2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.1% → 99.7%

Time: 22.9s

Alternatives: 13

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\cos x}^{2}\\ t_1 := {\sin x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_1}{t\_0}\\ t_3 := t\_2 + 1\\ t_4 := \sin x \cdot \frac{t\_3}{\cos x}\\ t_5 := t\_1 \cdot \frac{t\_3}{t\_0} - \mathsf{fma}\left(-0.5, t\_3, t\_2 \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 + t\_5\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 - t\_5\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + t\_4 \cdot -0.3333333333333333\right), t\_4\right), t\_2\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (cos x) 2.0))
        (t_1 (pow (sin x) 2.0))
        (t_2 (/ t_1 t_0))
        (t_3 (+ t_2 1.0))
        (t_4 (* (sin x) (/ t_3 (cos x))))
        (t_5
         (- (* t_1 (/ t_3 t_0)) (fma -0.5 t_3 (* t_2 0.16666666666666666)))))
   (*
    eps
    (+
     (fma
      eps
      (fma
       eps
       (-
        (+ -0.16666666666666666 t_5)
        (*
         eps
         (+
          (* (- 0.16666666666666666 t_5) (/ (sin x) (cos x)))
          (* t_4 -0.3333333333333333))))
       t_4)
      t_2)
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_1 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_2 = t_1 / t_0;
	double t_3 = t_2 + 1.0;
	double t_4 = sin(x) * (t_3 / cos(x));
	double t_5 = (t_1 * (t_3 / t_0)) - fma(-0.5, t_3, (t_2 * 0.16666666666666666));
	return eps * (fma(eps, fma(eps, ((-0.16666666666666666 + t_5) - (eps * (((0.16666666666666666 - t_5) * (sin(x) / cos(x))) + (t_4 * -0.3333333333333333)))), t_4), t_2) + 1.0);
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = cos(x) ^ 2.0
	t_1 = sin(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_1 / t_0)
	t_3 = Float64(t_2 + 1.0)
	t_4 = Float64(sin(x) * Float64(t_3 / cos(x)))
	t_5 = Float64(Float64(t_1 * Float64(t_3 / t_0)) - fma(-0.5, t_3, Float64(t_2 * 0.16666666666666666)))
	return Float64(eps * Float64(fma(eps, fma(eps, Float64(Float64(-0.16666666666666666 + t_5) - Float64(eps * Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 - t_5) * Float64(sin(x) / cos(x))) + Float64(t_4 * -0.3333333333333333)))), t_4), t_2) + 1.0))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 / t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 + 1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$3 / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(t$95$1 * N[(t$95$3 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.5 * t$95$3 + N[(t$95$2 * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(eps * N[(eps * N[(N[(-0.16666666666666666 + t$95$5), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(N[(0.16666666666666666 - t$95$5), $MachinePrecision] * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$4 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 + \left({\sin x}^{2} \cdot \frac{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1}{{\cos x}^{2}} - \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 - \left({\sin x}^{2} \cdot \frac{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1}{{\cos x}^{2}} - \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 1\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.7% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{{\sin x}^{2}}{t\_1}\\ t_3 := t\_2 \cdot -0.3333333333333333\\ t_4 := \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\\ \varepsilon \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(t\_2 + 0.3333333333333333\right)}{\cos x} - \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot t\_0 + \frac{\sin x \cdot \left(t\_3 - t\_4\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right) + \left(t\_2 + \left(t\_4 - t\_3\right)\right)\right) + \left(\frac{\sin x}{\cos x} + t\_0\right)\right) + 1\right) + \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{t\_1}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0)))
        (t_1 (pow (cos x) 2.0))
        (t_2 (/ (pow (sin x) 2.0) t_1))
        (t_3 (* t_2 -0.3333333333333333))
        (t_4 (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0))))
   (*
    eps
    (+
     (+
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (+
          (+
           0.3333333333333333
           (*
            eps
            (-
             (/ (* (sin x) (+ t_2 0.3333333333333333)) (cos x))
