math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 65.1% → 99.9%

Time: 9.9s

Alternatives: 25

Speedup: 2.8×

• 49.0% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 65.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.4:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im\_m}^{2} - 0.008333333333333333\right) \cdot {im\_m}^{4} + \left({im\_m}^{2} \cdot -0.16666666666666666 + -1\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.4)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (*
       im_m
       (*
        (sin re)
        (+
         (*
          (- (* -0.0001984126984126984 (pow im_m 2.0)) 0.008333333333333333)
          (pow im_m 4.0))
         (+ (* (pow im_m 2.0) -0.16666666666666666) -1.0))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.4) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (sin(re) * ((((-0.0001984126984126984 * pow(im_m, 2.0)) - 0.008333333333333333) * pow(im_m, 4.0)) + ((pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-0.4d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = im_m * (sin(re) * (((((-0.0001984126984126984d0) * (im_m ** 2.0d0)) - 0.008333333333333333d0) * (im_m ** 4.0d0)) + (((im_m ** 2.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) + (-1.0d0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.4) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * ((((-0.0001984126984126984 * Math.pow(im_m, 2.0)) - 0.008333333333333333) * Math.pow(im_m, 4.0)) + ((Math.pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.4:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * ((((-0.0001984126984126984 * math.pow(im_m, 2.0)) - 0.008333333333333333) * math.pow(im_m, 4.0)) + ((math.pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.4)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(Float64(Float64(Float64(-0.0001984126984126984 * (im_m ^ 2.0)) - 0.008333333333333333) * (im_m ^ 4.0)) + Float64(Float64((im_m ^ 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.4)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = im_m * (sin(re) * ((((-0.0001984126984126984 * (im_m ^ 2.0)) - 0.008333333333333333) * (im_m ^ 4.0)) + (((im_m ^ 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.4], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0001984126984126984 * N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.40000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.40000000000000002 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 58.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 96.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 96.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 96.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 96.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 96.7%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 97.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in im around 0 97.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right)} \cdot {im}^{4} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.4:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.0001984126984126984 \cdot {im}^{2} - 0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666 + -1\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.1:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(im\_m \cdot \left({im\_m}^{2} \cdot \left({im\_m}^{2} \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))) (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.1)
      (* t_0 t_1)
      (*
       t_1
       (*
        im_m
        (-
         (*
          (pow im_m 2.0)
          (- (* (pow im_m 2.0) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
         2.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.1) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * ((pow(im_m, 2.0) * ((pow(im_m, 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    t_1 = 0.5d0 * sin(re)
    if (t_0 <= (-0.1d0)) then
        tmp = t_0 * t_1
    else
        tmp = t_1 * (im_m * (((im_m ** 2.0d0) * (((im_m ** 2.0d0) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.1) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * ((Math.pow(im_m, 2.0) * ((Math.pow(im_m, 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	t_1 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.1:
		tmp = t_0 * t_1
	else:
		tmp = t_1 * (im_m * ((math.pow(im_m, 2.0) * ((math.pow(im_m, 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.1)
		tmp = Float64(t_0 * t_1);
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(im_m * Float64(Float64((im_m ^ 2.0) * Float64(Float64((im_m ^ 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	t_1 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.1)
		tmp = t_0 * t_1;
	else
		tmp = t_1 * (im_m * (((im_m ^ 2.0) * (((im_m ^ 2.0) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.1], N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(im$95$m * N[(N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.10000000000000001

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.10000000000000001 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 57.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 97.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.1:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.1:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left({im\_m}^{2} \cdot -0.16666666666666666 + -1\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.1)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (*
       im_m
       (* (sin re) (+ (* (pow im_m 2.0) -0.16666666666666666) -1.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.1) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (sin(re) * ((pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-0.1d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = im_m * (sin(re) * (((im_m ** 2.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) + (-1.0d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.1) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * ((Math.pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.1:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * ((math.pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.1)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(Float64((im_m ^ 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.1)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = im_m * (sin(re) * (((im_m ^ 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.1], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.10000000000000001

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.10000000000000001 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 57.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 89.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 89.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out 89.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      3. *-commutative 89.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.16666666666666666}\right)\right) \]

