Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.0% → 98.2%

Time: 9.2s

Alternatives: 7

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t\_0}{e^{x} + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 98.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x\_m}\\ t_1 := \frac{e^{x\_m} - t\_0}{e^{x\_m} + t\_0}\\ x\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_1 \leq 0.002:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot {x\_m}^{2} - 0.3333333333333333, {x\_m}^{3}, x\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x_m))) (t_1 (/ (- (exp x_m) t_0) (+ (exp x_m) t_0))))
   (*
    x_s
    (if (<= t_1 0.002)
      (fma
       (- (* 0.13333333333333333 (pow x_m 2.0)) 0.3333333333333333)
       (pow x_m 3.0)
       x_m)
      t_1))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	double t_0 = exp(-x_m);
	double t_1 = (exp(x_m) - t_0) / (exp(x_m) + t_0);
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.002) {
		tmp = fma(((0.13333333333333333 * pow(x_m, 2.0)) - 0.3333333333333333), pow(x_m, 3.0), x_m);
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return x_s * tmp;
}

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	t_0 = exp(Float64(-x_m))
	t_1 = Float64(Float64(exp(x_m) - t_0) / Float64(exp(x_m) + t_0))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= 0.002)
		tmp = fma(Float64(Float64(0.13333333333333333 * (x_m ^ 2.0)) - 0.3333333333333333), (x_m ^ 3.0), x_m);
	else
		tmp = t_1;
	end
	return Float64(x_s * tmp)
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x$95$m)], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[Exp[x$95$m], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x$95$m], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(x$95$s * If[LessEqual[t$95$1, 0.002], N[(N[(N[(0.13333333333333333 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[Power[x$95$m, 3.0], $MachinePrecision] + x$95$m), $MachinePrecision], t$95$1]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) (+.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))) < 2e-3

   1. Initial program 10.1%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 99.0%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) + 1\right)} \]

      2. distribute-rgt-in 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x} \]

      3. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x \]

      4. associate-*l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x \]

      5. *-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right) + \color{blue}{x} \]

      6. fma-define 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot x, x\right)} \]

      7. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.13333333333333333} - 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

      8. fmm-def 99.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right)}, {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

      9. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right), {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

      10. pow-plus 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, x\right) \]

      11. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), {x}^{\color{blue}{3}}, x\right) \]

   5. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), {x}^{3}, x\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333}, {x}^{3}, x\right) \]

   if 2e-3 < (/.f64 (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) (+.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))))

   1. Initial program 42.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \leq 0.002:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333, {x}^{3}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot {x\_m}^{2} - 0.3333333333333333, {x\_m}^{3}, x\_m\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (fma
   (- (* 0.13333333333333333 (pow x_m 2.0)) 0.3333333333333333)
   (pow x_m 3.0)
   x_m)))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * fma(((0.13333333333333333 * pow(x_m, 2.0)) - 0.3333333333333333), pow(x_m, 3.0), x_m);
}

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * fma(Float64(Float64(0.13333333333333333 * (x_m ^ 2.0)) - 0.3333333333333333), (x_m ^ 3.0), x_m))
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(N[(N[(0.13333333333333333 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[Power[x$95$m, 3.0], $MachinePrecision] + x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.7%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) + 1\right)} \]

   2. distribute-rgt-in 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x} \]

   3. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x \]

   4. associate-*l* 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x \]

   5. *-lft-identity 96.7%

      \[\leadsto \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right) + \color{blue}{x} \]

   6. fma-define 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot x, x\right)} \]

   7. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.13333333333333333} - 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   8. fmm-def 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right)}, {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   9. metadata-eval 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right), {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   10. pow-plus 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, x\right) \]

   11. metadata-eval 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), {x}^{\color{blue}{3}}, x\right) \]

5. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), {x}^{3}, x\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333}, {x}^{3}, x\right) \]

7. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333, {x}^{3}, x\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(x\_m \cdot \left(1 + {x\_m}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x\_m}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (*
   x_m
   (+
    1.0
    (*
     (pow x_m 2.0)
     (- (* 0.13333333333333333 (pow x_m 2.0)) 0.3333333333333333))))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * (1.0 + (pow(x_m, 2.0) * ((0.13333333333333333 * pow(x_m, 2.0)) - 0.3333333333333333))));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * (x_m * (1.0d0 + ((x_m ** 2.0d0) * ((0.13333333333333333d0 * (x_m ** 2.0d0)) - 0.3333333333333333d0))))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * (1.0 + (Math.pow(x_m, 2.0) * ((0.13333333333333333 * Math.pow(x_m, 2.0)) - 0.3333333333333333))));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * (x_m * (1.0 + (math.pow(x_m, 2.0) * ((0.13333333333333333 * math.pow(x_m, 2.0)) - 0.3333333333333333))))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(x_m * Float64(1.0 + Float64((x_m ^ 2.0) * Float64(Float64(0.13333333333333333 * (x_m ^ 2.0)) - 0.3333333333333333)))))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * (x_m * (1.0 + ((x_m ^ 2.0) * ((0.13333333333333333 * (x_m ^ 2.0)) - 0.3333333333333333))));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(x$95$m * N[(1.0 + N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(0.13333333333333333 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)} \]

4. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \frac{x\_m \cdot \left(2 + {x\_m}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{\mathsf{fma}\left(x\_m, x\_m, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (/ (* x_m (+ 2.0 (* (pow x_m 2.0) 0.3333333333333333))) (fma x_m x_m 2.0))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * (2.0 + (pow(x_m, 2.0) * 0.3333333333333333))) / fma(x_m, x_m, 2.0));
}

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(Float64(x_m * Float64(2.0 + Float64((x_m ^ 2.0) * 0.3333333333333333))) / fma(x_m, x_m, 2.0)))
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(N[(x$95$m * N[(2.0 + N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x$95$m * x$95$m + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 9.1%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

   2. unpow2 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

   3. fma-define 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

5. Simplified 9.1%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

7. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.3% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(x\_m + {x\_m}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (* x_s (+ x_m (* (pow x_m 3.0) -0.3333333333333333))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m + (pow(x_m, 3.0) * -0.3333333333333333));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * (x_m + ((x_m ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m + (Math.pow(x_m, 3.0) * -0.3333333333333333));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * (x_m + (math.pow(x_m, 3.0) * -0.3333333333333333))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(x_m + Float64((x_m ^ 3.0) * -0.3333333333333333)))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * (x_m + ((x_m ^ 3.0) * -0.3333333333333333));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(x$95$m + N[(N[Power[x$95$m, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 96.7%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) + 1\right)} \]

   2. distribute-rgt-in 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x} \]

   3. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x \]

   4. associate-*l* 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x \]

   5. *-lft-identity 96.7%

      \[\leadsto \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right) + \color{blue}{x} \]

   6. fma-define 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot x, x\right)} \]

   7. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.13333333333333333} - 0.3333333333333333, {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   8. fmm-def 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right)}, {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   9. metadata-eval 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right), {x}^{2} \cdot x, x\right) \]

   10. pow-plus 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, x\right) \]

   11. metadata-eval 96.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), {x}^{\color{blue}{3}}, x\right) \]

5. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.13333333333333333, -0.3333333333333333\right), {x}^{3}, x\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

   2. *-lft-identity 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

   3. associate-*r* 96.2%

      \[\leadsto x + \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} \]

   4. unpow2 96.2%

      \[\leadsto x + -0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) \]

   5. unpow3 96.2%

      \[\leadsto x + -0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{3}} \]

8. Simplified 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \]

9. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 5.7% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot 0.75 \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m) :precision binary64 (* x_s 0.75))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * 0.75;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * 0.75d0
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * 0.75;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * 0.75

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * 0.75)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * 0.75;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * 0.75), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 9.1%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

   2. unpow2 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

   3. fma-define 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

5. Simplified 9.1%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

7. Applied egg-rr 3.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1.5}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.75} \]

9. Final simplification 4.1%

   \[\leadsto 0.75 \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.0% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot x\_m \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m) :precision binary64 (* x_s x_m))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * x_m;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * x_m
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * x_m;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * x_m

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * x_m)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * x_m;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * x$95$m), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

4. Final simplification 95.8%

   \[\leadsto x \]
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024112 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))