Quotient of sum of exps

Percentage Accurate: 98.9% → 100.0%

Time: 13.9s

Alternatives: 17

Speedup: 2.9×

• could not determine a ground truth

  1. a = -2.00000000000000007e154
  2. b = -2.00000000000000007e154

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b) :precision binary64 (/ (exp a) (+ (exp a) (exp b))))

C

double code(double a, double b) {
	return exp(a) / (exp(a) + exp(b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    code = exp(a) / (exp(a) + exp(b))
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	return Math.exp(a) / (Math.exp(a) + Math.exp(b));
}

Python

def code(a, b):
	return math.exp(a) / (math.exp(a) + math.exp(b))

Julia

function code(a, b)
	return Float64(exp(a) / Float64(exp(a) + exp(b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	tmp = exp(a) / (exp(a) + exp(b));
end

Wolfram

code[a_, b_] := N[(N[Exp[a], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[a], $MachinePrecision] + N[Exp[b], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b) :precision binary64 (/ (exp a) (+ (exp a) (exp b))))

C

double code(double a, double b) {
	return exp(a) / (exp(a) + exp(b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    code = exp(a) / (exp(a) + exp(b))
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	return Math.exp(a) / (Math.exp(a) + Math.exp(b));
}

Python

def code(a, b):
	return math.exp(a) / (math.exp(a) + math.exp(b))

Julia

function code(a, b)
	return Float64(exp(a) / Float64(exp(a) + exp(b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	tmp = exp(a) / (exp(a) + exp(b));
end

Wolfram

code[a_, b_] := N[(N[Exp[a], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[a], $MachinePrecision] + N[Exp[b], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{b - a}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b) :precision binary64 (exp (- (log1p (exp (- b a))))))

C

double code(double a, double b) {
	return exp(-log1p(exp((b - a))));
}

Java

public static double code(double a, double b) {
	return Math.exp(-Math.log1p(Math.exp((b - a))));
}

Python

def code(a, b):
	return math.exp(-math.log1p(math.exp((b - a))))

Julia

function code(a, b)
	return exp(Float64(-log1p(exp(Float64(b - a)))))
end

Wolfram

code[a_, b_] := N[Exp[(-N[Log[1 + N[Exp[N[(b - a), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision])], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

   2. associate-*l/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

   3. associate-/r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

   4. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

   5. unsub-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

   6. div-sub 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

   7. *-lft-identity 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   8. associate-*l/ 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   9. lft-mult-inverse 99.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   10. sub-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

   11. distribute-frac-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

   12. remove-double-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

   13. div-exp 100.0%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\frac{1}{1 + e^{b - a}}\right)}} \]

   2. log-rec 100.0%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{-\log \left(1 + e^{b - a}\right)}} \]

   3. log1p-define 100.0%

      \[\leadsto e^{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(e^{b - a}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{-\mathsf{log1p}\left(e^{b - a}\right)}} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 94.5% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq -4.5 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{elif}\;a \leq -3.9 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(b \cdot \left(-1 + \frac{\frac{54 \cdot \frac{-1}{b} - 18}{b} - 6}{b}\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + e^{b}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= a -4.5e+116)
   (/ 1.0 (+ 2.0 (* a (+ (* a (+ 0.5 (* a -0.16666666666666666))) -1.0))))
   (if (<= a -3.9e+39)
     (/
      1.0
      (+
       2.0
       (*
        b
        (+
         1.0
         (*
          (/ (* b (+ 0.5 (* b 0.16666666666666666))) b)
          (* b (+ -1.0 (/ (- (/ (- (* 54.0 (/ -1.0 b)) 18.0) b) 6.0) b))))))))
     (/ 1.0 (+ 1.0 (exp b))))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (a <= -4.5e+116) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else if (a <= -3.9e+39) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (((b * (0.5 + (b * 0.16666666666666666))) / b) * (b * (-1.0 + (((((54.0 * (-1.0 / b)) - 18.0) / b) - 6.0) / b)))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + exp(b));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (a <= (-4.5d+116)) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (a * ((a * (0.5d0 + (a * (-0.16666666666666666d0)))) + (-1.0d0))))
    else if (a <= (-3.9d+39)) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (b * (1.0d0 + (((b * (0.5d0 + (b * 0.16666666666666666d0))) / b) * (b * ((-1.0d0) + (((((54.0d0 * ((-1.0d0) / b)) - 18.0d0) / b) - 6.0d0) / b)))))))
    else
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + exp(b))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (a <= -4.5e+116) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else if (a <= -3.9e+39) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (((b * (0.5 + (b * 0.16666666666666666))) / b) * (b * (-1.0 + (((((54.0 * (-1.0 / b)) - 18.0) / b) - 6.0) / b)))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + Math.exp(b));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if a <= -4.5e+116:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)))
	elif a <= -3.9e+39:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (((b * (0.5 + (b * 0.16666666666666666))) / b) * (b * (-1.0 + (((((54.0 * (-1.0 / b)) - 18.0) / b) - 6.0) / b)))))))
	else:
		tmp = 1.0 / (1.0 + math.exp(b))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (a <= -4.5e+116)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(a * Float64(Float64(a * Float64(0.5 + Float64(a * -0.16666666666666666))) + -1.0))));
	elseif (a <= -3.9e+39)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(b * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(b * Float64(0.5 + Float64(b * 0.16666666666666666))) / b) * Float64(b * Float64(-1.0 + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(54.0 * Float64(-1.0 / b)) - 18.0) / b) - 6.0) / b))))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + exp(b)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (a <= -4.5e+116)
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	elseif (a <= -3.9e+39)
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (((b * (0.5 + (b * 0.16666666666666666))) / b) * (b * (-1.0 + (((((54.0 * (-1.0 / b)) - 18.0) / b) - 6.0) / b)))))));
	else
		tmp = 1.0 / (1.0 + exp(b));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[a, -4.5e+116], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(a * N[(N[(a * N[(0.5 + N[(a * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[a, -3.9e+39], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(b * N[(1.0 + N[(N[(N[(b * N[(0.5 + N[(b * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] * N[(b * N[(-1.0 + N[(N[(N[(N[(N[(54.0 * N[(-1.0 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 18.0), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] - 6.0), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(1.0 + N[Exp[b], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < -4.50000000000000016e116

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + -0.16666666666666666 \cdot a\right) - 1\right)}} \]

   if -4.50000000000000016e116 < a < -3.9000000000000001e39

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 22.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 22.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot b\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 22.5%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)} \]

