math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 65.1% → 99.9%

Time: 16.3s

Alternatives: 23

Speedup: 2.8×

• 49.0% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 65.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.4:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))) (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.4)
      (* t_0 t_1)
      (*
       t_1
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.016666666666666666
              (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.4) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    t_1 = 0.5d0 * sin(re)
    if (t_0 <= (-0.4d0)) then
        tmp = t_0 * t_1
    else
        tmp = t_1 * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0))))))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.4) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	t_1 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.4:
		tmp = t_0 * t_1
	else:
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.4)
		tmp = Float64(t_0 * t_1);
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	t_1 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.4)
		tmp = t_0 * t_1;
	else
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.4], N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.40000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.40000000000000002 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 58.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 97.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

      4. unpow2 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + {im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right) \]

      8. unpow2 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} + \left(-0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-0.016666666666666666}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 + -0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.0003968253968253968}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.4:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.46:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5.2 \cdot 10^{+46}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.46)
    (*
     (* 0.5 (sin re))
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.016666666666666666
            (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))))))))
    (if (<= im_m 5.2e+46)
      (* (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) (* 0.5 re))
      (*
       im_m
       (*
        (sin re)
        (+
         -1.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           (*
            (* im_m im_m)
            (+ -0.008333333333333333 (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984))))
           -0.16666666666666666)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.46) {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))));
	} else if (im_m <= 5.2e+46) {
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.46d0) then
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0))))))))))
    else if (im_m <= 5.2d+46) then
        tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0))))) + (-0.16666666666666666d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.46) {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))));
	} else if (im_m <= 5.2e+46) {
		tmp = (Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.46:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))))
	elif im_m <= 5.2e+46:
		tmp = (math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.46)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))));
	elseif (im_m <= 5.2e+46)
		tmp = Float64(Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.46)
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))));
	elseif (im_m <= 5.2e+46)
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.46], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 5.2e+46], N[(N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 1.46

   1. Initial program 58.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 97.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

      4. unpow2 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + {im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right) \]

      8. unpow2 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* 97.7%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} + \left(-0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-0.016666666666666666}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 + -0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.0003968253968253968}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* 97.7%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.46 < im < 5.20000000000000027e46

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 64.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   if 5.20000000000000027e46 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 96.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 96.5%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 96.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 96.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 96.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

      4. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around inf 100.0%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) + \left(-1\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

      3. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left({im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4}} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} + \left(-0.008333333333333333\right)\right)} \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.0001984126984126984} + \left(-0.008333333333333333\right)\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(-0.008333333333333333\right)\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)} + \left(-0.008333333333333333\right)\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{-0.008333333333333333}\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative 100.0%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)} \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      13. pow-sqr 100.0%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right)} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      14. associate-*r* 100.0%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{2}\right) \cdot {im}^{2}} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      15. distribute-rgt-out 100.0%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{2} + -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \]

      16. unpow2 100.0%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{2} + -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.46:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.2 \cdot 10^{+46}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 92.2% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.5 \cdot 10^{+19} \lor \neg \left(im\_m \leq 1.25 \cdot 10^{+77}\right):\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(\left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (or (<= im_m 1.5e+19) (not (<= im_m 1.25e+77)))
    (*
     im_m
     (*
      (sin re)
      (+
       -1.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+ -0.16666666666666666 (* im_m (* im_m -0.008333333333333333)))))))
    (*
     im_m
     (*
      re
      (*
       (+
        -1.0
        (*
         (* im_m im_m)
         (+
          (*
           (* im_m im_m)
           (+ -0.008333333333333333 (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984))))
          -0.16666666666666666)))
       (+ (* re (* re -0.16666666666666666)) 1.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if ((im_m <= 1.5e+19) || !(im_m <= 1.25e+77)) {
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if ((im_m <= 1.5d+19) .or. (.not. (im_m <= 1.25d+77))) then
        tmp = im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333d0)))))))
    else
        tmp = im_m * (re * (((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0))))) + (-0.16666666666666666d0)))) * ((re * (re * (-0.16666666666666666d0))) + 1.0d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if ((im_m <= 1.5e+19) || !(im_m <= 1.25e+77)) {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if (im_m <= 1.5e+19) or not (im_m <= 1.25e+77):
		tmp = im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))))
	else:
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if ((im_m <= 1.5e+19) || !(im_m <= 1.25e+77))
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.008333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * Float64(Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)) + 1.0))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if ((im_m <= 1.5e+19) || ~((im_m <= 1.25e+77)))
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[Or[LessEqual[im$95$m, 1.5e+19], N[Not[LessEqual[im$95$m, 1.25e+77]], $MachinePrecision]], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.5e19 or 1.25000000000000001e77 < im

   1. Initial program 67.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 93.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 93.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\sin re \cdot -1} + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative 93.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. distribute-lft-in 93.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      4. associate-*r* 93.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* 94.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot -1 + \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* 94.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \sin re}\right)\right) \]

      7. *-commutative 94.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)} \cdot \sin re\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out 94.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right) + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 94.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right) + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]

      10. *-commutative 94.6%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.16666666666666666}\right)\right)\right) \]

      11. distribute-lft-out 94.6%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2} + -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 94.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.5e19 < im < 1.25000000000000001e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 40.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 40.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 40.0%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 40.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 40.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 40.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 48.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 48.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*l* 48.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

      3. associate-*l* 48.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

      4. associate-*l* 48.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

   7. Applied egg-rr 48.6%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0 37.5%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)\right) - 1\right)\right)} \]

