2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 7.0% → 99.5%

Time: 10.3s

Alternatives: 16

Speedup: 1.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 7.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{x + \left(1 + x\right)}{{t\_0}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} - t\_0\right)}, t\_0 \cdot t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/
    1.0
    (fma
     (cbrt x)
     (/ (+ x (+ 1.0 x)) (+ (pow t_0 2.0) (* (cbrt x) (- (cbrt x) t_0))))
     (* t_0 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), ((x + (1.0 + x)) / (pow(t_0, 2.0) + (cbrt(x) * (cbrt(x) - t_0)))), (t_0 * t_0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(Float64(x + Float64(1.0 + x)) / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) - t_0)))), Float64(t_0 * t_0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[(x + N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. unpow-prod-down 94.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 94.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow-sqr 94.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

10. Simplified 94.2%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sqr-pow 94.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

    2. pow2 94.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

    3. pow-to-exp 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

    4. *-commutative 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

    5. associate-/l* 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    6. metadata-eval 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    7. *-commutative 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    8. *-un-lft-identity 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    9. pow1/2 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    10. log-pow 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    11. rem-log-exp 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    12. metadata-eval 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    13. log1p-undefine 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    14. log-pow 93.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    15. add-exp-log 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

    16. pow1/3 98.5%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

    17. pow2 98.5%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

12. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. flip3-+ 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{3} + {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    2. +-commutative 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}}\right)}^{3} + {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    3. rem-cube-cbrt 99.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} + {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    4. rem-cube-cbrt 99.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{\left(x + 1\right) + \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    5. +-commutative 99.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{\color{blue}{x + \left(x + 1\right)}}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    6. +-commutative 99.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{x + \color{blue}{\left(1 + x\right)}}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    7. +-commutative 99.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{x + \left(1 + x\right)}{\sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    8. +-commutative 99.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{x + \left(1 + x\right)}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    9. pow2 99.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{x + \left(1 + x\right)}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    10. +-commutative 99.5%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{x + \left(1 + x\right)}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    11. +-commutative 99.5%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{x + \left(1 + x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    12. distribute-rgt-out-- 99.5%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{x + \left(1 + x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x + 1}\right)}}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    13. +-commutative 99.5%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \frac{x + \left(1 + x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

14. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\frac{x + \left(1 + x\right)}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{1 + x}\right)}}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.6% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\\ t_1 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0 \cdot t\_0, t\_1 \cdot t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (sqrt (+ 1.0 x)))) (t_1 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (* t_0 t_0)) (* t_1 t_1)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(sqrt((1.0 + x)));
	double t_1 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + (t_0 * t_0)), (t_1 * t_1));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(sqrt(Float64(1.0 + x)))
	t_1 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + Float64(t_0 * t_0)), Float64(t_1 * t_1)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. unpow-prod-down 94.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 94.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow-sqr 94.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

10. Simplified 94.2%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sqr-pow 94.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

    2. pow2 94.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

    3. pow-to-exp 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

    4. *-commutative 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

    5. associate-/l* 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    6. metadata-eval 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    7. *-commutative 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    8. *-un-lft-identity 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    9. pow1/2 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    10. log-pow 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    11. rem-log-exp 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    12. metadata-eval 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    13. log1p-undefine 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    14. log-pow 93.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    15. add-exp-log 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

    16. pow1/3 98.5%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

    17. pow2 98.5%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

12. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. pow1/3 94.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    2. add-sqr-sqrt 94.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x}\right)}}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    3. unpow-prod-down 94.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

14. Applied egg-rr 94.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. unpow1/3 95.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}} \cdot {\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

    2. unpow1/3 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

16. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

17. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \mathbf{if}\;t\_0 - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, t\_0 \cdot t\_0\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (if (<= (- t_0 (cbrt x)) 5e-11)
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) (* (cbrt x) 2.0) (* t_0 t_0)))
     (/
      1.0
      (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow (+ 1.0 x) 0.6666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if ((t_0 - cbrt(x)) <= 5e-11) {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) * 2.0), (t_0 * t_0));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow((1.0 + x), 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 - cbrt(x)) <= 5e-11)
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) * 2.0), Float64(t_0 * t_0)));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (Float64(1.0 + x) ^ 0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 5e-11], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (cbrt.f64 x)) < 5.00000000000000018e-11

