bug500 (missed optimization)

Percentage Accurate: 70.5% → 98.9%

Time: 7.5s

Alternatives: 6

Speedup: 1.0×

Specification

\[-1000 < x \land x < 1000\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x - x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (sin x) x))

C

double code(double x) {
	return sin(x) - x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin(x) - x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin(x) - x;
}

Python

def code(x):
	return math.sin(x) - x

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(x) - x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin(x) - x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]

Initial Program: 70.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x - x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (sin x) x))

C

double code(double x) {
	return sin(x) - x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin(x) - x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin(x) - x;
}

Python

def code(x):
	return math.sin(x) - x

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(x) - x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin(x) - x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\\ \left({\left({x}^{2} \cdot t\_0\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{3}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, {t\_0}^{2}, 0.027777777777777776 + {x}^{2} \cdot \left(t\_0 \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma (pow x 2.0) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333)))
   (*
    (+ (pow (* (pow x 2.0) t_0) 3.0) -0.004629629629629629)
    (/
     (pow x 3.0)
     (fma
      (pow x 4.0)
      (pow t_0 2.0)
      (+ 0.027777777777777776 (* (pow x 2.0) (* t_0 0.16666666666666666))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = fma(pow(x, 2.0), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333);
	return (pow((pow(x, 2.0) * t_0), 3.0) + -0.004629629629629629) * (pow(x, 3.0) / fma(pow(x, 4.0), pow(t_0, 2.0), (0.027777777777777776 + (pow(x, 2.0) * (t_0 * 0.16666666666666666)))));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = fma((x ^ 2.0), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)
	return Float64(Float64((Float64((x ^ 2.0) * t_0) ^ 3.0) + -0.004629629629629629) * Float64((x ^ 3.0) / fma((x ^ 4.0), (t_0 ^ 2.0), Float64(0.027777777777777776 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(t_0 * 0.16666666666666666))))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Power[N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] + -0.004629629629629629), $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] / N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(0.027777777777777776 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right)\right)} - 0.16666666666666666\right) \]

   2. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\left(\color{blue}{0.008333333333333333 \cdot {x}^{2}} + {x}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right)\right) - 0.16666666666666666\right) \]

   3. associate--l+ 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   4. fma-define 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right)} \]

   5. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} - 0.16666666666666666\right) \]

   6. associate-*l* 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} - 0.16666666666666666\right) \]

   7. fmm-def 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, {x}^{2} \cdot {x}^{2}, -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   8. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}, -0.16666666666666666\right)\right) \]

   9. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, {x}^{\color{blue}{4}}, -0.16666666666666666\right)\right) \]

   10. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, {x}^{4}, \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, {x}^{4}, -0.16666666666666666\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{3} \cdot \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right)}{{x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{2} + \left(0.027777777777777776 + {x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right) \cdot {x}^{3}}}{{x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{2} + \left(0.027777777777777776 + {x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   2. associate-/l* 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{3}}{{x}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{2} + \left(0.027777777777777776 + {x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   3. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{3}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{2}, 0.027777777777777776 + {x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   4. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{3}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{2}, 0.027777777777777776 + \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

   5. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{3}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{2}, 0.027777777777777776 + \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(--0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   6. distribute-rgt-neg-in 99.5%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{3}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{2}, 0.027777777777777776 + \color{blue}{\left(-\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   7. sub-neg 99.5%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{3}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{2}, \color{blue}{0.027777777777777776 - \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   8. sub-neg 99.5%

      \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{3}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{2}, \color{blue}{0.027777777777777776 + \left(-\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)} \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{3}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{2}, 0.027777777777777776 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)\right)}} \]

10. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{3} + -0.004629629629629629\right) \cdot \frac{{x}^{3}}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, {\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)}^{2}, 0.027777777777777776 + {x}^{2} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.008333333333333333 + \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{4} - 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 3.0)
  (+
   (* (pow x 2.0) 0.008333333333333333)
   (- (* -0.0001984126984126984 (pow x 4.0)) 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 3.0) * ((pow(x, 2.0) * 0.008333333333333333) + ((-0.0001984126984126984 * pow(x, 4.0)) - 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 3.0d0) * (((x ** 2.0d0) * 0.008333333333333333d0) + (((-0.0001984126984126984d0) * (x ** 4.0d0)) - 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 3.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * 0.008333333333333333) + ((-0.0001984126984126984 * Math.pow(x, 4.0)) - 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 3.0) * ((math.pow(x, 2.0) * 0.008333333333333333) + ((-0.0001984126984126984 * math.pow(x, 4.0)) - 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 3.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.008333333333333333) + Float64(Float64(-0.0001984126984126984 * (x ^ 4.0)) - 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 3.0) * (((x ^ 2.0) * 0.008333333333333333) + ((-0.0001984126984126984 * (x ^ 4.0)) - 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right)\right)} - 0.16666666666666666\right) \]

   2. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\left(\color{blue}{0.008333333333333333 \cdot {x}^{2}} + {x}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right)\right) - 0.16666666666666666\right) \]

   3. associate--l+ 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   4. fma-define 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right)} \]

   5. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} - 0.16666666666666666\right) \]

   6. associate-*l* 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} - 0.16666666666666666\right) \]

