2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 6.9% → 98.6%

Time: 29.7s

Alternatives: 13

Speedup: 1.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.6% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}\\ t_1 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0 \cdot t\_0, t\_1 \cdot t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (sqrt (+ 1.0 x)))) (t_1 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (* t_0 t_0)) (* t_1 t_1)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(sqrt((1.0 + x)));
	double t_1 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + (t_0 * t_0)), (t_1 * t_1));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(sqrt(Float64(1.0 + x)))
	t_1 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + Float64(t_0 * t_0)), Float64(t_1 * t_1)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.1%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 8.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.0%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. unpow-prod-down 93.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 93.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow-sqr 93.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

10. Simplified 93.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sqr-pow 93.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

    2. pow2 93.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

    3. pow-to-exp 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

    4. *-commutative 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

    5. associate-/l* 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    6. metadata-eval 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    7. *-commutative 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    8. *-un-lft-identity 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    9. pow1/2 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    10. log-pow 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    11. rem-log-exp 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    12. metadata-eval 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    13. log1p-undefine 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    14. +-commutative 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    15. log-pow 93.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    16. add-exp-log 92.8%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

    17. pow2 92.8%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} \]

    18. unpow1/3 94.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot {\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

12. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. pow1/3 94.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    2. +-commutative 94.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    3. add-sqr-sqrt 94.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1}\right)}}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    4. unpow-prod-down 94.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    5. +-commutative 94.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    6. add-sqr-sqrt 94.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt{1 + \color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    7. hypot-1-def 94.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{x + 1}\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    8. +-commutative 94.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {\left(\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    9. add-sqr-sqrt 94.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {\left(\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{1 + \color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    10. hypot-1-def 94.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, {\left(\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\color{blue}{\left(\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)}}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

14. Applied egg-rr 94.3%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. unpow1/3 95.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)}} \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    2. hypot-undefine 95.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{1 \cdot 1 + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}} \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    3. metadata-eval 95.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{1} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}} \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    4. rem-square-sqrt 95.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt{1 + \color{blue}{x}}} \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    5. unpow1/3 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    6. hypot-undefine 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{1 \cdot 1 + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    7. metadata-eval 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{1} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

    8. rem-square-sqrt 98.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + \color{blue}{x}}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

16. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)} \]

17. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 2: 95.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\\ \mathbf{if}\;x \leq 1.32 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, t\_0, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, t\_0, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x)))))
   (if (<= x 1.32e+154)
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) t_0 (cbrt (pow (+ 1.0 x) 2.0))))
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) t_0 (exp (* (log1p x) 0.6666666666666666)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(x) + cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if (x <= 1.32e+154) {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), t_0, cbrt(pow((1.0 + x), 2.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), t_0, exp((log1p(x) * 0.6666666666666666)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x)))
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.32e+154)
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), t_0, cbrt((Float64(1.0 + x) ^ 2.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), t_0, exp(Float64(log1p(x) * 0.6666666666666666))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 1.32e+154], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0 + N[Power[N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0 + N[Exp[N[(N[Log[1 + x], $MachinePrecision] * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.31999999999999998e154

   1. Initial program 8.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 8.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 8.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 9.4%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 12.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 12.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 12.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 12.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 12.0%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 11.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 11.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 11.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 11.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 11.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 94.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 94.3%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 94.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 94.3%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 93.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 93.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. unpow-prod-down 94.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 94.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-sqr 95.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   10. Simplified 95.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqr-pow 94.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

       2. pow2 94.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

       3. pow-to-exp 94.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

       4. *-commutative 94.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

       5. associate-/l* 94.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       6. metadata-eval 94.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       7. *-commutative 94.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       8. *-un-lft-identity 94.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       9. pow1/2 94.3%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       10. log-pow 94.3%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       11. rem-log-exp 94.3%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       12. metadata-eval 94.3%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       13. log1p-undefine 94.3%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       14. +-commutative 94.3%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       15. log-pow 94.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       16. add-exp-log 94.2%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