             (+
              (* -0.3333333333333333 (tan x))
              (+
               (* -0.3333333333333333 t_0)
               (/ (* (sin x) (- t_3 t_4)) (cos x)))))))
          (+ t_2 (- t_4 t_3))))
        (+ (/ (sin x) (cos x)) t_0)))
      1.0)
     (/ (- 0.5 (/ (cos (* x 2.0)) 2.0)) t_1)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = pow(sin(x), 2.0) / t_1;
	double t_3 = t_2 * -0.3333333333333333;
	double t_4 = pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0);
	return eps * (((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (t_2 + 0.3333333333333333)) / cos(x)) - ((-0.3333333333333333 * tan(x)) + ((-0.3333333333333333 * t_0) + ((sin(x) * (t_3 - t_4)) / cos(x))))))) + (t_2 + (t_4 - t_3)))) + ((sin(x) / cos(x)) + t_0))) + 1.0) + ((0.5 - (cos((x * 2.0)) / 2.0)) / t_1));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    t_0 = (sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)
    t_1 = cos(x) ** 2.0d0
    t_2 = (sin(x) ** 2.0d0) / t_1
    t_3 = t_2 * (-0.3333333333333333d0)
    t_4 = (sin(x) ** 4.0d0) / (cos(x) ** 4.0d0)
    code = eps * (((eps * ((eps * ((0.3333333333333333d0 + (eps * (((sin(x) * (t_2 + 0.3333333333333333d0)) / cos(x)) - (((-0.3333333333333333d0) * tan(x)) + (((-0.3333333333333333d0) * t_0) + ((sin(x) * (t_3 - t_4)) / cos(x))))))) + (t_2 + (t_4 - t_3)))) + ((sin(x) / cos(x)) + t_0))) + 1.0d0) + ((0.5d0 - (cos((x * 2.0d0)) / 2.0d0)) / t_1))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_2 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / t_1;
	double t_3 = t_2 * -0.3333333333333333;
	double t_4 = Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / Math.pow(Math.cos(x), 4.0);
	return eps * (((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((Math.sin(x) * (t_2 + 0.3333333333333333)) / Math.cos(x)) - ((-0.3333333333333333 * Math.tan(x)) + ((-0.3333333333333333 * t_0) + ((Math.sin(x) * (t_3 - t_4)) / Math.cos(x))))))) + (t_2 + (t_4 - t_3)))) + ((Math.sin(x) / Math.cos(x)) + t_0))) + 1.0) + ((0.5 - (Math.cos((x * 2.0)) / 2.0)) / t_1));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)
	t_1 = math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_2 = math.pow(math.sin(x), 2.0) / t_1
	t_3 = t_2 * -0.3333333333333333
	t_4 = math.pow(math.sin(x), 4.0) / math.pow(math.cos(x), 4.0)
	return eps * (((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((math.sin(x) * (t_2 + 0.3333333333333333)) / math.cos(x)) - ((-0.3333333333333333 * math.tan(x)) + ((-0.3333333333333333 * t_0) + ((math.sin(x) * (t_3 - t_4)) / math.cos(x))))))) + (t_2 + (t_4 - t_3)))) + ((math.sin(x) / math.cos(x)) + t_0))) + 1.0) + ((0.5 - (math.cos((x * 2.0)) / 2.0)) / t_1))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64((sin(x) ^ 2.0) / t_1)
	t_3 = Float64(t_2 * -0.3333333333333333)
	t_4 = Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0))
	return Float64(eps * Float64(Float64(Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(t_2 + 0.3333333333333333)) / cos(x)) - Float64(Float64(-0.3333333333333333 * tan(x)) + Float64(Float64(-0.3333333333333333 * t_0) + Float64(Float64(sin(x) * Float64(t_3 - t_4)) / cos(x))))))) + Float64(t_2 + Float64(t_4 - t_3)))) + Float64(Float64(sin(x) / cos(x)) + t_0))) + 1.0) + Float64(Float64(0.5 - Float64(cos(Float64(x * 2.0)) / 2.0)) / t_1)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = (sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0);
	t_1 = cos(x) ^ 2.0;
	t_2 = (sin(x) ^ 2.0) / t_1;
	t_3 = t_2 * -0.3333333333333333;
	t_4 = (sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0);
	tmp = eps * (((eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (t_2 + 0.3333333333333333)) / cos(x)) - ((-0.3333333333333333 * tan(x)) + ((-0.3333333333333333 * t_0) + ((sin(x) * (t_3 - t_4)) / cos(x))))))) + (t_2 + (t_4 - t_3)))) + ((sin(x) / cos(x)) + t_0))) + 1.0) + ((0.5 - (cos((x * 2.0)) / 2.0)) / t_1));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$2 + 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(-0.3333333333333333 * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$3 - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 + N[(t$95$4 - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 - N[(N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   3. fma-neg 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

