27}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(y.re \cdot \left(\frac{y.re}{\frac{2}{t\_0}} + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.re}^{y.re} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))))
   (if (<= y.re -4.2)
     (* (* y.im 0.5) (* (pow x.im y.re) (log (* x.im x.im))))
     (if (<= y.re -4.6e-250)
       (* y.re (atan2 x.im x.re))
       (if (<= y.re 6.8e-87)
         (* t_0 (* y.im 0.5))
         (if (<= y.re 3.7e+27)
           (* (atan2 x.im x.re) (* y.re (+ (/ y.re (/ 2.0 t_0)) 1.0)))
           (* (* y.im 0.5) (* (pow x.re y.re) (log (* x.re x.re))))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.2) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (pow(x_46_im, y_46_re) * log((x_46_im * x_46_im)));
	} else if (y_46_re <= -4.6e-250) {
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else if (y_46_re <= 6.8e-87) {
		tmp = t_0 * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 3.7e+27) {
		tmp = atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / (2.0 / t_0)) + 1.0));
	} else {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (pow(x_46_re, y_46_re) * log((x_46_re * x_46_re)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = log(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)))
    if (y_46re <= (-4.2d0)) then
        tmp = (y_46im * 0.5d0) * ((x_46im ** y_46re) * log((x_46im * x_46im)))
    else if (y_46re <= (-4.6d-250)) then
        tmp = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    else if (y_46re <= 6.8d-87) then
        tmp = t_0 * (y_46im * 0.5d0)
    else if (y_46re <= 3.7d+27) then
        tmp = atan2(x_46im, x_46re) * (y_46re * ((y_46re / (2.0d0 / t_0)) + 1.0d0))
    else
        tmp = (y_46im * 0.5d0) * ((x_46re ** y_46re) * log((x_46re * x_46re)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.2) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (Math.pow(x_46_im, y_46_re) * Math.log((x_46_im * x_46_im)));
	} else if (y_46_re <= -4.6e-250) {
		tmp = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else if (y_46_re <= 6.8e-87) {
		tmp = t_0 * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 3.7e+27) {
		tmp = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / (2.0 / t_0)) + 1.0));
	} else {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (Math.pow(x_46_re, y_46_re) * Math.log((x_46_re * x_46_re)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -4.2:
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (math.pow(x_46_im, y_46_re) * math.log((x_46_im * x_46_im)))
	elif y_46_re <= -4.6e-250:
		tmp = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	elif y_46_re <= 6.8e-87:
		tmp = t_0 * (y_46_im * 0.5)
	elif y_46_re <= 3.7e+27:
		tmp = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / (2.0 / t_0)) + 1.0))
	else:
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (math.pow(x_46_re, y_46_re) * math.log((x_46_re * x_46_re)))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -4.2)
		tmp = Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * Float64((x_46_im ^ y_46_re) * log(Float64(x_46_im * x_46_im))));
	elseif (y_46_re <= -4.6e-250)
		tmp = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re));
	elseif (y_46_re <= 6.8e-87)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(y_46_im * 0.5));
	elseif (y_46_re <= 3.7e+27)
		tmp = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(y_46_re * Float64(Float64(y_46_re / Float64(2.0 / t_0)) + 1.0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * Float64((x_46_re ^ y_46_re) * log(Float64(x_46_re * x_46_re))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -4.2)
		tmp = (y_46_im * 0.5) * ((x_46_im ^ y_46_re) * log((x_46_im * x_46_im)));
	elseif (y_46_re <= -4.6e-250)
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	elseif (y_46_re <= 6.8e-87)
		tmp = t_0 * (y_46_im * 0.5);
	elseif (y_46_re <= 3.7e+27)
		tmp = atan2(x_46_im, x_46_re) * (y_46_re * ((y_46_re / (2.0 / t_0)) + 1.0));
	else
		tmp = (y_46_im * 0.5) * ((x_46_re ^ y_46_re) * log((x_46_re * x_46_re)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -4.2], N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision] * N[Log[N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -4.6e-250], N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 6.8e-87], N[(t$95$0 * N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.7e+27], N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(y$46$re * N[(N[(y$46$re / N[(2.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision] * N[Log[N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y.re < -4.20000000000000018

