bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 53.3% → 97.0%

Time: 21.3s

Alternatives: 5

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = -6.177575928444496e+168

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 53.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* (pow x 2.0) 0.0003527336860670194) 0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * 0.0003527336860670194d0) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]

4. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.6% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (pow x 2.0) 0.16666666666666666 (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)))

C

double code(double x) {
	return fma(pow(x, 2.0), 0.16666666666666666, (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556));
}

Julia

function code(x)
	return fma((x ^ 2.0), 0.16666666666666666, Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]

   2. fma-define 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)} \]

   3. associate-*r* 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

   4. pow-prod-up 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot -0.005555555555555556\right) \]

   5. metadata-eval 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{\color{blue}{4}} \cdot -0.005555555555555556\right) \]

7. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]

8. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2}, 0.16666666666666666, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (pow x 2.0) (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.005555555555555556))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.7%

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

5. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]

6. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.5% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}} \]

   2. pow2 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]

   3. sqrt-prod 96.4%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

   4. sqrt-pow1 96.5%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   5. metadata-eval 96.5%

      \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   6. pow1 96.5%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

6. Applied egg-rr 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.5%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)}}^{2} \]

   2. unpow-prod-down 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot {x}^{2}} \]

   3. pow2 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot {x}^{2} \]

   4. rem-square-sqrt 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot {x}^{2} \]

   5. unpow2 96.5%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   6. associate-*r* 96.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Applied egg-rr 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

9. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 51.1% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 52.5%

   \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}}{x}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 52.5%

      \[\leadsto \log \left(\frac{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.0001984126984126984}\right)\right)\right)}{x}\right) \]

5. Simplified 52.5%

   \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.008333333333333333 + {x}^{2} \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)}}{x}\right) \]

6. Taylor expanded in x around inf 51.3%

   \[\leadsto \log \left(\frac{x \cdot \left(1 + \color{blue}{0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}}\right)}{x}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 51.3%

      \[\leadsto \log \left(\frac{x \cdot \left(1 + \color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984}\right)}{x}\right) \]

8. Simplified 51.3%

   \[\leadsto \log \left(\frac{x \cdot \left(1 + \color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984}\right)}{x}\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0 50.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

10. Final simplification 50.9%

    \[\leadsto 0 \]
11. Add Preprocessing

Developer target: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024095 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))