bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 51.7% → 97.0%

Time: 14.8s

Alternatives: 6

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = -2.392315335506279e+215

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 51.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.004629629629629629 \cdot \frac{{x}^{2}}{0.027777777777777776 + {x}^{2} \cdot 0.000925925925925926} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  0.004629629629629629
  (/
   (pow x 2.0)
   (+ 0.027777777777777776 (* (pow x 2.0) 0.000925925925925926)))))

C

double code(double x) {
	return 0.004629629629629629 * (pow(x, 2.0) / (0.027777777777777776 + (pow(x, 2.0) * 0.000925925925925926)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.004629629629629629d0 * ((x ** 2.0d0) / (0.027777777777777776d0 + ((x ** 2.0d0) * 0.000925925925925926d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.004629629629629629 * (Math.pow(x, 2.0) / (0.027777777777777776 + (Math.pow(x, 2.0) * 0.000925925925925926)));
}

Python

def code(x):
	return 0.004629629629629629 * (math.pow(x, 2.0) / (0.027777777777777776 + (math.pow(x, 2.0) * 0.000925925925925926)))

Julia

function code(x)
	return Float64(0.004629629629629629 * Float64((x ^ 2.0) / Float64(0.027777777777777776 + Float64((x ^ 2.0) * 0.000925925925925926))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.004629629629629629 * ((x ^ 2.0) / (0.027777777777777776 + ((x ^ 2.0) * 0.000925925925925926)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.004629629629629629 * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] / N[(0.027777777777777776 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.000925925925925926), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ 97.2%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{{0.16666666666666666}^{3} + {\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}^{3}}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)}} \]

   2. associate-*r/ 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left({0.16666666666666666}^{3} + {\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}^{3}\right)}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)}} \]

   3. pow3 97.2%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left({0.16666666666666666}^{3} + \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}\right)}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)} \]

   4. +-commutative 97.2%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) + {0.16666666666666666}^{3}\right)}}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)} \]

   5. pow3 97.2%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right)}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)} \]

   6. unpow-prod-down 97.2%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{{\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot {-0.005555555555555556}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right)}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)} \]

   7. metadata-eval 97.2%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{-1.7146776406035666 \cdot 10^{-7}} + {0.16666666666666666}^{3}\right)}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)} \]

   8. metadata-eval 97.9%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7} + \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)} \]

   9. metadata-eval 97.9%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7} + 0.004629629629629629\right)}{\color{blue}{0.027777777777777776} + \left(\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7} + 0.004629629629629629\right)}{0.027777777777777776 + \left({x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5} - -0.000925925925925926 \cdot {x}^{2}\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7} + 0.004629629629629629\right) \cdot {x}^{2}}}{0.027777777777777776 + \left({x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5} - -0.000925925925925926 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   2. associate-/l* 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.027777777777777776 + \left({x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5} - -0.000925925925925926 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   3. fma-define 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left({x}^{2}\right)}^{3}, -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7}, 0.004629629629629629\right)} \cdot \frac{{x}^{2}}{0.027777777777777776 + \left({x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5} - -0.000925925925925926 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   4. associate-+r- 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left({x}^{2}\right)}^{3}, -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7}, 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\color{blue}{\left(0.027777777777777776 + {x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right) - -0.000925925925925926 \cdot {x}^{2}}} \]

   5. sub-neg 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left({x}^{2}\right)}^{3}, -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7}, 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\color{blue}{\left(0.027777777777777776 + {x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right) + \left(--0.000925925925925926 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   6. +-commutative 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left({x}^{2}\right)}^{3}, -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7}, 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5} + 0.027777777777777776\right)} + \left(--0.000925925925925926 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   7. fma-define 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left({x}^{2}\right)}^{3}, -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7}, 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}, 0.027777777777777776\right)} + \left(--0.000925925925925926 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   8. *-commutative 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left({x}^{2}\right)}^{3}, -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7}, 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}, 0.027777777777777776\right) + \left(-\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.000925925925925926}\right)} \]

   9. distribute-rgt-neg-in 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left({x}^{2}\right)}^{3}, -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7}, 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}, 0.027777777777777776\right) + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(--0.000925925925925926\right)}} \]

   10. metadata-eval 97.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left({x}^{2}\right)}^{3}, -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7}, 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}, 0.027777777777777776\right) + {x}^{2} \cdot \color{blue}{0.000925925925925926}} \]

9. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left({x}^{2}\right)}^{3}, -1.7146776406035666 \cdot 10^{-7}, 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}, 0.027777777777777776\right) + {x}^{2} \cdot 0.000925925925925926}} \]

10. Taylor expanded in x around 0 98.0%

    \[\leadsto \color{blue}{0.004629629629629629} \cdot \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}, 0.027777777777777776\right) + {x}^{2} \cdot 0.000925925925925926} \]

11. Taylor expanded in x around 0 98.0%

    \[\leadsto 0.004629629629629629 \cdot \frac{{x}^{2}}{\color{blue}{0.027777777777777776} + {x}^{2} \cdot 0.000925925925925926} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* x (fma (pow x 2.0) -0.005555555555555556 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * fma(pow(x, 2.0), -0.005555555555555556, 0.16666666666666666));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * fma((x ^ 2.0), -0.005555555555555556, 0.16666666666666666)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}} \]

   2. pow2 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}\right)}^{2}} \]

   3. sqrt-prod 97.8%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 97.8%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

   5. metadata-eval 97.8%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

   6. pow1 97.8%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

   7. +-commutative 97.8%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   8. fma-define 97.8%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

7. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   2. swap-sqr 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   3. add-sqr-sqrt 97.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \]

   4. associate-*l* 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* 0.16666666666666666 (* x x)) (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.16666666666666666d0 * (x * x)) + ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)) + Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. *-commutative 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{2} \]

   3. *-commutative 97.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2} \]

   4. associate-*l* 97.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]

   5. pow-prod-up 97.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \]

   6. metadata-eval 97.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{\color{blue}{4}} \]

7. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

9. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

10. Final simplification 97.9%

    \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* -0.005555555555555556 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((-0.005555555555555556d0) * (x * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.005555555555555556 * Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.005555555555555556 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

7. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.005555555555555556\right) \]

8. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.5% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.9%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

8. Simplified 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

10. Applied egg-rr 97.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

11. Final simplification 97.7%

    \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 49.3% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 50.1%

   \[\leadsto \log \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0} \]

5. Applied egg-rr 50.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024123 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs x) 17/200) (let ((x2 (* x x))) (* x2 (fma (fma (fma -1/37800 x2 1/2835) x2 -1/180) x2 1/6))) (log (/ (sinh x) x))))

  (log (/ (sinh x) x)))