bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 53.0% → 97.5%

Time: 20.9s

Alternatives: 8

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 108624639857119790.0

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 53.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x\_m}{x\_m} \leq 1.005:\\ \;\;\;\;x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \mathsf{fma}\left({x\_m}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x\_m}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \sinh x\_m - \log x\_m\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x_m) x_m) 1.005)
   (*
    x_m
    (*
     x_m
     (fma
      (pow x_m 2.0)
      (fma 0.0003527336860670194 (pow x_m 2.0) -0.005555555555555556)
      0.16666666666666666)))
   (- (log (sinh x_m)) (log x_m))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if ((sinh(x_m) / x_m) <= 1.005) {
		tmp = x_m * (x_m * fma(pow(x_m, 2.0), fma(0.0003527336860670194, pow(x_m, 2.0), -0.005555555555555556), 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = log(sinh(x_m)) - log(x_m);
	}
	return tmp;
}

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x_m) / x_m) <= 1.005)
		tmp = Float64(x_m * Float64(x_m * fma((x_m ^ 2.0), fma(0.0003527336860670194, (x_m ^ 2.0), -0.005555555555555556), 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(log(sinh(x_m)) - log(x_m));
	end
	return tmp
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision], 1.005], N[(x$95$m * N[(x$95$m * N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Log[N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Log[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0049999999999999

   1. Initial program 51.0%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}} \]

      2. pow2 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-prod 99.6%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 99.6%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

      5. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

      6. pow1 99.6%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

      7. +-commutative 99.6%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

      8. fma-define 99.6%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

      9. fma-neg 99.6%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right)}, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

      10. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

   5. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

      2. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right)} \]

      3. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \]

      4. swap-sqr 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      5. add-sqr-sqrt 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      6. fma-undefine 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      7. pow2 99.7%

         \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      8. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, x \cdot x, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right) + 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      9. fma-neg 99.7%

         \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)} + 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      10. +-commutative 99.7%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      11. associate-*r* 99.7%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

   7. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

   if 1.0049999999999999 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 76.8%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. log-div 44.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \sinh x - \log x} \]

      2. sub-neg 44.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \sinh x + \left(-\log x\right)} \]

   4. Applied egg-rr 44.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \sinh x + \left(-\log x\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 44.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \sinh x - \log x} \]

   6. Simplified 44.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \sinh x - \log x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.005:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \sinh x - \log x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x\_m}{x\_m} \leq 1.005:\\ \;\;\;\;{x\_m}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right) - 0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \sinh x\_m - \log x\_m\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x_m) x_m) 1.005)
   (*
    (pow x_m 2.0)
    (+
     0.16666666666666666
     (*
      (* x_m x_m)
      (- (* 0.0003527336860670194 (* x_m x_m)) 0.005555555555555556))))
   (- (log (sinh x_m)) (log x_m))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if ((sinh(x_m) / x_m) <= 1.005) {
		tmp = pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = log(sinh(x_m)) - log(x_m);
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if ((sinh(x_m) / x_m) <= 1.005d0) then
        tmp = (x_m ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194d0 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556d0)))
    else
        tmp = log(sinh(x_m)) - log(x_m)
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double tmp;
	if ((Math.sinh(x_m) / x_m) <= 1.005) {
		tmp = Math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = Math.log(Math.sinh(x_m)) - Math.log(x_m);
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	tmp = 0
	if (math.sinh(x_m) / x_m) <= 1.005:
		tmp = math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)))
	else:
		tmp = math.log(math.sinh(x_m)) - math.log(x_m)
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x_m) / x_m) <= 1.005)
		tmp = Float64((x_m ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(Float64(0.0003527336860670194 * Float64(x_m * x_m)) - 0.005555555555555556))));
	else
		tmp = Float64(log(sinh(x_m)) - log(x_m));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	tmp = 0.0;
	if ((sinh(x_m) / x_m) <= 1.005)
		tmp = (x_m ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
	else
		tmp = log(sinh(x_m)) - log(x_m);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision], 1.005], N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(0.0003527336860670194 * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Log[N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Log[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0049999999999999

   1. Initial program 51.0%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.7%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.7%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   if 1.0049999999999999 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 76.8%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. log-div 44.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \sinh x - \log x} \]

      2. sub-neg 44.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \sinh x + \left(-\log x\right)} \]

   4. Applied egg-rr 44.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \sinh x + \left(-\log x\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 44.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \sinh x - \log x} \]

   6. Simplified 44.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \sinh x - \log x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x\_m}{x\_m} \leq 1.005:\\ \;\;\;\;{x\_m}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right) - 0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 - \log \left(\frac{x\_m}{\sinh x\_m} \cdot e\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x_m) x_m) 1.005)
   (*
    (pow x_m 2.0)
    (+
     0.16666666666666666
     (*
      (* x_m x_m)
      (- (* 0.0003527336860670194 (* x_m x_m)) 0.005555555555555556))))
   (- 1.0 (log (* (/ x_m (sinh x_m)) E)))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double tmp;
	if ((sinh(x_m) / x_m) <= 1.005) {
		tmp = pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = 1.0 - log(((x_m / sinh(x_m)) * ((double) M_E)));
	}
	return tmp;
}

