bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.5% → 97.1%

Time: 14.5s

Alternatives: 7

Speedup: 2.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = 1356601996.025632

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.1% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.08333333333333333, {x}^{4} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (expm1
   (log1p
    (log1p
     (fma
      (pow x 2.0)
      0.08333333333333333
      (*
       (pow x 4.0)
       (fma (pow x 2.0) 4.1335978835978834e-5 0.0006944444444444445))))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * expm1(log1p(log1p(fma(pow(x, 2.0), 0.08333333333333333, (pow(x, 4.0) * fma(pow(x, 2.0), 4.1335978835978834e-5, 0.0006944444444444445))))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * expm1(log1p(log1p(fma((x ^ 2.0), 0.08333333333333333, Float64((x ^ 4.0) * fma((x ^ 2.0), 4.1335978835978834e-5, 0.0006944444444444445)))))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[(Exp[N[Log[1 + N[Log[1 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.08333333333333333 + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 4.1335978835978834e-5 + 0.0006944444444444445), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]] - 1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 49.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}} \cdot \sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   2. pow2 49.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)}^{2}\right)} \]

   3. log-pow 49.7%

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 49.7%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 49.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.08333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0006944444444444445 + 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 49.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.08333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0006944444444444445 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 49.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.08333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0006944444444444445 + {x}^{2} \cdot 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 49.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.08333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0006944444444444445 + {x}^{2} \cdot 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-undefine 49.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.08333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0006944444444444445 + {x}^{2} \cdot 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)} - 1\right)} \]

   3. log1p-define 49.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot \left(0.08333333333333333 + {x}^{2} \cdot \left(0.0006944444444444445 + {x}^{2} \cdot 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)}\right)} - 1\right) \]

   4. +-commutative 49.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.0006944444444444445 + {x}^{2} \cdot 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}\right) + 0.08333333333333333\right)}\right)\right)} - 1\right) \]

   5. fma-define 49.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0006944444444444445 + {x}^{2} \cdot 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.08333333333333333\right)}\right)\right)} - 1\right) \]

   6. +-commutative 49.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5} + 0.0006944444444444445}, 0.08333333333333333\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   7. fma-define 49.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right)}, 0.08333333333333333\right)\right)\right)} - 1\right) \]

9. Applied egg-rr 49.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right), 0.08333333333333333\right)\right)\right)} - 1\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. expm1-define 96.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right), 0.08333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

    2. fma-undefine 96.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right) + 0.08333333333333333\right)}\right)\right)\right) \]

    3. distribute-lft-in 96.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right)\right) + {x}^{2} \cdot 0.08333333333333333}\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* 96.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right)} + {x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)\right)\right) \]

    5. pow-sqr 96.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right) + {x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)\right)\right) \]

    6. metadata-eval 96.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{\color{blue}{4}} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right) + {x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative 96.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right) \cdot {x}^{4}} + {x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)\right)\right) \]

    8. +-commutative 96.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.08333333333333333 + \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right) \cdot {x}^{4}}\right)\right)\right) \]

    9. fma-define 96.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right) \cdot {x}^{4}\right)}\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative 96.4%

        \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.08333333333333333, \color{blue}{{x}^{4} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right)}\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 96.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.08333333333333333, {x}^{4} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 4.1335978835978834 \cdot 10^{-5}, 0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (*
   x
   (fma
    (pow x 2.0)
    (fma 0.0003527336860670194 (pow x 2.0) -0.005555555555555556)
    0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * fma(pow(x, 2.0), fma(0.0003527336860670194, pow(x, 2.0), -0.005555555555555556), 0.16666666666666666));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * fma((x ^ 2.0), fma(0.0003527336860670194, (x ^ 2.0), -0.005555555555555556), 0.16666666666666666)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}} \]

   2. pow2 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)}\right)}^{2}} \]

   3. sqrt-prod 96.2%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 96.2%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   5. metadata-eval 96.2%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   6. pow1 96.2%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)}\right)}^{2} \]

   7. +-commutative 96.2%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right) + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   8. fma-define 96.2%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   9. fma-neg 96.2%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right)}, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

   10. metadata-eval 96.2%

       \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, \color{blue}{-0.005555555555555556}\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2} \]

5. Applied egg-rr 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   2. swap-sqr 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

   3. add-sqr-sqrt 96.2%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)} \]

   4. associate-*l* 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{2}, -0.005555555555555556\right), 0.16666666666666666\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* (pow x 2.0) 0.0003527336860670194) 0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * 0.0003527336860670194d0) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.005555555555555556))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 95.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 95.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 95.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (log1p (* (pow x 2.0) 0.08333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * log1p((pow(x, 2.0) * 0.08333333333333333));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.log1p((Math.pow(x, 2.0) * 0.08333333333333333));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.log1p((math.pow(x, 2.0) * 0.08333333333333333))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * log1p(Float64((x ^ 2.0) * 0.08333333333333333)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[Log[1 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 49.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}} \cdot \sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   2. pow2 49.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)}^{2}\right)} \]

   3. log-pow 49.7%

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

4. Applied egg-rr 49.7%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 48.7%

   \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 48.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \left(1 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.08333333333333333}\right) \]

7. Simplified 48.7%

   \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-un-lft-identity 48.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(1 \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)\right)} \]

   2. log-prod 48.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log 1 + \log \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)\right)} \]

   3. metadata-eval 48.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{0} + \log \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)\right) \]

   4. log1p-define 95.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(0 + \color{blue}{\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) \]

9. Applied egg-rr 95.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(0 + \mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lft-identity 95.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

11. Simplified 95.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 95.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 95.4%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 50.2% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 49.8%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 47.1%

   \[\leadsto \log \color{blue}{1} \]

4. Final simplification 47.1%

   \[\leadsto 0 \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 97.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024108 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))