Kahan's exp quotient

Percentage Accurate: 53.2% → 100.0%

Time: 11.9s

Alternatives: 15

Speedup: 13.1×

• 25.1% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - 1}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) 1.0) x))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 1.0) / x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - 1.0d0) / x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - 1.0) / x;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - 1.0) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 1.0) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - 1}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) 1.0) x))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 1.0) / x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - 1.0d0) / x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - 1.0) / x;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - 1.0) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 1.0) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (/ x (expm1 x))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / (x / expm1(x));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / (x / Math.expm1(x));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / (x / math.expm1(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(x / expm1(x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(x / N[(Exp[x] - 1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.2%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-define 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (expm1 x) x))

C

double code(double x) {
	return expm1(x) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.expm1(x) / x;
}

Python

def code(x):
	return math.expm1(x) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(expm1(x) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Exp[x] - 1), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.2%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-define 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 75.5% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.35:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-2\right) - \frac{4}{x}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \left(36 + x \cdot 9\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -2.35)
   (/ (- (- 2.0) (/ 4.0 x)) x)
   (+
    1.0
    (*
     x
     (+
      0.5
      (*
       x
       (*
        (+ (* (* x (* x x)) 7.233796296296296e-5) 0.004629629629629629)
        (+ 36.0 (* x 9.0)))))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2.35) {
		tmp = (-2.0 - (4.0 / x)) / x;
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * ((((x * (x * x)) * 7.233796296296296e-5) + 0.004629629629629629) * (36.0 + (x * 9.0))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-2.35d0)) then
        tmp = (-2.0d0 - (4.0d0 / x)) / x
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((((x * (x * x)) * 7.233796296296296d-5) + 0.004629629629629629d0) * (36.0d0 + (x * 9.0d0))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2.35) {
		tmp = (-2.0 - (4.0 / x)) / x;
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * ((((x * (x * x)) * 7.233796296296296e-5) + 0.004629629629629629) * (36.0 + (x * 9.0))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -2.35:
		tmp = (-2.0 - (4.0 / x)) / x
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * ((((x * (x * x)) * 7.233796296296296e-5) + 0.004629629629629629) * (36.0 + (x * 9.0))))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -2.35)
		tmp = Float64(Float64(Float64(-2.0) - Float64(4.0 / x)) / x);
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(Float64(Float64(Float64(x * Float64(x * x)) * 7.233796296296296e-5) + 0.004629629629629629) * Float64(36.0 + Float64(x * 9.0)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -2.35)
		tmp = (-2.0 - (4.0 / x)) / x;
	else
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * ((((x * (x * x)) * 7.233796296296296e-5) + 0.004629629629629629) * (36.0 + (x * 9.0))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -2.35], N[(N[((-2.0) - N[(4.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(N[(N[(N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 7.233796296296296e-5), $MachinePrecision] + 0.004629629629629629), $MachinePrecision] * N[(36.0 + N[(x * 9.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.35000000000000009

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

      2. associate-/r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   9. Taylor expanded in x around 0 18.8%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{1 + -0.5 \cdot x}{x}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 18.8%

          \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1 + \color{blue}{x \cdot -0.5}}{x}} \]

   11. Simplified 18.8%

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{1 + x \cdot -0.5}{x}}} \]

   12. Taylor expanded in x around inf 18.8%

       \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{2 + 4 \cdot \frac{1}{x}}{x}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg 18.8%

          \[\leadsto \color{blue}{-\frac{2 + 4 \cdot \frac{1}{x}}{x}} \]

       2. distribute-neg-frac2 18.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2 + 4 \cdot \frac{1}{x}}{-x}} \]

       3. associate-*r/ 18.8%

          \[\leadsto \frac{2 + \color{blue}{\frac{4 \cdot 1}{x}}}{-x} \]

       4. metadata-eval 18.8%

          \[\leadsto \frac{2 + \frac{\color{blue}{4}}{x}}{-x} \]

       5. neg-sub0 18.8%

          \[\leadsto \frac{2 + \frac{4}{x}}{\color{blue}{0 - x}} \]