   8. Simplified 22.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in 22.5%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\right)} \]

      2. flip-+ 15.8%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

   10. Applied egg-rr 15.8%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. difference-of-squares 15.8%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

       2. distribute-lft-out-- 15.8%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       3. times-frac 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}}\right)} \]

       4. distribute-lft-out 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       5. distribute-lft-out-- 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       6. sub-neg 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       7. distribute-rgt-neg-in 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       8. metadata-eval 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sub-neg 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{\color{blue}{0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       10. distribute-rgt-neg-in 22.5%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       11. metadata-eval 22.5%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 22.5%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       2. distribute-rgt-neg-in 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       3. add-sqr-sqrt 21.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot 0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       4. sqrt-unprod 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       5. swap-sqr 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       6. metadata-eval 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       7. metadata-eval 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       8. swap-sqr 22.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sqrt-unprod 1.0%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot -0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot -0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       10. add-sqr-sqrt 22.5%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{b \cdot -0.16666666666666666}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   14. Applied egg-rr 22.5%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   15. Taylor expanded in b around -inf 80.7%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(b \cdot \left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{18 + 54 \cdot \frac{1}{b}}{b} - 6}{b}\right)\right)\right)}\right)} \]

   if -3.9000000000000001e39 < a

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 98.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 93.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 93.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 93.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 96.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq -4.5 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{elif}\;a \leq -3.9 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(b \cdot \left(-1 + \frac{\frac{54 \cdot \frac{-1}{b} - 18}{b} - 6}{b}\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + e^{b}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.3% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq -6200000:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + e^{-a}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + e^{b}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= a -6200000.0) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- a)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp b)))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (a <= -6200000.0) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + exp(-a));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + exp(b));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (a <= (-6200000.0d0)) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + exp(-a))
    else
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + exp(b))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (a <= -6200000.0) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + Math.exp(-a));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + Math.exp(b));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if a <= -6200000.0:
		tmp = 1.0 / (1.0 + math.exp(-a))
	else:
		tmp = 1.0 / (1.0 + math.exp(b))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (a <= -6200000.0)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + exp(Float64(-a))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + exp(b)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (a <= -6200000.0)
		tmp = 1.0 / (1.0 + exp(-a));
	else
		tmp = 1.0 / (1.0 + exp(b));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[a, -6200000.0], N[(1.0 / N[(1.0 + N[Exp[(-a)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(1.0 + N[Exp[b], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < -6.2e6

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 0.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   if -6.2e6 < a

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 98.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 97.3%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 97.3%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 97.3%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.4%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.4%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 99.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 100.0% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{e^{b - a} + 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b) :precision binary64 (/ 1.0 (+ (exp (- b a)) 1.0)))

C

double code(double a, double b) {
	return 1.0 / (exp((b - a)) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    code = 1.0d0 / (exp((b - a)) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	return 1.0 / (Math.exp((b - a)) + 1.0);
}

Python

def code(a, b):
	return 1.0 / (math.exp((b - a)) + 1.0)

Julia

function code(a, b)
	return Float64(1.0 / Float64(exp(Float64(b - a)) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	tmp = 1.0 / (exp((b - a)) + 1.0);
end

Wolfram

code[a_, b_] := N[(1.0 / N[(N[Exp[N[(b - a), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

   2. associate-*l/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

   3. associate-/r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

   4. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

   5. unsub-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

   6. div-sub 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

   7. *-lft-identity 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   8. associate-*l/ 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   9. lft-mult-inverse 99.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   10. sub-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

   11. distribute-frac-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

   12. remove-double-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

   13. div-exp 100.0%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \frac{1}{e^{b - a} + 1} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 74.5% accurate, 9.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 9.5 \cdot 10^{+15}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot \left(0.2222222222222222 + b \cdot 0.07407407407407407\right)\right)\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= b 9.5e+15)
   (/ 1.0 (+ 2.0 (* a (+ (* a (+ 0.5 (* a -0.16666666666666666))) -1.0))))
   (/
    1.0
    (+
     2.0
     (*
      b
      (+
       1.0
       (*
        (* b 0.16666666666666666)
        (*
         b
         (+
          1.0
          (*
           b
           (+
            0.6666666666666666
            (* b (+ 0.2222222222222222 (* b 0.07407407407407407))))))))))))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 9.5e+15) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * (0.6666666666666666 + (b * (0.2222222222222222 + (b * 0.07407407407407407)))))))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (b <= 9.5d+15) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (a * ((a * (0.5d0 + (a * (-0.16666666666666666d0)))) + (-1.0d0))))
    else
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (b * (1.0d0 + ((b * 0.16666666666666666d0) * (b * (1.0d0 + (b * (0.6666666666666666d0 + (b * (0.2222222222222222d0 + (b * 0.07407407407407407d0)))))))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 9.5e+15) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * (0.6666666666666666 + (b * (0.2222222222222222 + (b * 0.07407407407407407)))))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if b <= 9.5e+15:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)))
	else:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * (0.6666666666666666 + (b * (0.2222222222222222 + (b * 0.07407407407407407)))))))))))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (b <= 9.5e+15)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(a * Float64(Float64(a * Float64(0.5 + Float64(a * -0.16666666666666666))) + -1.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(b * Float64(1.0 + Float64(Float64(b * 0.16666666666666666) * Float64(b * Float64(1.0 + Float64(b * Float64(0.6666666666666666 + Float64(b * Float64(0.2222222222222222 + Float64(b * 0.07407407407407407))))))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 9.5e+15)
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	else
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * (0.6666666666666666 + (b * (0.2222222222222222 + (b * 0.07407407407407407)))))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[b, 9.5e+15], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(a * N[(N[(a * N[(0.5 + N[(a * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(b * N[(1.0 + N[(N[(b * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(b * N[(1.0 + N[(b * N[(0.6666666666666666 + N[(b * N[(0.2222222222222222 + N[(b * 0.07407407407407407), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 9.5e15

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 72.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 72.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 72.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 77.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 68.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + -0.16666666666666666 \cdot a\right) - 1\right)}} \]

   if 9.5e15 < b

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 67.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 67.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 67.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 64.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot b\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 64.7%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)} \]

   8. Simplified 64.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in 64.7%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\right)} \]

      2. flip-+ 38.5%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

   10. Applied egg-rr 38.5%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. difference-of-squares 38.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

       2. distribute-lft-out-- 38.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       3. times-frac 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}}\right)} \]