   10. Simplified 73.9%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.5 \cdot 10^{+19} \lor \neg \left(im \leq 1.25 \cdot 10^{+77}\right):\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 93.3% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   (* 0.5 (sin re))
   (*
    im_m
    (+
     -2.0
     (*
      (* im_m im_m)
      (+
       -0.3333333333333333
       (*
        im_m
        (*
         im_m
         (+
          -0.016666666666666666
          (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * ((0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * ((0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968)))))))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * ((0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 94.2%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 94.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) + \left(-2\right)\right)}\right) \]

   2. metadata-eval 94.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   3. +-commutative 94.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   4. unpow2 94.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg 94.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

   6. metadata-eval 94.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative 94.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + {im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right) \]

   8. unpow2 94.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* 94.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg 94.2%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} + \left(-0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval 94.2%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-0.016666666666666666}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative 94.2%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 + -0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative 94.2%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.0003968253968253968}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 94.2%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* 94.2%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 94.2%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 91.3% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.5 \cdot 10^{+19}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 8 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(\left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.5e+19)
    (* (* im_m (sin re)) (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666)))
    (if (<= im_m 8e+102)
      (*
       im_m
       (*
        re
        (*
         (+
          -1.0
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            (*
             (* im_m im_m)
             (+
              -0.008333333333333333
              (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984))))
            -0.16666666666666666)))
         (+ (* re (* re -0.16666666666666666)) 1.0))))
      (*
       (* 0.5 (sin re))
       (* im_m (+ -2.0 (* im_m (* im_m -0.3333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.5e+19) {
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	} else if (im_m <= 8e+102) {
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.5d+19) then
        tmp = (im_m * sin(re)) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0)))
    else if (im_m <= 8d+102) then
        tmp = im_m * (re * (((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0))))) + (-0.16666666666666666d0)))) * ((re * (re * (-0.16666666666666666d0))) + 1.0d0)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.5e+19) {
		tmp = (im_m * Math.sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	} else if (im_m <= 8e+102) {
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.5e+19:
		tmp = (im_m * math.sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666))
	elif im_m <= 8e+102:
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.5e+19)
		tmp = Float64(Float64(im_m * sin(re)) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	elseif (im_m <= 8e+102)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * Float64(Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)) + 1.0))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.3333333333333333)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.5e+19)
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	elseif (im_m <= 8e+102)
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.5e+19], N[(N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 8e+102], N[(im$95$m * N[(re * N[(N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 1.5e19

   1. Initial program 59.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 87.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 87.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out 87.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      3. associate-*r* 87.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-commutative 87.2%

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.16666666666666666}\right) \]

      5. unpow2 87.2%

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \]

   5. Simplified 87.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   if 1.5e19 < im < 7.99999999999999982e102

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 46.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 46.3%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 46.3%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 46.3%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 46.3%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 46.3%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 59.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 59.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*l* 59.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

      3. associate-*l* 59.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

      4. associate-*l* 59.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

   7. Applied egg-rr 59.6%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0 29.5%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)\right) - 1\right)\right)} \]

   10. Simplified 79.5%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)\right)} \]

   if 7.99999999999999982e102 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 92.8% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   im_m
   (*
    (sin re)
    (+
     -1.0
     (*
      (* im_m im_m)
      (+
       (*
        (* im_m im_m)
        (+ -0.008333333333333333 (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984))))
       -0.16666666666666666)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666)))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0))))) + (-0.16666666666666666d0))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666)))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666)))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666)))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 92.7%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

   2. +-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

   3. distribute-rgt-in 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

   4. *-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

   5. associate-+l+ 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

5. Simplified 94.2%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*l* 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

   3. associate-*l* 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

   4. associate-*l* 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

7. Applied egg-rr 94.2%

   \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

8. Taylor expanded in re around inf 94.2%

   \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) + \left(-1\right)\right)}\right) \]

   2. metadata-eval 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   3. +-commutative 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)\right)}\right) \]

   4. +-commutative 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left({im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. *-commutative 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4}} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} + \left(-0.008333333333333333\right)\right)} \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.0001984126984126984} + \left(-0.008333333333333333\right)\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(-0.008333333333333333\right)\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)} + \left(-0.008333333333333333\right)\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval 94.2%

       \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{-0.008333333333333333}\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative 94.2%

       \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)} \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval 94.2%

       \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   13. pow-sqr 94.2%

       \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right)} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   14. associate-*r* 94.2%

       \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{2}\right) \cdot {im}^{2}} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   15. distribute-rgt-out 94.2%

       \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{2} + -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \]

   16. unpow2 94.2%

       \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{2} + -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

10. Simplified 94.2%

    \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 90.5% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   (* 0.5 (sin re))
   (*
    im_m
    (+
     -2.0
     (*
      (* im_m im_m)
      (+ -0.3333333333333333 (* im_m (* im_m -0.016666666666666666)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666)))))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * ((0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666d0))))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666)))))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * ((0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666)))))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.016666666666666666))))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * ((0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666)))))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 92.6%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 92.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) + \left(-2\right)\right)}\right) \]

   2. metadata-eval 92.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   3. +-commutative 92.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + {im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   4. unpow2 92.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg 92.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

   6. metadata-eval 92.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative 92.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + -0.016666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   8. *-commutative 92.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.016666666666666666}\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 92.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* 92.6%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 92.6%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 73.8% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 0.00027:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 0.00027)
    (*
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.016666666666666666
            (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))))))
     (* 0.5 re))
    (* (* im_m (sin re)) (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 0.00027) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 0.00027d0) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))))))) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = (im_m * sin(re)) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 0.00027) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = (im_m * Math.sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 0.00027:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = (im_m * math.sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 0.00027)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * sin(re)) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 0.00027)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (0.5 * re);
	else
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 0.00027], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 2.70000000000000003e-4