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double tmp;
	if ((Math.sinh(x_m) / x_m) <= 1.005) {
		tmp = Math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = 1.0 - Math.log(((x_m / Math.sinh(x_m)) * Math.E));
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	tmp = 0
	if (math.sinh(x_m) / x_m) <= 1.005:
		tmp = math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)))
	else:
		tmp = 1.0 - math.log(((x_m / math.sinh(x_m)) * math.e))
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x_m) / x_m) <= 1.005)
		tmp = Float64((x_m ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(Float64(0.0003527336860670194 * Float64(x_m * x_m)) - 0.005555555555555556))));
	else
		tmp = Float64(1.0 - log(Float64(Float64(x_m / sinh(x_m)) * exp(1))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	tmp = 0.0;
	if ((sinh(x_m) / x_m) <= 1.005)
		tmp = (x_m ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
	else
		tmp = 1.0 - log(((x_m / sinh(x_m)) * 2.71828182845904523536));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision], 1.005], N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(0.0003527336860670194 * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 - N[Log[N[(N[(x$95$m / N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * E), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0049999999999999

   1. Initial program 51.0%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.7%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.7%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   if 1.0049999999999999 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 76.8%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num 76.6%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 76.8%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 76.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 31.6%

         \[\leadsto -\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\right)\right)} \]

      2. expm1-undefine 31.5%

         \[\leadsto -\color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\right)} - 1\right)} \]

      3. log1p-undefine 31.5%

         \[\leadsto -\left(e^{\color{blue}{\log \left(1 + \log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\right)}} - 1\right) \]

      4. clear-num 31.8%

         \[\leadsto -\left(e^{\log \left(1 + \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{\sinh x}{x}}\right)}\right)} - 1\right) \]

      5. log-rec 32.0%

         \[\leadsto -\left(e^{\log \left(1 + \color{blue}{\left(-\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}\right)} - 1\right) \]

      6. sub-neg 32.0%

         \[\leadsto -\left(e^{\log \color{blue}{\left(1 - \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}} - 1\right) \]

      7. add-exp-log 77.2%

         \[\leadsto -\left(\color{blue}{\left(1 - \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1\right) \]

      8. sub-neg 77.2%

         \[\leadsto -\left(\color{blue}{\left(1 + \left(-\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

      9. log-rec 77.0%

         \[\leadsto -\left(\left(1 + \color{blue}{\log \left(\frac{1}{\frac{\sinh x}{x}}\right)}\right) - 1\right) \]

      10. clear-num 76.6%

          \[\leadsto -\left(\left(1 + \log \color{blue}{\left(\frac{x}{\sinh x}\right)}\right) - 1\right) \]

   6. Applied egg-rr 76.6%

      \[\leadsto -\color{blue}{\left(\left(1 + \log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 76.6%

         \[\leadsto -\left(\color{blue}{\left(\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right) + 1\right)} - 1\right) \]

      2. add-log-exp 77.0%

         \[\leadsto -\left(\color{blue}{\log \left(e^{\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right) + 1}\right)} - 1\right) \]

      3. exp-sum 77.0%

         \[\leadsto -\left(\log \color{blue}{\left(e^{\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \cdot e^{1}\right)} - 1\right) \]

      4. add-exp-log 77.0%

         \[\leadsto -\left(\log \left(\color{blue}{\frac{x}{\sinh x}} \cdot e^{1}\right) - 1\right) \]

   8. Applied egg-rr 77.0%

      \[\leadsto -\left(\color{blue}{\log \left(\frac{x}{\sinh x} \cdot e^{1}\right)} - 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. exp-1-e 77.0%

         \[\leadsto -\left(\log \left(\frac{x}{\sinh x} \cdot \color{blue}{e}\right) - 1\right) \]

   10. Simplified 77.0%

       \[\leadsto -\left(\color{blue}{\log \left(\frac{x}{\sinh x} \cdot e\right)} - 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.005:\\ \;\;\;\;{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 - \log \left(\frac{x}{\sinh x} \cdot e\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x\_m}{x\_m}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 1.005:\\ \;\;\;\;{x\_m}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right) - 0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x_m) x_m)))
   (if (<= t_0 1.005)
     (*
      (pow x_m 2.0)
      (+
       0.16666666666666666
       (*
        (* x_m x_m)
        (- (* 0.0003527336860670194 (* x_m x_m)) 0.005555555555555556))))
     (log t_0))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	double t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.005) {
		tmp = pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x_m) / x_m
    if (t_0 <= 1.005d0) then
        tmp = (x_m ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194d0 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556d0)))
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	double t_0 = Math.sinh(x_m) / x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.005) {
		tmp = Math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	t_0 = math.sinh(x_m) / x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.005:
		tmp = math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)))
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	t_0 = Float64(sinh(x_m) / x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.005)
		tmp = Float64((x_m ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(Float64(0.0003527336860670194 * Float64(x_m * x_m)) - 0.005555555555555556))));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp_2 = code(x_m)
	t_0 = sinh(x_m) / x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.005)
		tmp = (x_m ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x$95$m], $MachinePrecision] / x$95$m), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.005], N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(0.0003527336860670194 * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0049999999999999