       4. distribute-lft-out 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       5. distribute-lft-out-- 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       6. sub-neg 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       7. distribute-rgt-neg-in 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       8. metadata-eval 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sub-neg 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{\color{blue}{0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       10. distribute-rgt-neg-in 64.7%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       11. metadata-eval 64.7%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 64.7%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       2. distribute-rgt-neg-in 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       3. add-sqr-sqrt 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot 0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       4. sqrt-unprod 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       5. swap-sqr 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       6. metadata-eval 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       7. metadata-eval 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       8. swap-sqr 64.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot -0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot -0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       10. add-sqr-sqrt 64.7%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{b \cdot -0.16666666666666666}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   14. Applied egg-rr 64.7%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   15. Taylor expanded in b around 0 85.7%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot \left(0.2222222222222222 + 0.07407407407407407 \cdot b\right)\right)\right)\right)}\right)} \]
   16. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 85.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot \left(0.2222222222222222 + \color{blue}{b \cdot 0.07407407407407407}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   17. Simplified 85.7%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot \left(0.2222222222222222 + b \cdot 0.07407407407407407\right)\right)\right)\right)}\right)} \]

   18. Taylor expanded in b around inf 85.7%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot b\right)} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot \left(0.2222222222222222 + b \cdot 0.07407407407407407\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   19. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 85.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot \left(0.2222222222222222 + b \cdot 0.07407407407407407\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   20. Simplified 85.7%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot \left(0.2222222222222222 + b \cdot 0.07407407407407407\right)\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 72.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 9.5 \cdot 10^{+15}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot \left(0.2222222222222222 + b \cdot 0.07407407407407407\right)\right)\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 73.7% accurate, 10.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 1.65 \cdot 10^{+21}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot 0.2222222222222222\right)\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= b 1.65e+21)
   (/ 1.0 (+ 2.0 (* a (+ (* a (+ 0.5 (* a -0.16666666666666666))) -1.0))))
   (/
    1.0
    (+
     2.0
     (*
      b
      (+
       1.0
       (*
        (* b 0.16666666666666666)
        (*
         b
         (+ 1.0 (* b (+ 0.6666666666666666 (* b 0.2222222222222222))))))))))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 1.65e+21) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * (0.6666666666666666 + (b * 0.2222222222222222)))))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (b <= 1.65d+21) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (a * ((a * (0.5d0 + (a * (-0.16666666666666666d0)))) + (-1.0d0))))
    else
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (b * (1.0d0 + ((b * 0.16666666666666666d0) * (b * (1.0d0 + (b * (0.6666666666666666d0 + (b * 0.2222222222222222d0)))))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 1.65e+21) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * (0.6666666666666666 + (b * 0.2222222222222222)))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if b <= 1.65e+21:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)))
	else:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * (0.6666666666666666 + (b * 0.2222222222222222)))))))))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (b <= 1.65e+21)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(a * Float64(Float64(a * Float64(0.5 + Float64(a * -0.16666666666666666))) + -1.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(b * Float64(1.0 + Float64(Float64(b * 0.16666666666666666) * Float64(b * Float64(1.0 + Float64(b * Float64(0.6666666666666666 + Float64(b * 0.2222222222222222))))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 1.65e+21)
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	else
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * (0.6666666666666666 + (b * 0.2222222222222222)))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[b, 1.65e+21], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(a * N[(N[(a * N[(0.5 + N[(a * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(b * N[(1.0 + N[(N[(b * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(b * N[(1.0 + N[(b * N[(0.6666666666666666 + N[(b * 0.2222222222222222), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 1.65e21

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 72.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 72.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 72.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 77.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 68.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + -0.16666666666666666 \cdot a\right) - 1\right)}} \]

   if 1.65e21 < b

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 69.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 69.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 69.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 65.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot b\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 65.7%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)} \]

   8. Simplified 65.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in 65.7%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\right)} \]

      2. flip-+ 39.1%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

   10. Applied egg-rr 39.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. difference-of-squares 39.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

       2. distribute-lft-out-- 39.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       3. times-frac 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}}\right)} \]

       4. distribute-lft-out 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       5. distribute-lft-out-- 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       6. sub-neg 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       7. distribute-rgt-neg-in 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       8. metadata-eval 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sub-neg 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{\color{blue}{0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       10. distribute-rgt-neg-in 65.7%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       11. metadata-eval 65.7%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 65.7%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       2. distribute-rgt-neg-in 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       3. add-sqr-sqrt 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot 0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       4. sqrt-unprod 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       5. swap-sqr 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       6. metadata-eval 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       7. metadata-eval 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       8. swap-sqr 65.7%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot -0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot -0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       10. add-sqr-sqrt 65.7%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{b \cdot -0.16666666666666666}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   14. Applied egg-rr 65.7%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   15. Taylor expanded in b around 0 77.6%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + 0.2222222222222222 \cdot b\right)\right)\right)}\right)} \]
   16. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 77.6%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + \color{blue}{b \cdot 0.2222222222222222}\right)\right)\right)\right)} \]

   17. Simplified 77.6%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot 0.2222222222222222\right)\right)\right)}\right)} \]

   18. Taylor expanded in b around inf 77.6%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot b\right)} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot 0.2222222222222222\right)\right)\right)\right)} \]
   19. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 87.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot \left(0.2222222222222222 + b \cdot 0.07407407407407407\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   20. Simplified 77.6%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot 0.2222222222222222\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 70.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 1.65 \cdot 10^{+21}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot 0.2222222222222222\right)\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 72.5% accurate, 12.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 4 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= b 4e+24)
   (/ 1.0 (+ 2.0 (* a (+ (* a (+ 0.5 (* a -0.16666666666666666))) -1.0))))
   (/
    1.0
    (+
     2.0
     (*
      b
      (+
       1.0
       (*
        (* b 0.16666666666666666)
        (* b (+ 1.0 (* b 0.6666666666666666))))))))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 4e+24) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * 0.6666666666666666)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (b <= 4d+24) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (a * ((a * (0.5d0 + (a * (-0.16666666666666666d0)))) + (-1.0d0))))
    else
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (b * (1.0d0 + ((b * 0.16666666666666666d0) * (b * (1.0d0 + (b * 0.6666666666666666d0)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 4e+24) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * 0.6666666666666666)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if b <= 4e+24:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)))
	else:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * 0.6666666666666666)))))))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (b <= 4e+24)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(a * Float64(Float64(a * Float64(0.5 + Float64(a * -0.16666666666666666))) + -1.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(b * Float64(1.0 + Float64(Float64(b * 0.16666666666666666) * Float64(b * Float64(1.0 + Float64(b * 0.6666666666666666))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 4e+24)
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	else
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (b * (1.0 + (b * 0.6666666666666666)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[b, 4e+24], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(a * N[(N[(a * N[(0.5 + N[(a * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(b * N[(1.0 + N[(N[(b * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(b * N[(1.0 + N[(b * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 3.9999999999999999e24

