ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.4% → 99.6%

Time: 20.4s

Alternatives: 10

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.00023368606701940035 - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (*
   x
   (+
    0.16666666666666666
    (*
     (pow x 2.0)
     (-
      (*
       (pow x 2.0)
       (- (* (pow x 2.0) -0.00023368606701940035) 0.0007275132275132275))
      0.06388888888888888))))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * -0.00023368606701940035) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (-0.00023368606701940035d0)) - 0.0007275132275132275d0)) - 0.06388888888888888d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * -0.00023368606701940035) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888))));
}

Python

def code(x):
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * -0.00023368606701940035) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * -0.00023368606701940035) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * -0.00023368606701940035) - 0.0007275132275132275)) - 0.06388888888888888))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.00023368606701940035), $MachinePrecision] - 0.0007275132275132275), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 81.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}} \]

   2. cube-mult 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   3. unpow2 81.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   4. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}\right)} \]

   5. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right) + 0.16666666666666666}}{\tan x}\right) \]

   6. fma-define 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}}{\tan x}\right) \]

   7. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.0001984126984126984} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   8. fma-neg 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right)}, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   9. metadata-eval 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{-0.008333333333333333}\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.1%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023368606701940035 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.00023368606701940035 - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left({x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right) + x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   (*
    (pow x 3.0)
    (- (* (pow x 2.0) -0.0007275132275132275) 0.06388888888888888))
   (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return x * ((pow(x, 3.0) * ((pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)) + (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (((x ** 3.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (-0.0007275132275132275d0)) - 0.06388888888888888d0)) + (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * ((Math.pow(x, 3.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)) + (x * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return x * ((math.pow(x, 3.0) * ((math.pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)) + (x * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(Float64((x ^ 3.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)) + Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (((x ^ 3.0) * (((x ^ 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)) + (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.0007275132275132275), $MachinePrecision] - 0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 81.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}} \]

   2. cube-mult 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   3. unpow2 81.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   4. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}\right)} \]

   5. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right) + 0.16666666666666666}}{\tan x}\right) \]

   6. fma-define 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}}{\tan x}\right) \]

   7. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.0001984126984126984} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   8. fma-neg 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right)}, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   9. metadata-eval 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{-0.008333333333333333}\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.1%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.00023368606701940035 \cdot {x}^{2} - 0.0007275132275132275\right) - 0.06388888888888888\right)\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2}} - 0.06388888888888888\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275} - 0.06388888888888888\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.0%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275} - 0.06388888888888888\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative 99.0%

       \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right) + 0.16666666666666666\right)}\right) \]

    2. distribute-lft-in 99.0%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right)\right) + x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

    3. *-commutative 99.0%

       \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right)\right) \cdot x} + x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

    4. *-commutative 99.0%

       \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

    5. associate-*l* 99.0%

       \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

    6. fma-neg 99.0%

       \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right) + x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

    7. metadata-eval 99.0%

       \[\leadsto x \cdot \left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, \color{blue}{-0.06388888888888888}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right) + x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

    8. unpow2 99.0%

       \[\leadsto x \cdot \left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

    9. pow3 99.0%

       \[\leadsto x \cdot \left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

11. Applied egg-rr 99.0%

    \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{3} + x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

12. Taylor expanded in x around 0 99.0%

    \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)} + x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

13. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto x \cdot \left({x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right) + x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (*
   x
   (+
    0.16666666666666666
    (*
     (pow x 2.0)
     (- (* (pow x 2.0) -0.0007275132275132275) 0.06388888888888888))))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (-0.0007275132275132275d0)) - 0.06388888888888888d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888))));
}

Python

def code(x):
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.0007275132275132275), $MachinePrecision] - 0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 81.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}} \]

   2. cube-mult 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   3. unpow2 81.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   4. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}\right)} \]

   5. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right) + 0.16666666666666666}}{\tan x}\right) \]

   6. fma-define 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}}{\tan x}\right) \]

   7. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.0001984126984126984} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   8. fma-neg 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right)}, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   9. metadata-eval 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{-0.008333333333333333}\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(\frac{1}{\frac{6}{x}} + {x}^{3} \cdot -0.06388888888888888\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (+ (/ 1.0 (/ 6.0 x)) (* (pow x 3.0) -0.06388888888888888))))

