ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.0% → 99.4%

Time: 8.9s

Alternatives: 6

Speedup: 2.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* (pow x 2.0) -0.0007275132275132275) 0.06388888888888888)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (-0.0007275132275132275d0)) - 0.06388888888888888d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.0007275132275132275), $MachinePrecision] - 0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* x (fma (pow x 2.0) -0.06388888888888888 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * fma(pow(x, 2.0), -0.06388888888888888, 0.16666666666666666));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * fma((x ^ 2.0), -0.06388888888888888, 0.16666666666666666)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. associate-*l* 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   4. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right) \]

   5. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. +-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

   4. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]

   5. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]

   6. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]

   7. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]

   8. distribute-lft-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666\right)} \]

   9. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{2}} \]

   10. unpow2 99.5%

       \[\leadsto \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   11. associate-*r* 99.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

   12. *-commutative 99.5%

       \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} + 0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot x \]

   13. fma-define 99.5%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* (pow x 2.0) (/ 0.16666666666666666 (tan x)))))

C

double code(double x) {
	return x * (pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 / tan(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * ((x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 / tan(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 / Math.tan(x)));
}

Python

def code(x):
	return x * (math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 / math.tan(x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 / tan(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 / tan(x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 85.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 67.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}}{\tan x} \]

   2. associate-/l* 67.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}} \cdot \frac{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x}} \]

   3. *-commutative 67.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.16666666666666666}} \cdot \frac{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]

   4. sqrt-prod 67.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{3}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot \frac{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]

   5. sqrt-pow1 37.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{3}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \frac{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]

   6. metadata-eval 37.6%

      \[\leadsto \left({x}^{\color{blue}{1.5}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \frac{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]

   7. *-commutative 37.6%

      \[\leadsto \left({x}^{1.5} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \frac{\sqrt{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.16666666666666666}}}{\tan x} \]

   8. sqrt-prod 37.6%

      \[\leadsto \left({x}^{1.5} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{{x}^{3}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}}{\tan x} \]

   9. sqrt-pow1 43.5%

      \[\leadsto \left({x}^{1.5} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{3}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}{\tan x} \]

   10. metadata-eval 43.5%

       \[\leadsto \left({x}^{1.5} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \frac{{x}^{\color{blue}{1.5}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}{\tan x} \]

5. Applied egg-rr 43.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{1.5} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \frac{{x}^{1.5} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}{\tan x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 37.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left({x}^{1.5} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{1.5} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}{\tan x}} \]

   2. unpow2 37.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left({x}^{1.5} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}}{\tan x} \]

7. Simplified 37.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left({x}^{1.5} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}{\tan x}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 37.5%

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot {x}^{1.5}\right)}}^{2}}{\tan x} \]

   2. unpow-prod-down 37.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {\left({x}^{1.5}\right)}^{2}}}{\tan x} \]

   3. pow2 37.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot {\left({x}^{1.5}\right)}^{2}}{\tan x} \]

   4. rem-square-sqrt 37.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666} \cdot {\left({x}^{1.5}\right)}^{2}}{\tan x} \]

   5. pow-pow 85.2%

      \[\leadsto \frac{0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(1.5 \cdot 2\right)}}}{\tan x} \]

   6. metadata-eval 85.2%

      \[\leadsto \frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{\color{blue}{3}}}{\tan x} \]

   7. associate-*l/ 85.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot {x}^{3}} \]

   8. un-div-inv 85.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \cdot {x}^{3} \]

   9. unpow3 85.3%

      \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{1}{\tan x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

   10. unpow2 85.3%

       \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{1}{\tan x}\right) \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right) \]

   11. associate-*r* 98.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \frac{1}{\tan x}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

   12. un-div-inv 98.9%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{\tan x}} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x \]

9. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} \]

10. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 4.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (tan x)))

C

double code(double x) {
	return x / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return x / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(x / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 4.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 98.6% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024108 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :alt
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))