4. Applied egg-rr 64.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. sin-mult 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. div-sub 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right)}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. +-inverses 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   3. cos-0 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   5. count-2 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   6. *-commutative 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot 2\right)}}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

9. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. tan-quot 99.9%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    2. pow1 99.9%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

11. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow1 99.9%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

13. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

14. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 0.3333333333333333\right)}{\cos x} - \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot -0.3333333333333333 - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right) + \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_0}{t\_1}\\ \varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(t\_2 + 0.3333333333333333\right) - \left(\frac{t\_0 \cdot -0.3333333333333333}{t\_1} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right), \frac{\sin x}{\cos x}\right), t\_2\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0)) (t_1 (pow (cos x) 2.0)) (t_2 (/ t_0 t_1)))
   (*
    eps
    (+
     (fma
      eps
      (+
       (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0))
       (fma
        eps
        (-
         (+ t_2 0.3333333333333333)
         (-
          (/ (* t_0 -0.3333333333333333) t_1)
          (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0))))
        (/ (sin x) (cos x))))
      t_2)
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	return eps * (fma(eps, ((pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0)) + fma(eps, ((t_2 + 0.3333333333333333) - (((t_0 * -0.3333333333333333) / t_1) - (pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0)))), (sin(x) / cos(x)))), t_2) + 1.0);
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_0 / t_1)
	return Float64(eps * Float64(fma(eps, Float64(Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0)) + fma(eps, Float64(Float64(t_2 + 0.3333333333333333) - Float64(Float64(Float64(t_0 * -0.3333333333333333) / t_1) - Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0)))), Float64(sin(x) / cos(x)))), t_2) + 1.0))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(t$95$2 + 0.3333333333333333), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   3. fma-neg 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

4. Applied egg-rr 64.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

7. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(\frac{-0.3333333333333333 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right), \frac{\sin x}{\cos x}\right) - \frac{{\sin x}^{3}}{-{\cos x}^{3}}, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

8. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 0.3333333333333333\right) - \left(\frac{{\sin x}^{2} \cdot -0.3333333333333333}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right), \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 1\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_0}{t\_1}\\ \varepsilon \cdot \left(t\_2 + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(t\_2 + 0.3333333333333333\right) - \left(\frac{t\_0 \cdot -0.3333333333333333}{t\_1} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)\right) + \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0)) (t_1 (pow (cos x) 2.0)) (t_2 (/ t_0 t_1)))
   (*
    eps
    (+
     t_2
     (+
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (-
          (+ t_2 0.3333333333333333)
          (-
           (/ (* t_0 -0.3333333333333333) t_1)
           (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0)))))
        (+ (/ (sin x) (cos x)) (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0)))))
      1.0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	return eps * (t_2 + ((eps * ((eps * ((t_2 + 0.3333333333333333) - (((t_0 * -0.3333333333333333) / t_1) - (pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0))))) + ((sin(x) / cos(x)) + (pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0))))) + 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = sin(x) ** 2.0d0
    t_1 = cos(x) ** 2.0d0
    t_2 = t_0 / t_1
    code = eps * (t_2 + ((eps * ((eps * ((t_2 + 0.3333333333333333d0) - (((t_0 * (-0.3333333333333333d0)) / t_1) - ((sin(x) ** 4.0d0) / (cos(x) ** 4.0d0))))) + ((sin(x) / cos(x)) + ((sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0))))) + 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	return eps * (t_2 + ((eps * ((eps * ((t_2 + 0.3333333333333333) - (((t_0 * -0.3333333333333333) / t_1) - (Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / Math.pow(Math.cos(x), 4.0))))) + ((Math.sin(x) / Math.cos(x)) + (Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0))))) + 1.0));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0)
	t_1 = math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_2 = t_0 / t_1
	return eps * (t_2 + ((eps * ((eps * ((t_2 + 0.3333333333333333) - (((t_0 * -0.3333333333333333) / t_1) - (math.pow(math.sin(x), 4.0) / math.pow(math.cos(x), 4.0))))) + ((math.sin(x) / math.cos(x)) + (math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0))))) + 1.0))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_0 / t_1)
	return Float64(eps * Float64(t_2 + Float64(Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(t_2 + 0.3333333333333333) - Float64(Float64(Float64(t_0 * -0.3333333333333333) / t_1) - Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0))))) + Float64(Float64(sin(x) / cos(x)) + Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))))) + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0;
	t_1 = cos(x) ^ 2.0;
	t_2 = t_0 / t_1;
	tmp = eps * (t_2 + ((eps * ((eps * ((t_2 + 0.3333333333333333) - (((t_0 * -0.3333333333333333) / t_1) - ((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0))))) + ((sin(x) / cos(x)) + ((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))))) + 1.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(t$95$2 + N[(N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(t$95$2 + 0.3333333333333333), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   3. fma-neg 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

4. Applied egg-rr 64.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)} - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. sub-neg 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   3. mul-1-neg 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   4. remove-double-neg 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   5. +-commutative 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)}\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   6. mul-1-neg 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)}\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   7. unsub-neg 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)}\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

8. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(\frac{-0.3333333333333333 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)\right)} - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 0.3333333333333333\right) - \left(\frac{{\sin x}^{2} \cdot -0.3333333333333333}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)\right) + \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \sin x \cdot \frac{\varepsilon}{\cos x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (exp
   (+
    (log1p (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)))
    (* (sin x) (/ eps (cos x)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * exp((log1p((pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0))) + (sin(x) * (eps / cos(x)))));
}

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * Math.exp((Math.log1p((Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0))) + (Math.sin(x) * (eps / Math.cos(x)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * math.exp((math.log1p((math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0))) + (math.sin(x) * (eps / math.cos(x)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * exp(Float64(log1p(Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))) + Float64(sin(x) * Float64(eps / cos(x))))))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[Exp[N[(N[Log[1 + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(eps / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 63.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}} \]

4. Applied egg-rr 63.3%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 90.3%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \varepsilon + \left(\log \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   2. log1p-define 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   3. mul-1-neg 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   4. remove-double-neg 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   5. *-commutative 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \varepsilon}}{\cos x}\right)} \]

7. Simplified 90.3%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}\right)}} \]

8. Taylor expanded in eps around inf 90.3%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \varepsilon + \left(\log \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. exp-sum 90.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \varepsilon} \cdot e^{\log \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}}} \]

   2. rem-exp-log 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \cdot e^{\log \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}} \]

   3. log1p-define 99.4%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}} \]

   4. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \varepsilon}}{\cos x}} \]

   5. associate-*r/ 99.4%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\sin x \cdot \frac{\varepsilon}{\cos x}}} \]

10. Simplified 99.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \sin x \cdot \frac{\varepsilon}{\cos x}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.1% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (fma
    eps
    (+
     (* eps 0.3333333333333333)
     (* x (+ (* 0.6666666666666666 (pow eps 2.0)) 1.0)))
    (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)))
   1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (fma(eps, ((eps * 0.3333333333333333) + (x * ((0.6666666666666666 * pow(eps, 2.0)) + 1.0))), (pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0))) + 1.0);
}