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 72.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 72.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 72.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 77.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 68.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + -0.16666666666666666 \cdot a\right) - 1\right)}} \]

   if 3.9999999999999999e24 < b

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 69.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 69.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 69.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 67.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot b\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 67.9%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)} \]

   8. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in 67.9%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\right)} \]

      2. flip-+ 40.4%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

   10. Applied egg-rr 40.4%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. difference-of-squares 40.4%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

       2. distribute-lft-out-- 40.4%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       3. times-frac 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}}\right)} \]

       4. distribute-lft-out 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       5. distribute-lft-out-- 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       6. sub-neg 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       7. distribute-rgt-neg-in 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       8. metadata-eval 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sub-neg 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{\color{blue}{0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       10. distribute-rgt-neg-in 67.9%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       11. metadata-eval 67.9%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 67.9%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       2. distribute-rgt-neg-in 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       3. add-sqr-sqrt 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot 0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       4. sqrt-unprod 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       5. swap-sqr 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       6. metadata-eval 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       7. metadata-eval 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       8. swap-sqr 67.9%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot -0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot -0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       10. add-sqr-sqrt 67.9%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{b \cdot -0.16666666666666666}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   14. Applied egg-rr 67.9%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   15. Taylor expanded in b around 0 78.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(b \cdot \left(1 + 0.6666666666666666 \cdot b\right)\right)}\right)} \]
   16. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 78.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(b \cdot \left(1 + \color{blue}{b \cdot 0.6666666666666666}\right)\right)\right)} \]

   17. Simplified 78.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(b \cdot \left(1 + b \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right)} \]

   18. Taylor expanded in b around inf 78.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot b\right)} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)} \]
   19. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 90.0%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot \left(0.2222222222222222 + b \cdot 0.07407407407407407\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   20. Simplified 78.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 70.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 4 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 70.7% accurate, 13.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 6 \cdot 10^{+35}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= b 6e+35)
   (/ 1.0 (+ 2.0 (* a (+ (* a (+ 0.5 (* a -0.16666666666666666))) -1.0))))
   (/
    1.0
    (+ 2.0 (* b (+ 1.0 (* 0.5 (* b (+ 1.0 (* b 0.6666666666666666))))))))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 6e+35) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (0.5 * (b * (1.0 + (b * 0.6666666666666666)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (b <= 6d+35) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (a * ((a * (0.5d0 + (a * (-0.16666666666666666d0)))) + (-1.0d0))))
    else
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (b * (1.0d0 + (0.5d0 * (b * (1.0d0 + (b * 0.6666666666666666d0)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 6e+35) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (0.5 * (b * (1.0 + (b * 0.6666666666666666)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if b <= 6e+35:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)))
	else:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (0.5 * (b * (1.0 + (b * 0.6666666666666666)))))))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (b <= 6e+35)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(a * Float64(Float64(a * Float64(0.5 + Float64(a * -0.16666666666666666))) + -1.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(b * Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(b * Float64(1.0 + Float64(b * 0.6666666666666666))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 6e+35)
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	else
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (0.5 * (b * (1.0 + (b * 0.6666666666666666)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[b, 6e+35], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(a * N[(N[(a * N[(0.5 + N[(a * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(b * N[(1.0 + N[(0.5 * N[(b * N[(1.0 + N[(b * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 5.99999999999999981e35

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 77.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 68.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + -0.16666666666666666 \cdot a\right) - 1\right)}} \]

   if 5.99999999999999981e35 < b

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 70.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 70.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 70.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 69.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot b\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 69.1%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)} \]

   8. Simplified 69.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in 69.1%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\right)} \]

      2. flip-+ 41.0%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

   10. Applied egg-rr 41.0%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. difference-of-squares 41.0%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

       2. distribute-lft-out-- 41.0%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       3. times-frac 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}}\right)} \]

       4. distribute-lft-out 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       5. distribute-lft-out-- 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       6. sub-neg 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       7. distribute-rgt-neg-in 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       8. metadata-eval 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sub-neg 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{\color{blue}{0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       10. distribute-rgt-neg-in 69.1%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       11. metadata-eval 69.1%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 69.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       2. distribute-rgt-neg-in 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       3. add-sqr-sqrt 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot 0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       4. sqrt-unprod 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       5. swap-sqr 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       6. metadata-eval 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       7. metadata-eval 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       8. swap-sqr 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot -0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot -0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       10. add-sqr-sqrt 69.1%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{b \cdot -0.16666666666666666}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   14. Applied egg-rr 69.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   15. Taylor expanded in b around 0 79.5%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(b \cdot \left(1 + 0.6666666666666666 \cdot b\right)\right)}\right)} \]
   16. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 79.5%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(b \cdot \left(1 + \color{blue}{b \cdot 0.6666666666666666}\right)\right)\right)} \]

   17. Simplified 79.5%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(b \cdot \left(1 + b \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right)} \]

   18. Taylor expanded in b around 0 69.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{0.5} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 6 \cdot 10^{+35}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 70.7% accurate, 15.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 6 \cdot 10^{+35}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(-6 - b\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= b 6e+35)
   (/ 1.0 (+ 2.0 (* a (+ (* a (+ 0.5 (* a -0.16666666666666666))) -1.0))))
   (/ 1.0 (+ 2.0 (* b (+ 1.0 (* (* b 0.16666666666666666) (- -6.0 b))))))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 6e+35) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (-6.0 - b)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (b <= 6d+35) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (a * ((a * (0.5d0 + (a * (-0.16666666666666666d0)))) + (-1.0d0))))
    else
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (b * (1.0d0 + ((b * 0.16666666666666666d0) * ((-6.0d0) - b)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 6e+35) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (-6.0 - b)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if b <= 6e+35:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)))
	else:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (-6.0 - b)))))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (b <= 6e+35)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(a * Float64(Float64(a * Float64(0.5 + Float64(a * -0.16666666666666666))) + -1.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(b * Float64(1.0 + Float64(Float64(b * 0.16666666666666666) * Float64(-6.0 - b))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 6e+35)
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	else
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + ((b * 0.16666666666666666) * (-6.0 - b)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[b, 6e+35], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(a * N[(N[(a * N[(0.5 + N[(a * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(b * N[(1.0 + N[(N[(b * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(-6.0 - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 5.99999999999999981e35