   1. Initial program 4.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 93.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 93.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 93.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 93.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 92.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 92.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 92.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. unpow-prod-down 94.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 94.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-sqr 94.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   10. Simplified 94.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqr-pow 94.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

       2. pow2 94.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

       3. pow-to-exp 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

       4. *-commutative 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

       5. associate-/l* 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       6. metadata-eval 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       7. *-commutative 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       8. *-un-lft-identity 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       9. pow1/2 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       10. log-pow 93.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       11. rem-log-exp 93.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       12. metadata-eval 93.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       13. log1p-undefine 93.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       14. log-pow 93.2%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       15. add-exp-log 92.8%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

       16. pow1/3 98.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

       17. pow2 98.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around inf 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 2}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   15. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 2}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   if 5.00000000000000018e-11 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 59.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 59.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 59.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 65.4%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 98.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 98.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 98.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 98.7%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 98.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 98.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 97.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 97.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 97.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 97.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 97.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 97.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 97.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 98.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 98.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. unpow-prod-down 98.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-sqr 98.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   10. Simplified 98.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqr-pow 98.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

       2. pow2 98.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

       3. pow-to-exp 97.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

       4. *-commutative 97.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

       5. associate-/l* 97.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       6. metadata-eval 97.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       7. *-commutative 97.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       8. *-un-lft-identity 97.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       9. pow1/2 97.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       10. log-pow 97.8%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       11. rem-log-exp 97.8%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       12. metadata-eval 97.8%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       13. log1p-undefine 97.8%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       14. log-pow 98.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       15. add-exp-log 98.6%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

       16. pow1/3 98.6%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

       17. pow2 98.6%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. pow2 98.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

       2. pow1/3 98.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

       3. pow-pow 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{\left(0.3333333333333333 \cdot 2\right)}}\right)} \]

       4. metadata-eval 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}}\right)} \]

   14. Applied egg-rr 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \mathbf{if}\;x \leq 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, t\_0 \cdot t\_0\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (if (<= x 1e+154)
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (cbrt (pow (+ 1.0 x) 2.0))))
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) (* (cbrt x) 2.0) (* t_0 t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if (x <= 1e+154) {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), cbrt(pow((1.0 + x), 2.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) * 2.0), (t_0 * t_0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	tmp = 0.0
	if (x <= 1e+154)
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), cbrt((Float64(1.0 + x) ^ 2.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) * 2.0), Float64(t_0 * t_0)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 1e+154], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.00000000000000004e154

   1. Initial program 8.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 8.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 8.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 8.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 12.3%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 12.3%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 12.3%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 12.3%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 12.3%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 12.2%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 12.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 12.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 12.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 12.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 94.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 94.7%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 94.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 94.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 93.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 93.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 93.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. unpow-prod-down 95.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 95.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-sqr 95.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   10. Simplified 95.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqr-pow 95.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

       2. pow2 95.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

       3. pow-to-exp 94.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

       4. *-commutative 94.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

       5. associate-/l* 94.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       6. metadata-eval 94.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       7. *-commutative 94.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       8. *-un-lft-identity 94.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       9. pow1/2 94.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       10. log-pow 94.7%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       11. rem-log-exp 94.7%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       12. metadata-eval 94.7%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       13. log1p-undefine 94.7%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       14. log-pow 94.8%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       15. add-exp-log 94.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

       16. pow1/3 98.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

       17. pow2 98.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

       18. cbrt-unprod 98.9%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)}}\right)} \]

       19. pow2 98.9%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{2}}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 98.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}\right)} \]

   if 1.00000000000000004e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. unpow-prod-down 92.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 92.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-sqr 92.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   10. Simplified 92.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqr-pow 92.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

       2. pow2 92.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

       3. pow-to-exp 91.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

       4. *-commutative 91.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

       5. associate-/l* 91.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       6. metadata-eval 91.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       7. *-commutative 91.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       8. *-un-lft-identity 91.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       9. pow1/2 91.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       10. log-pow 91.8%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       11. rem-log-exp 91.8%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       12. metadata-eval 91.8%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       13. log1p-undefine 91.8%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       14. log-pow 92.0%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       15. add-exp-log 91.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

       16. pow1/3 98.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

       17. pow2 98.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around inf 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 2}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   15. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 2}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0, {t\_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. unpow-prod-down 94.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 94.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow-sqr 94.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

