Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.0% → 97.7%

Time: 12.3s

Alternatives: 9

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \frac{x\_m \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x\_m}^{2}\right)}{\left(1 + x\_m \cdot \left(1 + x\_m \cdot \left(0.5 + x\_m \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) + e^{-x\_m}} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (/
   (* x_m (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (pow x_m 2.0))))
   (+
    (+ 1.0 (* x_m (+ 1.0 (* x_m (+ 0.5 (* x_m 0.16666666666666666))))))
    (exp (- x_m))))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * pow(x_m, 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + exp(-x_m)));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * ((x_m * (2.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x_m ** 2.0d0)))) / ((1.0d0 + (x_m * (1.0d0 + (x_m * (0.5d0 + (x_m * 0.16666666666666666d0)))))) + exp(-x_m)))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * Math.pow(x_m, 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + Math.exp(-x_m)));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * math.pow(x_m, 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + math.exp(-x_m)))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(Float64(x_m * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * (x_m ^ 2.0)))) / Float64(Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(0.5 + Float64(x_m * 0.16666666666666666)))))) + exp(Float64(-x_m)))))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x_m ^ 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + exp(-x_m)));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(N[(x$95$m * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(0.5 + N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Exp[(-x$95$m)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 96.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x\right)\right)\right)} + e^{-x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{x \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)\right) + e^{-x}} \]

6. Simplified 96.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} + e^{-x}} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(x\_m \cdot \left(1 + {x\_m}^{2} \cdot \left({x\_m}^{2} \cdot 0.13333333333333333 - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (*
   x_m
   (+
    1.0
    (*
     (pow x_m 2.0)
     (- (* (pow x_m 2.0) 0.13333333333333333) 0.3333333333333333))))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * (1.0 + (pow(x_m, 2.0) * ((pow(x_m, 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333))));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * (x_m * (1.0d0 + ((x_m ** 2.0d0) * (((x_m ** 2.0d0) * 0.13333333333333333d0) - 0.3333333333333333d0))))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * (1.0 + (Math.pow(x_m, 2.0) * ((Math.pow(x_m, 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333))));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * (x_m * (1.0 + (math.pow(x_m, 2.0) * ((math.pow(x_m, 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333))))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(x_m * Float64(1.0 + Float64((x_m ^ 2.0) * Float64(Float64((x_m ^ 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333)))))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * (x_m * (1.0 + ((x_m ^ 2.0) * (((x_m ^ 2.0) * 0.13333333333333333) - 0.3333333333333333))));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(x$95$m * N[(1.0 + N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)} \]

4. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.13333333333333333 - 0.3333333333333333\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \frac{x\_m \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x\_m}^{2}\right)}{\mathsf{fma}\left(x\_m, x\_m, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (/ (* x_m (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (pow x_m 2.0)))) (fma x_m x_m 2.0))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * pow(x_m, 2.0)))) / fma(x_m, x_m, 2.0));
}

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(Float64(x_m * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * (x_m ^ 2.0)))) / fma(x_m, x_m, 2.0)))
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(N[(x$95$m * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x$95$m * x$95$m + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 9.1%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