   5. Simplified 89.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.1:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666 + -1\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.6% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.34:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left({im\_m}^{2} \cdot -0.16666666666666666 + -1\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{7}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.34)
    (* im_m (* (sin re) (+ (* (pow im_m 2.0) -0.16666666666666666) -1.0)))
    (if (<= im_m 1e+39)
      (* (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) (* 0.5 re))
      (* -0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im_m 7.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.34) {
		tmp = im_m * (sin(re) * ((pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0));
	} else if (im_m <= 1e+39) {
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.34d0) then
        tmp = im_m * (sin(re) * (((im_m ** 2.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) + (-1.0d0)))
    else if (im_m <= 1d+39) then
        tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = (-0.0001984126984126984d0) * (sin(re) * (im_m ** 7.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.34) {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * ((Math.pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0));
	} else if (im_m <= 1e+39) {
		tmp = (Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.34:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * ((math.pow(im_m, 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0))
	elif im_m <= 1e+39:
		tmp = (math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = -0.0001984126984126984 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 7.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.34)
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(Float64((im_m ^ 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0)));
	elseif (im_m <= 1e+39)
		tmp = Float64(Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 7.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.34)
		tmp = im_m * (sin(re) * (((im_m ^ 2.0) * -0.16666666666666666) + -1.0));
	elseif (im_m <= 1e+39)
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * (im_m ^ 7.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.34], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im$95$m, 2.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1e+39], N[(N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.0001984126984126984 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.340000000000000024

   1. Initial program 58.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 89.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      3. *-commutative 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.16666666666666666}\right)\right) \]

   5. Simplified 89.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + {im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 0.340000000000000024 < im < 9.9999999999999994e38

   1. Initial program 99.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 75.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 75.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 75.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 75.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   if 9.9999999999999994e38 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 91.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 91.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 91.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 90.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.34:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666 + -1\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.6% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.27:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{7}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.27)
    (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))
    (if (<= im_m 1e+39)
      (* (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) (* 0.5 re))
      (* -0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im_m 7.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.27) {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1e+39) {
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.27d0) then
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    else if (im_m <= 1d+39) then
        tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = (-0.0001984126984126984d0) * (sin(re) * (im_m ** 7.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.27) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else if (im_m <= 1e+39) {
		tmp = (Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.27:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	elif im_m <= 1e+39:
		tmp = (math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = -0.0001984126984126984 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 7.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.27)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	elseif (im_m <= 1e+39)
		tmp = Float64(Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 7.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.27)
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	elseif (im_m <= 1e+39)
		tmp = (exp(-im_m) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * (im_m ^ 7.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.27], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1e+39], N[(N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.0001984126984126984 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.27000000000000002

   1. Initial program 58.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 89.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 89.4%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 92.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 92.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. *-commutative 92.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} - im\right) \]

      13. associate-*r* 92.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot {im}^{2}\right) \cdot -0.16666666666666666} - im\right) \]

      14. unpow2 92.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right) \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

      15. cube-unmult 92.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3}} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

   5. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   if 0.27000000000000002 < im < 9.9999999999999994e38