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 70.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 70.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 12.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 37.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 37.6%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \left(\color{blue}{\log \left({x.im}^{2}\right)} \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2}\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       5. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 38.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 38.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

   if -4.20000000000000018 < y.re < -4.5999999999999999e-250

   1. Initial program 39.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 40.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 40.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 35.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 35.8%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

   if -4.5999999999999999e-250 < y.re < 6.7999999999999997e-87

   1. Initial program 44.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 78.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 23.3%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 27.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 27.6%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \color{blue}{\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       4. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 27.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 27.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)} \]

   if 6.7999999999999997e-87 < y.re < 3.70000000000000002e27

   1. Initial program 35.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 50.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 50.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 31.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 31.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{y.re} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

   10. Applied egg-rr 45.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.re} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right)\right) \cdot y.re \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot y.re\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot y.re\right)}\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right)} \cdot y.re\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 45.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(\left(\frac{y.re}{\frac{2}{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}} + 1\right) \cdot y.re\right)} \]

   if 3.70000000000000002e27 < y.re

   1. Initial program 34.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 53.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 37.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 37.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 2.3%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 51.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 51.3%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \left(\color{blue}{\log \left({x.re}^{2}\right)} \cdot {x.re}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({x.re}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       5. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x.re}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 46.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.re, \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 46.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \left(\log \left(x.re \cdot x.re\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 37.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -4.2:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot \log \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 6.8 \cdot 10^{-87}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.7 \cdot 10^{+27}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(y.re \cdot \left(\frac{y.re}{\frac{2}{\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}} + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.re}^{y.re} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 24: 30.5% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -3:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot \log \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.15 \cdot 10^{-93}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 10^{+25}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(y.re \cdot \frac{t\_0}{2} + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.re}^{y.re} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))))
   (if (<= y.re -3.0)
     (* (* y.im 0.5) (* (pow x.im y.re) (log (* x.im x.im))))
     (if (<= y.re -4.6e-250)
       (* y.re (atan2 x.im x.re))
       (if (<= y.re 3.15e-93)
         (* t_0 (* y.im 0.5))
         (if (<= y.re 1e+25)
           (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (+ (* y.re (/ t_0 2.0)) 1.0)))
           (* (* y.im 0.5) (* (pow x.re y.re) (log (* x.re x.re))))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.0) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (pow(x_46_im, y_46_re) * log((x_46_im * x_46_im)));
	} else if (y_46_re <= -4.6e-250) {
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.15e-93) {
		tmp = t_0 * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 1e+25) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * ((y_46_re * (t_0 / 2.0)) + 1.0));
	} else {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (pow(x_46_re, y_46_re) * log((x_46_re * x_46_re)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = log(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)))
    if (y_46re <= (-3.0d0)) then
        tmp = (y_46im * 0.5d0) * ((x_46im ** y_46re) * log((x_46im * x_46im)))
    else if (y_46re <= (-4.6d-250)) then
        tmp = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    else if (y_46re <= 3.15d-93) then
        tmp = t_0 * (y_46im * 0.5d0)
    else if (y_46re <= 1d+25) then
        tmp = y_46re * (atan2(x_46im, x_46re) * ((y_46re * (t_0 / 2.0d0)) + 1.0d0))
    else
        tmp = (y_46im * 0.5d0) * ((x_46re ** y_46re) * log((x_46re * x_46re)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.0) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (Math.pow(x_46_im, y_46_re) * Math.log((x_46_im * x_46_im)));
	} else if (y_46_re <= -4.6e-250) {
		tmp = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.15e-93) {
		tmp = t_0 * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 1e+25) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * ((y_46_re * (t_0 / 2.0)) + 1.0));
	} else {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (Math.pow(x_46_re, y_46_re) * Math.log((x_46_re * x_46_re)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -3.0:
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (math.pow(x_46_im, y_46_re) * math.log((x_46_im * x_46_im)))
	elif y_46_re <= -4.6e-250:
		tmp = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	elif y_46_re <= 3.15e-93:
		tmp = t_0 * (y_46_im * 0.5)
	elif y_46_re <= 1e+25:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * ((y_46_re * (t_0 / 2.0)) + 1.0))
	else:
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (math.pow(x_46_re, y_46_re) * math.log((x_46_re * x_46_re)))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -3.0)
		tmp = Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * Float64((x_46_im ^ y_46_re) * log(Float64(x_46_im * x_46_im))));
	elseif (y_46_re <= -4.6e-250)
		tmp = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re));
	elseif (y_46_re <= 3.15e-93)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(y_46_im * 0.5));
	elseif (y_46_re <= 1e+25)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(Float64(y_46_re * Float64(t_0 / 2.0)) + 1.0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * Float64((x_46_re ^ y_46_re) * log(Float64(x_46_re * x_46_re))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -3.0)
		tmp = (y_46_im * 0.5) * ((x_46_im ^ y_46_re) * log((x_46_im * x_46_im)));
	elseif (y_46_re <= -4.6e-250)
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	elseif (y_46_re <= 3.15e-93)
		tmp = t_0 * (y_46_im * 0.5);
	elseif (y_46_re <= 1e+25)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * ((y_46_re * (t_0 / 2.0)) + 1.0));
	else
		tmp = (y_46_im * 0.5) * ((x_46_re ^ y_46_re) * log((x_46_re * x_46_re)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -3.0], N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision] * N[Log[N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -4.6e-250], N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.15e-93], N[(t$95$0 * N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1e+25], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(N[(y$46$re * N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision] * N[Log[N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y.re < -3

