bug500 (missed optimization)

Percentage Accurate: 68.5% → 99.6%

Time: 10.9s

Alternatives: 10

Speedup: 14.7×

Specification

\[-1000 < x \land x < 1000\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x - x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (sin x) x))

C

double code(double x) {
	return sin(x) - x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin(x) - x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin(x) - x;
}

Python

def code(x):
	return math.sin(x) - x

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(x) - x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin(x) - x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]

Initial Program: 68.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x - x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (sin x) x))

C

double code(double x) {
	return sin(x) - x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin(x) - x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin(x) - x;
}

Python

def code(x):
	return math.sin(x) - x

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(x) - x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin(x) - x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\\ t_1 := \sin x\_m - x\_m\\ x\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_1 \leq -0.05:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x\_m}^{3} \cdot \frac{t\_0 \cdot t\_0 - 0.027777777777777776}{t\_0 - -0.16666666666666666}\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* x_m x_m)
          (+ 0.008333333333333333 (* (* x_m x_m) -0.0001984126984126984))))
        (t_1 (- (sin x_m) x_m)))
   (*
    x_s
    (if (<= t_1 -0.05)
      t_1
      (*
       (pow x_m 3.0)
       (/
        (- (* t_0 t_0) 0.027777777777777776)
        (- t_0 -0.16666666666666666)))))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	double t_0 = (x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984));
	double t_1 = sin(x_m) - x_m;
	double tmp;
	if (t_1 <= -0.05) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = pow(x_m, 3.0) * (((t_0 * t_0) - 0.027777777777777776) / (t_0 - -0.16666666666666666));
	}
	return x_s * tmp;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x_m * x_m) * (0.008333333333333333d0 + ((x_m * x_m) * (-0.0001984126984126984d0)))
    t_1 = sin(x_m) - x_m
    if (t_1 <= (-0.05d0)) then
        tmp = t_1
    else
        tmp = (x_m ** 3.0d0) * (((t_0 * t_0) - 0.027777777777777776d0) / (t_0 - (-0.16666666666666666d0)))
    end if
    code = x_s * tmp
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	double t_0 = (x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984));
	double t_1 = Math.sin(x_m) - x_m;
	double tmp;
	if (t_1 <= -0.05) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = Math.pow(x_m, 3.0) * (((t_0 * t_0) - 0.027777777777777776) / (t_0 - -0.16666666666666666));
	}
	return x_s * tmp;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	t_0 = (x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984))
	t_1 = math.sin(x_m) - x_m
	tmp = 0
	if t_1 <= -0.05:
		tmp = t_1
	else:
		tmp = math.pow(x_m, 3.0) * (((t_0 * t_0) - 0.027777777777777776) / (t_0 - -0.16666666666666666))
	return x_s * tmp

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	t_0 = Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(x_m * x_m) * -0.0001984126984126984)))
	t_1 = Float64(sin(x_m) - x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= -0.05)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = Float64((x_m ^ 3.0) * Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - 0.027777777777777776) / Float64(t_0 - -0.16666666666666666)));
	end
	return Float64(x_s * tmp)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(x_s, x_m)
	t_0 = (x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984));
	t_1 = sin(x_m) - x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= -0.05)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = (x_m ^ 3.0) * (((t_0 * t_0) - 0.027777777777777776) / (t_0 - -0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = x_s * tmp;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[x$95$m], $MachinePrecision] - x$95$m), $MachinePrecision]}, N[(x$95$s * If[LessEqual[t$95$1, -0.05], t$95$1, N[(N[Power[x$95$m, 3.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - 0.027777777777777776), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sin.f64 x) x) < -0.050000000000000003

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x - x \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.050000000000000003 < (-.f64 (sin.f64 x) x)

   1. Initial program 72.7%

      \[\sin x - x \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right) \]

      2. associate-*l* 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right)\right)} - 0.16666666666666666\right) \]

      3. fma-neg 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right), -0.16666666666666666\right)} \]

      4. +-commutative 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} + 0.008333333333333333\right)}, -0.16666666666666666\right) \]

      5. *-commutative 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.0001984126984126984} + 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) \]

      6. unpow2 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) \]

      7. associate-*l* 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.0001984126984126984\right)} + 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) \]