   1. Initial program 99.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 75.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 75.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 75.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 75.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   if 9.9999999999999994e38 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 91.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 91.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 91.8%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 91.8%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 93.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.27:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 78.8% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ t_1 := re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + 0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 420:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-{\sin re}^{-3}\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2.7 \cdot 10^{+208}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.58 \cdot 10^{+227}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5.2 \cdot 10^{+241}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 6.5 \cdot 10^{+252} \lor \neg \left(im\_m \leq 6.6 \cdot 10^{+273}\right):\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im\_m}^{3}\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* -0.008333333333333333 (* re (pow im_m 5.0))))
        (t_1 (* re (* im_m (+ -1.0 (* 0.16666666666666666 (pow re 2.0)))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 420.0)
      (* (- im_m) (sin re))
      (if (<= im_m 4e+61)
        (* im_m (- (pow (sin re) -3.0)))
        (if (<= im_m 2.7e+208)
          t_0
          (if (<= im_m 1.58e+227)
            t_1
            (if (<= im_m 5.2e+241)
              t_0
              (if (or (<= im_m 6.5e+252) (not (<= im_m 6.6e+273)))
                t_1
                (* -0.16666666666666666 (* re (pow im_m 3.0))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.008333333333333333 * (re * pow(im_m, 5.0));
	double t_1 = re * (im_m * (-1.0 + (0.16666666666666666 * pow(re, 2.0))));
	double tmp;
	if (im_m <= 420.0) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else if (im_m <= 4e+61) {
		tmp = im_m * -pow(sin(re), -3.0);
	} else if (im_m <= 2.7e+208) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.58e+227) {
		tmp = t_1;
	} else if (im_m <= 5.2e+241) {
		tmp = t_0;
	} else if ((im_m <= 6.5e+252) || !(im_m <= 6.6e+273)) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.008333333333333333d0) * (re * (im_m ** 5.0d0))
    t_1 = re * (im_m * ((-1.0d0) + (0.16666666666666666d0 * (re ** 2.0d0))))
    if (im_m <= 420.0d0) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else if (im_m <= 4d+61) then
        tmp = im_m * -(sin(re) ** (-3.0d0))
    else if (im_m <= 2.7d+208) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 1.58d+227) then
        tmp = t_1
    else if (im_m <= 5.2d+241) then
        tmp = t_0
    else if ((im_m <= 6.5d+252) .or. (.not. (im_m <= 6.6d+273))) then
        tmp = t_1
    else
        tmp = (-0.16666666666666666d0) * (re * (im_m ** 3.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.008333333333333333 * (re * Math.pow(im_m, 5.0));
	double t_1 = re * (im_m * (-1.0 + (0.16666666666666666 * Math.pow(re, 2.0))));
	double tmp;
	if (im_m <= 420.0) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else if (im_m <= 4e+61) {
		tmp = im_m * -Math.pow(Math.sin(re), -3.0);
	} else if (im_m <= 2.7e+208) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.58e+227) {
		tmp = t_1;
	} else if (im_m <= 5.2e+241) {
		tmp = t_0;
	} else if ((im_m <= 6.5e+252) || !(im_m <= 6.6e+273)) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * Math.pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.008333333333333333 * (re * math.pow(im_m, 5.0))
	t_1 = re * (im_m * (-1.0 + (0.16666666666666666 * math.pow(re, 2.0))))
	tmp = 0
	if im_m <= 420.0:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	elif im_m <= 4e+61:
		tmp = im_m * -math.pow(math.sin(re), -3.0)
	elif im_m <= 2.7e+208:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 1.58e+227:
		tmp = t_1
	elif im_m <= 5.2e+241:
		tmp = t_0
	elif (im_m <= 6.5e+252) or not (im_m <= 6.6e+273):
		tmp = t_1
	else:
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * math.pow(im_m, 3.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(re * (im_m ^ 5.0)))
	t_1 = Float64(re * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(0.16666666666666666 * (re ^ 2.0)))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 420.0)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	elseif (im_m <= 4e+61)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-(sin(re) ^ -3.0)));
	elseif (im_m <= 2.7e+208)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.58e+227)
		tmp = t_1;
	elseif (im_m <= 5.2e+241)
		tmp = t_0;
	elseif ((im_m <= 6.5e+252) || !(im_m <= 6.6e+273))
		tmp = t_1;
	else
		tmp = Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * (im_m ^ 3.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.008333333333333333 * (re * (im_m ^ 5.0));
	t_1 = re * (im_m * (-1.0 + (0.16666666666666666 * (re ^ 2.0))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 420.0)
		tmp = -im_m * sin(re);
	elseif (im_m <= 4e+61)
		tmp = im_m * -(sin(re) ^ -3.0);
	elseif (im_m <= 2.7e+208)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.58e+227)
		tmp = t_1;
	elseif (im_m <= 5.2e+241)
		tmp = t_0;
	elseif ((im_m <= 6.5e+252) || ~((im_m <= 6.6e+273)))
		tmp = t_1;
	else
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * (im_m ^ 3.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.008333333333333333 * N[(re * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(re * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(0.16666666666666666 * N[Power[re, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 420.0], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4e+61], N[(im$95$m * (-N[Power[N[Sin[re], $MachinePrecision], -3.0], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2.7e+208], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 1.58e+227], t$95$1, If[LessEqual[im$95$m, 5.2e+241], t$95$0, If[Or[LessEqual[im$95$m, 6.5e+252], N[Not[LessEqual[im$95$m, 6.6e+273]], $MachinePrecision]], t$95$1, N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if im < 420

   1. Initial program 58.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 61.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 61.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 420 < im < 3.9999999999999998e61

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 3.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 3.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 3.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 3.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   7. Applied egg-rr 35.8%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{{\sin re}^{-3}} \]

   if 3.9999999999999998e61 < im < 2.7e208 or 1.57999999999999994e227 < im < 5.20000000000000015e241

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 72.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 72.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 67.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 67.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) + -1 \cdot re\right)} \]