   14. Simplified 18.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2 + \frac{4}{x}}{0 - x}} \]

   if -2.35000000000000009 < x

   1. Initial program 43.3%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 88.1%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip3-+ 66.9%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\frac{{0.16666666666666666}^{3} + {\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}}\right) \]

      2. div-inv 66.9%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left({0.16666666666666666}^{3} + {\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)}\right) \]

      3. pow3 66.9%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left({0.16666666666666666}^{3} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      4. +-commutative 66.9%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) + {0.16666666666666666}^{3}\right)} \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      5. pow3 66.9%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow-prod-down 66.9%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{{x}^{3} \cdot {0.041666666666666664}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      7. pow3 66.9%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot {0.041666666666666664}^{3} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      8. associate-*l* 66.9%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot {0.041666666666666664}^{3} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      9. metadata-eval 66.9%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{7.233796296296296 \cdot 10^{-5}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      10. metadata-eval 66.9%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + \color{blue}{0.004629629629629629}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      11. metadata-eval 66.9%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.027777777777777776} + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out-- 66.9%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{0.027777777777777776 + \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664 - 0.16666666666666666\right)}}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 66.9%

      \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{0.027777777777777776 + \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664 - 0.16666666666666666\right)}\right)}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around 0 95.3%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \color{blue}{\left(36 + 9 \cdot x\right)}\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 95.3%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \left(36 + \color{blue}{x \cdot 9}\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 95.3%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \color{blue}{\left(36 + x \cdot 9\right)}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.35:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-2\right) - \frac{4}{x}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \left(36 + x \cdot 9\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 75.2% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.78:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 0.78)
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* x -0.5)))
   (+
    1.0
    (*
     x
     (+
      0.5
      (*
       x
       (*
        (+ 0.0006510416666666666 (/ 0.0026041666666666665 x))
        (* (* x x) (* x x)))))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.78) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * ((0.0006510416666666666 + (0.0026041666666666665 / x)) * ((x * x) * (x * x))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 0.78d0) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + (x * (-0.5d0)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * ((0.0006510416666666666d0 + (0.0026041666666666665d0 / x)) * ((x * x) * (x * x))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.78) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * ((0.0006510416666666666 + (0.0026041666666666665 / x)) * ((x * x) * (x * x))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 0.78:
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5))
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * ((0.0006510416666666666 + (0.0026041666666666665 / x)) * ((x * x) * (x * x))))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.78)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * -0.5)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(Float64(0.0006510416666666666 + Float64(0.0026041666666666665 / x)) * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.78)
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	else
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * ((0.0006510416666666666 + (0.0026041666666666665 / x)) * ((x * x) * (x * x))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 0.78], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(N[(0.0006510416666666666 + N[(0.0026041666666666665 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.78000000000000003

   1. Initial program 43.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 67.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot x}} \]

   if 0.78000000000000003 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 69.4%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right)\right) \]

   7. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip3-+ 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\frac{{0.16666666666666666}^{3} + {\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}}\right) \]

      2. div-inv 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left({0.16666666666666666}^{3} + {\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)}\right) \]

      3. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left({0.16666666666666666}^{3} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      4. +-commutative 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) + {0.16666666666666666}^{3}\right)} \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      5. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow-prod-down 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{{x}^{3} \cdot {0.041666666666666664}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      7. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot {0.041666666666666664}^{3} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      8. associate-*l* 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot {0.041666666666666664}^{3} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      9. metadata-eval 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{7.233796296296296 \cdot 10^{-5}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      10. metadata-eval 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + \color{blue}{0.004629629629629629}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      11. metadata-eval 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.027777777777777776} + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out-- 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{0.027777777777777776 + \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664 - 0.16666666666666666\right)}}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 14.5%

      \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{0.027777777777777776 + \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664 - 0.16666666666666666\right)}\right)}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around 0 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \color{blue}{\left(36 + 9 \cdot x\right)}\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \left(36 + \color{blue}{x \cdot 9}\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \color{blue}{\left(36 + x \cdot 9\right)}\right)\right) \]

   13. Taylor expanded in x around inf 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(0.0006510416666666666 + 0.0026041666666666665 \cdot \frac{1}{x}\right)\right)}\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(0.0006510416666666666 + 0.0026041666666666665 \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot {x}^{4}\right)}\right) \]