      8. fma-define 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)}, -0.16666666666666666\right) \]

      9. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{-0.16666666666666666}\right) \]

   5. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-undefine 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) + -0.16666666666666666\right)} \]

      2. flip-+ 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)\right) - -0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) - -0.16666666666666666}} \]

      3. associate-*r* 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)\right) - -0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) - -0.16666666666666666} \]

      4. fma-undefine 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.0001984126984126984\right) + 0.008333333333333333\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)\right) - -0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) - -0.16666666666666666} \]

      5. +-commutative 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)\right) - -0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) - -0.16666666666666666} \]

      6. associate-*r* 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984}\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)\right) - -0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) - -0.16666666666666666} \]

      7. associate-*r* 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)} - -0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) - -0.16666666666666666} \]

      8. fma-undefine 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.0001984126984126984\right) + 0.008333333333333333\right)}\right) - -0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) - -0.16666666666666666} \]

      9. +-commutative 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)}\right) - -0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) - -0.16666666666666666} \]

      10. associate-*r* 98.6%

          \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984}\right)\right) - -0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) - -0.16666666666666666} \]

      11. metadata-eval 98.6%

          \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) - \color{blue}{0.027777777777777776}}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) - -0.16666666666666666} \]

   7. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) - 0.027777777777777776}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) - -0.16666666666666666}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin x\_m - x\_m\\ x\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.05:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x\_m \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (sin x_m) x_m)))
   (*
    x_s
    (if (<= t_0 -0.05)
      t_0
      (*
       (+
        (*
         (* x_m x_m)
         (+ 0.008333333333333333 (* (* x_m x_m) -0.0001984126984126984)))
        -0.16666666666666666)
       (* x_m (* x_m x_m)))))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	double t_0 = sin(x_m) - x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.05) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = (((x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666) * (x_m * (x_m * x_m));
	}
	return x_s * tmp;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin(x_m) - x_m
    if (t_0 <= (-0.05d0)) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = (((x_m * x_m) * (0.008333333333333333d0 + ((x_m * x_m) * (-0.0001984126984126984d0)))) + (-0.16666666666666666d0)) * (x_m * (x_m * x_m))
    end if
    code = x_s * tmp
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	double t_0 = Math.sin(x_m) - x_m;
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.05) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = (((x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666) * (x_m * (x_m * x_m));
	}
	return x_s * tmp;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	t_0 = math.sin(x_m) - x_m
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.05:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = (((x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666) * (x_m * (x_m * x_m))
	return x_s * tmp

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	t_0 = Float64(sin(x_m) - x_m)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.05)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(x_m * x_m) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666) * Float64(x_m * Float64(x_m * x_m)));
	end
	return Float64(x_s * tmp)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(x_s, x_m)
	t_0 = sin(x_m) - x_m;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.05)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = (((x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666) * (x_m * (x_m * x_m));
	end
	tmp_2 = x_s * tmp;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x$95$m], $MachinePrecision] - x$95$m), $MachinePrecision]}, N[(x$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.05], t$95$0, N[(N[(N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x$95$m * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sin.f64 x) x) < -0.050000000000000003

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x - x \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.050000000000000003 < (-.f64 (sin.f64 x) x)

   1. Initial program 72.7%

      \[\sin x - x \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right) \]

      2. associate-*l* 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right)\right)} - 0.16666666666666666\right) \]

      3. fma-neg 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right), -0.16666666666666666\right)} \]

      4. +-commutative 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} + 0.008333333333333333\right)}, -0.16666666666666666\right) \]

      5. *-commutative 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.0001984126984126984} + 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) \]

      6. unpow2 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) \]

      7. associate-*l* 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.0001984126984126984\right)} + 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) \]

      8. fma-define 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)}, -0.16666666666666666\right) \]

      9. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{-0.16666666666666666}\right) \]

   5. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{3}} \]

      2. fma-undefine 98.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) + -0.16666666666666666\right)} \cdot {x}^{3} \]

      3. +-commutative 98.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)\right)} \cdot {x}^{3} \]

      4. associate-*r* 98.6%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)}\right) \cdot {x}^{3} \]

      5. fma-undefine 98.6%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.0001984126984126984\right) + 0.008333333333333333\right)}\right) \cdot {x}^{3} \]