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 60.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 69.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 93.6%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 93.6%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 93.6%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

      4. unpow2 93.6%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg 93.6%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval 93.6%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative 93.6%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + {im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right) \]

      8. unpow2 93.6%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* 93.6%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg 93.6%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} + \left(-0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval 93.6%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-0.016666666666666666}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative 93.6%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 + -0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative 93.6%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.0003968253968253968}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 93.6%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* 93.6%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Simplified 69.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 2.70000000000000003e-4 < re

   1. Initial program 56.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 88.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 88.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out 88.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      3. associate-*r* 88.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-commutative 88.4%

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.16666666666666666}\right) \]

      5. unpow2 88.4%

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \]

   5. Simplified 88.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 0.00027:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 82.8% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.5 \cdot 10^{+19}:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(\left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.5e+19)
    (* (- im_m) (sin re))
    (*
     im_m
     (*
      re
      (*
       (+
        -1.0
        (*
         (* im_m im_m)
         (+
          (*
           (* im_m im_m)
           (+ -0.008333333333333333 (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984))))
          -0.16666666666666666)))
       (+ (* re (* re -0.16666666666666666)) 1.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.5e+19) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.5d+19) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else
        tmp = im_m * (re * (((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0))))) + (-0.16666666666666666d0)))) * ((re * (re * (-0.16666666666666666d0))) + 1.0d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.5e+19) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.5e+19:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	else:
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.5e+19)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * Float64(Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)) + 1.0))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.5e+19)
		tmp = -im_m * sin(re);
	else
		tmp = im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.5e+19], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.5e19

   1. Initial program 59.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 60.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 60.1%

         \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \sin re} \]

      2. neg-sub0 60.1%

         \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   5. Simplified 60.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   if 1.5e19 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 87.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 87.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 87.5%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 87.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 87.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 87.5%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 90.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*l* 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

      3. associate-*l* 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

      4. associate-*l* 90.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.6%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0 6.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)\right) - 1\right)\right)} \]

   10. Simplified 81.9%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 65.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.5 \cdot 10^{+19}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 58.7% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 2.5e+69)
    (*
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.016666666666666666
            (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))))))
     (* 0.5 re))
    (if (<= re 1.9e+263)
      (*
       re
       (*
        (* im_m (* im_m im_m))
        (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.027777777777777776))))
      (if (<= re 1.15e+293)
        (*
         im_m
         (*
          re
          (-
           -1.0
           (*
            (* re re)
            (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.008333333333333333))))))
        (* im_m (* re (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (0.5 * re);
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 2.5d+69) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))))))) * (0.5d0 * re)
    else if (re <= 1.9d+263) then
        tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.027777777777777776d0)))
    else if (re <= 1.15d+293) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) - ((re * re) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.008333333333333333d0)))))
    else
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (0.5 * re);
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 2.5e+69:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (0.5 * re)
	elif re <= 1.9e+263:
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)))
	elif re <= 1.15e+293:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))))
	else:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * Float64(0.5 * re));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.027777777777777776))));
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 - Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (0.5 * re);
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	else
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 2.5e+69], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.9e+263], N[(re * N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.15e+293], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 - N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < 2.50000000000000018e69

   1. Initial program 71.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 58.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 65.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 93.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 93.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 93.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

      4. unpow2 93.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg 93.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval 93.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right) + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative 93.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + {im}^{2} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right) \]

      8. unpow2 93.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* 93.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} - 0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg 93.3%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} + \left(-0.016666666666666666\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval 93.3%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-0.016666666666666666}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative 93.3%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 + -0.0003968253968253968 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative 93.3%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.0003968253968253968}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 93.3%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* 93.3%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Simplified 65.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 2.50000000000000018e69 < re < 1.9e263

   1. Initial program 59.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 49.2%

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. cube-mult 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right) \]

       2. sub-neg 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)}\right) \]

       3. *-commutative 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot 0.027777777777777776} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot 0.027777777777777776 + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

       5. metadata-eval 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776 + \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)\right) \]

   11. Simplified 49.2%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776 + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 1.9e263 < re < 1.14999999999999995e293

   1. Initial program 52.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 52.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 52.0%

         \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \sin re} \]

      2. neg-sub0 52.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   5. Simplified 52.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 50.8%

      \[\leadsto 0 - im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} + \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. *-commutative 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{{re}^{2} \cdot 0.008333333333333333}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 50.8%

      \[\leadsto 0 - im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 1.14999999999999995e293 < re

   1. Initial program 42.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 21.2%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 61.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 58.2% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 2.5e+69)
    (*
     im_m
     (*
      re
      (+
       -1.0
       (*
        im_m
        (*
         im_m
         (+
          -0.16666666666666666
          (*
           im_m
           (*
            im_m
            (+
             -0.008333333333333333
             (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984)))))))))))
    (if (<= re 1.9e+263)
      (*
       re
       (*
        (* im_m (* im_m im_m))
        (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.027777777777777776))))
      (if (<= re 1.15e+293)
        (*
         im_m
         (*
          re
          (-
           -1.0
           (*
            (* re re)
            (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.008333333333333333))))))
        (* im_m (* re (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984))))))))));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 2.5d+69) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0)))))))))))
    else if (re <= 1.9d+263) then
        tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.027777777777777776d0)))
    else if (re <= 1.15d+293) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) - ((re * re) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.008333333333333333d0)))))
    else
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984))))))))));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 2.5e+69:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984))))))))))
	elif re <= 1.9e+263:
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)))
	elif re <= 1.15e+293:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))))
	else:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984)))))))))));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.027777777777777776))));
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 - Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984))))))))));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	else
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 2.5e+69], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.9e+263], N[(re * N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.15e+293], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 - N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < 2.50000000000000018e69