       2. associate-*r/ 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(0.0006510416666666666 + \color{blue}{\frac{0.0026041666666666665 \cdot 1}{x}}\right) \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

       3. metadata-eval 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(0.0006510416666666666 + \frac{\color{blue}{0.0026041666666666665}}{x}\right) \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

       4. metadata-eval 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot {x}^{\color{blue}{\left(3 + 1\right)}}\right)\right) \]

       5. pow-plus 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot x\right)}\right)\right) \]

       6. unpow3 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x\right)\right)\right) \]

       7. associate-*r* 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

   15. Simplified 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.78:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 75.2% accurate, 4.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.7:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.7)
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* x -0.5)))
   (+
    1.0
    (*
     (+ 0.0006510416666666666 (/ 0.0026041666666666665 x))
     (* (* x x) (* (* x x) (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.7) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((0.0006510416666666666 + (0.0026041666666666665 / x)) * ((x * x) * ((x * x) * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.7d0) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + (x * (-0.5d0)))
    else
        tmp = 1.0d0 + ((0.0006510416666666666d0 + (0.0026041666666666665d0 / x)) * ((x * x) * ((x * x) * (x * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.7) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((0.0006510416666666666 + (0.0026041666666666665 / x)) * ((x * x) * ((x * x) * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.7:
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5))
	else:
		tmp = 1.0 + ((0.0006510416666666666 + (0.0026041666666666665 / x)) * ((x * x) * ((x * x) * (x * x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.7)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * -0.5)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(0.0006510416666666666 + Float64(0.0026041666666666665 / x)) * Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.7)
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	else
		tmp = 1.0 + ((0.0006510416666666666 + (0.0026041666666666665 / x)) * ((x * x) * ((x * x) * (x * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.7], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(N[(0.0006510416666666666 + N[(0.0026041666666666665 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.69999999999999996

   1. Initial program 43.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 67.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot x}} \]

   if 1.69999999999999996 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 69.4%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right)\right) \]

   7. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip3-+ 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\frac{{0.16666666666666666}^{3} + {\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}}\right) \]

      2. div-inv 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left({0.16666666666666666}^{3} + {\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)}\right) \]

      3. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left({0.16666666666666666}^{3} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      4. +-commutative 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) + {0.16666666666666666}^{3}\right)} \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      5. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow-prod-down 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{{x}^{3} \cdot {0.041666666666666664}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      7. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot {0.041666666666666664}^{3} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      8. associate-*l* 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot {0.041666666666666664}^{3} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      9. metadata-eval 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{7.233796296296296 \cdot 10^{-5}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      10. metadata-eval 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + \color{blue}{0.004629629629629629}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      11. metadata-eval 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.027777777777777776} + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out-- 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{0.027777777777777776 + \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664 - 0.16666666666666666\right)}}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 14.5%

      \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{0.027777777777777776 + \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664 - 0.16666666666666666\right)}\right)}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around 0 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \color{blue}{\left(36 + 9 \cdot x\right)}\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \left(36 + \color{blue}{x \cdot 9}\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \color{blue}{\left(36 + x \cdot 9\right)}\right)\right) \]

   13. Taylor expanded in x around inf 88.1%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{6} \cdot \left(0.0006510416666666666 + 0.0026041666666666665 \cdot \frac{1}{x}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 88.1%

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(0.0006510416666666666 + 0.0026041666666666665 \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot {x}^{6}} \]

       2. associate-*r/ 88.1%

          \[\leadsto 1 + \left(0.0006510416666666666 + \color{blue}{\frac{0.0026041666666666665 \cdot 1}{x}}\right) \cdot {x}^{6} \]

       3. metadata-eval 88.1%

          \[\leadsto 1 + \left(0.0006510416666666666 + \frac{\color{blue}{0.0026041666666666665}}{x}\right) \cdot {x}^{6} \]

       4. metadata-eval 88.1%

          \[\leadsto 1 + \left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)}} \]

       5. pow-sqr 88.1%

          \[\leadsto 1 + \left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \]

       6. unpow3 88.1%

          \[\leadsto 1 + \left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot {x}^{3}\right) \]

