ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 52.8% → 99.6%

Time: 33.4s

Alternatives: 6

Speedup: 2.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 52.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \mathsf{fma}\left(-0.0007275132275132275, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (fma
   -0.0007275132275132275
   (pow x 6.0)
   (fma
    0.16666666666666666
    (pow x 2.0)
    (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + fma(-0.0007275132275132275, pow(x, 6.0), fma(0.16666666666666666, pow(x, 2.0), (-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + fma(-0.0007275132275132275, (x ^ 6.0), fma(0.16666666666666666, (x ^ 2.0), Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   2. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.0007275132275132275, {x}^{6}, -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   3. +-commutative 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.0007275132275132275, {x}^{6}, \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}}\right)\right) \]

   4. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.0007275132275132275, {x}^{6}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.0007275132275132275, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \mathsf{fma}\left(-0.0007275132275132275, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \mathsf{fma}\left(-0.0007275132275132275, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right)\right)} \]

8. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \mathsf{fma}\left(-0.0007275132275132275, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (+
    (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
    (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + ((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)) (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * pow(x, 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 4.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (tan x)))

C

double code(double x) {
	return x / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return x / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(x / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Final simplification 4.3%

   \[\leadsto \frac{x}{\tan x} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 54.9%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

5. Final simplification 4.3%

   \[\leadsto 1 \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024101 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))