10. Simplified 94.2%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sqr-pow 94.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

    2. pow2 94.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

    3. pow-to-exp 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

    4. *-commutative 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

    5. associate-/l* 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    6. metadata-eval 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    7. *-commutative 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    8. *-un-lft-identity 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    9. pow1/2 93.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    10. log-pow 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    11. rem-log-exp 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    12. metadata-eval 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    13. log1p-undefine 93.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    14. log-pow 93.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    15. add-exp-log 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

    16. pow1/3 98.5%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

    17. pow2 98.5%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

12. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. pow2 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

14. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

15. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + x\right) - x}{{t\_0}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t\_0\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, t\_0 \cdot t\_0\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (if (<= x 5e+14)
     (/ (- (+ 1.0 x) x) (+ (pow t_0 2.0) (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0))))
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) (* (cbrt x) 2.0) (* t_0 t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if (x <= 5e+14) {
		tmp = ((1.0 + x) - x) / (pow(t_0, 2.0) + (cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) * 2.0), (t_0 * t_0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	tmp = 0.0
	if (x <= 5e+14)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + x) - x) / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) * 2.0), Float64(t_0 * t_0)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 5e+14], N[(N[(N[(1.0 + x), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5e14

   1. Initial program 59.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 58.4%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-to-exp 59.3%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]

   4. Applied egg-rr 59.3%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. exp-to-pow 58.4%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow1/3 59.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

      3. add-cube-cbrt 58.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow3 58.4%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}^{3}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. metadata-eval 58.4%

         \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}^{\color{blue}{\left(9 \cdot 0.3333333333333333\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      6. pow-pow 58.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}^{9}\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      7. pow1/3 58.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}^{9}}} - \sqrt[3]{x} \]

      8. flip3-- 58.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}^{9}}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}^{9}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}^{9}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}^{9}} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   6. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + x\right) - x}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \]

   if 5e14 < x

   1. Initial program 4.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.6%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 93.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 93.1%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 93.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 93.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 92.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 92.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 92.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. unpow-prod-down 94.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 94.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-sqr 94.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   10. Simplified 94.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqr-pow 94.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

       2. pow2 94.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

       3. pow-to-exp 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

       4. *-commutative 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

       5. associate-/l* 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       6. metadata-eval 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       7. *-commutative 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       8. *-un-lft-identity 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       9. pow1/2 93.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       10. log-pow 93.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       11. rem-log-exp 93.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       12. metadata-eval 93.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       13. log1p-undefine 93.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       14. log-pow 93.2%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       15. add-exp-log 92.8%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

       16. pow1/3 98.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

       17. pow2 98.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around inf 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 2}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   15. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 2}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + x\right) - x}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 94.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (+
    (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))
   (/
    1.0
    (fma (cbrt x) (* (cbrt x) 2.0) (exp (* 0.6666666666666666 (log1p x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) * 2.0), exp((0.6666666666666666 * log1p(x))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) * 2.0), exp(Float64(0.6666666666666666 * log1p(x)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision] + N[Exp[N[(0.6666666666666666 * N[Log[1 + x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 48.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. unpow-prod-down 92.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 92.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-sqr 92.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   10. Simplified 92.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around inf 92.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 2}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   13. Simplified 92.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 2}, {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. add-exp-log 92.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, \color{blue}{e^{\log \left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}}\right)} \]

       2. sqrt-pow2 90.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}}\right)} \]

       3. sqrt-pow2 92.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, e^{\log \color{blue}{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}}\right)} \]

       4. pow-unpow 90.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, e^{\log \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{2}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}}\right)} \]

       5. log-pow 91.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \log \left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{2}\right)}}\right)} \]

       6. pow2 91.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}\right)} \]

       7. add-sqr-sqrt 91.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \log \color{blue}{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}}\right)} \]

       8. rem-log-exp 91.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}}\right)} \]