       7. unpow3 88.1%

          \[\leadsto 1 + \left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}\right) \]

       8. swap-sqr 88.1%

          \[\leadsto 1 + \left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   15. Simplified 88.1%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.7:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(0.0006510416666666666 + \frac{0.0026041666666666665}{x}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 75.2% accurate, 4.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.78:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.0006510416666666666 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 0.78)
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* x -0.5)))
   (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (* 0.0006510416666666666 (* (* x x) (* x x)))))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.78) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.0006510416666666666 * ((x * x) * (x * x))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 0.78d0) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + (x * (-0.5d0)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * (0.0006510416666666666d0 * ((x * x) * (x * x))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.78) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.0006510416666666666 * ((x * x) * (x * x))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 0.78:
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5))
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.0006510416666666666 * ((x * x) * (x * x))))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.78)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * -0.5)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(0.0006510416666666666 * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.78)
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	else
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.0006510416666666666 * ((x * x) * (x * x))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 0.78], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(0.0006510416666666666 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.78000000000000003

   1. Initial program 43.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 67.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot x}} \]

   if 0.78000000000000003 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 69.4%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right)\right) \]

   7. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip3-+ 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\frac{{0.16666666666666666}^{3} + {\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}}\right) \]

      2. div-inv 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left({0.16666666666666666}^{3} + {\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)}\right) \]

      3. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left({0.16666666666666666}^{3} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      4. +-commutative 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) + {0.16666666666666666}^{3}\right)} \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      5. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow-prod-down 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{{x}^{3} \cdot {0.041666666666666664}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      7. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot {0.041666666666666664}^{3} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      8. associate-*l* 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot {0.041666666666666664}^{3} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      9. metadata-eval 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{7.233796296296296 \cdot 10^{-5}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      10. metadata-eval 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + \color{blue}{0.004629629629629629}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      11. metadata-eval 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.027777777777777776} + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out-- 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{0.027777777777777776 + \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664 - 0.16666666666666666\right)}}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 14.5%

      \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{0.027777777777777776 + \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664 - 0.16666666666666666\right)}\right)}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around 0 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \color{blue}{\left(36 + 9 \cdot x\right)}\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \left(36 + \color{blue}{x \cdot 9}\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \color{blue}{\left(36 + x \cdot 9\right)}\right)\right) \]

   13. Taylor expanded in x around inf 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(0.0006510416666666666 \cdot {x}^{4}\right)}\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.0006510416666666666 \cdot {x}^{\color{blue}{\left(3 + 1\right)}}\right)\right) \]

       2. pow-plus 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.0006510416666666666 \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot x\right)}\right)\right) \]

       3. unpow3 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.0006510416666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x\right)\right)\right) \]

       4. associate-*r* 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.0006510416666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

   15. Simplified 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(0.0006510416666666666 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.78:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.0006510416666666666 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 75.2% accurate, 5.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.7:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.0006510416666666666 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.7)
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* x -0.5)))
   (+ 1.0 (* 0.0006510416666666666 (* (* x x) (* (* x x) (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.7) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.0006510416666666666 * ((x * x) * ((x * x) * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.7d0) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + (x * (-0.5d0)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (0.0006510416666666666d0 * ((x * x) * ((x * x) * (x * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.7) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.0006510416666666666 * ((x * x) * ((x * x) * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.7:
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5))
	else:
		tmp = 1.0 + (0.0006510416666666666 * ((x * x) * ((x * x) * (x * x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.7)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * -0.5)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.0006510416666666666 * Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.7)
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	else
		tmp = 1.0 + (0.0006510416666666666 * ((x * x) * ((x * x) * (x * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.7], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(0.0006510416666666666 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.69999999999999996

   1. Initial program 43.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 67.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot x}} \]

   if 1.69999999999999996 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 69.4%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right)\right) \]

   7. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip3-+ 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\frac{{0.16666666666666666}^{3} + {\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}}\right) \]

      2. div-inv 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left({0.16666666666666666}^{3} + {\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)}\right) \]

