Octave 3.8, oct_fill_randg

Percentage Accurate: 99.8% → 99.9%

Time: 10.2s

Alternatives: 9

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a - \frac{1}{3}\\ t\_0 \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot t\_0}} \cdot rand\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- a (/ 1.0 3.0))))
   (* t_0 (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 t_0))) rand)))))

C

double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: t_0
    t_0 = a - (1.0d0 / 3.0d0)
    code = t_0 * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * t_0))) * rand))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Python

def code(a, rand):
	t_0 = a - (1.0 / 3.0)
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand))

Julia

function code(a, rand)
	t_0 = Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))
	return Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * t_0))) * rand)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	tmp = t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := Block[{t$95$0 = N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a - \frac{1}{3}\\ t\_0 \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot t\_0}} \cdot rand\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- a (/ 1.0 3.0))))
   (* t_0 (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 t_0))) rand)))))

C

double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: t_0
    t_0 = a - (1.0d0 / 3.0d0)
    code = t_0 * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * t_0))) * rand))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Python

def code(a, rand):
	t_0 = a - (1.0 / 3.0)
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand))

Julia

function code(a, rand)
	t_0 = Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))
	return Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * t_0))) * rand)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	tmp = t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := Block[{t$95$0 = N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 0.1111111111111111} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (-
  (+ a (* (sqrt (* (+ a -0.3333333333333333) 0.1111111111111111)) rand))
  0.3333333333333333))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + (sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 0.1111111111111111)) * rand)) - 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (sqrt(((a + (-0.3333333333333333d0)) * 0.1111111111111111d0)) * rand)) - 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + (Math.sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 0.1111111111111111)) * rand)) - 0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return (a + (math.sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 0.1111111111111111)) * rand)) - 0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + Float64(sqrt(Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) * 0.1111111111111111)) * rand)) - 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + (sqrt(((a + -0.3333333333333333) * 0.1111111111111111)) * rand)) - 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + N[(N[Sqrt[N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * 0.1111111111111111), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   11. fma-define 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 52.3%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot \sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

   2. sqrt-unprod 76.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

   3. frac-times 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{rand \cdot rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

   4. add-sqr-sqrt 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}\right) \]

   5. fma-undefine 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{a \cdot 9 + -3}}}\right) \]

   6. metadata-eval 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{a \cdot 9 + \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot 9}}}\right) \]

   7. distribute-rgt-in 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}}\right) \]

   8. metadata-eval 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \left(a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}\right)}}\right) \]

   9. metadata-eval 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \left(a + \left(-\color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right)}}\right) \]

   10. sub-neg 75.0%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   11. add-sqr-sqrt 75.0%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}}\right) \]

   12. frac-times 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}}\right) \]

   13. *-un-lft-identity 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{1 \cdot rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   14. associate-*l/ 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   15. *-un-lft-identity 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \cdot \frac{\color{blue}{1 \cdot rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   16. associate-*l/ 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)}}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{3}}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}\right) \]

7. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)}\right) - 0.3333333333333333 \]

   2. associate-*r* 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand}\right) - 0.3333333333333333 \]

   3. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right) \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right) \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

9. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \left(a + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \cdot rand}\right) - 0.3333333333333333 \]
10. Step-by-step derivation

    1. add-sqr-sqrt 99.7%

       \[\leadsto \left(a + \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}}\right)} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

    2. sqrt-unprod 99.9%

       \[\leadsto \left(a + \color{blue}{\sqrt{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)}} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

    3. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

    4. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + \sqrt{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

    5. swap-sqr 99.9%

       \[\leadsto \left(a + \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

    6. add-sqr-sqrt 99.9%

       \[\leadsto \left(a + \sqrt{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

    7. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{0.1111111111111111}} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

11. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \left(a + \color{blue}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 0.1111111111111111}} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 93.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.72 \cdot 10^{+87} \lor \neg \left(rand \leq 8.1 \cdot 10^{+76}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (if (or (<= rand -1.72e+87) (not (<= rand 8.1e+76)))
   (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt (- a 0.3333333333333333))))
   (- a 0.3333333333333333)))

C

double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -1.72e+87) || !(rand <= 8.1e+76)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: tmp
    if ((rand <= (-1.72d+87)) .or. (.not. (rand <= 8.1d+76))) then
        tmp = 0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333d0)))
    else
        tmp = a - 0.3333333333333333d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -1.72e+87) || !(rand <= 8.1e+76)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, rand):
	tmp = 0
	if (rand <= -1.72e+87) or not (rand <= 8.1e+76):
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt((a - 0.3333333333333333)))
	else:
		tmp = a - 0.3333333333333333
	return tmp