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 77.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 68.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + -0.16666666666666666 \cdot a\right) - 1\right)}} \]

   if 5.99999999999999981e35 < b

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 70.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 70.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 70.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 69.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot b\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 69.1%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)} \]

   8. Simplified 69.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in 69.1%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\right)} \]

      2. flip-+ 41.0%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

   10. Applied egg-rr 41.0%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(b \cdot 0.5\right) \cdot \left(b \cdot 0.5\right) - \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. difference-of-squares 41.0%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

       2. distribute-lft-out-- 41.0%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\left(b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       3. times-frac 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot 0.5 + b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}}\right)} \]

       4. distribute-lft-out 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{b} \cdot \frac{b \cdot 0.5 - b \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       5. distribute-lft-out-- 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 - b \cdot 0.16666666666666666\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       6. sub-neg 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       7. distribute-rgt-neg-in 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       8. metadata-eval 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)}{0.5 - b \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sub-neg 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{\color{blue}{0.5 + \left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       10. distribute-rgt-neg-in 69.1%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + \color{blue}{b \cdot \left(-0.16666666666666666\right)}}\right)} \]

       11. metadata-eval 69.1%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 69.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       2. distribute-rgt-neg-in 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       3. add-sqr-sqrt 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot 0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       4. sqrt-unprod 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       5. swap-sqr 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       6. metadata-eval 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       7. metadata-eval 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       8. swap-sqr 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(b \cdot -0.16666666666666666\right)}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       9. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{\sqrt{b \cdot -0.16666666666666666} \cdot \sqrt{b \cdot -0.16666666666666666}}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

       10. add-sqr-sqrt 69.1%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \left(-\color{blue}{b \cdot -0.16666666666666666}\right)\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   14. Applied egg-rr 69.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \frac{b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(-b \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 + b \cdot -0.16666666666666666}\right)} \]

   15. Taylor expanded in b around inf 69.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(b \cdot \left(1 + 6 \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)}\right)} \]
   16. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot b\right) \cdot \left(1 + 6 \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)} \]

       2. +-commutative 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(\left(-1 \cdot b\right) \cdot \color{blue}{\left(6 \cdot \frac{1}{b} + 1\right)}\right)\right)} \]

       3. distribute-rgt-in 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(\left(6 \cdot \frac{1}{b}\right) \cdot \left(-1 \cdot b\right) + 1 \cdot \left(-1 \cdot b\right)\right)}\right)} \]

       4. *-lft-identity 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(\left(6 \cdot \frac{1}{b}\right) \cdot \left(-1 \cdot b\right) + \color{blue}{-1 \cdot b}\right)\right)} \]

       5. mul-1-neg 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(\left(6 \cdot \frac{1}{b}\right) \cdot \left(-1 \cdot b\right) + \color{blue}{\left(-b\right)}\right)\right)} \]

       6. unsub-neg 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(\left(6 \cdot \frac{1}{b}\right) \cdot \left(-1 \cdot b\right) - b\right)}\right)} \]

       7. mul-1-neg 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(\left(6 \cdot \frac{1}{b}\right) \cdot \color{blue}{\left(-b\right)} - b\right)\right)} \]

       8. distribute-rgt-neg-in 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(\color{blue}{\left(-\left(6 \cdot \frac{1}{b}\right) \cdot b\right)} - b\right)\right)} \]

       9. associate-*l* 69.1%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(\left(-\color{blue}{6 \cdot \left(\frac{1}{b} \cdot b\right)}\right) - b\right)\right)} \]

       10. lft-mult-inverse 69.1%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(\left(-6 \cdot \color{blue}{1}\right) - b\right)\right)} \]

       11. metadata-eval 69.1%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(\left(-\color{blue}{6}\right) - b\right)\right)} \]

       12. metadata-eval 69.1%

           \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \left(\color{blue}{-6} - b\right)\right)} \]

   17. Simplified 69.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \frac{b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)}{b} \cdot \color{blue}{\left(-6 - b\right)}\right)} \]

   18. Taylor expanded in b around inf 69.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot b\right)} \cdot \left(-6 - b\right)\right)} \]
   19. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 91.6%

          \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.6666666666666666 + b \cdot \left(0.2222222222222222 + b \cdot 0.07407407407407407\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   20. Simplified 69.1%

       \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(b \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(-6 - b\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 6 \cdot 10^{+35}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + \left(b \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(-6 - b\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 70.7% accurate, 15.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 6 \cdot 10^{+35}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= b 6e+35)
   (/ 1.0 (+ 2.0 (* a (+ (* a (+ 0.5 (* a -0.16666666666666666))) -1.0))))
   (/ 1.0 (+ 2.0 (* b (+ 1.0 (* b (+ 0.5 (* b 0.16666666666666666)))))))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 6e+35) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (b * (0.5 + (b * 0.16666666666666666))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (b <= 6d+35) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (a * ((a * (0.5d0 + (a * (-0.16666666666666666d0)))) + (-1.0d0))))
    else
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (b * (1.0d0 + (b * (0.5d0 + (b * 0.16666666666666666d0))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 6e+35) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (b * (0.5 + (b * 0.16666666666666666))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if b <= 6e+35:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)))
	else:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (b * (0.5 + (b * 0.16666666666666666))))))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (b <= 6e+35)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(a * Float64(Float64(a * Float64(0.5 + Float64(a * -0.16666666666666666))) + -1.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(b * Float64(1.0 + Float64(b * Float64(0.5 + Float64(b * 0.16666666666666666)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 6e+35)
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	else
		tmp = 1.0 / (2.0 + (b * (1.0 + (b * (0.5 + (b * 0.16666666666666666))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[b, 6e+35], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(a * N[(N[(a * N[(0.5 + N[(a * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(b * N[(1.0 + N[(b * N[(0.5 + N[(b * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 5.99999999999999981e35

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 77.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 68.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + -0.16666666666666666 \cdot a\right) - 1\right)}} \]

   if 5.99999999999999981e35 < b

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 70.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 70.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 70.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 69.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot b\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 69.1%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + \color{blue}{b \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)} \]