       17. pow2 94.2%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} \]

       18. unpow1/3 95.6%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot {\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 99.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}\right)} \]

   if 1.31999999999999998e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-exp-log 91.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}}\right)} \]

      2. log-pow 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)}}\right)} \]

      3. rem-log-exp 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 91.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.32 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 95.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.6 \cdot 10^{+231}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.6e+231)
   (pow
    (/
     (sqrt
      (fma
       0.3333333333333333
       (pow (cbrt x) 4.0)
       (* (cbrt x) -0.1111111111111111)))
     x)
    2.0)
   (/
    1.0
    (fma
     (cbrt x)
     (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x)))
     (exp (* (log1p x) 0.6666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.6e+231) {
		tmp = pow((sqrt(fma(0.3333333333333333, pow(cbrt(x), 4.0), (cbrt(x) * -0.1111111111111111))) / x), 2.0);
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), exp((log1p(x) * 0.6666666666666666)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.6e+231)
		tmp = Float64(sqrt(fma(0.3333333333333333, (cbrt(x) ^ 4.0), Float64(cbrt(x) * -0.1111111111111111))) / x) ^ 2.0;
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), exp(Float64(log1p(x) * 0.6666666666666666))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.6e+231], N[Power[N[(N[Sqrt[N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Exp[N[(N[Log[1 + x], $MachinePrecision] * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.60000000000000016e231

   1. Initial program 7.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 26.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 26.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

      2. fma-define 26.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

   5. Simplified 26.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 26.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}} \]

      2. pow2 26.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-div 26.5%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 27.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)}^{2} \]

      5. metadata-eval 27.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)}^{2} \]

      6. pow1 27.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\color{blue}{x}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 27.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-un-lft-identity 27.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{1 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

   9. Applied egg-rr 27.3%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{1 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lft-identity 27.3%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{4}}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       2. unpow1/3 25.7%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{\left({x}^{4}\right)}^{0.3333333333333333}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       3. exp-to-pow 25.9%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\color{blue}{\left(e^{\log x \cdot 4}\right)}}^{0.3333333333333333}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       4. *-commutative 25.9%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\left(e^{\color{blue}{4 \cdot \log x}}\right)}^{0.3333333333333333}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       5. exp-prod 88.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{e^{\left(4 \cdot \log x\right) \cdot 0.3333333333333333}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       6. *-commutative 88.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, e^{\color{blue}{\left(\log x \cdot 4\right)} \cdot 0.3333333333333333}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       7. associate-*l* 88.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, e^{\color{blue}{\log x \cdot \left(4 \cdot 0.3333333333333333\right)}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       8. metadata-eval 88.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, e^{\log x \cdot \color{blue}{1.3333333333333333}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       9. exp-to-pow 88.5%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{x}^{1.3333333333333333}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       10. metadata-eval 88.5%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 + 1\right)}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       11. pow-plus 91.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333} \cdot x}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       12. unpow1/3 97.6%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \cdot x, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       13. rem-3cbrt-rft 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       14. unpow2 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right), -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       15. associate-*l* 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       16. unpow2 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       17. pow-sqr 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(2 \cdot 2\right)}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       18. metadata-eval 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\color{blue}{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

   11. Simplified 96.4%

       \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

   if 1.60000000000000016e231 < x

   1. Initial program 5.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 5.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 5.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 5.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 5.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.5%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-exp-log 91.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}}\right)} \]

      2. log-pow 91.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)}}\right)} \]

      3. rem-log-exp 91.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 91.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.6 \cdot 10^{+231}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.1% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.6 \cdot 10^{+231}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.6e+231)
   (pow
    (/
     (sqrt
      (fma
       0.3333333333333333
       (pow (cbrt x) 4.0)
       (* (cbrt x) -0.1111111111111111)))
     x)
    2.0)
   (/
    1.0
    (fma
     (cbrt x)
     (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x)))
     (pow (+ 1.0 x) 0.6666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.6e+231) {
		tmp = pow((sqrt(fma(0.3333333333333333, pow(cbrt(x), 4.0), (cbrt(x) * -0.1111111111111111))) / x), 2.0);
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), pow((1.0 + x), 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.6e+231)
		tmp = Float64(sqrt(fma(0.3333333333333333, (cbrt(x) ^ 4.0), Float64(cbrt(x) * -0.1111111111111111))) / x) ^ 2.0;
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), (Float64(1.0 + x) ^ 0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.6e+231], N[Power[N[(N[Sqrt[N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.60000000000000016e231