Julia

function code(a, rand)
	tmp = 0.0
	if ((rand <= -1.72e+87) || !(rand <= 8.1e+76))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(Float64(a - 0.3333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(a - 0.3333333333333333);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, rand)
	tmp = 0.0;
	if ((rand <= -1.72e+87) || ~((rand <= 8.1e+76)))
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	else
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := If[Or[LessEqual[rand, -1.72e+87], N[Not[LessEqual[rand, 8.1e+76]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if rand < -1.72000000000000008e87 or 8.1e76 < rand

   1. Initial program 99.6%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. associate-*l/ 99.8%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      7. *-lft-identity 99.8%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      8. sub-neg 99.8%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      9. distribute-lft-in 99.8%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      10. *-commutative 99.8%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      11. fma-define 99.8%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      12. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

      13. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

      14. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 38.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot \sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

      2. sqrt-unprod 35.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

      3. frac-times 29.9%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{rand \cdot rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

      4. add-sqr-sqrt 30.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}\right) \]

      5. fma-undefine 30.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{a \cdot 9 + -3}}}\right) \]

      6. metadata-eval 30.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{a \cdot 9 + \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot 9}}}\right) \]

      7. distribute-rgt-in 30.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}}\right) \]

      8. metadata-eval 30.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \left(a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}\right)}}\right) \]

      9. metadata-eval 30.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \left(a + \left(-\color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right)}}\right) \]

      10. sub-neg 30.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      11. add-sqr-sqrt 29.9%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}}\right) \]

      12. frac-times 35.4%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}}\right) \]

      13. *-un-lft-identity 35.4%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{1 \cdot rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      14. associate-*l/ 35.4%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      15. *-un-lft-identity 35.4%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \cdot \frac{\color{blue}{1 \cdot rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      16. associate-*l/ 35.4%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)}}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{3}}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}\right) \]

   7. Taylor expanded in rand around inf 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)} \]

   if -1.72000000000000008e87 < rand < 8.1e76

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      7. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      8. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      9. distribute-lft-in 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      10. *-commutative 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      11. fma-define 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

      14. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in rand around 0 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.72 \cdot 10^{+87} \lor \neg \left(rand \leq 8.1 \cdot 10^{+76}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + -0.3333333333333333\right) + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  (+ a -0.3333333333333333)
  (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt (+ a -0.3333333333333333))))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) + (0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a + -0.3333333333333333))));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (-0.3333333333333333d0)) + (0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt((a + (-0.3333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) + (0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt((a + -0.3333333333333333))));
}

Python

def code(a, rand):
	return (a + -0.3333333333333333) + (0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt((a + -0.3333333333333333))))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) + Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(Float64(a + -0.3333333333333333)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + -0.3333333333333333) + (0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a + -0.3333333333333333))));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   11. fma-define 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 52.3%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot \sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

   2. sqrt-unprod 76.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

   3. frac-times 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{rand \cdot rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

   4. add-sqr-sqrt 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}\right) \]

   5. fma-undefine 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{a \cdot 9 + -3}}}\right) \]

   6. metadata-eval 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{a \cdot 9 + \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot 9}}}\right) \]

   7. distribute-rgt-in 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}}\right) \]

   8. metadata-eval 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \left(a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}\right)}}\right) \]

   9. metadata-eval 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \left(a + \left(-\color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right)}}\right) \]

   10. sub-neg 75.0%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   11. add-sqr-sqrt 75.0%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}}\right) \]

   12. frac-times 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}}\right) \]

   13. *-un-lft-identity 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{1 \cdot rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   14. associate-*l/ 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   15. *-un-lft-identity 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \cdot \frac{\color{blue}{1 \cdot rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   16. associate-*l/ 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)}}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{3}}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}\right) \]

7. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) + \left(-0.3333333333333333\right)} \]

   2. +-commutative 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) + a\right)} + \left(-0.3333333333333333\right) \]

   3. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) + a\right) + \color{blue}{-0.3333333333333333} \]

   4. associate-+l+ 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) + \left(a + -0.3333333333333333\right)} \]

   5. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right) + \left(a + -0.3333333333333333\right) \]

   6. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right) + \left(a + -0.3333333333333333\right) \]

9. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) + \left(a + -0.3333333333333333\right)} \]

10. Final simplification 99.8%

    \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (* (+ a -0.3333333333333333) (+ 1.0 (/ rand (sqrt (* a 9.0))))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / sqrt((a * 9.0))));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (-0.3333333333333333d0)) * (1.0d0 + (rand / sqrt((a * 9.0d0))))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / Math.sqrt((a * 9.0))));
}