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(fma(eps, Float64(Float64(eps * 0.3333333333333333) + Float64(x * Float64(Float64(0.6666666666666666 * (eps ^ 2.0)) + 1.0))), Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))) + 1.0))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[(0.6666666666666666 * N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \varepsilon + x \cdot \left(1 + 0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 1\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.1% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right)\right) + 1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (/ (- 0.5 (/ (cos (* x 2.0)) 2.0)) (pow (cos x) 2.0))
   (+
    (*
     eps
     (+
      (* eps 0.3333333333333333)
      (* x (+ (* 0.6666666666666666 (pow eps 2.0)) 1.0))))
    1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (((0.5 - (cos((x * 2.0)) / 2.0)) / pow(cos(x), 2.0)) + ((eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * ((0.6666666666666666 * pow(eps, 2.0)) + 1.0)))) + 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (((0.5d0 - (cos((x * 2.0d0)) / 2.0d0)) / (cos(x) ** 2.0d0)) + ((eps * ((eps * 0.3333333333333333d0) + (x * ((0.6666666666666666d0 * (eps ** 2.0d0)) + 1.0d0)))) + 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (((0.5 - (Math.cos((x * 2.0)) / 2.0)) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0)) + ((eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * ((0.6666666666666666 * Math.pow(eps, 2.0)) + 1.0)))) + 1.0));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (((0.5 - (math.cos((x * 2.0)) / 2.0)) / math.pow(math.cos(x), 2.0)) + ((eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * ((0.6666666666666666 * math.pow(eps, 2.0)) + 1.0)))) + 1.0))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(Float64(0.5 - Float64(cos(Float64(x * 2.0)) / 2.0)) / (cos(x) ^ 2.0)) + Float64(Float64(eps * Float64(Float64(eps * 0.3333333333333333) + Float64(x * Float64(Float64(0.6666666666666666 * (eps ^ 2.0)) + 1.0)))) + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (((0.5 - (cos((x * 2.0)) / 2.0)) / (cos(x) ^ 2.0)) + ((eps * ((eps * 0.3333333333333333) + (x * ((0.6666666666666666 * (eps ^ 2.0)) + 1.0)))) + 1.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[(0.5 - N[(N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(eps * N[(N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[(0.6666666666666666 * N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   3. fma-neg 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

4. Applied egg-rr 64.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\tan x + \tan \varepsilon, \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, -\tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. sin-mult 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. div-sub 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right)}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. +-inverses 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   3. cos-0 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   5. count-2 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   6. *-commutative 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot 2\right)}}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

9. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

10. Taylor expanded in x around 0 99.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \varepsilon + x \cdot \left(1 + 0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

11. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right)\right) + 1\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 99.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)) 1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0)) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (((sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0)) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 98.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

   2. mul-1-neg 98.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   3. remove-double-neg 98.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) \]

5. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.4% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right) + x \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot 1.3333333333333333 + 1\right)\right)\right) + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (+
    (* 0.3333333333333333 (pow eps 2.0))
    (*
     x
     (+
      (* eps (+ (* 0.6666666666666666 (pow eps 2.0)) 1.0))
      (* x (+ (* (pow eps 2.0) 1.3333333333333333) 1.0)))))
   1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (((0.3333333333333333 * pow(eps, 2.0)) + (x * ((eps * ((0.6666666666666666 * pow(eps, 2.0)) + 1.0)) + (x * ((pow(eps, 2.0) * 1.3333333333333333) + 1.0))))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (((0.3333333333333333d0 * (eps ** 2.0d0)) + (x * ((eps * ((0.6666666666666666d0 * (eps ** 2.0d0)) + 1.0d0)) + (x * (((eps ** 2.0d0) * 1.3333333333333333d0) + 1.0d0))))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (((0.3333333333333333 * Math.pow(eps, 2.0)) + (x * ((eps * ((0.6666666666666666 * Math.pow(eps, 2.0)) + 1.0)) + (x * ((Math.pow(eps, 2.0) * 1.3333333333333333) + 1.0))))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (((0.3333333333333333 * math.pow(eps, 2.0)) + (x * ((eps * ((0.6666666666666666 * math.pow(eps, 2.0)) + 1.0)) + (x * ((math.pow(eps, 2.0) * 1.3333333333333333) + 1.0))))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * (eps ^ 2.0)) + Float64(x * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(0.6666666666666666 * (eps ^ 2.0)) + 1.0)) + Float64(x * Float64(Float64((eps ^ 2.0) * 1.3333333333333333) + 1.0))))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (((0.3333333333333333 * (eps ^ 2.0)) + (x * ((eps * ((0.6666666666666666 * (eps ^ 2.0)) + 1.0)) + (x * (((eps ^ 2.0) * 1.3333333333333333) + 1.0))))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[(eps * N[(N[(0.6666666666666666 * N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[(N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision] * 1.3333333333333333), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 98.1%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + 0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + 1.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right) + x \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot 1.3333333333333333 + 1\right)\right)\right) + 1\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 10: 98.3% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + x \cdot \left({\varepsilon}^{2} + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(0.5 \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+ eps (* x (+ (pow eps 2.0) (* eps (* x (+ (* 0.5 (pow eps 2.0)) 1.0)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (pow(eps, 2.0) + (eps * (x * ((0.5 * pow(eps, 2.0)) + 1.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (x * ((eps ** 2.0d0) + (eps * (x * ((0.5d0 * (eps ** 2.0d0)) + 1.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (Math.pow(eps, 2.0) + (eps * (x * ((0.5 * Math.pow(eps, 2.0)) + 1.0)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (x * (math.pow(eps, 2.0) + (eps * (x * ((0.5 * math.pow(eps, 2.0)) + 1.0)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(x * Float64((eps ^ 2.0) + Float64(eps * Float64(x * Float64(Float64(0.5 * (eps ^ 2.0)) + 1.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (x * ((eps ^ 2.0) + (eps * (x * ((0.5 * (eps ^ 2.0)) + 1.0)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(x * N[(N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision] + N[(eps * N[(x * N[(N[(0.5 * N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 63.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}} \]

4. Applied egg-rr 63.3%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 90.3%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \varepsilon + \left(\log \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   2. log1p-define 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   3. mul-1-neg 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   4. remove-double-neg 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   5. *-commutative 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \varepsilon}}{\cos x}\right)} \]

7. Simplified 90.3%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2}\right)} \]

9. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \varepsilon + x \cdot \left({\varepsilon}^{2} + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(0.5 \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (cos eps)))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / cos(eps);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / cos(eps)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / Math.cos(eps);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / math.cos(eps)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / cos(eps))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / cos(eps);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[Cos[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 97.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ (* 0.3333333333333333 (pow eps 2.0)) 1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((0.3333333333333333 * pow(eps, 2.0)) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((0.3333333333333333d0 * (eps ** 2.0d0)) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((0.3333333333333333 * Math.pow(eps, 2.0)) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((0.3333333333333333 * math.pow(eps, 2.0)) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 * (eps ^ 2.0)) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((0.3333333333333333 * (eps ^ 2.0)) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(-0.16666666666666666 - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \sin x \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 97.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)} \]

7. Final simplification 97.7%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 13: 97.9% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 64.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 63.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}} \]

4. Applied egg-rr 63.3%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x\right)}} \]

5. Taylor expanded in eps around 0 90.3%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \varepsilon + \left(\log \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   2. log1p-define 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(--1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   3. mul-1-neg 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(-\color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   4. remove-double-neg 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) + \frac{\varepsilon \cdot \sin x}{\cos x}\right)} \]

   5. *-commutative 90.3%

      \[\leadsto e^{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \varepsilon}}{\cos x}\right)} \]

7. Simplified 90.3%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \varepsilon + \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{\sin x \cdot \varepsilon}{\cos x}\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024113 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))