   1. Initial program 71.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 91.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. +-commutative 91.4%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      3. distribute-rgt-in 91.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

      4. *-commutative 91.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

      5. associate-+l+ 91.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

   5. Simplified 93.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*l* 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

      3. associate-*l* 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

      4. associate-*l* 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

   7. Applied egg-rr 93.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around inf 93.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) + \left(-1\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

      3. +-commutative 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left({im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. *-commutative 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4}} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} + \left(-0.008333333333333333\right)\right)} \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.0001984126984126984} + \left(-0.008333333333333333\right)\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(-0.008333333333333333\right)\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* 93.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)} + \left(-0.008333333333333333\right)\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval 93.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{-0.008333333333333333}\right) \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative 93.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)} \cdot {im}^{4} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval 93.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      13. pow-sqr 93.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right)} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      14. associate-*r* 93.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(\color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{2}\right) \cdot {im}^{2}} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      15. distribute-rgt-out 93.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{2} + -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \]

      16. unpow2 93.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot {im}^{2} + -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 93.2%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in re around 0 65.5%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) - 0.16666666666666666\right) - 1\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 65.5%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) - 0.16666666666666666\right) + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 65.5%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) - 0.16666666666666666\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. sub-neg 65.5%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) + \left(-0.16666666666666666\right)\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 65.5%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) + \left(-0.16666666666666666\right)\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

       5. sub-neg 65.5%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} + \left(-0.008333333333333333\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666\right)\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative 65.5%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.0001984126984126984} + \left(-0.008333333333333333\right)\right) + \left(-0.16666666666666666\right)\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 65.5%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.0001984126984126984 + \left(-0.008333333333333333\right)\right) + \left(-0.16666666666666666\right)\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

       8. associate-*r* 65.5%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)} + \left(-0.008333333333333333\right)\right) + \left(-0.16666666666666666\right)\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

       9. metadata-eval 65.5%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{-0.008333333333333333}\right) + \left(-0.16666666666666666\right)\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

       10. +-commutative 65.5%

           \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666\right)\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

       11. associate-*r* 65.5%

           \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666\right)\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval 65.5%

           \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right) + \color{blue}{-0.16666666666666666}\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

       13. metadata-eval 65.5%

           \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right) + -0.16666666666666666\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

       14. +-commutative 65.5%

           \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right)}\right) \]

       15. associate-*r* 65.5%

           \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 65.5%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 2.50000000000000018e69 < re < 1.9e263

   1. Initial program 59.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 49.2%

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. cube-mult 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right) \]

       2. sub-neg 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)}\right) \]

       3. *-commutative 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot 0.027777777777777776} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot 0.027777777777777776 + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

       5. metadata-eval 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776 + \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)\right) \]

   11. Simplified 49.2%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776 + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 1.9e263 < re < 1.14999999999999995e293

   1. Initial program 52.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 52.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 52.0%

         \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \sin re} \]

      2. neg-sub0 52.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   5. Simplified 52.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 50.8%

      \[\leadsto 0 - im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} + \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. *-commutative 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{{re}^{2} \cdot 0.008333333333333333}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 50.8%

      \[\leadsto 0 - im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 1.14999999999999995e293 < re

   1. Initial program 42.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 21.2%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 61.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 57.0% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 2.5e+69)
    (*
     (* 0.5 re)
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+ -0.3333333333333333 (* im_m (* im_m -0.016666666666666666)))))))
    (if (<= re 1.9e+263)
      (*
       re
       (*
        (* im_m (* im_m im_m))
        (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.027777777777777776))))
      (if (<= re 1.15e+293)
        (*
         im_m
         (*
          re
          (-
           -1.0
           (*
            (* re re)
            (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.008333333333333333))))))
        (* im_m (* re (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 2.5d+69) then
        tmp = (0.5d0 * re) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666d0)))))))
    else if (re <= 1.9d+263) then
        tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.027777777777777776d0)))
    else if (re <= 1.15d+293) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) - ((re * re) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.008333333333333333d0)))))
    else
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 2.5e+69:
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))))
	elif re <= 1.9e+263:
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)))
	elif re <= 1.15e+293:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))))
	else:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.016666666666666666)))))));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.027777777777777776))));
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 - Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 - ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	else
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 2.5e+69], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.9e+263], N[(re * N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.15e+293], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 - N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < 2.50000000000000018e69

   1. Initial program 71.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + {im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

      4. unpow2 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + -0.016666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      8. *-commutative 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.016666666666666666}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* 91.3%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 64.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

   if 2.50000000000000018e69 < re < 1.9e263

   1. Initial program 59.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 49.2%

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. cube-mult 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right) \]

       2. sub-neg 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)}\right) \]

       3. *-commutative 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot 0.027777777777777776} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot 0.027777777777777776 + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

       5. metadata-eval 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776 + \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)\right) \]

   11. Simplified 49.2%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776 + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 1.9e263 < re < 1.14999999999999995e293

   1. Initial program 52.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 52.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 52.0%

         \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \sin re} \]

