UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 29.9s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_1 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(t\_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(\left(ux \cdot t\_0\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos t\_1 \cdot xi + \sin t\_1 \cdot yi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)) (t_1 (* uy (* 2.0 PI))))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (+ 1.0 (* ux (* (* ux t_0) (* maxCos (+ ux -1.0))))))
     (+ (* (cos t_1) xi) (* (sin t_1) yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	float t_1 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * ((ux * t_0) * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * ((cosf(t_1) * xi) + (sinf(t_1) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	t_1 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(ux * t_0) * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * Float32(Float32(cos(t_1) * xi) + Float32(sin(t_1) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)} + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) \]

   3. fma-define 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 90.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \mathsf{fma}\left(t\_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(\left(ux \cdot t\_0\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (+ 1.0 (* ux (* (* ux t_0) (* maxCos (+ ux -1.0))))))
     (+ (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) xi) (* yi (* PI (* uy 2.0))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * ((ux * t_0) * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * ((cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * xi) + (yi * (((float) M_PI) * (uy * 2.0f))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(ux * t_0) * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * Float32(Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * xi) + Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)} + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) \]

   3. fma-define 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(yi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)} \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(\pi \cdot yi\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) \cdot yi}\right)\right) \]

   3. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) \]

   4. associate-*r* 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot yi\right)\right) \]

   5. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right)} \cdot yi\right)\right) \]

   6. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(\pi \cdot 2\right)} \cdot uy\right) \cdot yi\right)\right) \]

   7. associate-*l* 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)} \cdot yi\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi}\right)\right) \]

10. Final simplification 88.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 90.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \mathsf{fma}\left(t\_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(\left(ux \cdot t\_0\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (+ 1.0 (* ux (* (* ux t_0) (* maxCos (+ ux -1.0))))))
     (+ (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) xi) (* (* uy 2.0) (* PI yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * ((ux * t_0) * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * ((cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * xi) + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(ux * t_0) * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * Float32(Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * xi) + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)} + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) \]

   3. fma-define 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(yi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)} \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(\pi \cdot yi\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)}\right)\right) \]

8. Final simplification 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 89.9% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \mathsf{fma}\left(t\_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(t\_0 \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \pi \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (- 1.0 (* ux (* t_0 (* ux maxCos)))))
     (+ (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) xi) (* PI (* yi (* uy 2.0))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f - (ux * (t_0 * (ux * maxCos))))) * ((cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * xi) + (((float) M_PI) * (yi * (uy * 2.0f))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(t_0 * Float32(ux * maxCos))))) * Float32(Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * xi) + Float32(Float32(pi) * Float32(yi * Float32(uy * Float32(2.0)))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

   2. associate-*l* 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)} + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) \]

   3. fma-define 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(yi \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)} \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(\pi \cdot yi\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   3. associate-*r* 88.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot yi\right) \cdot \pi}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot yi\right) \cdot \pi}\right)\right) \]

10. Taylor expanded in ux around 0 87.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right) \]

11. Final simplification 87.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \pi \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024096 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))