   1. Initial program 7.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 26.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 26.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

      2. fma-define 26.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

   5. Simplified 26.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 26.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}} \]

      2. pow2 26.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-div 26.5%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 27.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)}^{2} \]

      5. metadata-eval 27.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)}^{2} \]

      6. pow1 27.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\color{blue}{x}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 27.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-un-lft-identity 27.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{1 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

   9. Applied egg-rr 27.3%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{1 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lft-identity 27.3%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{4}}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       2. unpow1/3 25.7%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{\left({x}^{4}\right)}^{0.3333333333333333}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       3. exp-to-pow 25.9%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\color{blue}{\left(e^{\log x \cdot 4}\right)}}^{0.3333333333333333}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       4. *-commutative 25.9%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\left(e^{\color{blue}{4 \cdot \log x}}\right)}^{0.3333333333333333}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       5. exp-prod 88.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{e^{\left(4 \cdot \log x\right) \cdot 0.3333333333333333}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       6. *-commutative 88.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, e^{\color{blue}{\left(\log x \cdot 4\right)} \cdot 0.3333333333333333}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       7. associate-*l* 88.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, e^{\color{blue}{\log x \cdot \left(4 \cdot 0.3333333333333333\right)}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       8. metadata-eval 88.8%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, e^{\log x \cdot \color{blue}{1.3333333333333333}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       9. exp-to-pow 88.5%

          \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{x}^{1.3333333333333333}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       10. metadata-eval 88.5%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 + 1\right)}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       11. pow-plus 91.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333} \cdot x}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       12. unpow1/3 97.6%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \cdot x, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       13. rem-3cbrt-rft 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       14. unpow2 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\right), -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       15. associate-*l* 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       16. unpow2 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       17. pow-sqr 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(2 \cdot 2\right)}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

       18. metadata-eval 96.4%

           \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\color{blue}{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

   11. Simplified 96.4%

       \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

   if 1.60000000000000016e231 < x

   1. Initial program 5.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 5.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 5.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 5.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 5.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.5%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

      2. unpow-prod-down 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 91.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-sqr 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   10. Simplified 91.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqr-pow 91.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

       2. pow2 91.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

       3. pow-to-exp 91.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

       4. *-commutative 91.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

       5. associate-/l* 91.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       6. metadata-eval 91.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       7. *-commutative 91.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       8. *-un-lft-identity 91.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       9. pow1/2 91.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       10. log-pow 91.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       11. rem-log-exp 91.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       12. metadata-eval 91.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

       13. log1p-undefine 91.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       14. +-commutative 91.5%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       15. log-pow 92.1%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

       16. add-exp-log 91.2%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

       17. pow2 91.2%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} \]

       18. unpow1/3 92.7%

           \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot {\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 98.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. pow2 98.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

       2. pow1/3 91.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

       3. pow-pow 91.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(0.3333333333333333 \cdot 2\right)}}\right)} \]

       4. metadata-eval 91.2%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}}\right)} \]

   14. Applied egg-rr 91.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.6 \cdot 10^{+231}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0, {t\_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.1%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 8.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.0%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. unpow-prod-down 93.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 93.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow-sqr 93.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

10. Simplified 93.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sqr-pow 93.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

    2. pow2 93.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

    3. pow-to-exp 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

    4. *-commutative 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

    5. associate-/l* 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    6. metadata-eval 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    7. *-commutative 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    8. *-un-lft-identity 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    9. pow1/2 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    10. log-pow 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    11. rem-log-exp 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    12. metadata-eval 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    13. log1p-undefine 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    14. +-commutative 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    15. log-pow 93.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    16. add-exp-log 92.8%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