      3. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left({0.16666666666666666}^{3} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      4. +-commutative 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) + {0.16666666666666666}^{3}\right)} \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      5. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow-prod-down 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{{x}^{3} \cdot {0.041666666666666664}^{3}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      7. pow3 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot {0.041666666666666664}^{3} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      8. associate-*l* 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot {0.041666666666666664}^{3} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      9. metadata-eval 14.5%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{7.233796296296296 \cdot 10^{-5}} + {0.16666666666666666}^{3}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      10. metadata-eval 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + \color{blue}{0.004629629629629629}\right) \cdot \frac{1}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      11. metadata-eval 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.027777777777777776} + \left(\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\right)\right) \]

      12. distribute-rgt-out-- 14.5%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{0.027777777777777776 + \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664 - 0.16666666666666666\right)}}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 14.5%

      \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \frac{1}{0.027777777777777776 + \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664 - 0.16666666666666666\right)}\right)}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around 0 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \color{blue}{\left(36 + 9 \cdot x\right)}\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 88.1%

          \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \left(36 + \color{blue}{x \cdot 9}\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 88.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 7.233796296296296 \cdot 10^{-5} + 0.004629629629629629\right) \cdot \color{blue}{\left(36 + x \cdot 9\right)}\right)\right) \]

   13. Taylor expanded in x around inf 88.1%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{0.0006510416666666666 \cdot {x}^{6}} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval 88.1%

          \[\leadsto 1 + 0.0006510416666666666 \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)}} \]

       2. pow-sqr 88.1%

          \[\leadsto 1 + 0.0006510416666666666 \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \]

       3. unpow3 88.1%

          \[\leadsto 1 + 0.0006510416666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot {x}^{3}\right) \]

       4. unpow3 88.1%

          \[\leadsto 1 + 0.0006510416666666666 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}\right) \]

       5. swap-sqr 88.1%

          \[\leadsto 1 + 0.0006510416666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   15. Simplified 88.1%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{0.0006510416666666666 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.7:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.0006510416666666666 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 71.3% accurate, 5.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-2\right) - \frac{4}{x}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -2.5)
   (/ (- (- 2.0) (/ 4.0 x)) x)
   (+
    1.0
    (* x (+ 0.5 (* x (+ 0.16666666666666666 (* x 0.041666666666666664))))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2.5) {
		tmp = (-2.0 - (4.0 / x)) / x;
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-2.5d0)) then
        tmp = (-2.0d0 - (4.0d0 / x)) / x
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * (0.16666666666666666d0 + (x * 0.041666666666666664d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2.5) {
		tmp = (-2.0 - (4.0 / x)) / x;
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -2.5:
		tmp = (-2.0 - (4.0 / x)) / x
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664)))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -2.5)
		tmp = Float64(Float64(Float64(-2.0) - Float64(4.0 / x)) / x);
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * 0.041666666666666664))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -2.5)
		tmp = (-2.0 - (4.0 / x)) / x;
	else
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -2.5], N[(N[((-2.0) - N[(4.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(x * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.5

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

      2. associate-/r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   9. Taylor expanded in x around 0 18.8%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{1 + -0.5 \cdot x}{x}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 18.8%

          \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1 + \color{blue}{x \cdot -0.5}}{x}} \]

   11. Simplified 18.8%

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{1 + x \cdot -0.5}{x}}} \]

   12. Taylor expanded in x around inf 18.8%

       \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{2 + 4 \cdot \frac{1}{x}}{x}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg 18.8%

          \[\leadsto \color{blue}{-\frac{2 + 4 \cdot \frac{1}{x}}{x}} \]

       2. distribute-neg-frac2 18.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2 + 4 \cdot \frac{1}{x}}{-x}} \]

       3. associate-*r/ 18.8%

          \[\leadsto \frac{2 + \color{blue}{\frac{4 \cdot 1}{x}}}{-x} \]

       4. metadata-eval 18.8%

          \[\leadsto \frac{2 + \frac{\color{blue}{4}}{x}}{-x} \]

       5. neg-sub0 18.8%

          \[\leadsto \frac{2 + \frac{4}{x}}{\color{blue}{0 - x}} \]

