UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 27.8s

Alternatives: 17

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + t\_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(t\_1 \cdot \sin t\_2\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
        (t_1 (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* t_1 (sin t_2)) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((t_1 * sinf(t_2)) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(t_1 * sin(t_2)) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_1 = sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((t_1 * sin(t_2)) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ {\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(yi \cdot \sin t\_0 + xi \cdot \cos t\_0\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+
    (*
     (pow
      (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* (* (* ux ux) (* maxCos maxCos)) (+ ux -1.0))))
      0.5)
     (+ (* yi (sin t_0)) (* xi (cos t_0))))
    (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return (powf((1.0f + ((1.0f - ux) * (((ux * ux) * (maxCos * maxCos)) * (ux + -1.0f)))), 0.5f) * ((yi * sinf(t_0)) + (xi * cosf(t_0)))) + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32((Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * maxCos)) * Float32(ux + Float32(-1.0))))) ^ Float32(0.5)) * Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(xi * cos(t_0)))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = (((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (((ux * ux) * (maxCos * maxCos)) * (ux + single(-1.0))))) ^ single(0.5)) * ((yi * sin(t_0)) + (xi * cos(t_0)))) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin t\_0 + xi \cdot \cos t\_0\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* maxCos (* ux (* ux (+ ux -1.0))))))))
     (+ (* yi (sin t_0)) (* xi (cos t_0))))
    (* ux (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * (maxCos * (ux * (ux * (ux + -1.0f)))))))) * ((yi * sinf(t_0)) + (xi * cosf(t_0)))) + (ux * ((1.0f - ux) * (maxCos * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) * Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(xi * cos(t_0)))) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (maxCos * (ux * (ux * (ux + single(-1.0))))))))) * ((yi * sin(t_0)) + (xi * cos(t_0)))) + (ux * ((single(1.0) - ux) * (maxCos * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) + \left(yi \cdot \sin t\_0 + xi \cdot \cos t\_0\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -0.5\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+
    (* ux (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi)))
    (*
     (+ (* yi (sin t_0)) (* xi (cos t_0)))
     (+ 1.0 (* (* ux ux) (* (* maxCos maxCos) -0.5)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return (ux * ((1.0f - ux) * (maxCos * zi))) + (((yi * sinf(t_0)) + (xi * cosf(t_0))) * (1.0f + ((ux * ux) * ((maxCos * maxCos) * -0.5f))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi))) + Float32(Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(xi * cos(t_0))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(-0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = (ux * ((single(1.0) - ux) * (maxCos * zi))) + (((yi * sin(t_0)) + (xi * cos(t_0))) * (single(1.0) + ((ux * ux) * ((maxCos * maxCos) * single(-0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]

8. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -0.5\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + xi \cdot \cos t\_0\right) + yi \cdot \sin t\_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (+ (* ux (* maxCos (* (- 1.0 ux) zi))) (* xi (cos t_0)))
    (* yi (sin t_0)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return ((ux * (maxCos * ((1.0f - ux) * zi))) + (xi * cosf(t_0))) + (yi * sinf(t_0));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(xi * cos(t_0))) + Float32(yi * sin(t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = ((ux * (maxCos * ((single(1.0) - ux) * zi))) + (xi * cos(t_0))) + (yi * sin(t_0));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 95.8% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ xi \cdot \cos t\_0 + \left(yi \cdot \sin t\_0 + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+ (* xi (cos t_0)) (+ (* yi (sin t_0)) (* zi (* ux maxCos))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (xi * cosf(t_0)) + ((yi * sinf(t_0)) + (zi * (ux * maxCos)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(zi * Float32(ux * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (xi * cos(t_0)) + ((yi * sin(t_0)) + (zi * (ux * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