      2. mul-1-neg 67.2%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) + \color{blue}{\left(-re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 67.2%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) - re\right)} \]

      4. associate-*r* 67.2%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) - re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 67.2%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)\right)} - re\right) \]

      6. *-commutative 67.2%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.008333333333333333}\right)\right) - re\right) \]

   8. Simplified 67.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + {im}^{2} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) - re\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot re\right)} \]

   if 2.7e208 < im < 1.57999999999999994e227 or 5.20000000000000015e241 < im < 6.5e252 or 6.59999999999999971e273 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 7.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 7.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 82.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-1 \cdot im + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-im\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      2. +-commutative 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      3. *-commutative 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot im\right)} + \left(-im\right)\right) \]

      4. associate-*r* 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot im} + \left(-im\right)\right) \]

      5. neg-mul-1 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot im + \color{blue}{-1 \cdot im}\right) \]

      6. distribute-rgt-out 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + -1\right)\right)} \]

   8. Simplified 82.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + -1\right)\right)} \]

   if 6.5e252 < im < 6.59999999999999971e273

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. *-commutative 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} - im\right) \]

      13. associate-*r* 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot {im}^{2}\right) \cdot -0.16666666666666666} - im\right) \]

      14. unpow2 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right) \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

      15. cube-unmult 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3}} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, {im}^{3}, -im\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, {im}^{3}, -im\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 63.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 420:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-{\sin re}^{-3}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.7 \cdot 10^{+208}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.58 \cdot 10^{+227}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + 0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.2 \cdot 10^{+241}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.5 \cdot 10^{+252} \lor \neg \left(im \leq 6.6 \cdot 10^{+273}\right):\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + 0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 93.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5.6:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{7}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 5.6)
    (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im_m 3.0)) im_m))
    (* -0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im_m 7.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.6) {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 5.6d0) then
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im_m ** 3.0d0)) - im_m)
    else
        tmp = (-0.0001984126984126984d0) * (sin(re) * (im_m ** 7.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.6) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 5.6:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im_m, 3.0)) - im_m)
	else:
		tmp = -0.0001984126984126984 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 7.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.6)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	else
		tmp = Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 7.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.6)
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im_m ^ 3.0)) - im_m);
	else
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * (im_m ^ 7.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.6], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.0001984126984126984 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5.5999999999999996

   1. Initial program 58.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 89.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 89.4%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 89.4%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 92.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 92.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. *-commutative 92.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} - im\right) \]

      13. associate-*r* 92.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot {im}^{2}\right) \cdot -0.16666666666666666} - im\right) \]

      14. unpow2 92.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right) \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

      15. cube-unmult 92.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3}} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

   5. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   if 5.5999999999999996 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 81.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 81.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 81.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 81.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 81.0%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 83.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf 85.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.6:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 4.2:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im\_m}^{7}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 4.2)
    (* (- im_m) (sin re))
    (* -0.0001984126984126984 (* (sin re) (pow im_m 7.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.2) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 4.2d0) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else
        tmp = (-0.0001984126984126984d0) * (sin(re) * (im_m ** 7.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 4.2) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else {
		tmp = -0.0001984126984126984 * (Math.sin(re) * Math.pow(im_m, 7.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 4.2:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	else:
		tmp = -0.0001984126984126984 * (math.sin(re) * math.pow(im_m, 7.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 4.2)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	else
		tmp = Float64(-0.0001984126984126984 * Float64(sin(re) * (im_m ^ 7.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 4.2)
		tmp = -im_m * sin(re);
	else
		tmp = -0.0001984126984126984 * (sin(re) * (im_m ^ 7.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 4.2], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.0001984126984126984 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 4.20000000000000018