   14. Simplified 18.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2 + \frac{4}{x}}{0 - x}} \]

   if -2.5 < x

   1. Initial program 43.3%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 88.1%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-2\right) - \frac{4}{x}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 71.0% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.64:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 0.64)
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* x -0.5)))
   (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x (* x 0.041666666666666664)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.64) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (x * 0.041666666666666664))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 0.64d0) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + (x * (-0.5d0)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * (x * 0.041666666666666664d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.64) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (x * 0.041666666666666664))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 0.64:
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5))
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (x * 0.041666666666666664))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.64)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * -0.5)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.041666666666666664)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.64)
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	else
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (x * (x * 0.041666666666666664))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 0.64], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.640000000000000013

   1. Initial program 43.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 67.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot x}} \]

   if 0.640000000000000013 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 69.4%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right)\right) \]

   7. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 69.4%

      \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot x\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.64:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 71.0% accurate, 7.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.65:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.65)
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* x -0.5)))
   (+ 1.0 (* x (* (* x x) 0.041666666666666664)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.65) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * ((x * x) * 0.041666666666666664));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.65d0) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + (x * (-0.5d0)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * ((x * x) * 0.041666666666666664d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.65) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * ((x * x) * 0.041666666666666664));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.65:
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5))
	else:
		tmp = 1.0 + (x * ((x * x) * 0.041666666666666664))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.65)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * -0.5)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(x * x) * 0.041666666666666664)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.65)
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	else
		tmp = 1.0 + (x * ((x * x) * 0.041666666666666664));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.65], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.6499999999999999

   1. Initial program 43.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 67.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot x}} \]

   if 1.6499999999999999 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 69.4%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right)\right) \]

   7. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 69.4%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. cube-unmult 69.4%

         \[\leadsto 1 + 0.041666666666666664 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

      2. *-commutative 69.4%

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.041666666666666664} \]

      3. associate-*l* 69.4%

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.041666666666666664\right)} \]

      4. *-commutative 69.4%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   10. Simplified 69.4%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{x \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.65:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 67.1% accurate, 8.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.5:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.5)
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* x -0.5)))
   (+ 1.0 (* (* x x) 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.5) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.5d0) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + (x * (-0.5d0)))
    else
        tmp = 1.0d0 + ((x * x) * 0.16666666666666666d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.5) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.5:
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5))
	else:
		tmp = 1.0 + ((x * x) * 0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.5)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * -0.5)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.5)
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * -0.5));
	else
		tmp = 1.0 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.5], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.5

   1. Initial program 43.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 67.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + -0.5 \cdot x}} \]

   if 1.5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 58.7%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{x \cdot 0.16666666666666666}\right) \]

   7. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 58.7%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 58.7%

         \[\leadsto 1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   10. Simplified 58.7%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 65.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.5:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot -0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 66.5% accurate, 8.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.5:\\ \;\;\;\;\frac{-2}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.5) (/ -2.0 x) (+ 1.0 (* (* x x) 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.5) {
		tmp = -2.0 / x;
	} else {
		tmp = 1.0 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1.5d0)) then
        tmp = (-2.0d0) / x
    else
        tmp = 1.0d0 + ((x * x) * 0.16666666666666666d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.5) {
		tmp = -2.0 / x;
	} else {
		tmp = 1.0 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -1.5:
		tmp = -2.0 / x
	else:
		tmp = 1.0 + ((x * x) * 0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.5)
		tmp = Float64(-2.0 / x);
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1.5)
		tmp = -2.0 / x;
	else
		tmp = 1.0 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1.5], N[(-2.0 / x), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.5

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

      2. associate-/r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   9. Taylor expanded in x around 0 18.8%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{1 + -0.5 \cdot x}{x}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 18.8%

          \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1 + \color{blue}{x \cdot -0.5}}{x}} \]

   11. Simplified 18.8%

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{1 + x \cdot -0.5}{x}}} \]

   12. Taylor expanded in x around inf 18.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2}{x}} \]

   if -1.5 < x

   1. Initial program 43.3%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 83.7%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 83.7%

         \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{x \cdot 0.16666666666666666}\right) \]