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 70.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 70.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 12.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 37.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 37.6%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \left(\color{blue}{\log \left({x.im}^{2}\right)} \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2}\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       5. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 38.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 38.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

   if -3 < y.re < -4.5999999999999999e-250

   1. Initial program 39.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 40.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 40.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 35.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 35.8%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

   if -4.5999999999999999e-250 < y.re < 3.15000000000000014e-93

   1. Initial program 45.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 87.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 80.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 24.1%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 28.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 28.4%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \color{blue}{\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       4. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 28.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 28.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)} \]

   if 3.15000000000000014e-93 < y.re < 1.00000000000000009e25

   1. Initial program 33.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 53.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 53.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 35.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 35.8%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{y.re} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

   10. Applied egg-rr 43.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.re} \]

   if 1.00000000000000009e25 < y.re

   1. Initial program 34.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 53.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 37.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 37.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 2.3%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 51.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 51.3%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \left(\color{blue}{\log \left({x.re}^{2}\right)} \cdot {x.re}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({x.re}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       5. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x.re}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 46.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.re, \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 46.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \left(\log \left(x.re \cdot x.re\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 37.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot \log \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.15 \cdot 10^{-93}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 10^{+25}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(y.re \cdot \frac{\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}{2} + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.re}^{y.re} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 25: 30.7% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(x.im \cdot x.im\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -8.5:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1.16 \cdot 10^{-252}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 10^{-86}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 12500:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(y.re \cdot \frac{t\_0}{2} + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.re}^{y.re} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (* x.im x.im))))
   (if (<= y.re -8.5)
     (* (* y.im 0.5) (* (pow x.im y.re) t_0))
     (if (<= y.re -1.16e-252)
       (* y.re (atan2 x.im x.re))
       (if (<= y.re 1e-86)
         (* (log (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))) (* y.im 0.5))
         (if (<= y.re 12500.0)
           (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (+ (* y.re (/ t_0 2.0)) 1.0)))
           (* (* y.im 0.5) (* (pow x.re y.re) (log (* x.re x.re))))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log((x_46_im * x_46_im));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -8.5) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (pow(x_46_im, y_46_re) * t_0);
	} else if (y_46_re <= -1.16e-252) {
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else if (y_46_re <= 1e-86) {
		tmp = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 12500.0) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * ((y_46_re * (t_0 / 2.0)) + 1.0));
	} else {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (pow(x_46_re, y_46_re) * log((x_46_re * x_46_re)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = log((x_46im * x_46im))
    if (y_46re <= (-8.5d0)) then
        tmp = (y_46im * 0.5d0) * ((x_46im ** y_46re) * t_0)
    else if (y_46re <= (-1.16d-252)) then
        tmp = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    else if (y_46re <= 1d-86) then