      2. neg-sub0 52.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   5. Simplified 52.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 50.8%

      \[\leadsto 0 - im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {re}^{2} + \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. *-commutative 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{{re}^{2} \cdot 0.008333333333333333}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 50.8%

         \[\leadsto 0 - im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 50.8%

      \[\leadsto 0 - im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 1.14999999999999995e293 < re

   1. Initial program 42.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 21.2%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 60.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 48.7% accurate, 9.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 7.8 \cdot 10^{-231}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666))))
   (*
    im_s
    (if (<= re 7.8e-231)
      (* -0.008333333333333333 (* re (* im_m (* im_m (* im_m (* im_m im_m))))))
      (if (<= re 2.5e+69)
        (* im_m (* re (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))))
        (if (<= re 1.9e+263)
          (* re (* im_m t_0))
          (if (<= re 1.15e+293)
            (* im_m (* (* im_m im_m) (* re -0.16666666666666666)))
            (* im_m (* re t_0)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (re <= 7.8e-231) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im_m * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))));
	} else if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * (im_m * t_0);
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = im_m * (re * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)
    if (re <= 7.8d-231) then
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (re * (im_m * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))))
    else if (re <= 2.5d+69) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))))
    else if (re <= 1.9d+263) then
        tmp = re * (im_m * t_0)
    else if (re <= 1.15d+293) then
        tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * (-0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = im_m * (re * t_0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (re <= 7.8e-231) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im_m * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))));
	} else if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * (im_m * t_0);
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = im_m * (re * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)
	tmp = 0
	if re <= 7.8e-231:
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im_m * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))))
	elif re <= 2.5e+69:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)))
	elif re <= 1.9e+263:
		tmp = re * (im_m * t_0)
	elif re <= 1.15e+293:
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666))
	else:
		tmp = im_m * (re * t_0)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))
	tmp = 0.0
	if (re <= 7.8e-231)
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(re * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))))));
	elseif (re <= 2.5e+69)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = Float64(re * Float64(im_m * t_0));
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(re * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * t_0));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666);
	tmp = 0.0;
	if (re <= 7.8e-231)
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im_m * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))));
	elseif (re <= 2.5e+69)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = re * (im_m * t_0);
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	else
		tmp = im_m * (re * t_0);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 7.8e-231], N[(-0.008333333333333333 * N[(re * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 2.5e+69], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.9e+263], N[(re * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.15e+293], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if re < 7.7999999999999995e-231

   1. Initial program 69.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 92.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 92.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 92.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + {im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

      4. unpow2 92.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg 92.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval 92.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative 92.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + -0.016666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      8. *-commutative 92.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.016666666666666666}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 92.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* 92.0%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 59.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in im around inf 47.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot re\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 47.9%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{5}\right)} \]

      2. metadata-eval 47.9%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{\color{blue}{\left(4 + 1\right)}}\right) \]

      3. pow-plus 47.9%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left({im}^{4} \cdot im\right)}\right) \]

      4. *-commutative 47.9%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot {im}^{4}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval 47.9%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot {im}^{\color{blue}{\left(3 + 1\right)}}\right)\right) \]

      6. pow-plus 47.9%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      7. *-commutative 47.9%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot {im}^{3}\right)}\right)\right) \]

      8. cube-mult 47.9%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 47.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 7.7999999999999995e-231 < re < 2.50000000000000018e69

   1. Initial program 75.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 70.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 67.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 67.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 67.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 67.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 67.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 67.1%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 67.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 67.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 67.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 67.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 2.50000000000000018e69 < re < 1.9e263

   1. Initial program 59.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 48.6%

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 48.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 48.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 48.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 48.6%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]

   if 1.9e263 < re < 1.14999999999999995e293

   1. Initial program 52.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 52.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 52.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re\right)} \]

      2. *-commutative 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. associate-*l* 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right)} \]

      4. unpow2 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right) \]

      5. *-commutative 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   9. Simplified 52.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 1.14999999999999995e293 < re

   1. Initial program 42.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 21.2%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 52.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 7.8 \cdot 10^{-231}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 58.4% accurate, 9.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(re \cdot \left(\left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   im_m
   (*
    re
    (*
     (+
      -1.0
      (*
       (* im_m im_m)
       (+
        (*
         (* im_m im_m)
         (+ -0.008333333333333333 (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984))))
        -0.16666666666666666)))
     (+ (* re (* re -0.16666666666666666)) 1.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (re * (((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0))))) + (-0.16666666666666666d0)))) * ((re * (re * (-0.16666666666666666d0))) + 1.0d0))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(re * Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * Float64(Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)) + 1.0)))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (re * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))) + -0.16666666666666666))) * ((re * (re * -0.16666666666666666)) + 1.0))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(re * N[(N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 92.7%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

   2. +-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

   3. distribute-rgt-in 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)} + -1 \cdot \sin re\right) \]

   4. *-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \sin re\right) \]

   5. associate-+l+ 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)\right)} \]

5. Simplified 94.2%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*l* 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

   3. associate-*l* 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

   4. associate-*l* 94.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \cdot \sin re\right) \]

7. Applied egg-rr 94.2%

   \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \sin re\right)} \]

8. Taylor expanded in re around 0 23.7%

   \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right) - 1\right)\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} + {im}^{4} \cdot \left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)\right)\right) - 1\right)\right)} \]