C

double code(double x) {
	return x * ((1.0 / (6.0 / x)) + (pow(x, 3.0) * -0.06388888888888888));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * ((1.0d0 / (6.0d0 / x)) + ((x ** 3.0d0) * (-0.06388888888888888d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * ((1.0 / (6.0 / x)) + (Math.pow(x, 3.0) * -0.06388888888888888));
}

Python

def code(x):
	return x * ((1.0 / (6.0 / x)) + (math.pow(x, 3.0) * -0.06388888888888888))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(Float64(1.0 / Float64(6.0 / x)) + Float64((x ^ 3.0) * -0.06388888888888888)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((1.0 / (6.0 / x)) + ((x ^ 3.0) * -0.06388888888888888));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[(1.0 / N[(6.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 81.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}} \]

   2. cube-mult 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   3. unpow2 81.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   4. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}\right)} \]

   5. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right) + 0.16666666666666666}}{\tan x}\right) \]

   6. fma-define 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}}{\tan x}\right) \]

   7. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.0001984126984126984} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   8. fma-neg 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right)}, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   9. metadata-eval 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{-0.008333333333333333}\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 98.8%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666 + x \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   2. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}\right) \]

   3. associate-*l* 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)}\right) \]

   4. unpow2 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right)\right) \]

   5. unpow3 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{3}}\right) \]

8. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{3}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{3}\right) \]

   2. div-inv 98.9%

      \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{\frac{x}{6}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{3}\right) \]

   3. clear-num 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{6}{x}}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{3}\right) \]

10. Applied egg-rr 98.8%

    \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{6}{x}}} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{3}\right) \]

11. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto x \cdot \left(\frac{1}{\frac{6}{x}} + {x}^{3} \cdot -0.06388888888888888\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{3} \cdot -0.06388888888888888\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (+ (* x 0.16666666666666666) (* (pow x 3.0) -0.06388888888888888))))

C

double code(double x) {
	return x * ((x * 0.16666666666666666) + (pow(x, 3.0) * -0.06388888888888888));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * ((x * 0.16666666666666666d0) + ((x ** 3.0d0) * (-0.06388888888888888d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * ((x * 0.16666666666666666) + (Math.pow(x, 3.0) * -0.06388888888888888));
}

Python

def code(x):
	return x * ((x * 0.16666666666666666) + (math.pow(x, 3.0) * -0.06388888888888888))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(Float64(x * 0.16666666666666666) + Float64((x ^ 3.0) * -0.06388888888888888)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((x * 0.16666666666666666) + ((x ^ 3.0) * -0.06388888888888888));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 81.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}} \]

   2. cube-mult 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   3. unpow2 81.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   4. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}\right)} \]

   5. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right) + 0.16666666666666666}}{\tan x}\right) \]

   6. fma-define 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}}{\tan x}\right) \]

   7. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.0001984126984126984} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   8. fma-neg 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right)}, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   9. metadata-eval 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{-0.008333333333333333}\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 98.8%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666 + x \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   2. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}\right) \]

   3. associate-*l* 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)}\right) \]

   4. unpow2 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right)\right) \]

   5. unpow3 98.8%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{3}}\right) \]

8. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{3}\right)} \]

9. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{3} \cdot -0.06388888888888888\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.06388888888888888)))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.06388888888888888)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.06388888888888888d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.06388888888888888)));
}

Python

def code(x):
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.06388888888888888)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.06388888888888888))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.06388888888888888)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 81.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}} \]

   2. cube-mult 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   3. unpow2 81.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   4. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}\right)} \]

   5. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right) + 0.16666666666666666}}{\tan x}\right) \]

   6. fma-define 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}}{\tan x}\right) \]

   7. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.0001984126984126984} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   8. fma-neg 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right)}, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   9. metadata-eval 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{-0.008333333333333333}\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 98.8%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

7. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.9% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{\frac{6}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (/ 6.0 x)))

C

double code(double x) {
	return x / (6.0 / x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / (6.0d0 / x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / (6.0 / x);
}

Python

def code(x):
	return x / (6.0 / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(x / Float64(6.0 / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / (6.0 / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[(6.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 81.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. clear-num 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\tan x}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}} \]

   2. inv-pow 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\tan x}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}\right)}^{-1}} \]

   3. *-un-lft-identity 81.0%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{1 \cdot \tan x}}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}\right)}^{-1} \]

   4. times-frac 81.1%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{1}{0.16666666666666666} \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}\right)}}^{-1} \]

   5. metadata-eval 81.1%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{6} \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}\right)}^{-1} \]