   7. Simplified 83.7%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 82.2%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 82.2%

         \[\leadsto 1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   10. Simplified 82.2%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.5:\\ \;\;\;\;\frac{-2}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 55.5% accurate, 10.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.55:\\ \;\;\;\;\frac{-2}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot 0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (if (<= x -1.55) (/ -2.0 x) (+ 1.0 (* x 0.5))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.55) {
		tmp = -2.0 / x;
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * 0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1.55d0)) then
        tmp = (-2.0d0) / x
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * 0.5d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.55) {
		tmp = -2.0 / x;
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * 0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -1.55:
		tmp = -2.0 / x
	else:
		tmp = 1.0 + (x * 0.5)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.55)
		tmp = Float64(-2.0 / x);
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * 0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1.55)
		tmp = -2.0 / x;
	else
		tmp = 1.0 + (x * 0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1.55], N[(-2.0 / x), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.55000000000000004

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

      2. associate-/r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   9. Taylor expanded in x around 0 18.8%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{1 + -0.5 \cdot x}{x}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 18.8%

          \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1 + \color{blue}{x \cdot -0.5}}{x}} \]

   11. Simplified 18.8%

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{1 + x \cdot -0.5}{x}}} \]

   12. Taylor expanded in x around inf 18.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2}{x}} \]

   if -1.55000000000000004 < x

   1. Initial program 43.3%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 62.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.5 \cdot x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 50.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.55:\\ \;\;\;\;\frac{-2}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot 0.5\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 54.4% accurate, 13.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2:\\ \;\;\;\;\frac{-2}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (if (<= x -2.0) (/ -2.0 x) 1.0))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2.0) {
		tmp = -2.0 / x;
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-2.0d0)) then
        tmp = (-2.0d0) / x
    else
        tmp = 1.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2.0) {
		tmp = -2.0 / x;
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -2.0:
		tmp = -2.0 / x
	else:
		tmp = 1.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -2.0)
		tmp = Float64(-2.0 / x);
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -2.0)
		tmp = -2.0 / x;
	else
		tmp = 1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -2.0], N[(-2.0 / x), $MachinePrecision], 1.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

      2. associate-/r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}} \]

   9. Taylor expanded in x around 0 18.8%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{1 + -0.5 \cdot x}{x}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 18.8%

          \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1 + \color{blue}{x \cdot -0.5}}{x}} \]

   11. Simplified 18.8%

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{1 + x \cdot -0.5}{x}}} \]

   12. Taylor expanded in x around inf 18.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2}{x}} \]

   if -2 < x

   1. Initial program 43.3%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-define 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0 60.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 15: 51.1% accurate, 105.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 59.2%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-define 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0 45.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 52.8% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - 1\\ \mathbf{if}\;x < 1 \land x > -1:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{\log \left(e^{x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) 1.0)))
   (if (and (< x 1.0) (> x -1.0)) (/ t_0 (log (exp x))) (/ t_0 x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - 1.0;
	double tmp;
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0)) {
		tmp = t_0 / log(exp(x));
	} else {
		tmp = t_0 / x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(x) - 1.0d0
    if ((x < 1.0d0) .and. (x > (-1.0d0))) then
        tmp = t_0 / log(exp(x))
    else
        tmp = t_0 / x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - 1.0;
	double tmp;
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0)) {
		tmp = t_0 / Math.log(Math.exp(x));
	} else {
		tmp = t_0 / x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - 1.0
	tmp = 0
	if (x < 1.0) and (x > -1.0):
		tmp = t_0 / math.log(math.exp(x))
	else:
		tmp = t_0 / x
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - 1.0)
	tmp = 0.0
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0))
		tmp = Float64(t_0 / log(exp(x)));
	else
		tmp = Float64(t_0 / x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - 1.0;
	tmp = 0.0;
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0))
		tmp = t_0 / log(exp(x));
	else
		tmp = t_0 / x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]}, If[And[Less[x, 1.0], Greater[x, -1.0]], N[(t$95$0 / N[Log[N[Exp[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / x), $MachinePrecision]]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024098 
(FPCore (x)
  :name "Kahan's exp quotient"
  :precision binary64

  :alt
  (if (and (< x 1.0) (> x -1.0)) (/ (- (exp x) 1.0) (log (exp x))) (/ (- (exp x) 1.0) x))

  (/ (- (exp x) 1.0) x))