   15. Applied egg-rr 91.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} \cdot 2, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (+
    (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))
   (/
    1.0
    (+ (* 2.0 (pow (cbrt x) 2.0)) (pow (exp 0.6666666666666666) (log1p x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((2.0 * pow(cbrt(x), 2.0)) + pow(exp(0.6666666666666666), log1p(x)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((2.0 * Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0)) + Math.pow(Math.exp(0.6666666666666666), Math.log1p(x)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(2.0 * (cbrt(x) ^ 2.0)) + (exp(0.6666666666666666) ^ log1p(x))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(2.0 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Exp[0.6666666666666666], $MachinePrecision], N[Log[1 + x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 48.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. unpow-prod-down 92.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 92.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-sqr 92.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   10. Simplified 92.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around inf 92.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 98.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 2}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   13. Simplified 92.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 2}, {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. fma-undefine 92.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot 2\right) + {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}} \]

       2. associate-*r* 92.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot 2} + {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}} \]

       3. pow2 92.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot 2 + {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}} \]

       4. pow-unpow 90.8%

          \[\leadsto \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot 2 + \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{2}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}} \]

       5. pow2 90.8%

          \[\leadsto \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot 2 + {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}} \]

       6. add-sqr-sqrt 90.8%

          \[\leadsto \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot 2 + {\color{blue}{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}} \]

   15. Applied egg-rr 90.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot 2 + {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 93.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  1.0
  (+
   (* (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))))
   (exp (* 0.6666666666666666 (log1p x))))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / ((cbrt(x) * (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x)))) + exp((0.6666666666666666 * log1p(x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / ((Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + Math.cbrt((1.0 + x)))) + Math.exp((0.6666666666666666 * Math.log1p(x))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x)))) + exp(Float64(0.6666666666666666 * log1p(x)))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Exp[N[(0.6666666666666666 * N[Log[1 + x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 8.7%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}} \]

   2. +-commutative 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. +-commutative 92.4%

      \[\leadsto \frac{1}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

8. Applied egg-rr 92.4%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 92.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\log \left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   2. log-pow 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   3. rem-log-exp 93.3%

      \[\leadsto \frac{1}{e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

10. Applied egg-rr 93.3%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

11. Final simplification 93.3%

    \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 59.1% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.5}\right)}^{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (+
    (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))
   (pow (* (cbrt (/ 1.0 x)) (sqrt 0.5)) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = pow((cbrt((1.0 / x)) * sqrt(0.5)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = Math.pow((Math.cbrt((1.0 / x)) * Math.sqrt(0.5)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(cbrt(Float64(1.0 / x)) * sqrt(0.5)) ^ 2.0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Power[N[(N[Power[N[(1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 48.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}}} \]

      2. pow2 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}}\right)}^{2}} \]

      3. inv-pow 90.8%

         \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{-1}}}\right)}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 90.8%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)}}^{2} \]

      5. +-commutative 90.8%

         \[\leadsto {\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)}^{2} \]

      6. metadata-eval 90.8%

         \[\leadsto {\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{\color{blue}{-0.5}}\right)}^{2} \]

   8. Applied egg-rr 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{-0.5}\right)}^{2}} \]

   9. Taylor expanded in x around inf 20.0%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.5}\right)}}^{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 58.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}}{{x}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.5}\right)}^{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (/
    (+
     (* (cbrt x) -0.1111111111111111)
     (* 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) 4.0)))
    (pow x 2.0))
   (pow (* (cbrt (/ 1.0 x)) (sqrt 0.5)) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = ((cbrt(x) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * pow(cbrt(x), 4.0))) / pow(x, 2.0);
	} else {
		tmp = pow((cbrt((1.0 / x)) * sqrt(0.5)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = ((Math.cbrt(x) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * Math.pow(Math.cbrt(x), 4.0))) / Math.pow(x, 2.0);
	} else {
		tmp = Math.pow((Math.cbrt((1.0 / x)) * Math.sqrt(0.5)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(Float64(cbrt(x) * -0.1111111111111111) + Float64(0.3333333333333333 * (cbrt(x) ^ 4.0))) / (x ^ 2.0));
	else
		tmp = Float64(cbrt(Float64(1.0 / x)) * sqrt(0.5)) ^ 2.0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Power[N[(N[Power[N[(1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 48.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 45.0%

         \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left({x}^{4}\right)}^{0.3333333333333333}}}{{x}^{2}} \]

      2. metadata-eval 45.0%

         \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot {\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}}\right)}^{0.3333333333333333}}{{x}^{2}} \]

      3. pow-prod-up 45.0%

         \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}}^{0.3333333333333333}}{{x}^{2}} \]

