bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.6% → 96.8%

Time: 16.7s

Alternatives: 5

Speedup: 2.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = 1.3080893441633732e+23

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 96.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.027777777777777776 \cdot {x}^{2}}{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot 0.005555555555555556} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (* 0.027777777777777776 (pow x 2.0))
  (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) 0.005555555555555556))))

C

double code(double x) {
	return (0.027777777777777776 * pow(x, 2.0)) / (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * 0.005555555555555556));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.027777777777777776d0 * (x ** 2.0d0)) / (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * 0.005555555555555556d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.027777777777777776 * Math.pow(x, 2.0)) / (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * 0.005555555555555556));
}

Python

def code(x):
	return (0.027777777777777776 * math.pow(x, 2.0)) / (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * 0.005555555555555556))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.027777777777777776 * (x ^ 2.0)) / Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * 0.005555555555555556)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.027777777777777776 * (x ^ 2.0)) / (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * 0.005555555555555556));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.027777777777777776 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 96.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)}{0.16666666666666666 - -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. associate-*r/ 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)\right)}{0.16666666666666666 - -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}}} \]

   3. metadata-eval 96.7%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} - \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)\right)}{0.16666666666666666 - -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}} \]

   4. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)\right)}{0.16666666666666666 - -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}} \]

   5. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}\right)}{0.16666666666666666 - -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}} \]

   6. swap-sqr 96.7%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot -0.005555555555555556\right)}\right)}{0.16666666666666666 - -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}} \]

   7. pow-prod-up 96.7%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot -0.005555555555555556\right)\right)}{0.16666666666666666 - -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}} \]

   8. metadata-eval 96.7%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(-0.005555555555555556 \cdot -0.005555555555555556\right)\right)}{0.16666666666666666 - -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}} \]

   9. metadata-eval 96.7%

      \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot \color{blue}{3.08641975308642 \cdot 10^{-5}}\right)}{0.16666666666666666 - -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}} \]

   10. cancel-sign-sub-inv 96.7%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(--0.005555555555555556\right) \cdot {x}^{2}}} \]

   11. metadata-eval 96.7%

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)}{0.16666666666666666 + \color{blue}{0.005555555555555556} \cdot {x}^{2}} \]

5. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)}{0.16666666666666666 + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{2}}}{0.16666666666666666 + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}} \]

7. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto \frac{0.027777777777777776 \cdot {x}^{2}}{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot 0.005555555555555556} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* x (fma (pow x 2.0) -0.005555555555555556 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * fma(pow(x, 2.0), -0.005555555555555556, 0.16666666666666666));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * fma((x ^ 2.0), -0.005555555555555556, 0.16666666666666666)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. unpow2 96.7%

      \[\leadsto \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   3. associate-*r* 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

   4. +-commutative 96.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

   5. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556} + 0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot x \]

   6. fma-define 96.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

5. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \cdot x} \]

6. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot -0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* x (* x -0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (x * (x * -0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + (x * (x * (-0.005555555555555556d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (x * (x * -0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (x * (x * -0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * -0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + (x * (x * -0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

   2. associate-*r* 96.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

5. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

6. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot -0.005555555555555556\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 50.3% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 55.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 53.1%

   \[\leadsto \log \color{blue}{1} \]

4. Final simplification 53.1%

   \[\leadsto 0 \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024096 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))