2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 7.0% → 98.2%

Time: 12.3s

Alternatives: 7

Speedup: 1.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 7.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x \cdot 0.037037037037037035}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))) -0.1111111111111111)
   (cbrt (* x 0.037037037037037035)))
  x))

C

double code(double x) {
	return ((cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))) * -0.1111111111111111) + cbrt((x * 0.037037037037037035))) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0))) * -0.1111111111111111) + Math.cbrt((x * 0.037037037037037035))) / x;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))) * -0.1111111111111111) + cbrt(Float64(x * 0.037037037037037035))) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] + N[Power[N[(x * 0.037037037037037035), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 6.3%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 6.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 6.3%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 6.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 6.3%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 6.3%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 6.3%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 6.3%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 3.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 3.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 3.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 6.2%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 6.4%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 6.4%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}}{x} \]

   2. distribute-rgt-out 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   3. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   4. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}}{x} \]

7. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 92.7%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   2. expm1-undefine 92.7%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)} - 1\right)} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

9. Applied egg-rr 92.7%

   \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)} - 1\right)} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]
10. Step-by-step derivation

    1. expm1-define 92.7%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

11. Simplified 92.7%

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]
12. Step-by-step derivation

    1. expm1-log1p-u 98.5%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

    2. add-cbrt-cube 98.4%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)}}}{x} \]

    3. pow1/3 91.5%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{{\left(\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{0.3333333333333333}}}{x} \]

    4. pow3 91.5%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333}}{x} \]

    5. unpow-prod-down 91.5%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3} \cdot {0.3333333333333333}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333}}{x} \]

    6. rem-cube-cbrt 91.5%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + {\left(\color{blue}{x} \cdot {0.3333333333333333}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}}{x} \]

    7. metadata-eval 91.5%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + {\left(x \cdot \color{blue}{0.037037037037037035}\right)}^{0.3333333333333333}}{x} \]

13. Applied egg-rr 91.5%

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{{\left(x \cdot 0.037037037037037035\right)}^{0.3333333333333333}}}{x} \]
14. Step-by-step derivation

    1. unpow1/3 98.7%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{x \cdot 0.037037037037037035}}}{x} \]

15. Simplified 98.7%

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{x \cdot 0.037037037037037035}}}{x} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-0.1111111111111111 \cdot {x}^{-0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* -0.1111111111111111 (pow x -0.6666666666666666))
   (* (cbrt x) 0.3333333333333333))
  x))

C

double code(double x) {
	return ((-0.1111111111111111 * pow(x, -0.6666666666666666)) + (cbrt(x) * 0.3333333333333333)) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((-0.1111111111111111 * Math.pow(x, -0.6666666666666666)) + (Math.cbrt(x) * 0.3333333333333333)) / x;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(-0.1111111111111111 * (x ^ -0.6666666666666666)) + Float64(cbrt(x) * 0.3333333333333333)) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 6.3%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 6.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 6.3%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 6.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 6.3%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 6.3%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 6.3%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 6.3%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 3.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 3.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 3.9%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 6.2%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 6.4%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 6.4%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}}{x} \]

   2. distribute-rgt-out 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   3. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   4. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}}{x} \]

7. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   2. pow-flip 98.5%

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   3. pow-pow 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   4. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto \frac{{x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

9. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]

10. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot {x}^{-0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{3 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (* 3.0 (pow (cbrt x) 2.0))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / (3.0 * pow(cbrt(x), 2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / (3.0 * Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(3.0 * (cbrt(x) ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(3.0 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around inf 22.9%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}} + 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt1-in 22.9%

      \[\leadsto \frac{1}{{x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + 1\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}\right)}} \]

   2. metadata-eval 22.9%

      \[\leadsto \frac{1}{{x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}\right)} \]

9. Simplified 22.9%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. /-rgt-identity 22.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}\right)}{1}}} \]

11. Applied egg-rr 23.6%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left({x}^{2} \cdot 3\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{-4}}}{1}}} \]

13. Simplified 97.1%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{3 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) -2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * pow(cbrt(x), -2.0);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.pow(Math.cbrt(x), -2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * (cbrt(x) ^ -2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 6.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 6.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   6. distribute-rgt-out 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   7. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \]

   8. fma-define 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   9. add-exp-log 8.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right)}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   3. +-commutative 8.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   4. associate--l+ 93.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   5. +-inverses 93.1%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   6. metadata-eval 93.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   7. +-commutative 93.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   8. exp-prod 92.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]

6. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around inf 22.9%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}} + 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt1-in 22.9%

      \[\leadsto \frac{1}{{x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + 1\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}\right)}} \]

   2. metadata-eval 22.9%

      \[\leadsto \frac{1}{{x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}\right)} \]

9. Simplified 22.9%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* 22.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}}} \]

    2. add-cbrt-cube 14.3%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\frac{1}{{x}^{2}} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}} \]

    3. frac-times 14.3%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{{x}^{2} \cdot {x}^{2}}} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}} \]

    4. metadata-eval 14.3%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{{x}^{2} \cdot {x}^{2}} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}} \]

    5. pow-prod-up 14.3%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}}} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}} \]

    6. metadata-eval 14.3%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{4}}} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}} \]