        tmp = log(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))) * (y_46im * 0.5d0)
    else if (y_46re <= 12500.0d0) then
        tmp = y_46re * (atan2(x_46im, x_46re) * ((y_46re * (t_0 / 2.0d0)) + 1.0d0))
    else
        tmp = (y_46im * 0.5d0) * ((x_46re ** y_46re) * log((x_46re * x_46re)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log((x_46_im * x_46_im));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -8.5) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (Math.pow(x_46_im, y_46_re) * t_0);
	} else if (y_46_re <= -1.16e-252) {
		tmp = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else if (y_46_re <= 1e-86) {
		tmp = Math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 12500.0) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * ((y_46_re * (t_0 / 2.0)) + 1.0));
	} else {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (Math.pow(x_46_re, y_46_re) * Math.log((x_46_re * x_46_re)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log((x_46_im * x_46_im))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -8.5:
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (math.pow(x_46_im, y_46_re) * t_0)
	elif y_46_re <= -1.16e-252:
		tmp = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	elif y_46_re <= 1e-86:
		tmp = math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5)
	elif y_46_re <= 12500.0:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * ((y_46_re * (t_0 / 2.0)) + 1.0))
	else:
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (math.pow(x_46_re, y_46_re) * math.log((x_46_re * x_46_re)))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(Float64(x_46_im * x_46_im))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -8.5)
		tmp = Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * Float64((x_46_im ^ y_46_re) * t_0));
	elseif (y_46_re <= -1.16e-252)
		tmp = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re));
	elseif (y_46_re <= 1e-86)
		tmp = Float64(log(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))) * Float64(y_46_im * 0.5));
	elseif (y_46_re <= 12500.0)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(Float64(y_46_re * Float64(t_0 / 2.0)) + 1.0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * Float64((x_46_re ^ y_46_re) * log(Float64(x_46_re * x_46_re))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log((x_46_im * x_46_im));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -8.5)
		tmp = (y_46_im * 0.5) * ((x_46_im ^ y_46_re) * t_0);
	elseif (y_46_re <= -1.16e-252)
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	elseif (y_46_re <= 1e-86)
		tmp = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	elseif (y_46_re <= 12500.0)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * ((y_46_re * (t_0 / 2.0)) + 1.0));
	else
		tmp = (y_46_im * 0.5) * ((x_46_re ^ y_46_re) * log((x_46_re * x_46_re)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -8.5], N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -1.16e-252], N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1e-86], N[(N[Log[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 12500.0], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(N[(y$46$re * N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision] * N[Log[N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y.re < -8.5

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 70.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 70.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 12.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 37.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 37.6%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \left(\color{blue}{\log \left({x.im}^{2}\right)} \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2}\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       5. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 38.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 38.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

   if -8.5 < y.re < -1.1599999999999999e-252

   1. Initial program 39.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 40.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 40.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 35.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 35.8%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

   if -1.1599999999999999e-252 < y.re < 1.00000000000000008e-86

   1. Initial program 44.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 78.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 23.3%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 27.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 27.6%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \color{blue}{\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       4. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 27.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 27.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)} \]

   if 1.00000000000000008e-86 < y.re < 12500

   1. Initial program 39.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 50.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 50.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 42.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 42.1%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(y.re \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{y.re} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.re \cdot \left(\log \left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