Python

def code(a, rand):
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / math.sqrt((a * 9.0))))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) * Float64(1.0 + Float64(rand / sqrt(Float64(a * 9.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + (rand / sqrt((a * 9.0))));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(rand / N[Sqrt[N[(a * 9.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   11. fma-define 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around inf 99.3%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{3 \cdot \sqrt{a}}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{a} \cdot 3}}\right) \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a} \cdot \color{blue}{\sqrt{9}}}\right) \]

   3. sqrt-prod 99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{a \cdot 9}}}\right) \]

   4. pow1/2 99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.5}}}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{{\left(a \cdot 9\right)}^{0.5}}}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow1/2 99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{a \cdot 9}}}\right) \]

9. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{a \cdot 9}}}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}\right)\right) - 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (- (+ a (* rand (* 0.3333333333333333 (sqrt a)))) 0.3333333333333333))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + (rand * (0.3333333333333333 * sqrt(a)))) - 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (rand * (0.3333333333333333d0 * sqrt(a)))) - 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + (rand * (0.3333333333333333 * Math.sqrt(a)))) - 0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return (a + (rand * (0.3333333333333333 * math.sqrt(a)))) - 0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + Float64(rand * Float64(0.3333333333333333 * sqrt(a)))) - 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + (rand * (0.3333333333333333 * sqrt(a)))) - 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + N[(rand * N[(0.3333333333333333 * N[Sqrt[a], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   11. fma-define 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 52.3%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot \sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

   2. sqrt-unprod 76.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

   3. frac-times 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{rand \cdot rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}}\right) \]

   4. add-sqr-sqrt 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}}\right) \]

   5. fma-undefine 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{a \cdot 9 + -3}}}\right) \]

   6. metadata-eval 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{a \cdot 9 + \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot 9}}}\right) \]

   7. distribute-rgt-in 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}}\right) \]

   8. metadata-eval 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \left(a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}\right)}}\right) \]

   9. metadata-eval 75.0%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \left(a + \left(-\color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right)}}\right) \]

   10. sub-neg 75.0%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{9 \cdot \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   11. add-sqr-sqrt 75.0%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{rand \cdot rand}{\color{blue}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}}\right) \]

   12. frac-times 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}}\right) \]

   13. *-un-lft-identity 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{1 \cdot rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   14. associate-*l/ 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)} \cdot \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   15. *-un-lft-identity 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \cdot \frac{\color{blue}{1 \cdot rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   16. associate-*l/ 76.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)}}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{3}}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}\right) \]

7. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)}\right) - 0.3333333333333333 \]

   2. associate-*r* 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand}\right) - 0.3333333333333333 \]

   3. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right) \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

   4. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right) \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

9. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \left(a + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \cdot rand}\right) - 0.3333333333333333 \]

10. Taylor expanded in a around inf 99.3%

    \[\leadsto \left(a + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}\right)} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333 \]

11. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \left(a + rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}\right)\right) - 0.3333333333333333 \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\right) - 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (- (+ a (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt a)))) 0.3333333333333333))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + (0.3333333333333333 * (rand * sqrt(a)))) - 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt(a)))) - 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + (0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt(a)))) - 0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return (a + (0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt(a)))) - 0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(a)))) - 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + (0.3333333333333333 * (rand * sqrt(a)))) - 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[a], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   11. fma-define 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in rand around 0 91.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(rand \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}\right) - 0.3333333333333333} \]

6. Taylor expanded in a around inf 99.3%

   \[\leadsto \left(a + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a} \cdot rand\right)}\right) - 0.3333333333333333 \]

7. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\right) - 0.3333333333333333 \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 62.7% accurate, 39.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a - 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 (- a 0.3333333333333333))

C

double code(double a, double rand) {
	return a - 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a - 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return a - 0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return a - 0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(a - 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a - 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   11. fma-define 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in rand around 0 66.3%

   \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 61.6% accurate, 119.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 a)

C

double code(double a, double rand) {
	return a;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return a;
}

Python

def code(a, rand):
	return a

Julia

function code(a, rand)
	return a
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := a

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   11. fma-define 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in rand around 0 66.3%

   \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

6. Taylor expanded in a around inf 64.9%

   \[\leadsto \color{blue}{a} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 9: 1.5% accurate, 119.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 -0.3333333333333333)

C

double code(double a, double rand) {
	return -0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = -0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return -0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return -0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return -0.3333333333333333
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = -0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := -0.3333333333333333

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. associate-*l/ 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   7. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   8. sub-neg 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   9. distribute-lft-in 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   10. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   11. fma-define 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in rand around 0 66.3%

   \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

6. Taylor expanded in a around 0 1.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333} \]
7. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024096 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))