    7. cbrt-prod 22.1%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}} \]

    8. *-un-lft-identity 22.1%

       \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}}{\color{blue}{1 \cdot \left(3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}\right)}} \]

    9. times-frac 22.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}}{1} \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}}} \]

    10. pow-flip 22.1%

        \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{\left(-4\right)}}}}{1} \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}} \]

    11. metadata-eval 22.1%

        \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{-4}}}}{1} \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}} \]

    12. pow-flip 22.1%

        \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{x}^{-4}}}{1} \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{\left(-2\right)}}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}} \]

    13. metadata-eval 22.1%

        \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{{x}^{-4}}}{1} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{-2}}}}{3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{4}}}} \]

11. Applied egg-rr 23.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{-4}}}{1} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{-2}}}{\sqrt[3]{{x}^{-4}} \cdot 3}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-rgt-identity 23.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{-4}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{-2}}}{\sqrt[3]{{x}^{-4}} \cdot 3} \]

    2. associate-*r/ 23.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{-4}} \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}}{\sqrt[3]{{x}^{-4}} \cdot 3}} \]

    3. times-frac 23.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{-4}}}{\sqrt[3]{{x}^{-4}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{-2}}}{3}} \]

    4. *-inverses 53.0%

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{-2}}}{3} \]

    5. *-commutative 53.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{-2}}}{3} \cdot 1} \]

    6. associate-*l/ 53.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{-2}} \cdot 1}{3}} \]

    7. associate-/l* 52.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{-2}} \cdot \frac{1}{3}} \]

    8. unpow1/3 49.5%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{-2}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot \frac{1}{3} \]

    9. exp-to-pow 49.7%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(e^{\log x \cdot -2}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{3} \]

    10. *-commutative 49.7%

        \[\leadsto {\left(e^{\color{blue}{-2 \cdot \log x}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \frac{1}{3} \]

    11. exp-prod 89.4%

        \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(-2 \cdot \log x\right) \cdot 0.3333333333333333}} \cdot \frac{1}{3} \]

    12. associate-*l* 89.4%

        \[\leadsto e^{\color{blue}{-2 \cdot \left(\log x \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot \frac{1}{3} \]

    13. rem-log-exp 89.4%

        \[\leadsto e^{-2 \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\log x \cdot 0.3333333333333333}\right)}} \cdot \frac{1}{3} \]

    14. exp-to-pow 89.7%

        \[\leadsto e^{-2 \cdot \log \color{blue}{\left({x}^{0.3333333333333333}\right)}} \cdot \frac{1}{3} \]

    15. unpow1/3 90.5%

        \[\leadsto e^{-2 \cdot \log \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}} \cdot \frac{1}{3} \]

    16. *-commutative 90.5%

        \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(\sqrt[3]{x}\right) \cdot -2}} \cdot \frac{1}{3} \]

    17. exp-to-pow 97.0%

        \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}} \cdot \frac{1}{3} \]

    18. metadata-eval 97.0%

        \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2} \cdot \color{blue}{0.3333333333333333} \]

13. Simplified 97.0%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2} \cdot 0.3333333333333333} \]

14. Final simplification 97.0%

    \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 5: 51.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.3333333333333333 (cbrt (pow x -2.0))))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * cbrt(pow(x, -2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.cbrt(Math.pow(x, -2.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * cbrt((x ^ -2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, -2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 7.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

4. Applied egg-rr 7.4%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

5. Taylor expanded in x around inf 51.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. exp-to-pow 48.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{e^{\log x \cdot 2}}}} \]

   2. *-commutative 48.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{e^{\color{blue}{2 \cdot \log x}}}} \]

   3. rec-exp 50.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{e^{-2 \cdot \log x}}} \]

   4. mul-1-neg 50.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(2 \cdot \log x\right)}}} \]

   5. associate-*r* 50.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\color{blue}{\left(-1 \cdot 2\right) \cdot \log x}}} \]

   6. metadata-eval 50.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\color{blue}{-2} \cdot \log x}} \]

   7. *-commutative 50.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\color{blue}{\log x \cdot -2}}} \]

   8. exp-to-pow 52.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-2}}} \]

7. Simplified 52.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 5.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ 1.0 (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 + cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 + Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 + cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 + N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 1.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-\sqrt[3]{x}\right)} \]

   2. rem-square-sqrt 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}} \]

   3. fabs-sqr 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}\right|} \]

   4. rem-square-sqrt 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{-\sqrt[3]{x}}\right| \]

   5. fabs-neg 5.3%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt[3]{x}\right|} \]

   6. unpow1/3 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right| \]

   7. metadata-eval 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|{x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right| \]

   8. pow-sqr 5.3%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}}\right| \]

   9. fabs-sqr 5.3%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}} \]

   10. pow-sqr 5.3%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   11. metadata-eval 5.3%

       \[\leadsto 1 + {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

   12. unpow1/3 5.3%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

5. Simplified 5.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \sqrt[3]{x}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 4.1% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 6.4%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x}} - \sqrt[3]{x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
5. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024113 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ 1 (+ (* (cbrt (+ x 1)) (cbrt (+ x 1))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1))) (* (cbrt x) (cbrt x)))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))