   10. Applied egg-rr 52.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.re} \]

   11. Taylor expanded in x.re around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\log \left({x.im}^{2}\right)}, 2\right), y.re\right), 1\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right)\right), 2\right), y.re\right), 1\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right)\right), 2\right), y.re\right), 1\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 49.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), 2\right), y.re\right), 1\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 49.7%

       \[\leadsto \left(\left(\frac{\color{blue}{\log \left(x.im \cdot x.im\right)}}{2} \cdot y.re + 1\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.re \]

   if 12500 < y.re

   1. Initial program 33.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 39.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 39.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 2.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 51.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 51.2%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \left(\color{blue}{\log \left({x.re}^{2}\right)} \cdot {x.re}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({x.re}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       5. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x.re}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 43.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.re, \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 43.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \left(\log \left(x.re \cdot x.re\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 37.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -8.5:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot \log \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1.16 \cdot 10^{-252}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 10^{-86}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 12500:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(y.re \cdot \frac{\log \left(x.im \cdot x.im\right)}{2} + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.re}^{y.re} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 26: 31.4% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -96:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot \log \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-95}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2100:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.re}^{y.re} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -96.0)
     (* (* y.im 0.5) (* (pow x.im y.re) (log (* x.im x.im))))
     (if (<= y.re -4.6e-250)
       t_0
       (if (<= y.re 2.4e-95)
         (* (log (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))) (* y.im 0.5))
         (if (<= y.re 2100.0)
           t_0
           (* (* y.im 0.5) (* (pow x.re y.re) (log (* x.re x.re))))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -96.0) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (pow(x_46_im, y_46_re) * log((x_46_im * x_46_im)));
	} else if (y_46_re <= -4.6e-250) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 2.4e-95) {
		tmp = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 2100.0) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (pow(x_46_re, y_46_re) * log((x_46_re * x_46_re)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    if (y_46re <= (-96.0d0)) then
        tmp = (y_46im * 0.5d0) * ((x_46im ** y_46re) * log((x_46im * x_46im)))
    else if (y_46re <= (-4.6d-250)) then
        tmp = t_0
    else if (y_46re <= 2.4d-95) then
        tmp = log(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))) * (y_46im * 0.5d0)
    else if (y_46re <= 2100.0d0) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = (y_46im * 0.5d0) * ((x_46re ** y_46re) * log((x_46re * x_46re)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -96.0) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (Math.pow(x_46_im, y_46_re) * Math.log((x_46_im * x_46_im)));
	} else if (y_46_re <= -4.6e-250) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 2.4e-95) {
		tmp = Math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	} else if (y_46_re <= 2100.0) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (Math.pow(x_46_re, y_46_re) * Math.log((x_46_re * x_46_re)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -96.0:
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (math.pow(x_46_im, y_46_re) * math.log((x_46_im * x_46_im)))
	elif y_46_re <= -4.6e-250:
		tmp = t_0
	elif y_46_re <= 2.4e-95:
		tmp = math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5)
	elif y_46_re <= 2100.0:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (math.pow(x_46_re, y_46_re) * math.log((x_46_re * x_46_re)))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -96.0)
		tmp = Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * Float64((x_46_im ^ y_46_re) * log(Float64(x_46_im * x_46_im))));
	elseif (y_46_re <= -4.6e-250)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 2.4e-95)
		tmp = Float64(log(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))) * Float64(y_46_im * 0.5));
	elseif (y_46_re <= 2100.0)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * Float64((x_46_re ^ y_46_re) * log(Float64(x_46_re * x_46_re))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -96.0)
		tmp = (y_46_im * 0.5) * ((x_46_im ^ y_46_re) * log((x_46_im * x_46_im)));
	elseif (y_46_re <= -4.6e-250)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 2.4e-95)
		tmp = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	elseif (y_46_re <= 2100.0)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = (y_46_im * 0.5) * ((x_46_re ^ y_46_re) * log((x_46_re * x_46_re)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -96.0], N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision] * N[Log[N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -4.6e-250], t$95$0, If[LessEqual[y$46$re, 2.4e-95], N[(N[Log[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2100.0], t$95$0, N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision] * N[Log[N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y.re < -96