10. Simplified 62.0%

    \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right) + 1\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 15: 50.2% accurate, 11.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263} \lor \neg \left(re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}\right):\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 2.5e+69)
    (* im_m (* re (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))))
    (if (or (<= re 1.9e+263) (not (<= re 1.15e+293)))
      (* im_m (* re (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666))))
      (* im_m (* (* im_m im_m) (* re -0.16666666666666666)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	} else if ((re <= 1.9e+263) || !(re <= 1.15e+293)) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 2.5d+69) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))))
    else if ((re <= 1.9d+263) .or. (.not. (re <= 1.15d+293))) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * (-0.16666666666666666d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	} else if ((re <= 1.9e+263) || !(re <= 1.15e+293)) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 2.5e+69:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)))
	elif (re <= 1.9e+263) or not (re <= 1.15e+293):
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))));
	elseif ((re <= 1.9e+263) || !(re <= 1.15e+293))
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(re * -0.16666666666666666)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	elseif ((re <= 1.9e+263) || ~((re <= 1.15e+293)))
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 2.5e+69], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[Or[LessEqual[re, 1.9e+263], N[Not[LessEqual[re, 1.15e+293]], $MachinePrecision]], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 2.50000000000000018e69

   1. Initial program 71.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 58.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 2.50000000000000018e69 < re < 1.9e263 or 1.14999999999999995e293 < re

   1. Initial program 57.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 91.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 91.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 91.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 91.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 91.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 91.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 91.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 7.4%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 7.4%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 7.4%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 7.4%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 7.4%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 7.4%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 7.4%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 7.4%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 7.4%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 7.4%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 7.4%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 7.4%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 7.4%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 7.4%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 7.4%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 7.4%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 7.4%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 7.4%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 7.4%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 45.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 45.7%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 45.7%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 45.7%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 45.7%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]

   if 1.9e263 < re < 1.14999999999999995e293

   1. Initial program 52.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 52.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 52.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re\right)} \]

      2. *-commutative 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. associate-*l* 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right)} \]

      4. unpow2 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right) \]

      5. *-commutative 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   9. Simplified 52.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 54.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263} \lor \neg \left(re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}\right):\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 57.1% accurate, 11.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 2.5e+69)
    (*
     (* 0.5 re)
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+ -0.3333333333333333 (* im_m (* im_m -0.016666666666666666)))))))
    (if (<= re 1.9e+263)
      (*
       re
       (*
        (* im_m (* im_m im_m))
        (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.027777777777777776))))
      (if (<= re 1.15e+293)
        (* im_m (* (* im_m im_m) (* re -0.16666666666666666)))
        (* im_m (* re (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 2.5d+69) then
        tmp = (0.5d0 * re) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666d0)))))))
    else if (re <= 1.9d+263) then
        tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.027777777777777776d0)))
    else if (re <= 1.15d+293) then
        tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * (-0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 2.5e+69:
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))))
	elif re <= 1.9e+263:
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)))
	elif re <= 1.15e+293:
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666))
	else:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.016666666666666666)))))));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.027777777777777776))));
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(re * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.016666666666666666))))));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	else
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 2.5e+69], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.9e+263], N[(re * N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.15e+293], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < 2.50000000000000018e69

   1. Initial program 71.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + {im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

      4. unpow2 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + -0.016666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      8. *-commutative 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.016666666666666666}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 91.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* 91.3%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 64.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

   if 2.50000000000000018e69 < re < 1.9e263

   1. Initial program 59.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 49.2%

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. cube-mult 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right) \]

       2. sub-neg 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)}\right) \]

       3. *-commutative 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot 0.027777777777777776} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot 0.027777777777777776 + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

       5. metadata-eval 49.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776 + \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)\right) \]

   11. Simplified 49.2%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776 + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 1.9e263 < re < 1.14999999999999995e293

   1. Initial program 52.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 52.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 52.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re\right)} \]

      2. *-commutative 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. associate-*l* 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right)} \]

      4. unpow2 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right) \]

      5. *-commutative 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   9. Simplified 52.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 1.14999999999999995e293 < re

   1. Initial program 42.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 21.2%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 61.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 53.1% accurate, 11.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666))))
   (*
    im_s
    (if (<= re 2.5e+69)
      (* (* 0.5 re) (* im_m (+ -2.0 (* im_m (* im_m -0.3333333333333333)))))
      (if (<= re 1.9e+263)
        (* re (* im_m t_0))
        (if (<= re 1.15e+293)
          (* im_m (* (* im_m im_m) (* re -0.16666666666666666)))
          (* im_m (* re t_0))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * (im_m * t_0);
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = im_m * (re * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)
    if (re <= 2.5d+69) then
        tmp = (0.5d0 * re) * (im_m * ((-2.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333d0)))))
    else if (re <= 1.9d+263) then
        tmp = re * (im_m * t_0)
    else if (re <= 1.15d+293) then
        tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * (-0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = im_m * (re * t_0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * (im_m * t_0);
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = im_m * (re * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)
	tmp = 0
	if re <= 2.5e+69:
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))))
	elif re <= 1.9e+263:
		tmp = re * (im_m * t_0)
	elif re <= 1.15e+293:
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666))
	else:
		tmp = im_m * (re * t_0)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))
	tmp = 0.0
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.3333333333333333)))));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = Float64(re * Float64(im_m * t_0));
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(re * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * t_0));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666);
	tmp = 0.0;
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = re * (im_m * t_0);
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	else
		tmp = im_m * (re * t_0);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 2.5e+69], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.9e+263], N[(re * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.15e+293], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < 2.50000000000000018e69