      6. +-commutative 98.6%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)}\right) \cdot {x}^{3} \]

      7. associate-*r* 98.6%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984}\right)\right) \cdot {x}^{3} \]

      8. cube-mult 98.6%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x - x \leq -0.05:\\ \;\;\;\;\sin x - x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 5.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(\left(\left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x\_m \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (*
   (+
    (*
     (* x_m x_m)
     (+ 0.008333333333333333 (* (* x_m x_m) -0.0001984126984126984)))
    -0.16666666666666666)
   (* x_m (* x_m x_m)))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((((x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666) * (x_m * (x_m * x_m)));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * ((((x_m * x_m) * (0.008333333333333333d0 + ((x_m * x_m) * (-0.0001984126984126984d0)))) + (-0.16666666666666666d0)) * (x_m * (x_m * x_m)))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((((x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666) * (x_m * (x_m * x_m)));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * ((((x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666) * (x_m * (x_m * x_m)))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(Float64(Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(x_m * x_m) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666) * Float64(x_m * Float64(x_m * x_m))))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * ((((x_m * x_m) * (0.008333333333333333 + ((x_m * x_m) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666) * (x_m * (x_m * x_m)));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(N[(N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x$95$m * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.9%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.9%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right) - 0.16666666666666666\right) \]

   2. associate-*l* 97.9%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right)\right)} - 0.16666666666666666\right) \]

   3. fma-neg 97.9%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right), -0.16666666666666666\right)} \]

   4. +-commutative 97.9%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2} + 0.008333333333333333\right)}, -0.16666666666666666\right) \]

   5. *-commutative 97.9%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.0001984126984126984} + 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) \]

   6. unpow2 97.9%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) \]

   7. associate-*l* 97.9%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.0001984126984126984\right)} + 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) \]

   8. fma-define 97.9%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)}, -0.16666666666666666\right) \]

   9. metadata-eval 97.9%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), \color{blue}{-0.16666666666666666}\right) \]

5. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{3}} \]

   2. fma-undefine 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right) + -0.16666666666666666\right)} \cdot {x}^{3} \]

   3. +-commutative 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)\right)\right)} \cdot {x}^{3} \]

   4. associate-*r* 97.9%

      \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right)}\right) \cdot {x}^{3} \]

   5. fma-undefine 97.9%

      \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.0001984126984126984\right) + 0.008333333333333333\right)}\right) \cdot {x}^{3} \]

   6. +-commutative 97.9%

      \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)}\right) \cdot {x}^{3} \]

   7. associate-*r* 97.9%

      \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984}\right)\right) \cdot {x}^{3} \]

   8. cube-mult 97.9%

      \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

8. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.3% accurate, 6.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(x\_m \cdot \frac{\left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot 0.027777777777777776}{-0.16666666666666666 - x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.008333333333333333\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (*
   x_m
   (/
    (* (* x_m x_m) 0.027777777777777776)
    (- -0.16666666666666666 (* x_m (* x_m 0.008333333333333333)))))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * (((x_m * x_m) * 0.027777777777777776) / (-0.16666666666666666 - (x_m * (x_m * 0.008333333333333333)))));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * (x_m * (((x_m * x_m) * 0.027777777777777776d0) / ((-0.16666666666666666d0) - (x_m * (x_m * 0.008333333333333333d0)))))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * (((x_m * x_m) * 0.027777777777777776) / (-0.16666666666666666 - (x_m * (x_m * 0.008333333333333333)))));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * (x_m * (((x_m * x_m) * 0.027777777777777776) / (-0.16666666666666666 - (x_m * (x_m * 0.008333333333333333)))))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(x_m * Float64(Float64(Float64(x_m * x_m) * 0.027777777777777776) / Float64(-0.16666666666666666 - Float64(x_m * Float64(x_m * 0.008333333333333333))))))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * (x_m * (((x_m * x_m) * 0.027777777777777776) / (-0.16666666666666666 - (x_m * (x_m * 0.008333333333333333)))));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(x$95$m * N[(N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision] / N[(-0.16666666666666666 - N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.9%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 72.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\frac{\sin x}{x} - 1\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 97.5%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666\right)\right) \]

   2. sub-neg 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)}\right) \]

