bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 51.9% → 97.0%

Time: 21.8s

Alternatives: 6

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 1.3610396578199482e+211

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 51.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (fma 0.0003527336860670194 (pow x 2.0) -0.005555555555555556) (pow x 4.0))
  (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return (fma(0.0003527336860670194, pow(x, 2.0), -0.005555555555555556) * pow(x, 4.0)) + (pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(fma(0.0003527336860670194, (x ^ 2.0), -0.005555555555555556) * (x ^ 4.0)) + Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. +-commutative 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   3. *-commutative 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   4. associate-*l* 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   5. fmm-def 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   6. metadata-eval 97.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   7. pow-prod-up 97.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right) \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   8. metadata-eval 97.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{\color{blue}{4}} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   9. *-commutative 97.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

5. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

6. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{4} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* 0.0003527336860670194 (pow x 2.0)) 0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * pow(x, 2.0)) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 2.0d0)) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 2.0)) - 0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 2.0)) - 0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 2.0)) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * ((0.0003527336860670194 * (x ^ 2.0)) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]

4. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma 0.16666666666666666 (pow x 2.0) (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return fma(0.16666666666666666, pow(x, 2.0), (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)));
}

Julia

function code(x)
	return fma(0.16666666666666666, (x ^ 2.0), Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-define 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. associate-*l* 96.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   4. pow-sqr 96.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right) \]

   5. metadata-eval 96.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \]

5. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

6. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.005555555555555556))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]

6. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.6% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} \]
5. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   2. expm1-undefine 55.7%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} - 1} \]

   3. log1p-undefine 55.7%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} - 1 \]

   4. rem-exp-log 55.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} - 1 \]

   5. +-commutative 55.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + 1\right)} - 1 \]

6. Applied egg-rr 55.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + 1\right) - 1} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \left(1 - 1\right)} \]

   2. metadata-eval 96.3%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{0} \]

   3. +-rgt-identity 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

   4. *-commutative 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   5. unpow2 96.3%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   6. associate-*r* 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Applied egg-rr 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

9. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
10. Add Preprocessing

Developer target: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024112 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))