8. Final simplification 95.8%

   \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 93.7% accurate, 3.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + yi \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+ (* ux (* maxCos (* (- 1.0 ux) zi))) (* xi (cos (* 2.0 (* uy PI)))))
  (*
   yi
   (*
    uy
    (+ (* 2.0 PI) (* (* PI (* PI PI)) (* uy (* uy -1.3333333333333333))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((ux * (maxCos * ((1.0f - ux) * zi))) + (xi * cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))))) + (yi * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * (uy * -1.3333333333333333f))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(xi * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))))) + Float32(yi * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((ux * (maxCos * ((single(1.0) - ux) * zi))) + (xi * cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))))) + (yi * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * (uy * single(-1.3333333333333333)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{uy}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \color{blue}{{uy}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {\color{blue}{uy}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.6%

    \[\leadsto \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + yi \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot uy\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 95.6%

    \[\leadsto \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + yi \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.0% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(xi + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI))))
  (+
   (+ xi (* (* (- 1.0 ux) maxCos) (* ux zi)))
   (* (* xi (* PI PI)) (* -2.0 (* uy uy))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))) + ((xi + (((1.0f - ux) * maxCos) * (ux * zi))) + ((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (-2.0f * (uy * uy))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))) + Float32(Float32(xi + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * Float32(ux * zi))) + Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (yi * sin((single(2.0) * (uy * single(pi))))) + ((xi + (((single(1.0) - ux) * maxCos) * (ux * zi))) + ((xi * (single(pi) * single(pi))) * (single(-2.0) * (uy * uy))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{yi}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{yi}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 93.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(xi + \left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]

11. Final simplification 93.2%

    \[\leadsto yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(xi + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 93.0% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(xi + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
  (+
   (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI))))
   (+ xi (* (* xi (* PI PI)) (* -2.0 (* uy uy)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + ((yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))) + (xi + ((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (-2.0f * (uy * uy)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))) + Float32(xi + Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + ((yi * sin((single(2.0) * (uy * single(pi))))) + (xi + ((xi * (single(pi) * single(pi))) * (single(-2.0) * (uy * uy)))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 93.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

8. Simplified 93.2%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(xi + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Final simplification 93.2%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(xi + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 89.9% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
  (+ (* xi (cos (* 2.0 (* uy PI)))) (* 2.0 (* uy (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi * cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))) + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi * cos((single(2.0) * (uy * single(pi))))) + (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 91.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

8. Simplified 91.8%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Final simplification 91.8%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 89.3% accurate, 11.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(xi \cdot -2\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  xi
  (+
   (* (* (- 1.0 ux) zi) (* ux maxCos))
   (*
    uy
    (+
     (* 2.0 (* PI yi))
     (*
      uy
      (+
       (* (* PI PI) (* xi -2.0))
       (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy yi))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + ((((1.0f - ux) * zi) * (ux * maxCos)) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (xi * -2.0f)) + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * yi))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi) * Float32(ux * maxCos)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(xi * Float32(-2.0))) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * yi)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + ((((single(1.0) - ux) * zi) * (ux * maxCos)) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((single(pi) * single(pi)) * (xi * single(-2.0))) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * yi))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 91.0%

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 91.0%

   \[\leadsto xi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(xi \cdot -2\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 12: 85.7% accurate, 15.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  xi
  (+
   (* (* (- 1.0 ux) maxCos) (* ux zi))
   (* uy (+ (* 2.0 (* PI yi)) (* (* xi (* PI PI)) (* uy -2.0)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + ((((1.0f - ux) * maxCos) * (ux * zi)) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + ((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * -2.0f)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * Float32(ux * zi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(-2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + ((((single(1.0) - ux) * maxCos) * (ux * zi)) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + ((xi * (single(pi) * single(pi))) * (uy * single(-2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), maxCos\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{uy}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{uy}\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 87.3%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 87.3%

    \[\leadsto xi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 13: 81.6% accurate, 24.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (+ (* 2.0 (* uy (* PI yi))) (* (* (- 1.0 ux) zi) (* ux maxCos)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + ((2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))) + (((1.0f - ux) * zi) * (ux * maxCos)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi) * Float32(ux * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + ((single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))) + (((single(1.0) - ux) * zi) * (ux * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 82.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 82.2%