   1. Initial program 51.0%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.7%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.7%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]

   if 1.0049999999999999 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 76.8%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ {x\_m}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (*
  (pow x_m 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (* x_m x_m)
    (- (* 0.0003527336860670194 (* x_m x_m)) 0.005555555555555556)))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = (x_m ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194d0 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return Math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return math.pow(x_m, 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)))

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64((x_m ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(Float64(0.0003527336860670194 * Float64(x_m * x_m)) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = (x_m ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x_m * x_m) * ((0.0003527336860670194 * (x_m * x_m)) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(0.0003527336860670194 * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]

5. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.0%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.005555555555555556\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \left(0.16666666666666666 + {x\_m}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_m
  (* x_m (+ 0.16666666666666666 (* (pow x_m 2.0) -0.005555555555555556)))))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return x_m * (x_m * (0.16666666666666666 + (pow(x_m, 2.0) * -0.005555555555555556)));
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_m * (x_m * (0.16666666666666666d0 + ((x_m ** 2.0d0) * (-0.005555555555555556d0))))
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return x_m * (x_m * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x_m, 2.0) * -0.005555555555555556)));
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return x_m * (x_m * (0.16666666666666666 + (math.pow(x_m, 2.0) * -0.005555555555555556)))

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(x_m * Float64(x_m * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x_m ^ 2.0) * -0.005555555555555556))))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = x_m * (x_m * (0.16666666666666666 + ((x_m ^ 2.0) * -0.005555555555555556)));
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(x$95$m * N[(x$95$m * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}} \]

   2. pow2 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}\right)}^{2}} \]

   3. sqrt-prod 96.8%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 96.8%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   5. metadata-eval 96.8%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   6. pow1 96.8%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   7. +-commutative 96.8%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   8. fma-define 96.8%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   9. fma-neg 96.8%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right)}, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

   10. metadata-eval 96.8%

       \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

5. Applied egg-rr 96.8%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   2. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right)} \]

   3. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \]

   4. swap-sqr 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   5. add-sqr-sqrt 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   6. fma-undefine 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   7. pow2 97.0%

      \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   8. metadata-eval 97.0%

      \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, x \cdot x, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right) + 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   9. fma-neg 97.0%

      \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)} + 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   10. +-commutative 97.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   11. associate-*r* 97.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot x \]

9. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.0% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m) :precision binary64 (* x_m (* x_m 0.16666666666666666)))

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_m * (x_m * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return x_m * (x_m * 0.16666666666666666)

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return Float64(x_m * Float64(x_m * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = x_m * (x_m * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}} \]

   2. pow2 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}\right)}^{2}} \]

   3. sqrt-prod 96.8%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 96.8%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   5. metadata-eval 96.8%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   6. pow1 96.8%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   7. +-commutative 96.8%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   8. fma-define 96.8%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   9. fma-neg 96.8%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right)}, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

   10. metadata-eval 96.8%

       \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

5. Applied egg-rr 96.8%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   2. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right)} \]

   3. *-commutative 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \]

   4. swap-sqr 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   5. add-sqr-sqrt 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   6. fma-undefine 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   7. pow2 97.0%

      \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   8. metadata-eval 97.0%

      \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, x \cdot x, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right) + 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   9. fma-neg 97.0%

      \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)} + 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   10. +-commutative 97.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   11. associate-*r* 97.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.005555555555555556\right)\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Taylor expanded in x around 0 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \cdot x \]

9. Final simplification 96.4%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 8: 50.5% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x_m = \left|x\right| \\ 0 \end{array} \]

FPCore

x_m = (fabs.f64 x)
(FPCore (x_m) :precision binary64 0.0)

C

x_m = fabs(x);
double code(double x_m) {
	return 0.0;
}

Fortran

x_m = abs(x)
real(8) function code(x_m)
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = 0.0d0
end function

Java

x_m = Math.abs(x);
public static double code(double x_m) {
	return 0.0;
}

Python

x_m = math.fabs(x)
def code(x_m):
	return 0.0

Julia

x_m = abs(x)
function code(x_m)
	return 0.0
end

MATLAB

x_m = abs(x);
function tmp = code(x_m)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

x_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
code[x$95$m_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 51.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 48.5%

   \[\leadsto \log \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 48.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0} \]

5. Applied egg-rr 48.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 97.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024110 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))