   1. Initial program 58.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 61.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 61.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 4.20000000000000018 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 81.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 81.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 81.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 81.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 81.0%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 83.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf 85.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{7} \cdot \sin re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 67.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.2:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 76.5% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ t_1 := re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + 0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 450:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2 \cdot 10^{+208}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.58 \cdot 10^{+227}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5.2 \cdot 10^{+241}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 6.6 \cdot 10^{+252} \lor \neg \left(im\_m \leq 6.6 \cdot 10^{+273}\right):\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im\_m}^{3}\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* -0.008333333333333333 (* re (pow im_m 5.0))))
        (t_1 (* re (* im_m (+ -1.0 (* 0.16666666666666666 (pow re 2.0)))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 450.0)
      (* (- im_m) (sin re))
      (if (<= im_m 2e+208)
        t_0
        (if (<= im_m 1.58e+227)
          t_1
          (if (<= im_m 5.2e+241)
            t_0
            (if (or (<= im_m 6.6e+252) (not (<= im_m 6.6e+273)))
              t_1
              (* -0.16666666666666666 (* re (pow im_m 3.0)))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.008333333333333333 * (re * pow(im_m, 5.0));
	double t_1 = re * (im_m * (-1.0 + (0.16666666666666666 * pow(re, 2.0))));
	double tmp;
	if (im_m <= 450.0) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else if (im_m <= 2e+208) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.58e+227) {
		tmp = t_1;
	} else if (im_m <= 5.2e+241) {
		tmp = t_0;
	} else if ((im_m <= 6.6e+252) || !(im_m <= 6.6e+273)) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.008333333333333333d0) * (re * (im_m ** 5.0d0))
    t_1 = re * (im_m * ((-1.0d0) + (0.16666666666666666d0 * (re ** 2.0d0))))
    if (im_m <= 450.0d0) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else if (im_m <= 2d+208) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 1.58d+227) then
        tmp = t_1
    else if (im_m <= 5.2d+241) then
        tmp = t_0
    else if ((im_m <= 6.6d+252) .or. (.not. (im_m <= 6.6d+273))) then
        tmp = t_1
    else
        tmp = (-0.16666666666666666d0) * (re * (im_m ** 3.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.008333333333333333 * (re * Math.pow(im_m, 5.0));
	double t_1 = re * (im_m * (-1.0 + (0.16666666666666666 * Math.pow(re, 2.0))));
	double tmp;
	if (im_m <= 450.0) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else if (im_m <= 2e+208) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.58e+227) {
		tmp = t_1;
	} else if (im_m <= 5.2e+241) {
		tmp = t_0;
	} else if ((im_m <= 6.6e+252) || !(im_m <= 6.6e+273)) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * Math.pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.008333333333333333 * (re * math.pow(im_m, 5.0))
	t_1 = re * (im_m * (-1.0 + (0.16666666666666666 * math.pow(re, 2.0))))
	tmp = 0
	if im_m <= 450.0:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	elif im_m <= 2e+208:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 1.58e+227:
		tmp = t_1
	elif im_m <= 5.2e+241:
		tmp = t_0
	elif (im_m <= 6.6e+252) or not (im_m <= 6.6e+273):
		tmp = t_1
	else:
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * math.pow(im_m, 3.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(re * (im_m ^ 5.0)))
	t_1 = Float64(re * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(0.16666666666666666 * (re ^ 2.0)))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 450.0)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	elseif (im_m <= 2e+208)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.58e+227)
		tmp = t_1;
	elseif (im_m <= 5.2e+241)
		tmp = t_0;
	elseif ((im_m <= 6.6e+252) || !(im_m <= 6.6e+273))
		tmp = t_1;
	else
		tmp = Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * (im_m ^ 3.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.008333333333333333 * (re * (im_m ^ 5.0));
	t_1 = re * (im_m * (-1.0 + (0.16666666666666666 * (re ^ 2.0))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 450.0)
		tmp = -im_m * sin(re);
	elseif (im_m <= 2e+208)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.58e+227)
		tmp = t_1;
	elseif (im_m <= 5.2e+241)
		tmp = t_0;
	elseif ((im_m <= 6.6e+252) || ~((im_m <= 6.6e+273)))
		tmp = t_1;
	else
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * (im_m ^ 3.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.008333333333333333 * N[(re * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(re * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(0.16666666666666666 * N[Power[re, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 450.0], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2e+208], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 1.58e+227], t$95$1, If[LessEqual[im$95$m, 5.2e+241], t$95$0, If[Or[LessEqual[im$95$m, 6.6e+252], N[Not[LessEqual[im$95$m, 6.6e+273]], $MachinePrecision]], t$95$1, N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 450

   1. Initial program 58.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 61.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 61.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 450 < im < 2e208 or 1.57999999999999994e227 < im < 5.20000000000000015e241

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 68.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 68.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) + -1 \cdot re\right)} \]

      2. mul-1-neg 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) + \color{blue}{\left(-re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) - re\right)} \]

      4. associate-*r* 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) - re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)\right)} - re\right) \]

      6. *-commutative 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.008333333333333333}\right)\right) - re\right) \]