    17. pow2 92.8%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} \]

    18. unpow1/3 94.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot {\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

12. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. pow2 98.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

14. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

15. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 6: 75.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.32 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.6 \cdot 10^{+231}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{1.3333333333333333}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.32e+154)
   (+
    (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))
   (if (<= x 1.6e+231)
     (pow
      (/
       (sqrt
        (fma
         0.3333333333333333
         (pow x 1.3333333333333333)
         (* (cbrt x) -0.1111111111111111)))
       x)
      2.0)
     (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) 1.0)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.32e+154) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))));
	} else if (x <= 1.6e+231) {
		tmp = pow((sqrt(fma(0.3333333333333333, pow(x, 1.3333333333333333), (cbrt(x) * -0.1111111111111111))) / x), 2.0);
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.32e+154)
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))));
	elseif (x <= 1.6e+231)
		tmp = Float64(sqrt(fma(0.3333333333333333, (x ^ 1.3333333333333333), Float64(cbrt(x) * -0.1111111111111111))) / x) ^ 2.0;
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.32e+154], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.6e+231], N[Power[N[(N[Sqrt[N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 1.3333333333333333], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 1.31999999999999998e154

   1. Initial program 8.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 39.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 39.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

      2. fma-define 40.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

   5. Simplified 40.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.31999999999999998e154 < x < 1.60000000000000016e231

   1. Initial program 4.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

      2. fma-define 0.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

   5. Simplified 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}} \]

      2. pow2 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-div 0.0%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)}}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 2.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)}^{2} \]

      5. metadata-eval 2.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)}^{2} \]

      6. pow1 2.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{\color{blue}{x}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 2.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 2.3%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{\left({x}^{4}\right)}^{0.3333333333333333}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

      2. pow-pow 87.9%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{x}^{\left(4 \cdot 0.3333333333333333\right)}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

      3. metadata-eval 87.9%

         \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{\color{blue}{1.3333333333333333}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

   9. Applied egg-rr 87.9%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{{x}^{1.3333333333333333}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{x}\right)}^{2} \]

   if 1.60000000000000016e231 < x

   1. Initial program 5.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 5.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 5.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 5.1%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 5.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 5.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.5%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 74.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.32 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.6 \cdot 10^{+231}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{1.3333333333333333}, \sqrt[3]{x} \cdot -0.1111111111111111\right)}}{x}\right)}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 58.7% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{+161}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, -0.1111111111111111, 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}\right) \cdot {x}^{-2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.5e+161)
   (*
    (fma
     (cbrt x)
     -0.1111111111111111
     (* 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) 4.0)))
    (pow x -2.0))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) 1.0))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.5e+161) {
		tmp = fma(cbrt(x), -0.1111111111111111, (0.3333333333333333 * pow(cbrt(x), 4.0))) * pow(x, -2.0);
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5.5e+161)
		tmp = Float64(fma(cbrt(x), -0.1111111111111111, Float64(0.3333333333333333 * (cbrt(x) ^ 4.0))) * (x ^ -2.0));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 5.5e+161], N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111 + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[x, -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.5000000000000005e161

   1. Initial program 8.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 37.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 37.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

      2. fma-define 37.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

   5. Simplified 37.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-un-lft-identity 37.6%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]

      2. div-inv 37.5%

         \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)} \]

      3. pow-flip 37.7%

         \[\leadsto 1 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{\left(-2\right)}}\right) \]

      4. metadata-eval 37.7%

         \[\leadsto 1 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot {x}^{\color{blue}{-2}}\right) \]

   7. Applied egg-rr 37.7%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot {x}^{-2}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 37.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot {x}^{-2}} \]

