ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.0% → 99.4%

Time: 19.5s

Alternatives: 7

Speedup: 2.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\\ \frac{{x}^{2} \cdot \left({t\_0}^{3} + 0.004629629629629629\right)}{0.027777777777777776 + t\_0 \cdot \left(t\_0 - 0.16666666666666666\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (pow x 2.0)
          (fma (pow x 2.0) -0.0007275132275132275 -0.06388888888888888))))
   (/
    (* (pow x 2.0) (+ (pow t_0 3.0) 0.004629629629629629))
    (+ 0.027777777777777776 (* t_0 (- t_0 0.16666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow(x, 2.0) * fma(pow(x, 2.0), -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888);
	return (pow(x, 2.0) * (pow(t_0, 3.0) + 0.004629629629629629)) / (0.027777777777777776 + (t_0 * (t_0 - 0.16666666666666666)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64((x ^ 2.0) * fma((x ^ 2.0), -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888))
	return Float64(Float64((x ^ 2.0) * Float64((t_0 ^ 3.0) + 0.004629629629629629)) / Float64(0.027777777777777776 + Float64(t_0 * Float64(t_0 - 0.16666666666666666))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.0007275132275132275 + -0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[t$95$0, 3.0], $MachinePrecision] + 0.004629629629629629), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.027777777777777776 + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 - 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 54.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ 98.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{{0.16666666666666666}^{3} + {\left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)}^{3}}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)\right)}} \]

   2. associate-*r/ 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left({0.16666666666666666}^{3} + {\left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)}^{3}\right)}{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right) - 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)\right)}} \]

5. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left({\left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right)}^{3} + 0.004629629629629629\right)}{0.027777777777777776 + \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.0007275132275132275, -0.06388888888888888\right) - 0.16666666666666666\right)}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* (pow x 2.0) -0.0007275132275132275) 0.06388888888888888)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * (-0.0007275132275132275d0)) - 0.06388888888888888d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * -0.0007275132275132275) - 0.06388888888888888)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.0007275132275132275), $MachinePrecision] - 0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{2} - 0.06388888888888888\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.0007275132275132275 - 0.06388888888888888\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma 0.16666666666666666 (pow x 2.0) (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return fma(0.16666666666666666, pow(x, 2.0), (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Julia

function code(x)
	return fma(0.16666666666666666, (x ^ 2.0), Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-define 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. associate-*l* 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   4. pow-sqr 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right) \]

   5. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.06388888888888888))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.06388888888888888));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.06388888888888888d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.06388888888888888));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.06388888888888888))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.06388888888888888)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.06388888888888888));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.06388888888888888}\right) \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.06388888888888888\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 52.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \cos x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cos x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - cos(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - cos(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.cos(x);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.cos(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - cos(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - cos(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. div-sub 54.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\tan x} - \frac{\sin x}{\tan x}} \]

   2. div-inv 48.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\tan x}} - \frac{\sin x}{\tan x} \]

   3. tan-quot 48.1%

      \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\tan x} - \frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\cos x}}} \]

   4. associate-/r/ 48.1%

      \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\tan x} - \color{blue}{\frac{\sin x}{\sin x} \cdot \cos x} \]

   5. prod-diff 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\tan x}, -\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]

4. Applied egg-rr 5.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\tan x}, -\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\tan x}, -\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]

   2. fma-undefine 48.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{\tan x} + \left(-\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)\right)} \]

   3. associate-+r+ 48.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-\cos x, \frac{\sin x}{\sin x}, \cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right) + x \cdot \frac{1}{\tan x}\right) + \left(-\cos x \cdot \frac{\sin x}{\sin x}\right)} \]

6. Simplified 54.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\tan x} - \cos x} \]

7. Taylor expanded in x around 0 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1} - \cos x \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 54.7%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 4.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 4.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024095 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :alt
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))