ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.7% → 99.5%

Time: 13.3s

Alternatives: 4

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.16666666666666666, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (fma x 0.16666666666666666 (* -0.06388888888888888 (pow x 3.0)))))

C

double code(double x) {
	return x * fma(x, 0.16666666666666666, (-0.06388888888888888 * pow(x, 3.0)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(x * fma(x, 0.16666666666666666, Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 3.0))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666 + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. associate-*l* 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   4. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right) \]

   5. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} \]

   4. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}} \cdot -0.06388888888888888 \]

   5. pow-prod-up 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot -0.06388888888888888 \]

   6. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   7. distribute-lft-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   8. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{2}} \]

   9. unpow2 99.5%

      \[\leadsto \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   10. associate-*r* 99.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

   11. +-commutative 99.6%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

   12. fma-define 99.6%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot x \]
9. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666 + x \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot x \]

   2. fma-define 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.16666666666666666, x \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot x \]

   3. *-commutative 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, 0.16666666666666666, \color{blue}{\left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}\right) \cdot x \]

   4. associate-*l* 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, 0.16666666666666666, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)}\right) \cdot x \]

   5. unpow2 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, 0.16666666666666666, -0.06388888888888888 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right)\right) \cdot x \]

   6. pow3 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, 0.16666666666666666, -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{3}}\right) \cdot x \]

10. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.16666666666666666, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{3}\right)} \cdot x \]

11. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.16666666666666666, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{3}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* -0.06388888888888888 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * pow(x, 2.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.06388888888888888 * (x ^ 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. associate-*l* 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   4. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right) \]

   5. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} \]

   4. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}} \cdot -0.06388888888888888 \]

   5. pow-prod-up 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot -0.06388888888888888 \]

   6. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   7. distribute-lft-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   8. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{2}} \]

   9. unpow2 99.5%

      \[\leadsto \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   10. associate-*r* 99.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

   11. +-commutative 99.6%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

   12. fma-define 99.6%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot x \]

9. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. associate-*l* 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   4. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right) \]

   5. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} \]

   4. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}} \cdot -0.06388888888888888 \]

   5. pow-prod-up 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot -0.06388888888888888 \]

   6. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   7. distribute-lft-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   8. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{2}} \]

   9. unpow2 99.5%

      \[\leadsto \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   10. associate-*r* 99.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

   11. +-commutative 99.6%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

   12. fma-define 99.6%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \cdot x \]

9. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.43478260869565216 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.43478260869565216)

C

double code(double x) {
	return 0.43478260869565216;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.43478260869565216d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.43478260869565216;
}

Python

def code(x):
	return 0.43478260869565216

Julia

function code(x)
	return 0.43478260869565216
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.43478260869565216;
end

Wolfram

code[x_] := 0.43478260869565216

Derivation

1. Initial program 57.1%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-define 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. associate-*l* 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   4. pow-sqr 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right) \]

   5. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

   3. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} \]

   4. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}} \cdot -0.06388888888888888 \]

   5. pow-prod-up 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot -0.06388888888888888 \]

   6. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   7. distribute-lft-in 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   8. flip-+ 99.5%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}} \]

   9. associate-*r/ 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}} \]

   10. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} - \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} \]

   11. swap-sqr 99.5%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot -0.06388888888888888\right)}\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} \]

   12. pow-prod-up 99.5%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot -0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} \]

   13. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot -0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} \]

   14. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot \color{blue}{0.00408179012345679}\right)}{0.16666666666666666 - {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888} \]

   15. *-commutative 99.5%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{0.16666666666666666 - \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}} \]

   16. cancel-sign-sub-inv 99.5%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(--0.06388888888888888\right) \cdot {x}^{2}}} \]

   17. metadata-eval 99.5%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{0.16666666666666666 + \color{blue}{0.06388888888888888} \cdot {x}^{2}} \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}}} \]

8. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{2}}}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}} \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}}{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}} \]

11. Taylor expanded in x around inf 4.0%

    \[\leadsto \color{blue}{0.43478260869565216} \]
12. Add Preprocessing

Developer target: 98.9% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024106 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :alt
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))