   7. fmm-def 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, {x}^{2} \cdot {x}^{2}, -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   8. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}, -0.16666666666666666\right)\right) \]

   9. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, {x}^{\color{blue}{4}}, -0.16666666666666666\right)\right) \]

   10. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, {x}^{4}, \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, {x}^{4}, -0.16666666666666666\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, {x}^{4}, -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   2. fma-undefine 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{4} + -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   3. associate-+r+ 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{4}\right) + -0.16666666666666666\right)} \]

   4. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}}\right) + -0.16666666666666666\right) \]

   5. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + -0.0001984126984126984 \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) + -0.16666666666666666\right) \]

   6. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}}\right) + -0.16666666666666666\right) \]

   7. distribute-rgt-in 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right)} + -0.16666666666666666\right) \]

   8. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666\right)}\right) \]

   9. sub-neg 99.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right)} \]

   10. distribute-lft-in 99.5%

       \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right)\right)} - 0.16666666666666666\right) \]

   11. *-commutative 99.5%

       \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\left(\color{blue}{0.008333333333333333 \cdot {x}^{2}} + {x}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right)\right) - 0.16666666666666666\right) \]

   12. associate--l+ 99.5%

       \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   13. *-commutative 99.5%

       \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left(\color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} - 0.16666666666666666\right)\right) \]

   14. associate-*r* 99.5%

       \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left(\color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} - 0.16666666666666666\right)\right) \]

   15. pow-sqr 99.5%

       \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0001984126984126984 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}} - 0.16666666666666666\right)\right) \]

   16. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{\color{blue}{4}} - 0.16666666666666666\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{4} - 0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.008333333333333333 + \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{4} - 0.16666666666666666\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 3.0) (- (* (pow x 2.0) 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 3.0) * ((pow(x, 2.0) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 3.0d0) * (((x ** 2.0d0) * 0.008333333333333333d0) - 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 3.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 3.0) * ((math.pow(x, 2.0) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 3.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 3.0) * (((x ^ 2.0) * 0.008333333333333333) - 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666\right)} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{3} \cdot -0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (pow x 3.0) -0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 3.0) * -0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 3.0d0) * (-0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 3.0) * -0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 3.0) * -0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 3.0) * -0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 3.0) * -0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}} \]

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto {x}^{3} \cdot -0.16666666666666666 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 70.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x - x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (sin x) x))

C

double code(double x) {
	return sin(x) - x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin(x) - x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin(x) - x;
}

Python

def code(x):
	return math.sin(x) - x

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(x) - x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin(x) - x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 68.6%

   \[\leadsto \sin x - x \]
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 6.4% accurate, 51.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- x))

C

double code(double x) {
	return -x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -x;
}

Python

def code(x):
	return -x

Julia

function code(x)
	return Float64(-x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -x;
end

Wolfram

code[x_] := (-x)

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. neg-mul-1 6.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-x} \]

5. Simplified 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-x} \]

6. Final simplification 6.2%

   \[\leadsto -x \]
7. Add Preprocessing

Developer target: 99.8% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.07:\\ \;\;\;\;-\left(\left(\frac{{x}^{3}}{6} - \frac{{x}^{5}}{120}\right) + \frac{{x}^{7}}{5040}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x - x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.07)
   (- (+ (- (/ (pow x 3.0) 6.0) (/ (pow x 5.0) 120.0)) (/ (pow x 7.0) 5040.0)))
   (- (sin x) x)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.07) {
		tmp = -(((pow(x, 3.0) / 6.0) - (pow(x, 5.0) / 120.0)) + (pow(x, 7.0) / 5040.0));
	} else {
		tmp = sin(x) - x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (abs(x) < 0.07d0) then
        tmp = -((((x ** 3.0d0) / 6.0d0) - ((x ** 5.0d0) / 120.0d0)) + ((x ** 7.0d0) / 5040.0d0))
    else
        tmp = sin(x) - x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (Math.abs(x) < 0.07) {
		tmp = -(((Math.pow(x, 3.0) / 6.0) - (Math.pow(x, 5.0) / 120.0)) + (Math.pow(x, 7.0) / 5040.0));
	} else {
		tmp = Math.sin(x) - x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if math.fabs(x) < 0.07:
		tmp = -(((math.pow(x, 3.0) / 6.0) - (math.pow(x, 5.0) / 120.0)) + (math.pow(x, 7.0) / 5040.0))
	else:
		tmp = math.sin(x) - x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.07)
		tmp = Float64(-Float64(Float64(Float64((x ^ 3.0) / 6.0) - Float64((x ^ 5.0) / 120.0)) + Float64((x ^ 7.0) / 5040.0)));
	else
		tmp = Float64(sin(x) - x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) < 0.07)
		tmp = -((((x ^ 3.0) / 6.0) - ((x ^ 5.0) / 120.0)) + ((x ^ 7.0) / 5040.0));
	else
		tmp = sin(x) - x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.07], (-N[(N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] / 6.0), $MachinePrecision] - N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] / 120.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision] / 5040.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024110 
(FPCore (x)
  :name "bug500 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -1000.0 x) (< x 1000.0))

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.07) (- (+ (- (/ (pow x 3.0) 6.0) (/ (pow x 5.0) 120.0)) (/ (pow x 7.0) 5040.0))) (- (sin x) x))

  (- (sin x) x))