   8. Simplified 69.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 6 \cdot 10^{+35}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + b \cdot \left(1 + b \cdot \left(0.5 + b \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 66.9% accurate, 15.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 3.3 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{b \cdot \left(-b\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= b 3.3e+47)
   (/ 1.0 (+ 2.0 (* a (+ (* a (+ 0.5 (* a -0.16666666666666666))) -1.0))))
   (/ 2.0 (* b (- b)))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 3.3e+47) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 2.0 / (b * -b);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (b <= 3.3d+47) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (a * ((a * (0.5d0 + (a * (-0.16666666666666666d0)))) + (-1.0d0))))
    else
        tmp = 2.0d0 / (b * -b)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 3.3e+47) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	} else {
		tmp = 2.0 / (b * -b);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if b <= 3.3e+47:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)))
	else:
		tmp = 2.0 / (b * -b)
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (b <= 3.3e+47)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(a * Float64(Float64(a * Float64(0.5 + Float64(a * -0.16666666666666666))) + -1.0))));
	else
		tmp = Float64(2.0 / Float64(b * Float64(-b)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 3.3e+47)
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * ((a * (0.5 + (a * -0.16666666666666666))) + -1.0)));
	else
		tmp = 2.0 / (b * -b);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[b, 3.3e+47], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(a * N[(N[(a * N[(0.5 + N[(a * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.0 / N[(b * (-b)), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 3.2999999999999999e47

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 71.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 71.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 71.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 76.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 68.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + -0.16666666666666666 \cdot a\right) - 1\right)}} \]

   if 3.2999999999999999e47 < b

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 71.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 71.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 71.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 4.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 4.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{b + 2}} \]

   8. Simplified 4.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{b + 2}} \]

   9. Taylor expanded in b around inf 4.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 2 \cdot \frac{1}{b}}{b}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 4.9%

          \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{2 \cdot 1}{b}}}{b} \]

       2. metadata-eval 4.9%

          \[\leadsto \frac{1 - \frac{\color{blue}{2}}{b}}{b} \]

   11. Simplified 4.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \frac{2}{b}}{b}} \]

   12. Taylor expanded in b around 0 43.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-2}{b}}}{b} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. clear-num 44.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{b}{\frac{-2}{b}}}} \]

       2. associate-/r/ 43.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{b} \cdot \frac{-2}{b}} \]

   14. Applied egg-rr 43.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{b} \cdot \frac{-2}{b}} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg 43.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{-b}} \cdot \frac{-2}{b} \]

       2. metadata-eval 43.6%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1}}{-b} \cdot \frac{-2}{b} \]

       3. frac-times 44.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 \cdot -2}{\left(-b\right) \cdot b}} \]

       4. metadata-eval 44.1%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{2}}{\left(-b\right) \cdot b} \]

   16. Applied egg-rr 44.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{\left(-b\right) \cdot b}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 63.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 3.3 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(a \cdot \left(0.5 + a \cdot -0.16666666666666666\right) + -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{b \cdot \left(-b\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 65.0% accurate, 19.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 3.9 \cdot 10^{+136}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(-1 + a \cdot 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{b \cdot \left(-b\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= b 3.9e+136)
   (/ 1.0 (+ 2.0 (* a (+ -1.0 (* a 0.5)))))
   (/ 2.0 (* b (- b)))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 3.9e+136) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * (-1.0 + (a * 0.5))));
	} else {
		tmp = 2.0 / (b * -b);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (b <= 3.9d+136) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 + (a * ((-1.0d0) + (a * 0.5d0))))
    else
        tmp = 2.0d0 / (b * -b)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 3.9e+136) {
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * (-1.0 + (a * 0.5))));
	} else {
		tmp = 2.0 / (b * -b);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if b <= 3.9e+136:
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * (-1.0 + (a * 0.5))))
	else:
		tmp = 2.0 / (b * -b)
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (b <= 3.9e+136)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(a * Float64(-1.0 + Float64(a * 0.5)))));
	else
		tmp = Float64(2.0 / Float64(b * Float64(-b)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 3.9e+136)
		tmp = 1.0 / (2.0 + (a * (-1.0 + (a * 0.5))));
	else
		tmp = 2.0 / (b * -b);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[b, 3.9e+136], N[(1.0 / N[(2.0 + N[(a * N[(-1.0 + N[(a * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.0 / N[(b * (-b)), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 3.90000000000000019e136

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 71.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 71.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 58.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + a \cdot \left(0.5 \cdot a - 1\right)}} \]

   if 3.90000000000000019e136 < b

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 70.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 70.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 70.4%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 5.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 5.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{b + 2}} \]

   8. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{b + 2}} \]

   9. Taylor expanded in b around inf 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 2 \cdot \frac{1}{b}}{b}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 5.8%

          \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{2 \cdot 1}{b}}}{b} \]

       2. metadata-eval 5.8%

          \[\leadsto \frac{1 - \frac{\color{blue}{2}}{b}}{b} \]

   11. Simplified 5.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \frac{2}{b}}{b}} \]

   12. Taylor expanded in b around 0 78.8%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-2}{b}}}{b} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. clear-num 79.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{b}{\frac{-2}{b}}}} \]

       2. associate-/r/ 78.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{b} \cdot \frac{-2}{b}} \]

   14. Applied egg-rr 78.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{b} \cdot \frac{-2}{b}} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg 78.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{-b}} \cdot \frac{-2}{b} \]

       2. metadata-eval 78.8%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1}}{-b} \cdot \frac{-2}{b} \]

       3. frac-times 79.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 \cdot -2}{\left(-b\right) \cdot b}} \]

       4. metadata-eval 79.8%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{2}}{\left(-b\right) \cdot b} \]

   16. Applied egg-rr 79.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{\left(-b\right) \cdot b}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 3.9 \cdot 10^{+136}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 + a \cdot \left(-1 + a \cdot 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{b \cdot \left(-b\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 54.2% accurate, 25.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 3.4 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 - a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{b \cdot \frac{b}{2}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= b 3.4e-16) (/ 1.0 (- 2.0 a)) (/ 1.0 (* b (/ b 2.0)))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 3.4e-16) {
		tmp = 1.0 / (2.0 - a);
	} else {
		tmp = 1.0 / (b * (b / 2.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (b <= 3.4d-16) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 - a)
    else
        tmp = 1.0d0 / (b * (b / 2.0d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 3.4e-16) {
		tmp = 1.0 / (2.0 - a);
	} else {
		tmp = 1.0 / (b * (b / 2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if b <= 3.4e-16:
		tmp = 1.0 / (2.0 - a)
	else:
		tmp = 1.0 / (b * (b / 2.0))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (b <= 3.4e-16)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 - a));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(b * Float64(b / 2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 3.4e-16)
		tmp = 1.0 / (2.0 - a);
	else
		tmp = 1.0 / (b * (b / 2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[b, 3.4e-16], N[(1.0 / N[(2.0 - a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(b * N[(b / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 3.4e-16