   1. Initial program 71.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 87.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 87.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 87.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 87.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 87.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 87.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 87.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 87.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 61.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

   if 2.50000000000000018e69 < re < 1.9e263

   1. Initial program 59.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 48.6%

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 48.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 48.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 48.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 48.6%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]

   if 1.9e263 < re < 1.14999999999999995e293

   1. Initial program 52.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 52.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 52.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re\right)} \]

      2. *-commutative 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. associate-*l* 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right)} \]

      4. unpow2 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right) \]

      5. *-commutative 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   9. Simplified 52.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 1.14999999999999995e293 < re

   1. Initial program 42.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 21.2%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 58.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 50.2% accurate, 11.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666))))
   (*
    im_s
    (if (<= re 2.5e+69)
      (* im_m (* re (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))))
      (if (<= re 1.9e+263)
        (* re (* im_m t_0))
        (if (<= re 1.15e+293)
          (* im_m (* (* im_m im_m) (* re -0.16666666666666666)))
          (* im_m (* re t_0))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * (im_m * t_0);
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = im_m * (re * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)
    if (re <= 2.5d+69) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))))
    else if (re <= 1.9d+263) then
        tmp = re * (im_m * t_0)
    else if (re <= 1.15d+293) then
        tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * (-0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = im_m * (re * t_0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (re <= 2.5e+69) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	} else if (re <= 1.9e+263) {
		tmp = re * (im_m * t_0);
	} else if (re <= 1.15e+293) {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = im_m * (re * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)
	tmp = 0
	if re <= 2.5e+69:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)))
	elif re <= 1.9e+263:
		tmp = re * (im_m * t_0)
	elif re <= 1.15e+293:
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666))
	else:
		tmp = im_m * (re * t_0)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))
	tmp = 0.0
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = Float64(re * Float64(im_m * t_0));
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(re * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * t_0));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666);
	tmp = 0.0;
	if (re <= 2.5e+69)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	elseif (re <= 1.9e+263)
		tmp = re * (im_m * t_0);
	elseif (re <= 1.15e+293)
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	else
		tmp = im_m * (re * t_0);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 2.5e+69], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.9e+263], N[(re * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[re, 1.15e+293], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < 2.50000000000000018e69

   1. Initial program 71.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 58.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 56.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 2.50000000000000018e69 < re < 1.9e263

   1. Initial program 59.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 92.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 92.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 5.8%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 5.8%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 48.6%

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 48.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 48.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 48.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 48.6%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]

   if 1.9e263 < re < 1.14999999999999995e293

   1. Initial program 52.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 52.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 51.1%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 52.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re\right)} \]

      2. *-commutative 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. associate-*l* 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right)} \]

      4. unpow2 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right) \]

      5. *-commutative 52.2%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   9. Simplified 52.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 1.14999999999999995e293 < re

   1. Initial program 42.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 81.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 21.2%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 21.2%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 21.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 21.2%

          \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 21.2%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 54.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.5 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+263}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.15 \cdot 10^{+293}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 57.1% accurate, 12.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.7 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 10^{+179}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(t\_0 \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 3.7e+60)
      (* re (* im_m (+ -1.0 (* (* re re) 0.16666666666666666))))
      (if (<= im_m 1e+179)
        (* -0.008333333333333333 (* re (* im_m (* im_m t_0))))
        (*
         re
         (*
          t_0
          (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.027777777777777776)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 3.7e+60) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	} else if (im_m <= 1e+179) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im_m * (im_m * t_0)));
	} else {
		tmp = re * (t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * im_m)
    if (im_m <= 3.7d+60) then
        tmp = re * (im_m * ((-1.0d0) + ((re * re) * 0.16666666666666666d0)))
    else if (im_m <= 1d+179) then
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (re * (im_m * (im_m * t_0)))
    else
        tmp = re * (t_0 * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.027777777777777776d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 3.7e+60) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	} else if (im_m <= 1e+179) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im_m * (im_m * t_0)));
	} else {
		tmp = re * (t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * im_m)
	tmp = 0
	if im_m <= 3.7e+60:
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)))
	elif im_m <= 1e+179:
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im_m * (im_m * t_0)))
	else:
		tmp = re * (t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.7e+60)
		tmp = Float64(re * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.16666666666666666))));
	elseif (im_m <= 1e+179)
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(re * Float64(im_m * Float64(im_m * t_0))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(t_0 * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.027777777777777776))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.7e+60)
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + ((re * re) * 0.16666666666666666)));
	elseif (im_m <= 1e+179)
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im_m * (im_m * t_0)));
	else
		tmp = re * (t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.027777777777777776)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.7e+60], N[(re * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1e+179], N[(-0.008333333333333333 * N[(re * N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(t$95$0 * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 3.69999999999999988e60

   1. Initial program 61.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 86.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 86.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 86.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 86.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 86.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 86.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 86.3%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 86.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 34.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 34.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 34.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 34.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 34.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 34.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 34.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 34.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 34.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 34.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 34.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 34.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 34.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 34.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 34.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 34.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 34.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 34.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 34.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 34.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around 0 40.0%

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 40.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 40.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval 40.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   11. Simplified 40.0%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right) + -1\right)\right)} \]

   if 3.69999999999999988e60 < im < 9.9999999999999998e178

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + {im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

      4. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} + \left(-0.3333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + -0.016666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      8. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.016666666666666666}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* 100.0%

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 72.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in im around inf 72.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot re\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 72.2%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{5}\right)} \]

      2. metadata-eval 72.2%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{\color{blue}{\left(4 + 1\right)}}\right) \]

