ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 54.2% → 99.5%

Time: 13.4s

Alternatives: 6

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\\ \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {t\_0}^{2}\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma (pow x 2.0) -0.0007275132275132275 -0.06388888888888888)))
   (*
    (- 0.027777777777777776 (* (pow x 4.0) (pow t_0 2.0)))
    (/ (pow x 2.0) (- 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = fma(pow(x, 2.0), -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888);
	return (0.027777777777777776 - (pow(x, 4.0) * pow(t_0, 2.0))) * (pow(x, 2.0) / (0.16666666666666666 - (pow(x, 2.0) * t_0)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = fma((x ^ 2.0), -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888)
	return Float64(Float64(0.027777777777777776 - Float64((x ^ 4.0) * (t_0 ^ 2.0))) * Float64((x ^ 2.0) / Float64(0.16666666666666666 - Float64((x ^ 2.0) * t_0))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.0007275132275132275 + -0.06388888888888888), $MachinePrecision]}, N[(N[(0.027777777777777776 - N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] / N[(0.16666666666666666 - N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 99.4%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)}} \]

   2. associate-*r/ 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)}} \]

5. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)} \]

   2. associate-/l* 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}} \]

7. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{{x}^{2}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/
   (pow x 2.0)
   (-
    0.16666666666666666
    (*
     (pow x 2.0)
     (fma (pow x 2.0) -0.0007275132275132275 -0.06388888888888888))))
  (- 0.027777777777777776 (* (pow x 4.0) 0.00408179012345679))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 2.0) / (0.16666666666666666 - (pow(x, 2.0) * fma(pow(x, 2.0), -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888)))) * (0.027777777777777776 - (pow(x, 4.0) * 0.00408179012345679));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 2.0) / Float64(0.16666666666666666 - Float64((x ^ 2.0) * fma((x ^ 2.0), -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888)))) * Float64(0.027777777777777776 - Float64((x ^ 4.0) * 0.00408179012345679)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] / N[(0.16666666666666666 - N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.0007275132275132275 + -0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.027777777777777776 - N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.00408179012345679), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 99.4%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)}} \]

   2. associate-*r/ 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)}} \]

5. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)} \]

   2. associate-/l* 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}} \]

7. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot \color{blue}{0.00408179012345679}\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)} \]

9. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{{x}^{2}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right) \cdot \left(x \cdot \frac{x}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (- 0.027777777777777776 (* (pow x 4.0) 0.00408179012345679))
  (*
   x
   (/
    x
    (-
     0.16666666666666666
     (*
      (pow x 2.0)
      (fma (pow x 2.0) -0.0007275132275132275 -0.06388888888888888)))))))

C

double code(double x) {
	return (0.027777777777777776 - (pow(x, 4.0) * 0.00408179012345679)) * (x * (x / (0.16666666666666666 - (pow(x, 2.0) * fma(pow(x, 2.0), -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888)))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.027777777777777776 - Float64((x ^ 4.0) * 0.00408179012345679)) * Float64(x * Float64(x / Float64(0.16666666666666666 - Float64((x ^ 2.0) * fma((x ^ 2.0), -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888))))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.027777777777777776 - N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.00408179012345679), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x / N[(0.16666666666666666 - N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.0007275132275132275 + -0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 99.4%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)}} \]

   2. associate-*r/ 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)}} \]

5. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)} \]

   2. associate-/l* 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}} \]

7. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot \color{blue}{0.00408179012345679}\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow2 99.5%

      \[\leadsto \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right) \cdot \frac{\color{blue}{x \cdot x}}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)} \]

   2. *-un-lft-identity 99.5%

      \[\leadsto \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right) \cdot \frac{x \cdot x}{\color{blue}{1 \cdot \left(0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}} \]

   3. times-frac 99.4%

      \[\leadsto \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{x}{1} \cdot \frac{x}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}\right)} \]

10. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{x}{1} \cdot \frac{x}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}\right)} \]

11. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right) \cdot \left(x \cdot \frac{x}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.06388888888888888\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (* (* x x) (- (* -0.0007275132275132275 (* x x)) 0.06388888888888888)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * ((-0.0007275132275132275 * (x * x)) - 0.06388888888888888)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * (((-0.0007275132275132275d0) * (x * x)) - 0.06388888888888888d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * ((-0.0007275132275132275 * (x * x)) - 0.06388888888888888)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * ((-0.0007275132275132275 * (x * x)) - 0.06388888888888888)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * Float64(x * x)) - 0.06388888888888888))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * ((-0.0007275132275132275 * (x * x)) - 0.06388888888888888)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.4%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.06388888888888888\right)\right) \]

5. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.06388888888888888\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.4%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.06388888888888888\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.06388888888888888\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

6. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.4%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.06388888888888888\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

9. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
5. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024114 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 1/6 (* x x)))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))