5. Applied egg-rr 81.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(6 \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}\right)}^{-1}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow-1 81.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{6 \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}}} \]

7. Simplified 81.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{6 \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}}} \]

8. Taylor expanded in x around 0 97.8%

   \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \color{blue}{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 97.6%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}} \]

   2. sqrt-div 97.7%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]

   3. metadata-eval 97.7%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]

   4. sqrt-pow1 73.3%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]

   5. metadata-eval 73.3%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{{x}^{\color{blue}{1}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]

   6. pow1 73.3%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]

   7. sqrt-div 73.3%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}\right)} \]

   8. metadata-eval 73.3%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)} \]

   9. sqrt-pow1 97.6%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)} \]

   10. metadata-eval 97.6%

       \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)} \]

   11. pow1 97.6%

       \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{x}}\right)} \]

10. Applied egg-rr 97.6%

    \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. frac-times 97.8%

       \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{x \cdot x}}} \]

    2. metadata-eval 97.8%

       \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{x \cdot x}} \]

    3. unpow2 97.8%

       \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2}}}} \]

    4. div-inv 97.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{6}{{x}^{2}}}} \]

    5. clear-num 98.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{6}} \]

    6. unpow2 98.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot x}}{6} \]

    7. associate-/l* 98.2%

       \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{x}{6}} \]

12. Applied egg-rr 98.2%

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{x}{6}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. clear-num 98.2%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{6}{x}}} \]

    2. un-div-inv 98.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{6}{x}}} \]

14. Applied egg-rr 98.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{6}{x}}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.9% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \frac{x}{6} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (/ x 6.0)))

C

double code(double x) {
	return x * (x / 6.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x / 6.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x / 6.0);
}

Python

def code(x):
	return x * (x / 6.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x / 6.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x / 6.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x / 6.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 81.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. clear-num 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\tan x}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}} \]

   2. inv-pow 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\tan x}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}\right)}^{-1}} \]

   3. *-un-lft-identity 81.0%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{1 \cdot \tan x}}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}\right)}^{-1} \]

   4. times-frac 81.1%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{1}{0.16666666666666666} \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}\right)}}^{-1} \]

   5. metadata-eval 81.1%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{6} \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}\right)}^{-1} \]

5. Applied egg-rr 81.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(6 \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}\right)}^{-1}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow-1 81.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{6 \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}}} \]

7. Simplified 81.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{6 \cdot \frac{\tan x}{{x}^{3}}}} \]

8. Taylor expanded in x around 0 97.8%

   \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \color{blue}{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 97.6%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}} \]

   2. sqrt-div 97.7%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]

   3. metadata-eval 97.7%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]

   4. sqrt-pow1 73.3%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]

   5. metadata-eval 73.3%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{{x}^{\color{blue}{1}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]

   6. pow1 73.3%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)} \]

   7. sqrt-div 73.3%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}\right)} \]

   8. metadata-eval 73.3%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}\right)} \]

   9. sqrt-pow1 97.6%

      \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}\right)} \]

   10. metadata-eval 97.6%

       \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{{x}^{\color{blue}{1}}}\right)} \]

   11. pow1 97.6%

       \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{x}}\right)} \]

10. Applied egg-rr 97.6%

    \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. frac-times 97.8%

       \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{x \cdot x}}} \]

    2. metadata-eval 97.8%

       \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{x \cdot x}} \]

    3. unpow2 97.8%

       \[\leadsto \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2}}}} \]

    4. div-inv 97.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{6}{{x}^{2}}}} \]

    5. clear-num 98.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{6}} \]

    6. unpow2 98.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot x}}{6} \]

    7. associate-/l* 98.2%

       \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{x}{6}} \]

12. Applied egg-rr 98.2%

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{x}{6}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 81.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)}}{\tan x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}} \]

   2. cube-mult 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   3. unpow2 81.9%

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x} \]

   4. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right)}{\tan x}\right)} \]

   5. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333\right) + 0.16666666666666666}}{\tan x}\right) \]

   6. fma-define 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}}{\tan x}\right) \]

   7. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.0001984126984126984} - 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   8. fma-neg 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right)}, 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

   9. metadata-eval 99.1%

      \[\leadsto x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, \color{blue}{-0.008333333333333333}\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right) \]

5. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right)}{\tan x}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 98.1%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \]

7. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 10: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 54.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024107 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :alt
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))