      4. unpow-prod-down 89.3%

         \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}{{x}^{2}} \]

      5. pow1/3 90.7%

         \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}}} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}{{x}^{2}} \]

      6. unpow2 90.7%

         \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}{{x}^{2}} \]

      7. cbrt-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}{{x}^{2}} \]

      8. pow2 90.8%

         \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}{{x}^{2}} \]

      9. pow1/3 97.1%

         \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}\right)}{{x}^{2}} \]

      10. unpow2 97.1%

          \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}}\right)}{{x}^{2}} \]

      11. cbrt-prod 96.4%

          \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}\right)}{{x}^{2}} \]

      12. pow2 96.4%

          \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right)}{{x}^{2}} \]

   5. Applied egg-rr 96.4%

      \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)}}{{x}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-sqr 96.5%

         \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(2 \cdot 2\right)}}}{{x}^{2}} \]

      2. metadata-eval 96.5%

         \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\color{blue}{4}}}{{x}^{2}} \]

   7. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}}}{{x}^{2}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}}} \]

      2. pow2 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}}\right)}^{2}} \]

      3. inv-pow 90.8%

         \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{-1}}}\right)}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 90.8%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)}}^{2} \]

      5. +-commutative 90.8%

         \[\leadsto {\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)}^{2} \]

      6. metadata-eval 90.8%

         \[\leadsto {\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{\color{blue}{-0.5}}\right)}^{2} \]

   8. Applied egg-rr 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{-0.5}\right)}^{2}} \]

   9. Taylor expanded in x around inf 20.0%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.5}\right)}}^{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}}{{x}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.5}\right)}^{2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 58.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.5}\right)}^{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))
   (pow (* (cbrt (/ 1.0 x)) (sqrt 0.5)) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	} else {
		tmp = pow((cbrt((1.0 / x)) * sqrt(0.5)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
	} else {
		tmp = Math.pow((Math.cbrt((1.0 / x)) * Math.sqrt(0.5)), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))));
	else
		tmp = Float64(cbrt(Float64(1.0 / x)) * sqrt(0.5)) ^ 2.0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Power[N[(N[Power[N[(1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}}} \]

      2. pow2 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}}\right)}^{2}} \]

      3. inv-pow 90.8%

         \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{-1}}}\right)}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 90.8%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)}}^{2} \]

      5. +-commutative 90.8%

         \[\leadsto {\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)}^{2} \]

      6. metadata-eval 90.8%

         \[\leadsto {\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{\color{blue}{-0.5}}\right)}^{2} \]

   8. Applied egg-rr 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)\right)}^{-0.5}\right)}^{2}} \]

   9. Taylor expanded in x around inf 20.0%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{0.5}\right)}}^{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 57.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + \sqrt[3]{x} \cdot \left(1 + \sqrt[3]{x}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* (cbrt x) (+ 1.0 (cbrt x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (cbrt(x) * (1.0 + cbrt(x))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (Math.cbrt(x) * (1.0 + Math.cbrt(x))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(cbrt(x) * Float64(1.0 + cbrt(x)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 17.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \sqrt[3]{x} \cdot \left(1 + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 14: 50.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 51.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 15: 7.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 6.6%

   \[\leadsto \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 16: 5.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (cbrt x))

C

double code(double x) {
	return cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return cbrt(x)
end

Wolfram

code[x_] := N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 1.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-\sqrt[3]{x}\right)} \]

   2. rem-square-sqrt 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}} \]

   3. fabs-sqr 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}\right|} \]

   4. rem-square-sqrt 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{-\sqrt[3]{x}}\right| \]

   5. fabs-neg 5.3%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt[3]{x}\right|} \]

   6. unpow1/3 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right| \]

   7. metadata-eval 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|{x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right| \]

   8. pow-sqr 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}}\right| \]

   9. fabs-sqr 5.3%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}} \]

   10. pow-sqr 5.3%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   11. metadata-eval 5.3%

       \[\leadsto 1 + {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

   12. unpow1/3 5.3%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

5. Simplified 5.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \sqrt[3]{x}} \]

6. Taylor expanded in x around inf 5.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]
7. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024125 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ 1 (+ (* (cbrt (+ x 1)) (cbrt (+ x 1))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1))) (* (cbrt x) (cbrt x)))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))