   3. unpow2 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)} + \left(-0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right) + \color{blue}{-0.16666666666666666}\right)\right) \]

   7. +-commutative 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}\right) \]

   8. associate-*l* 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   9. +-commutative 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right) + -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \]

   10. fma-define 97.5%

       \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 97.5%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   2. fma-undefine 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right) + -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   3. +-commutative 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}\right) \]

   4. flip-+ 97.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}{-0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)}}\right) \]

   5. associate-*r/ 97.6%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)}{-0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)}} \]

   6. metadata-eval 97.6%

      \[\leadsto x \cdot \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)}{-0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)} \]

   7. swap-sqr 97.6%

      \[\leadsto x \cdot \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}\right)}{-0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)} \]

   8. swap-sqr 97.6%

      \[\leadsto x \cdot \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}\right)}{-0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)} \]

   9. metadata-eval 97.6%

      \[\leadsto x \cdot \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{6.944444444444444 \cdot 10^{-5}}\right)\right)}{-0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)} \]

8. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 6.944444444444444 \cdot 10^{-5}\right)\right)}{-0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)}} \]

9. Taylor expanded in x around 0 97.9%

   \[\leadsto x \cdot \frac{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{2}}}{-0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow2 97.9%

       \[\leadsto x \cdot \frac{0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}{-0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)} \]

11. Simplified 97.9%

    \[\leadsto x \cdot \frac{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{-0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)} \]

12. Final simplification 97.9%

    \[\leadsto x \cdot \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}{-0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.2% accurate, 7.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(\left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(x\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (*
   (* x_m x_m)
   (* x_m (+ -0.16666666666666666 (* x_m (* x_m 0.008333333333333333)))))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * x_m) * (x_m * (-0.16666666666666666 + (x_m * (x_m * 0.008333333333333333)))));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * ((x_m * x_m) * (x_m * ((-0.16666666666666666d0) + (x_m * (x_m * 0.008333333333333333d0)))))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * x_m) * (x_m * (-0.16666666666666666 + (x_m * (x_m * 0.008333333333333333)))));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * ((x_m * x_m) * (x_m * (-0.16666666666666666 + (x_m * (x_m * 0.008333333333333333)))))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(x_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(x_m * Float64(x_m * 0.008333333333333333))))))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * ((x_m * x_m) * (x_m * (-0.16666666666666666 + (x_m * (x_m * 0.008333333333333333)))));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(x$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.9%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} - 0.16666666666666666\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.6%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.008333333333333333} - 0.16666666666666666\right) \]

   2. unpow2 97.6%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.008333333333333333 - 0.16666666666666666\right) \]

   3. associate-*l* 97.6%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)} - 0.16666666666666666\right) \]

   4. fma-neg 97.6%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)} \]

   5. metadata-eval 97.6%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, \color{blue}{-0.16666666666666666}\right) \]

5. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {x}^{3}} \]

   2. cube-mult 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   3. associate-*r* 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   4. fma-undefine 97.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right) + -0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   5. +-commutative 97.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)} \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

7. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

8. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.7% accurate, 14.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x\_m \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (* x_s (* -0.16666666666666666 (* x_m (* x_m x_m)))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (-0.16666666666666666 * (x_m * (x_m * x_m)));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * ((-0.16666666666666666d0) * (x_m * (x_m * x_m)))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (-0.16666666666666666 * (x_m * (x_m * x_m)));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * (-0.16666666666666666 * (x_m * (x_m * x_m)))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(x_m * Float64(x_m * x_m))))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * (-0.16666666666666666 * (x_m * (x_m * x_m)));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(-0.16666666666666666 * N[(x$95$m * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.9%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.16666666666666666} \]

   2. cube-mult 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot -0.16666666666666666 \]

5. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot -0.16666666666666666} \]

6. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.7% accurate, 14.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(\left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(x\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (* x_s (* (* x_m x_m) (* x_m -0.16666666666666666))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * x_m) * (x_m * -0.16666666666666666));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * ((x_m * x_m) * (x_m * (-0.16666666666666666d0)))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * ((x_m * x_m) * (x_m * -0.16666666666666666));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * ((x_m * x_m) * (x_m * -0.16666666666666666))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(x_m * -0.16666666666666666)))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * ((x_m * x_m) * (x_m * -0.16666666666666666));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(x$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.9%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.16666666666666666} \]