   9. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, -0.1111111111111111, 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}\right) \cdot {x}^{-2}} \]

   if 5.5000000000000005e161 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.5 \cdot 10^{+161}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, -0.1111111111111111, 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{4}\right) \cdot {x}^{-2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.0% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  1.0
  (fma
   (cbrt x)
   (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x)))
   (pow (+ 1.0 x) 0.6666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), pow((1.0 + x), 0.6666666666666666));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), (Float64(1.0 + x) ^ 0.6666666666666666)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.1%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 8.3%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 8.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.0%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)} \]

   2. unpow-prod-down 93.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 93.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow-sqr 93.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

10. Simplified 93.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sqr-pow 93.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}}\right)} \]

    2. pow2 93.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right)}^{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}\right)}\right)}^{2}}\right)} \]

    3. pow-to-exp 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}{2}}\right)}}^{2}\right)} \]

    4. *-commutative 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 2}}{2}}\right)}^{2}\right)} \]

    5. associate-/l* 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \frac{2}{2}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    6. metadata-eval 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot \color{blue}{1}\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    7. *-commutative 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    8. *-un-lft-identity 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \left(\sqrt{e^{0.6666666666666666}}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    9. pow1/2 93.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{0.5}\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    10. log-pow 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \log \left(e^{0.6666666666666666}\right)\right)} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    11. rem-log-exp 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\left(0.5 \cdot \color{blue}{0.6666666666666666}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    12. metadata-eval 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{2}\right)} \]

    13. log1p-undefine 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    14. +-commutative 93.0%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + 1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    15. log-pow 93.4%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{\color{blue}{\log \left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

    16. add-exp-log 92.8%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

    17. pow2 92.8%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} \]

    18. unpow1/3 94.3%

        \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot {\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

12. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. pow2 98.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} \]

    2. pow1/3 92.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2}\right)} \]

    3. pow-pow 92.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(0.3333333333333333 \cdot 2\right)}}\right)} \]

    4. metadata-eval 92.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}}\right)} \]

14. Applied egg-rr 92.9%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

15. Final simplification 92.9%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 9: 58.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.32 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.32e+154)
   (+
    (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) 1.0))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.32e+154) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.32e+154)
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.32e+154], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.31999999999999998e154

   1. Initial program 8.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 39.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 39.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}}}{{x}^{2}} \]

      2. fma-define 40.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}{{x}^{2}} \]

   5. Simplified 40.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt[3]{{x}^{4}}, -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{{x}^{2}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.31999999999999998e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.32 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 57.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.32 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.32e+154)
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) 1.0))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.32e+154) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.32e+154)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.32e+154], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.31999999999999998e154

   1. Initial program 8.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.31999999999999998e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 3.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      6. distribute-rgt-out 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      7. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

      8. fma-define 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      9. add-exp-log 4.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      3. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      4. associate--l+ 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      5. +-inverses 91.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 91.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

      8. exp-prod 90.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

   6. Simplified 90.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.32 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 49.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 49.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

4. Final simplification 49.5%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 6.6%

   \[\leadsto \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 5.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ 1.0 (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 + cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 + Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 + cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 + N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 1.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-\sqrt[3]{x}\right)} \]

   2. rem-square-sqrt 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}} \]

   3. fabs-sqr 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}\right|} \]

   4. rem-square-sqrt 5.2%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{-\sqrt[3]{x}}\right| \]

   5. fabs-neg 5.2%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt[3]{x}\right|} \]

   6. unpow1/3 5.2%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right| \]

   7. metadata-eval 5.2%

      \[\leadsto 1 + \left|{x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right| \]

   8. pow-sqr 5.2%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}}\right| \]

   9. fabs-sqr 5.2%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}} \]

   10. pow-sqr 5.2%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   11. metadata-eval 5.2%

       \[\leadsto 1 + {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

   12. unpow1/3 5.2%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

5. Simplified 5.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \sqrt[3]{x}} \]

6. Final simplification 5.2%

   \[\leadsto 1 + \sqrt[3]{x} \]
7. Add Preprocessing

Developer target: 98.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024115 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (/ 1.0 (+ (+ (* (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt (+ x 1.0))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1.0)))) (* (cbrt x) (cbrt x))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))