   2. unpow2 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

   3. fma-define 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

5. Simplified 9.1%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.6% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \frac{x\_m \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x\_m}^{2}\right)}{\left(1 + x\_m \cdot \left(1 + x\_m \cdot \left(0.5 + x\_m \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) + \left(1 + x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \left(0.5 + x\_m \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (/
   (* x_m (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (pow x_m 2.0))))
   (+
    (+ 1.0 (* x_m (+ 1.0 (* x_m (+ 0.5 (* x_m 0.16666666666666666))))))
    (+ 1.0 (* x_m (+ (* x_m (+ 0.5 (* x_m -0.16666666666666666))) -1.0)))))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * pow(x_m, 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + (1.0 + (x_m * ((x_m * (0.5 + (x_m * -0.16666666666666666))) + -1.0)))));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * ((x_m * (2.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x_m ** 2.0d0)))) / ((1.0d0 + (x_m * (1.0d0 + (x_m * (0.5d0 + (x_m * 0.16666666666666666d0)))))) + (1.0d0 + (x_m * ((x_m * (0.5d0 + (x_m * (-0.16666666666666666d0)))) + (-1.0d0))))))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * Math.pow(x_m, 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + (1.0 + (x_m * ((x_m * (0.5 + (x_m * -0.16666666666666666))) + -1.0)))));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * math.pow(x_m, 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + (1.0 + (x_m * ((x_m * (0.5 + (x_m * -0.16666666666666666))) + -1.0)))))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(Float64(x_m * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * (x_m ^ 2.0)))) / Float64(Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(0.5 + Float64(x_m * 0.16666666666666666)))))) + Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(Float64(x_m * Float64(0.5 + Float64(x_m * -0.16666666666666666))) + -1.0))))))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x_m ^ 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + (1.0 + (x_m * ((x_m * (0.5 + (x_m * -0.16666666666666666))) + -1.0)))));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(N[(x$95$m * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(0.5 + N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(N[(x$95$m * N[(0.5 + N[(x$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 96.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x\right)\right)\right)} + e^{-x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{x \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)\right) + e^{-x}} \]

6. Simplified 96.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} + e^{-x}} \]

7. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + -0.16666666666666666 \cdot x\right) - 1\right)\right)}} \]

8. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.5% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \frac{x\_m \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x\_m}^{2}\right)}{\left(1 + x\_m \cdot \left(1 + x\_m \cdot \left(0.5 + x\_m \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) + \left(1 + x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.5 + -1\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (/
   (* x_m (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (pow x_m 2.0))))
   (+
    (+ 1.0 (* x_m (+ 1.0 (* x_m (+ 0.5 (* x_m 0.16666666666666666))))))
    (+ 1.0 (* x_m (+ (* x_m 0.5) -1.0)))))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * pow(x_m, 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + (1.0 + (x_m * ((x_m * 0.5) + -1.0)))));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * ((x_m * (2.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x_m ** 2.0d0)))) / ((1.0d0 + (x_m * (1.0d0 + (x_m * (0.5d0 + (x_m * 0.16666666666666666d0)))))) + (1.0d0 + (x_m * ((x_m * 0.5d0) + (-1.0d0))))))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * Math.pow(x_m, 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + (1.0 + (x_m * ((x_m * 0.5) + -1.0)))));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * math.pow(x_m, 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + (1.0 + (x_m * ((x_m * 0.5) + -1.0)))))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(Float64(x_m * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * (x_m ^ 2.0)))) / Float64(Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(0.5 + Float64(x_m * 0.16666666666666666)))))) + Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(Float64(x_m * 0.5) + -1.0))))))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * ((x_m * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x_m ^ 2.0)))) / ((1.0 + (x_m * (1.0 + (x_m * (0.5 + (x_m * 0.16666666666666666)))))) + (1.0 + (x_m * ((x_m * 0.5) + -1.0)))));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(N[(x$95$m * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(0.5 + N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(N[(x$95$m * 0.5), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 96.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x\right)\right)\right)} + e^{-x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{x \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)\right) + e^{-x}} \]

6. Simplified 96.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} + e^{-x}} \]

7. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.5 \cdot x - 1\right)\right)}} \]

8. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5 + -1\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.4% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(x\_m \cdot \left(1 + {x\_m}^{2} \cdot \left(x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.17083333333333334 - 0.020833333333333332\right) - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (*
   x_m
   (+
    1.0
    (*
     (pow x_m 2.0)
     (-
      (* x_m (- (* x_m 0.17083333333333334) 0.020833333333333332))
      0.3333333333333333))))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * (1.0 + (pow(x_m, 2.0) * ((x_m * ((x_m * 0.17083333333333334) - 0.020833333333333332)) - 0.3333333333333333))));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * (x_m * (1.0d0 + ((x_m ** 2.0d0) * ((x_m * ((x_m * 0.17083333333333334d0) - 0.020833333333333332d0)) - 0.3333333333333333d0))))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * (1.0 + (Math.pow(x_m, 2.0) * ((x_m * ((x_m * 0.17083333333333334) - 0.020833333333333332)) - 0.3333333333333333))));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * (x_m * (1.0 + (math.pow(x_m, 2.0) * ((x_m * ((x_m * 0.17083333333333334) - 0.020833333333333332)) - 0.3333333333333333))))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(x_m * Float64(1.0 + Float64((x_m ^ 2.0) * Float64(Float64(x_m * Float64(Float64(x_m * 0.17083333333333334) - 0.020833333333333332)) - 0.3333333333333333)))))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * (x_m * (1.0 + ((x_m ^ 2.0) * ((x_m * ((x_m * 0.17083333333333334) - 0.020833333333333332)) - 0.3333333333333333))));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(x$95$m * N[(1.0 + N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(x$95$m * N[(N[(x$95$m * 0.17083333333333334), $MachinePrecision] - 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 9.1%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

   2. unpow2 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

   3. fma-define 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

5. Simplified 9.1%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 9.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x\right)\right)\right)} - e^{-x}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{x \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)\right) + e^{-x}} \]

8. Simplified 9.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} - e^{-x}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(x \cdot \left(0.17083333333333334 \cdot x - 0.020833333333333332\right) - 0.3333333333333333\right)\right)} \]

10. Final simplification 96.3%

    \[\leadsto x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.17083333333333334 - 0.020833333333333332\right) - 0.3333333333333333\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.3% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(x\_m + -0.3333333333333333 \cdot {x\_m}^{3}\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (* x_s (+ x_m (* -0.3333333333333333 (pow x_m 3.0)))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m + (-0.3333333333333333 * pow(x_m, 3.0)));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * (x_m + ((-0.3333333333333333d0) * (x_m ** 3.0d0)))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m + (-0.3333333333333333 * Math.pow(x_m, 3.0)));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * (x_m + (-0.3333333333333333 * math.pow(x_m, 3.0)))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(x_m + Float64(-0.3333333333333333 * (x_m ^ 3.0))))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * (x_m + (-0.3333333333333333 * (x_m ^ 3.0)));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(x$95$m + N[(-0.3333333333333333 * N[Power[x$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x} \]

   2. *-lft-identity 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x \]

   3. +-commutative 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + x} \]

   4. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + x \]

   5. associate-*l* 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + x \]

   6. fma-define 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot x, x\right)} \]

   7. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.13333333333333333} - 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   8. fma-neg 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right)}, {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   9. metadata-eval 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right), {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   10. pow-plus 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, x\right) \]

   11. metadata-eval 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), {x}^{\color{blue}{3}}, x\right) \]

5. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), {x}^{3}, x\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

   2. *-lft-identity 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   3. associate-*r* 96.2%

      \[\leadsto x + \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} \]

   4. unpow2 96.2%

      \[\leadsto x + -0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) \]

   5. unpow3 96.2%

      \[\leadsto x + -0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{3}} \]

8. Simplified 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.0% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot x\_m \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m) :precision binary64 (* x_s x_m))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * x_m;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * x_m
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * x_m;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * x_m

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * x_m)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * x_m;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * x$95$m), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 5.7% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m) :precision binary64 (* x_s 2.0))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * 2.0;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * 2.0d0
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * 2.0;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * 2.0

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * 2.0)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * 2.0;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 96.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x\right)\right)\right)} + e^{-x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{x \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)\right) + e^{-x}} \]

6. Simplified 96.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}{\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} + e^{-x}} \]

7. Taylor expanded in x around inf 4.0%

   \[\leadsto \color{blue}{2} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024112 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))