      3. pow-plus 72.2%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left({im}^{4} \cdot im\right)}\right) \]

      4. *-commutative 72.2%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot {im}^{4}\right)}\right) \]

      5. metadata-eval 72.2%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot {im}^{\color{blue}{\left(3 + 1\right)}}\right)\right) \]

      6. pow-plus 72.2%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot im\right)}\right)\right) \]

      7. *-commutative 72.2%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot {im}^{3}\right)}\right)\right) \]

      8. cube-mult 72.2%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 72.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 9.9999999999999998e178 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      2. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      3. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

      5. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 0.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative 0.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 0.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg 0.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative 0.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 0.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* 0.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval 0.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* 0.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot im\right) + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative 0.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -0.08333333333333333\right)} + 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* 0.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right) \]

      13. sub-neg 0.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{2} + \left(-2\right)\right)}\right) \]

      14. *-commutative 0.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.3333333333333333} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 0.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.3333333333333333 + \left(-2\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* 0.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)} + \left(-2\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 0.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      18. +-commutative 0.0%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(0.5 \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. Simplified 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.08333333333333333\right) + \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 90.6%

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. cube-mult 90.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right) \]

       2. sub-neg 90.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.027777777777777776 \cdot {re}^{2} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)}\right) \]

       3. *-commutative 90.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot 0.027777777777777776} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 90.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot re\right)} \cdot 0.027777777777777776 + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

       5. metadata-eval 90.6%

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776 + \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)\right) \]

   11. Simplified 90.6%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776 + -0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 48.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+179}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 52.5% accurate, 19.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.056:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.056)
    (* im_m (* re (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))))
    (* re (* -0.16666666666666666 (* im_m (* im_m im_m)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.056) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.056d0) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))))
    else
        tmp = re * ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * (im_m * im_m)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.056) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.056:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.056)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.056)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.056], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 0.0560000000000000012

   1. Initial program 57.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 45.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 50.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 50.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 50.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 50.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 50.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 50.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 50.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 50.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 50.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 50.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 0.0560000000000000012 < im

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 62.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 41.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 41.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 46.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot re} \]

      2. cube-mult 46.2%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right) \cdot re \]

   9. Simplified 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot re} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 49.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.056:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 52.4% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.056:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.056)
    (* (- im_m) re)
    (* re (* -0.16666666666666666 (* im_m (* im_m im_m)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.056) {
		tmp = -im_m * re;
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.056d0) then
        tmp = -im_m * re
    else
        tmp = re * ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * (im_m * im_m)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.056) {
		tmp = -im_m * re;
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.056:
		tmp = -im_m * re
	else:
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.056)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * re);
	else
		tmp = Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.056)
		tmp = -im_m * re;
	else
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.056], N[((-im$95$m) * re), $MachinePrecision], N[(re * N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 0.0560000000000000012

   1. Initial program 57.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 61.7%

         \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \sin re} \]

      2. neg-sub0 61.7%

         \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   5. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 35.7%

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot re} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 35.7%

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{re \cdot im} \]

   8. Simplified 35.7%

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{re \cdot im} \]

   if 0.0560000000000000012 < im

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 62.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 41.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 41.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 46.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot re} \]

      2. cube-mult 46.2%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right) \cdot re \]

   9. Simplified 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot re} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 38.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.056:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 49.5% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.056:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.056)
    (* (- im_m) re)
    (* im_m (* (* im_m im_m) (* re -0.16666666666666666))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.056) {
		tmp = -im_m * re;
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.056d0) then
        tmp = -im_m * re
    else
        tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * (-0.16666666666666666d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.056) {
		tmp = -im_m * re;
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.056:
		tmp = -im_m * re
	else:
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.056)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * re);
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(re * -0.16666666666666666)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.056)
		tmp = -im_m * re;
	else
		tmp = im_m * ((im_m * im_m) * (re * -0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.056], N[((-im$95$m) * re), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 0.0560000000000000012

   1. Initial program 57.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 61.7%

         \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \sin re} \]

      2. neg-sub0 61.7%

         \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   5. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 35.7%

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot re} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 35.7%

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{re \cdot im} \]

   8. Simplified 35.7%

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{re \cdot im} \]

   if 0.0560000000000000012 < im

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 62.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   4. Taylor expanded in im around 0 41.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) \]

      2. *-commutative 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. unpow2 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re\right) \]

      4. associate-*r* 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot re + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

      6. *-commutative 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot im}\right)\right) \]

      7. *-commutative 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot im\right)} \cdot im\right)\right) \]

      8. associate-*r* 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 41.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   7. Taylor expanded in im around inf 41.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re\right)} \]

      2. *-commutative 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot re\right) \]

      3. associate-*l* 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right)} \]

      4. unpow2 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re\right)\right) \]

      5. *-commutative 41.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   9. Simplified 41.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 37.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.056:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 32.7% accurate, 77.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\left(-im\_m\right) \cdot re\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* (- im_m) re)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (-im_m * re);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (-im_m * re)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (-im_m * re);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (-im_m * re)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(-im_m) * re))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (-im_m * re);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[((-im$95$m) * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 47.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \sin re} \]

   2. neg-sub0 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

5. Simplified 47.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0 29.0%

   \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot re} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 29.0%

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{re \cdot im} \]

8. Simplified 29.0%

   \[\leadsto 0 - \color{blue}{re \cdot im} \]

9. Final simplification 29.0%

   \[\leadsto \left(-im\right) \cdot re \]
10. Add Preprocessing

Developer target: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024107 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))