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 82.2%

   \[\leadsto xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 14: 53.8% accurate, 27.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-12} \lor \neg \left(xi \leq 4.0000001089808046 \cdot 10^{-27}\right):\\ \;\;\;\;xi\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (or (<= xi -9.999999960041972e-12) (not (<= xi 4.0000001089808046e-27)))
   xi
   (* 2.0 (* uy (* PI yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((xi <= -9.999999960041972e-12f) || !(xi <= 4.0000001089808046e-27f)) {
		tmp = xi;
	} else {
		tmp = 2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if ((xi <= Float32(-9.999999960041972e-12)) || !(xi <= Float32(4.0000001089808046e-27)))
		tmp = xi;
	else
		tmp = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((xi <= single(-9.999999960041972e-12)) || ~((xi <= single(4.0000001089808046e-27))))
		tmp = xi;
	else
		tmp = single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if xi < -9.99999996e-12 or 4.00000011e-27 < xi

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in yi around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   8. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{yi}\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   9. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{xi}{yi}\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

       4. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f32 79.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(xi, yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. Simplified 79.8%

       \[\leadsto yi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right) + \frac{xi}{yi}\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   12. Taylor expanded in xi around inf

       \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Simplified 62.8%

       \[\leadsto \color{blue}{xi} \]

   if -9.99999996e-12 < xi < 4.00000011e-27

   1. Initial program 98.8%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 98.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in yi around inf

      \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 59.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.6%

      \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{yi}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{yi}\right)\right)\right) \]

       5. PI-lowering-PI.f32 52.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 52.2%

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-12} \lor \neg \left(xi \leq 4.0000001089808046 \cdot 10^{-27}\right):\\ \;\;\;\;xi\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 78.6% accurate, 27.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + yi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right) + \frac{xi}{yi}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ (* maxCos (* ux zi)) (* yi (+ (* 2.0 (* uy PI)) (/ xi yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (maxCos * (ux * zi)) + (yi * ((2.0f * (uy * ((float) M_PI))) + (xi / yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * zi)) + Float32(yi * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) + Float32(xi / yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (maxCos * (ux * zi)) + (yi * ((single(2.0) * (uy * single(pi))) + (xi / yi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in yi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

8. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{yi}\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{xi}{yi}\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 81.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(xi, yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

11. Simplified 81.9%

    \[\leadsto yi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right) + \frac{xi}{yi}\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

12. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(xi, yi\right)\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(xi, yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 79.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(xi, yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{zi}\right)\right)\right) \]

14. Simplified 79.5%

    \[\leadsto yi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right) + \frac{xi}{yi}\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

15. Final simplification 79.5%

    \[\leadsto maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + yi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right) + \frac{xi}{yi}\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 16: 73.7% accurate, 41.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ yi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right) + \frac{xi}{yi}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* yi (+ (* 2.0 (* uy PI)) (/ xi yi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return yi * ((2.0f * (uy * ((float) M_PI))) + (xi / yi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(yi * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) + Float32(xi / yi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = yi * ((single(2.0) * (uy * single(pi))) + (xi / yi));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in yi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

8. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{yi}\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{xi}{yi}\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 81.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(xi, yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

11. Simplified 81.9%

    \[\leadsto yi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right) + \frac{xi}{yi}\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

12. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{xi}{yi}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{xi}{yi}\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{xi}{yi}\right)}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{xi}}{yi}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f32 74.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(xi, \color{blue}{yi}\right)\right)\right) \]

14. Simplified 74.1%

    \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right) + \frac{xi}{yi}\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 17: 44.9% accurate, 461.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 xi)

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi;
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return xi
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi;
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in yi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

8. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{yi}\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{xi}{yi}\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{xi}{yi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 81.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(xi, yi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

11. Simplified 81.9%

    \[\leadsto yi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right) + \frac{xi}{yi}\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

12. Taylor expanded in xi around inf

    \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
13. Step-by-step derivation

14. Simplified 45.7%

    \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024130 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))