   2. unpow3 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666 \]

   3. associate-*l* 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

5. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.7% accurate, 14.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(x\_m \cdot \left(\left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (* x_s (* x_m (* (* x_m x_m) -0.16666666666666666))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * ((x_m * x_m) * -0.16666666666666666));
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * (x_m * ((x_m * x_m) * (-0.16666666666666666d0)))
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * ((x_m * x_m) * -0.16666666666666666));
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * (x_m * ((x_m * x_m) * -0.16666666666666666))

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(x_m * Float64(Float64(x_m * x_m) * -0.16666666666666666)))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * (x_m * ((x_m * x_m) * -0.16666666666666666));
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(x$95$m * N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.9%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow3 97.3%

      \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

   2. associate-*r* 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} \]

5. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} \]

6. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 9: 65.7% accurate, 34.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(x\_m \cdot 0\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m) :precision binary64 (* x_s (* x_m 0.0)))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * 0.0);
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * (x_m * 0.0d0)
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * (x_m * 0.0);
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * (x_m * 0.0)

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(x_m * 0.0))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * (x_m * 0.0);
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * N[(x$95$m * 0.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.9%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 72.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\frac{\sin x}{x} - 1\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 69.3%

   \[\leadsto x \cdot \left(\color{blue}{1} - 1\right) \]

5. Final simplification 69.3%

   \[\leadsto x \cdot 0 \]
6. Add Preprocessing

Alternative 10: 6.5% accurate, 51.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \left(-x\_m\right) \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m) :precision binary64 (* x_s (- x_m)))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * -x_m;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * -x_m
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * -x_m;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * -x_m

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * Float64(-x_m))
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * -x_m;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * (-x$95$m)), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.9%

   \[\sin x - x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 6.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-x} \]

5. Simplified 6.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-x} \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 99.8% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.07:\\ \;\;\;\;-\left(\left(\frac{{x}^{3}}{6} - \frac{{x}^{5}}{120}\right) + \frac{{x}^{7}}{5040}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x - x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.07)
   (- (+ (- (/ (pow x 3.0) 6.0) (/ (pow x 5.0) 120.0)) (/ (pow x 7.0) 5040.0)))
   (- (sin x) x)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.07) {
		tmp = -(((pow(x, 3.0) / 6.0) - (pow(x, 5.0) / 120.0)) + (pow(x, 7.0) / 5040.0));
	} else {
		tmp = sin(x) - x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (abs(x) < 0.07d0) then
        tmp = -((((x ** 3.0d0) / 6.0d0) - ((x ** 5.0d0) / 120.0d0)) + ((x ** 7.0d0) / 5040.0d0))
    else
        tmp = sin(x) - x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (Math.abs(x) < 0.07) {
		tmp = -(((Math.pow(x, 3.0) / 6.0) - (Math.pow(x, 5.0) / 120.0)) + (Math.pow(x, 7.0) / 5040.0));
	} else {
		tmp = Math.sin(x) - x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if math.fabs(x) < 0.07:
		tmp = -(((math.pow(x, 3.0) / 6.0) - (math.pow(x, 5.0) / 120.0)) + (math.pow(x, 7.0) / 5040.0))
	else:
		tmp = math.sin(x) - x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.07)
		tmp = Float64(-Float64(Float64(Float64((x ^ 3.0) / 6.0) - Float64((x ^ 5.0) / 120.0)) + Float64((x ^ 7.0) / 5040.0)));
	else
		tmp = Float64(sin(x) - x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) < 0.07)
		tmp = -((((x ^ 3.0) / 6.0) - ((x ^ 5.0) / 120.0)) + ((x ^ 7.0) / 5040.0));
	else
		tmp = sin(x) - x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.07], (-N[(N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] / 6.0), $MachinePrecision] - N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] / 120.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision] / 5040.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024097 
(FPCore (x)
  :name "bug500 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -1000.0 x) (< x 1000.0))

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.07) (- (+ (- (/ (pow x 3.0) 6.0) (/ (pow x 5.0) 120.0)) (/ (pow x 7.0) 5040.0))) (- (sin x) x))

  (- (sin x) x))