   8. Simplified 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + {im}^{2} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) - re\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 50.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot re\right)} \]

   if 2e208 < im < 1.57999999999999994e227 or 5.20000000000000015e241 < im < 6.6000000000000002e252 or 6.59999999999999971e273 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 7.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 7.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 82.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-1 \cdot im + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-im\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      2. +-commutative 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \left(-im\right)\right)} \]

      3. *-commutative 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot im\right)} + \left(-im\right)\right) \]

      4. associate-*r* 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot im} + \left(-im\right)\right) \]

      5. neg-mul-1 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right) \cdot im + \color{blue}{-1 \cdot im}\right) \]

      6. distribute-rgt-out 82.5%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + -1\right)\right)} \]

   8. Simplified 82.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{2} + -1\right)\right)} \]

   if 6.6000000000000002e252 < im < 6.59999999999999971e273

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. *-commutative 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} - im\right) \]

      13. associate-*r* 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot {im}^{2}\right) \cdot -0.16666666666666666} - im\right) \]

      14. unpow2 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right) \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

      15. cube-unmult 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3}} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, {im}^{3}, -im\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, {im}^{3}, -im\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 61.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 450:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+208}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.58 \cdot 10^{+227}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + 0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.2 \cdot 10^{+241}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.6 \cdot 10^{+252} \lor \neg \left(im \leq 6.6 \cdot 10^{+273}\right):\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + 0.16666666666666666 \cdot {re}^{2}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 81.2% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 450:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im\_m}^{5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 450.0)
    (* (- im_m) (sin re))
    (* -0.008333333333333333 (* re (pow im_m 5.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 450.0) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 450.0d0) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (re * (im_m ** 5.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 450.0) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * Math.pow(im_m, 5.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 450.0:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	else:
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * math.pow(im_m, 5.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 450.0)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	else
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(re * (im_m ^ 5.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 450.0)
		tmp = -im_m * sin(re);
	else
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im_m ^ 5.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 450.0], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.008333333333333333 * N[(re * N[Power[im$95$m, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 450

   1. Initial program 58.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 61.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 61.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 450 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 63.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. *-commutative 63.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   5. Simplified 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) + -1 \cdot re\right)} \]

      2. mul-1-neg 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) + \color{blue}{\left(-re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right) - re\right)} \]

      4. associate-*r* 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot re + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right) \cdot re}\right) - re\right) \]

      5. distribute-rgt-out 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)\right)} - re\right) \]

      6. *-commutative 47.1%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot -0.008333333333333333}\right)\right) - re\right) \]

   8. Simplified 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + {im}^{2} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) - re\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 49.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 450:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 76.6% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.7 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im\_m}^{3}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3.7e+59)
    (* (- im_m) (sin re))
    (* -0.16666666666666666 (* re (pow im_m 3.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.7e+59) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 3.7d+59) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else
        tmp = (-0.16666666666666666d0) * (re * (im_m ** 3.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.7e+59) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * Math.pow(im_m, 3.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.7e+59:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	else:
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * math.pow(im_m, 3.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.7e+59)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	else
		tmp = Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * (im_m ^ 3.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.7e+59)
		tmp = -im_m * sin(re);
	else
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * (im_m ^ 3.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.7e+59], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3.69999999999999997e59

   1. Initial program 61.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 57.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 57.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 57.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 57.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 3.69999999999999997e59 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 86.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 86.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 86.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) - \sin re\right)} \]

      4. *-commutative 86.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)} - \sin re\right) \]

      5. associate-*r* 86.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}} - \sin re\right) \]

      6. distribute-lft-out-- 86.9%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re} \]

      7. associate-*r* 86.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      8. *-commutative 86.9%

         \[\leadsto im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*r* 86.9%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. associate-*r* 92.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \sin re} - im \cdot \sin re \]

      11. distribute-rgt-out-- 92.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. *-commutative 92.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot -0.16666666666666666\right)} - im\right) \]

      13. associate-*r* 92.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot {im}^{2}\right) \cdot -0.16666666666666666} - im\right) \]

      14. unpow2 92.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right) \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

      15. cube-unmult 92.5%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3}} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

   5. Simplified 92.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 60.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. fma-neg 60.2%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, {im}^{3}, -im\right)} \]