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 70.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 70.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 12.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 37.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 37.6%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \left(\color{blue}{\log \left({x.im}^{2}\right)} \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2}\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       5. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 38.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 38.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

   if -96 < y.re < -4.5999999999999999e-250 or 2.4e-95 < y.re < 2100

   1. Initial program 37.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 45.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 45.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 38.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 38.1%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

   if -4.5999999999999999e-250 < y.re < 2.4e-95

   1. Initial program 46.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 88.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 81.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 81.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 24.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 28.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 28.8%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \color{blue}{\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       4. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 28.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 28.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)} \]

   if 2100 < y.re

   1. Initial program 33.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 39.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 39.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 2.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 51.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 51.2%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\left(\log \left({x.re}^{2}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \left(\color{blue}{\log \left({x.re}^{2}\right)} \cdot {x.re}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({x.re}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       5. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x.re}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 43.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.re, \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 43.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \left(\log \left(x.re \cdot x.re\right) \cdot {x.re}^{y.re}\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 36.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -96:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot \log \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{-95}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2100:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.re}^{y.re} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 27: 24.6% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -1 \cdot 10^{-127}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{elif}\;x.im \leq 1.4 \cdot 10^{-201}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re} \cdot \left(y.im \cdot \log x.im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= x.im -1e-127)
   (* y.re (atan2 x.im x.re))
   (if (<= x.im 1.4e-201)
     (* (log (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))) (* y.im 0.5))
     (* (pow x.im y.re) (* y.im (log x.im))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -1e-127) {
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else if (x_46_im <= 1.4e-201) {
		tmp = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	} else {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re) * (y_46_im * log(x_46_im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (x_46im <= (-1d-127)) then
        tmp = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    else if (x_46im <= 1.4d-201) then
        tmp = log(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))) * (y_46im * 0.5d0)
    else
        tmp = (x_46im ** y_46re) * (y_46im * log(x_46im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -1e-127) {
		tmp = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else if (x_46_im <= 1.4e-201) {
		tmp = Math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	} else {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re) * (y_46_im * Math.log(x_46_im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if x_46_im <= -1e-127:
		tmp = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	elif x_46_im <= 1.4e-201:
		tmp = math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5)
	else:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re) * (y_46_im * math.log(x_46_im))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (x_46_im <= -1e-127)
		tmp = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re));
	elseif (x_46_im <= 1.4e-201)
		tmp = Float64(log(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))) * Float64(y_46_im * 0.5));
	else
		tmp = Float64((x_46_im ^ y_46_re) * Float64(y_46_im * log(x_46_im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (x_46_im <= -1e-127)
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	elseif (x_46_im <= 1.4e-201)
		tmp = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	else
		tmp = (x_46_im ^ y_46_re) * (y_46_im * log(x_46_im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[x$46$im, -1e-127], N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$im, 1.4e-201], N[(N[Log[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision] * N[(y$46$im * N[Log[x$46$im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x.im < -1e-127