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 98.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 72.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 72.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 72.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 77.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 51.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot a}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 51.9%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-a\right)}} \]

      2. unsub-neg 51.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - a}} \]

   8. Simplified 51.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - a}} \]

   if 3.4e-16 < b

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 67.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 67.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 67.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 97.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 10.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 10.2%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{b + 2}} \]

   8. Simplified 10.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{b + 2}} \]

   9. Taylor expanded in b around inf 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 2 \cdot \frac{1}{b}}{b}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 4.5%

          \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{2 \cdot 1}{b}}}{b} \]

       2. metadata-eval 4.5%

          \[\leadsto \frac{1 - \frac{\color{blue}{2}}{b}}{b} \]

   11. Simplified 4.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \frac{2}{b}}{b}} \]

   12. Taylor expanded in b around 0 34.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-2}{b}}}{b} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. clear-num 34.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{b}{\frac{-2}{b}}}} \]

       2. associate-/r/ 34.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{b} \cdot \frac{-2}{b}} \]

   14. Applied egg-rr 34.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{b} \cdot \frac{-2}{b}} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. associate-*l/ 34.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \frac{-2}{b}}{b}} \]

       2. *-un-lft-identity 34.0%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-2}{b}}}{b} \]

       3. clear-num 34.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{b}{\frac{-2}{b}}}} \]

   16. Applied egg-rr 34.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{b}{\frac{-2}{b}}}} \]
   17. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg 34.4%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-b}{-\frac{-2}{b}}}} \]

       2. add-sqr-sqrt 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\sqrt{-b} \cdot \sqrt{-b}}}{-\frac{-2}{b}}} \]

       3. associate-/l* 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{-b} \cdot \frac{\sqrt{-b}}{-\frac{-2}{b}}}} \]

       4. add-sqr-sqrt 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{-b} \cdot \sqrt{-b}}} \cdot \frac{\sqrt{-b}}{-\frac{-2}{b}}} \]

       5. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right)}}} \cdot \frac{\sqrt{-b}}{-\frac{-2}{b}}} \]

       6. sqr-neg 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{\sqrt{\color{blue}{b \cdot b}}} \cdot \frac{\sqrt{-b}}{-\frac{-2}{b}}} \]

       7. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}} \cdot \frac{\sqrt{-b}}{-\frac{-2}{b}}} \]

       8. add-sqr-sqrt 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{b}} \cdot \frac{\sqrt{-b}}{-\frac{-2}{b}}} \]

       9. add-sqr-sqrt 0.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{-b} \cdot \sqrt{-b}}}}{-\frac{-2}{b}}} \]

       10. sqrt-unprod 34.9%

           \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\left(-b\right) \cdot \left(-b\right)}}}}{-\frac{-2}{b}}} \]

       11. sqr-neg 34.9%

           \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{\color{blue}{b \cdot b}}}}{-\frac{-2}{b}}} \]

       12. sqrt-unprod 34.9%

           \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}}}{-\frac{-2}{b}}} \]

       13. add-sqr-sqrt 34.9%

           \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{\color{blue}{b}}}{-\frac{-2}{b}}} \]

       14. distribute-neg-frac 34.9%

           \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\color{blue}{\frac{--2}{b}}}} \]

       15. metadata-eval 34.9%

           \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\frac{\color{blue}{2}}{b}}} \]

   18. Applied egg-rr 34.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\frac{2}{b}}}} \]
   19. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 34.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{\frac{2}{b}}}} \]

       2. rem-square-sqrt 34.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{b}}{\frac{2}{b}}} \]

       3. associate-/r/ 34.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{b}{2} \cdot b}} \]

   20. Simplified 34.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{b}{2} \cdot b}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 47.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 3.4 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 - a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{b \cdot \frac{b}{2}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 54.6% accurate, 27.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 2.9:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 - a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-2}{b \cdot b}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= b 2.9) (/ 1.0 (- 2.0 a)) (/ (- 2.0) (* b b))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 2.9) {
		tmp = 1.0 / (2.0 - a);
	} else {
		tmp = -2.0 / (b * b);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (b <= 2.9d0) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 - a)
    else
        tmp = -2.0d0 / (b * b)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 2.9) {
		tmp = 1.0 / (2.0 - a);
	} else {
		tmp = -2.0 / (b * b);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if b <= 2.9:
		tmp = 1.0 / (2.0 - a)
	else:
		tmp = -2.0 / (b * b)
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (b <= 2.9)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 - a));
	else
		tmp = Float64(Float64(-2.0) / Float64(b * b));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 2.9)
		tmp = 1.0 / (2.0 - a);
	else
		tmp = -2.0 / (b * b);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[b, 2.9], N[(1.0 / N[(2.0 - a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[((-2.0) / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 2.89999999999999991

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 98.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 73.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 73.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 73.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 77.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 52.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot a}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 52.3%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-a\right)}} \]

      2. unsub-neg 52.3%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - a}} \]

   8. Simplified 52.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - a}} \]

   if 2.89999999999999991 < b

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 66.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 66.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 66.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 4.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 4.7%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{b + 2}} \]

   8. Simplified 4.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{b + 2}} \]

   9. Taylor expanded in b around inf 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 2 \cdot \frac{1}{b}}{b}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 4.7%

          \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{2 \cdot 1}{b}}}{b} \]

       2. metadata-eval 4.7%

          \[\leadsto \frac{1 - \frac{\color{blue}{2}}{b}}{b} \]

   11. Simplified 4.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \frac{2}{b}}{b}} \]

   12. Taylor expanded in b around 0 36.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-2}{b}}}{b} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. clear-num 37.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{b}{\frac{-2}{b}}}} \]

       2. associate-/r/ 36.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{b} \cdot \frac{-2}{b}} \]

   14. Applied egg-rr 36.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{b} \cdot \frac{-2}{b}} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg 36.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{-b}} \cdot \frac{-2}{b} \]

       2. metadata-eval 36.5%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1}}{-b} \cdot \frac{-2}{b} \]

       3. frac-times 37.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 \cdot -2}{\left(-b\right) \cdot b}} \]