   8. Simplified 60.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, {im}^{3}, -im\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf 60.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 57.4% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 350:\\ \;\;\;\;\left(-im\_m\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-4 - re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= im_m 350.0) (* (- im_m) (sin re)) (* im_m (- -4.0 re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 350.0) {
		tmp = -im_m * sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * (-4.0 - re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 350.0d0) then
        tmp = -im_m * sin(re)
    else
        tmp = im_m * ((-4.0d0) - re)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 350.0) {
		tmp = -im_m * Math.sin(re);
	} else {
		tmp = im_m * (-4.0 - re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 350.0:
		tmp = -im_m * math.sin(re)
	else:
		tmp = im_m * (-4.0 - re)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 350.0)
		tmp = Float64(Float64(-im_m) * sin(re));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-4.0 - re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 350.0)
		tmp = -im_m * sin(re);
	else
		tmp = im_m * (-4.0 - re);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 350.0], N[((-im$95$m) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-4.0 - re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 350

   1. Initial program 58.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 61.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 61.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 350 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 4.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 4.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 4.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 4.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   7. Applied egg-rr 3.3%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sin re\right)} - -3\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. log1p-undefine 3.3%

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \left(e^{\color{blue}{\log \left(1 + \sin re\right)}} - -3\right) \]

      2. rem-exp-log 3.3%

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + \sin re\right)} - -3\right) \]

      3. +-commutative 3.3%

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin re + 1\right)} - -3\right) \]

      4. associate--l+ 3.3%

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin re + \left(1 - -3\right)\right)} \]

      5. metadata-eval 3.3%

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \left(\sin re + \color{blue}{4}\right) \]

   9. Simplified 3.3%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin re + 4\right)} \]

   10. Taylor expanded in re around 0 10.0%

       \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot im + -1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 10.0%

          \[\leadsto \color{blue}{im \cdot -4} + -1 \cdot \left(im \cdot re\right) \]

       2. mul-1-neg 10.0%

          \[\leadsto im \cdot -4 + \color{blue}{\left(-im \cdot re\right)} \]

       3. distribute-rgt-neg-out 10.0%

          \[\leadsto im \cdot -4 + \color{blue}{im \cdot \left(-re\right)} \]

       4. distribute-lft-out 10.0%

          \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-4 + \left(-re\right)\right)} \]

       5. unsub-neg 10.0%

          \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-4 - re\right)} \]

   12. Simplified 10.0%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-4 - re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 16.3% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.15:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 3.15) (* im_m 0.0) im_m)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.15d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 3.15:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.15)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = im_m;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.15)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 3.15], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], im$95$m]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.14999999999999991

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 17.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 3.14999999999999991 < re

   1. Initial program 56.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 9.3%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 15.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.15:\\ \;\;\;\;im \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 16.3% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.15:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.9916666666666667\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 3.15) (* im_m 0.0) (* im_m 0.9916666666666667))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.9916666666666667;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.15d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.9916666666666667d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.9916666666666667;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 3.15:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.9916666666666667
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.15)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.9916666666666667);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.15)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.9916666666666667;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 3.15], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.9916666666666667), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.14999999999999991

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 17.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 3.14999999999999991 < re

   1. Initial program 56.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 9.0%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.9916666666666667} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 15: 16.2% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.15:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.75\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 3.15) (* im_m 0.0) (* im_m 0.75))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.75;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.15d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.75d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.75;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 3.15:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.75
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.15)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.75);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.15)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.75;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 3.15], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.75), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.14999999999999991

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 17.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 3.14999999999999991 < re

   1. Initial program 56.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 8.6%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.75} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 16: 16.2% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.15:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 3.15) (* im_m 0.0) (* im_m 0.5))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.5;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.15d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.5d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.5;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 3.15:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.5
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.15)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.5);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.15)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.5;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 3.15], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.5), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.14999999999999991

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 17.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 3.14999999999999991 < re

   1. Initial program 56.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 8.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 17: 16.1% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.15:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.3333333333333333\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 3.15) (* im_m 0.0) (* im_m 0.3333333333333333))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.3333333333333333;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.15d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.3333333333333333d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.3333333333333333;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 3.15:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.3333333333333333
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.15)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.3333333333333333);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.15)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.3333333333333333;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 3.15], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.14999999999999991

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 17.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 3.14999999999999991 < re

   1. Initial program 56.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 8.0%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 18: 16.1% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.15:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.25\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 3.15) (* im_m 0.0) (* im_m 0.25))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.25;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.15d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.25d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.25;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 3.15:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.25
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.15)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.25);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.15)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.25;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 3.15], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.25), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.14999999999999991

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 17.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 3.14999999999999991 < re