   1. Initial program 42.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 57.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 57.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 18.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 18.8%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

   if -1e-127 < x.im < 1.4e-201

   1. Initial program 36.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 61.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 52.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 52.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 15.1%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 45.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 45.2%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \color{blue}{\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       4. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 28.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 28.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)} \]

   if 1.4e-201 < x.im

   1. Initial program 36.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 73.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 57.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 57.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log x.im\right) \cdot {x.im}^{y.re}}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sin \left(y.im \cdot \log x.im\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log x.im\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      7. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 49.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 49.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log x.im\right) \cdot {x.im}^{y.re}}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log x.im \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(y.im \cdot \log x.im\right) \cdot \color{blue}{{x.im}^{y.re}} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(y.im \cdot \log x.im\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log x.im\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right) \]

       4. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

       5. pow-lowering-pow.f64 32.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   13. Simplified 32.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.im \cdot \log x.im\right) \cdot {x.im}^{y.re}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 27.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -1 \cdot 10^{-127}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{elif}\;x.im \leq 1.4 \cdot 10^{-201}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re} \cdot \left(y.im \cdot \log x.im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 28: 28.9% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -125:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot \log \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250} \lor \neg \left(y.re \leq 1.85 \cdot 10^{-97}\right) \land y.re \leq 85:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -125.0)
   (* (* y.im 0.5) (* (pow x.im y.re) (log (* x.im x.im))))
   (if (or (<= y.re -4.6e-250) (and (not (<= y.re 1.85e-97)) (<= y.re 85.0)))
     (* y.re (atan2 x.im x.re))
     (* (log (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))) (* y.im 0.5)))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -125.0) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (pow(x_46_im, y_46_re) * log((x_46_im * x_46_im)));
	} else if ((y_46_re <= -4.6e-250) || (!(y_46_re <= 1.85e-97) && (y_46_re <= 85.0))) {
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else {
		tmp = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (y_46re <= (-125.0d0)) then
        tmp = (y_46im * 0.5d0) * ((x_46im ** y_46re) * log((x_46im * x_46im)))
    else if ((y_46re <= (-4.6d-250)) .or. (.not. (y_46re <= 1.85d-97)) .and. (y_46re <= 85.0d0)) then
        tmp = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    else
        tmp = log(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))) * (y_46im * 0.5d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -125.0) {
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (Math.pow(x_46_im, y_46_re) * Math.log((x_46_im * x_46_im)));
	} else if ((y_46_re <= -4.6e-250) || (!(y_46_re <= 1.85e-97) && (y_46_re <= 85.0))) {
		tmp = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else {
		tmp = Math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -125.0:
		tmp = (y_46_im * 0.5) * (math.pow(x_46_im, y_46_re) * math.log((x_46_im * x_46_im)))
	elif (y_46_re <= -4.6e-250) or (not (y_46_re <= 1.85e-97) and (y_46_re <= 85.0)):
		tmp = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	else:
		tmp = math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -125.0)
		tmp = Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * Float64((x_46_im ^ y_46_re) * log(Float64(x_46_im * x_46_im))));
	elseif ((y_46_re <= -4.6e-250) || (!(y_46_re <= 1.85e-97) && (y_46_re <= 85.0)))
		tmp = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re));
	else
		tmp = Float64(log(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))) * Float64(y_46_im * 0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -125.0)
		tmp = (y_46_im * 0.5) * ((x_46_im ^ y_46_re) * log((x_46_im * x_46_im)));
	elseif ((y_46_re <= -4.6e-250) || (~((y_46_re <= 1.85e-97)) && (y_46_re <= 85.0)))
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	else
		tmp = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -125.0], N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision] * N[Log[N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[Or[LessEqual[y$46$re, -4.6e-250], And[N[Not[LessEqual[y$46$re, 1.85e-97]], $MachinePrecision], LessEqual[y$46$re, 85.0]]], N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Log[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -125