       4. metadata-eval 37.0%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{2}}{\left(-b\right) \cdot b} \]

   16. Applied egg-rr 37.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{\left(-b\right) \cdot b}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 2.9:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 - a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-2}{b \cdot b}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 53.8% accurate, 30.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 2.1 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 - a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-2}{b}}{b}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= b 2.1e-15) (/ 1.0 (- 2.0 a)) (/ (/ -2.0 b) b)))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 2.1e-15) {
		tmp = 1.0 / (2.0 - a);
	} else {
		tmp = (-2.0 / b) / b;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (b <= 2.1d-15) then
        tmp = 1.0d0 / (2.0d0 - a)
    else
        tmp = ((-2.0d0) / b) / b
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (b <= 2.1e-15) {
		tmp = 1.0 / (2.0 - a);
	} else {
		tmp = (-2.0 / b) / b;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if b <= 2.1e-15:
		tmp = 1.0 / (2.0 - a)
	else:
		tmp = (-2.0 / b) / b
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (b <= 2.1e-15)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(2.0 - a));
	else
		tmp = Float64(Float64(-2.0 / b) / b);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 2.1e-15)
		tmp = 1.0 / (2.0 - a);
	else
		tmp = (-2.0 / b) / b;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[b, 2.1e-15], N[(1.0 / N[(2.0 - a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(-2.0 / b), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 2.09999999999999981e-15

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 98.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 73.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 73.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 73.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.5%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 100.0%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0 77.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

   6. Taylor expanded in a around 0 52.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot a}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 52.1%

         \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-a\right)}} \]

      2. unsub-neg 52.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - a}} \]

   8. Simplified 52.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - a}} \]

   if 2.09999999999999981e-15 < b

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

      2. associate-*l/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

      3. associate-/r/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

      4. remove-double-neg 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

      5. unsub-neg 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

      6. div-sub 67.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

      7. *-lft-identity 67.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      8. associate-*l/ 67.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      9. lft-mult-inverse 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

      10. sub-neg 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

      11. distribute-frac-neg 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

      12. remove-double-neg 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

      13. div-exp 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0 97.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

   6. Taylor expanded in b around 0 8.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + b}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 8.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{b + 2}} \]

   8. Simplified 8.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{b + 2}} \]

   9. Taylor expanded in b around inf 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 2 \cdot \frac{1}{b}}{b}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 4.5%

          \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{2 \cdot 1}{b}}}{b} \]

       2. metadata-eval 4.5%

          \[\leadsto \frac{1 - \frac{\color{blue}{2}}{b}}{b} \]

   11. Simplified 4.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \frac{2}{b}}{b}} \]

   12. Taylor expanded in b around 0 34.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-2}{b}}}{b} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 16: 40.8% accurate, 61.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{2 - a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b) :precision binary64 (/ 1.0 (- 2.0 a)))

C

double code(double a, double b) {
	return 1.0 / (2.0 - a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    code = 1.0d0 / (2.0d0 - a)
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	return 1.0 / (2.0 - a);
}

Python

def code(a, b):
	return 1.0 / (2.0 - a)

Julia

function code(a, b)
	return Float64(1.0 / Float64(2.0 - a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	tmp = 1.0 / (2.0 - a);
end

Wolfram

code[a_, b_] := N[(1.0 / N[(2.0 - a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

   2. associate-*l/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

   3. associate-/r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

   4. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

   5. unsub-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

   6. div-sub 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

   7. *-lft-identity 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   8. associate-*l/ 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   9. lft-mult-inverse 99.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   10. sub-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

   11. distribute-frac-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

   12. remove-double-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

   13. div-exp 100.0%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around 0 67.4%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-a}}} \]

6. Taylor expanded in a around 0 40.4%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + -1 \cdot a}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. neg-mul-1 40.4%

      \[\leadsto \frac{1}{2 + \color{blue}{\left(-a\right)}} \]

   2. unsub-neg 40.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - a}} \]

8. Simplified 40.4%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 - a}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 17: 39.9% accurate, 305.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b) :precision binary64 0.5)

C

double code(double a, double b) {
	return 0.5;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    code = 0.5d0
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	return 0.5;
}

Python

def code(a, b):
	return 0.5

Julia

function code(a, b)
	return 0.5
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	tmp = 0.5;
end

Wolfram

code[a_, b_] := 0.5

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\frac{e^{a}}{e^{a} + e^{b}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a} + e^{b}} \]

   2. associate-*l/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{a} + e^{b}} \cdot e^{a}} \]

   3. associate-/r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{a} + e^{b}}{e^{a}}}} \]

   4. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{a} + \color{blue}{\left(-\left(-e^{b}\right)\right)}}{e^{a}}} \]

   5. unsub-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{e^{a} - \left(-e^{b}\right)}}{e^{a}}} \]

   6. div-sub 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{a}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}}} \]

   7. *-lft-identity 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot e^{a}}}{e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   8. associate-*l/ 71.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{e^{a}} \cdot e^{a}} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   9. lft-mult-inverse 99.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} - \frac{-e^{b}}{e^{a}}} \]

   10. sub-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \left(-\frac{-e^{b}}{e^{a}}\right)}} \]

   11. distribute-frac-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{-\left(-e^{b}\right)}{e^{a}}}} \]

   12. remove-double-neg 99.6%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\color{blue}{e^{b}}}{e^{a}}} \]

   13. div-exp 100.0%

       \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{e^{b - a}}} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + e^{b - a}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0 80.3%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + e^{b}}} \]

6. Taylor expanded in b around 0 39.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]
7. Add Preprocessing

Developer target: 100.0% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + e^{b - a}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b) :precision binary64 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- b a)))))

C

double code(double a, double b) {
	return 1.0 / (1.0 + exp((b - a)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    code = 1.0d0 / (1.0d0 + exp((b - a)))
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	return 1.0 / (1.0 + Math.exp((b - a)));
}

Python

def code(a, b):
	return 1.0 / (1.0 + math.exp((b - a)))

Julia

function code(a, b)
	return Float64(1.0 / Float64(1.0 + exp(Float64(b - a))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	tmp = 1.0 / (1.0 + exp((b - a)));
end

Wolfram

code[a_, b_] := N[(1.0 / N[(1.0 + N[Exp[N[(b - a), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024107 
(FPCore (a b)
  :name "Quotient of sum of exps"
  :precision binary64

  :alt
  (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- b a))))

  (/ (exp a) (+ (exp a) (exp b))))