   1. Initial program 56.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 8.0%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.25} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 19: 16.1% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.15:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 3.15) (* im_m 0.0) (* im_m 0.16666666666666666))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.16666666666666666;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.15d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.16666666666666666d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.16666666666666666;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 3.15:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.16666666666666666
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.15)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.16666666666666666);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.15)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.16666666666666666;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 3.15], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.14999999999999991

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 17.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 3.14999999999999991 < re

   1. Initial program 56.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 7.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 20: 16.0% accurate, 38.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.15:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot 0.027777777777777776\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 3.15) (* im_m 0.0) (* im_m 0.027777777777777776))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.027777777777777776;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.15d0) then
        tmp = im_m * 0.0d0
    else
        tmp = im_m * 0.027777777777777776d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 3.15) {
		tmp = im_m * 0.0;
	} else {
		tmp = im_m * 0.027777777777777776;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 3.15:
		tmp = im_m * 0.0
	else:
		tmp = im_m * 0.027777777777777776
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.15)
		tmp = Float64(im_m * 0.0);
	else
		tmp = Float64(im_m * 0.027777777777777776);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.15)
		tmp = im_m * 0.0;
	else
		tmp = im_m * 0.027777777777777776;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 3.15], N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision], N[(im$95$m * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.14999999999999991

   1. Initial program 73.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 91.6%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 17.2%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]

   if 3.14999999999999991 < re

   1. Initial program 56.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      3. *-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      4. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      5. +-commutative 95.7%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 7.1%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0.027777777777777776} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 21: 32.7% accurate, 77.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(-re\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m (- re))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -re);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * -re)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -re);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * -re)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(-re)))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * -re);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 47.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

   2. neg-mul-1 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

5. Simplified 47.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0 29.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 29.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot re} \]

   2. neg-mul-1 29.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot re \]

8. Simplified 29.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]

9. Final simplification 29.0%

   \[\leadsto im \cdot \left(-re\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 22: 15.3% accurate, 102.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot 0\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m 0.0)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * 0.0);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * 0.0d0)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * 0.0);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * 0.0)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * 0.0))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * 0.0);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * 0.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 92.7%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   2. associate-+r+ 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

   3. *-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

   4. +-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. +-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

5. Simplified 94.2%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 13.4%

   \[\leadsto im \cdot \color{blue}{0} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 23: 5.7% accurate, 102.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot -2\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m -2.0)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -2.0);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (-2.0d0))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -2.0);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * -2.0)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * -2.0))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * -2.0);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 92.7%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   2. associate-+r+ 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

   3. *-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

   4. +-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. +-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

5. Simplified 94.2%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 5.1%

   \[\leadsto im \cdot \color{blue}{-2} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 24: 5.6% accurate, 102.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot -3\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m -3.0)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -3.0);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (-3.0d0))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -3.0);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * -3.0)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * -3.0))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * -3.0);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 92.7%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   2. associate-+r+ 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

   3. *-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

   4. +-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \sin re + \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. +-commutative 92.7%

      \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \sin re + -0.0001984126984126984 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \sin re\right)}\right) \]

5. Simplified 94.2%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right) \cdot {im}^{4} + \mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.16666666666666666, -1\right)\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 5.0%

   \[\leadsto im \cdot \color{blue}{-3} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 25: 5.6% accurate, 102.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot -4\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m -4.0)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -4.0);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (-4.0d0))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * -4.0);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * -4.0)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * -4.0))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * -4.0);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 68.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 47.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

   2. neg-mul-1 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

5. Simplified 47.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

7. Applied egg-rr 5.0%

   \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sin re\right)} - -3\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. log1p-undefine 5.0%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \left(e^{\color{blue}{\log \left(1 + \sin re\right)}} - -3\right) \]

   2. rem-exp-log 5.0%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + \sin re\right)} - -3\right) \]

   3. +-commutative 5.0%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin re + 1\right)} - -3\right) \]

   4. associate--l+ 5.0%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin re + \left(1 - -3\right)\right)} \]

   5. metadata-eval 5.0%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \left(\sin re + \color{blue}{4}\right) \]

9. Simplified 5.0%

   \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin re + 4\right)} \]

10. Taylor expanded in re around 0 5.0%

    \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot im} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 5.0%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot -4} \]

12. Simplified 5.0%

    \[\leadsto \color{blue}{im \cdot -4} \]
13. Add Preprocessing

Developer target: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024107 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))