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 70.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 70.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 12.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 37.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 37.6%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in x.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2}\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \left(\color{blue}{\log \left({x.im}^{2}\right)} \cdot {x.im}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2}\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       5. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 38.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 38.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im\right) \cdot {x.im}^{y.re}\right)} \]

   if -125 < y.re < -4.5999999999999999e-250 or 1.84999999999999988e-97 < y.re < 85

   1. Initial program 37.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 45.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 45.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 39.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 39.2%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

   if -4.5999999999999999e-250 < y.re < 1.84999999999999988e-97 or 85 < y.re

   1. Initial program 40.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 61.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 61.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 14.3%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 38.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 38.0%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \color{blue}{\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       4. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 29.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 29.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 34.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -125:\\ \;\;\;\;\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \left({x.im}^{y.re} \cdot \log \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -4.6 \cdot 10^{-250} \lor \neg \left(y.re \leq 1.85 \cdot 10^{-97}\right) \land y.re \leq 85:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 29: 22.4% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3.1 \cdot 10^{-250} \lor \neg \left(y.re \leq 2.6 \cdot 10^{-95}\right) \land y.re \leq 82:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (or (<= y.re -3.1e-250) (and (not (<= y.re 2.6e-95)) (<= y.re 82.0)))
   (* y.re (atan2 x.im x.re))
   (* (log (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))) (* y.im 0.5))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if ((y_46_re <= -3.1e-250) || (!(y_46_re <= 2.6e-95) && (y_46_re <= 82.0))) {
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else {
		tmp = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if ((y_46re <= (-3.1d-250)) .or. (.not. (y_46re <= 2.6d-95)) .and. (y_46re <= 82.0d0)) then
        tmp = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    else
        tmp = log(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))) * (y_46im * 0.5d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if ((y_46_re <= -3.1e-250) || (!(y_46_re <= 2.6e-95) && (y_46_re <= 82.0))) {
		tmp = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	} else {
		tmp = Math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if (y_46_re <= -3.1e-250) or (not (y_46_re <= 2.6e-95) and (y_46_re <= 82.0)):
		tmp = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	else:
		tmp = math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if ((y_46_re <= -3.1e-250) || (!(y_46_re <= 2.6e-95) && (y_46_re <= 82.0)))
		tmp = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re));
	else
		tmp = Float64(log(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))) * Float64(y_46_im * 0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if ((y_46_re <= -3.1e-250) || (~((y_46_re <= 2.6e-95)) && (y_46_re <= 82.0)))
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	else
		tmp = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) * (y_46_im * 0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[Or[LessEqual[y$46$re, -3.1e-250], And[N[Not[LessEqual[y$46$re, 2.6e-95]], $MachinePrecision], LessEqual[y$46$re, 82.0]]], N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Log[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -3.1000000000000001e-250 or 2.60000000000000001e-95 < y.re < 82

   1. Initial program 36.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. accelerator-lowering-hypot.f64 62.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 62.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 23.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 23.6%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

   if -3.1000000000000001e-250 < y.re < 2.60000000000000001e-95 or 82 < y.re

   1. Initial program 40.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. accelerator-lowering-hypot.f64 61.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 61.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. unpow1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      9. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 14.3%

      \[\leadsto \frac{\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}}\right)}^{2}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   10. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       10. rem-square-sqrt N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

       15. accelerator-lowering-hypot.f64 38.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 38.0%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \left(\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\right)\right)} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \color{blue}{\log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \color{blue}{\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}\right) \]

       4. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 29.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 29.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 26.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3.1 \cdot 10^{-250} \lor \neg \left(y.re \leq 2.6 \cdot 10^{-95}\right) \land y.re \leq 82:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.im \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 30: 13.3% accurate, 8.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im) :precision binary64 (* y.re (atan2 x.im x.re)))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    code = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	return y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	return Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 38.6%

   \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y.im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

   4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

   8. accelerator-lowering-hypot.f64 48.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

5. Simplified 48.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

6. Taylor expanded in y.re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 16.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

8. Simplified 16.1%

   \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024130 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "powComplex, imaginary part"
  :precision binary64
  (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (sin (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re)))))