2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 7.1% → 98.8%

Time: 25.2s

Alternatives: 13

Speedup: 1.9×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 7.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.8% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, t\_0 \cdot \sqrt[3]{t\_0}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (+ 1.0 x))) (* t_0 (cbrt t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sqrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((1.0 + x))), (t_0 * cbrt(t_0)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = sqrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(1.0 + x))), Float64(t_0 * cbrt(t_0))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[Power[t$95$0, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. rem-cube-cbrt 6.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.5%

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. div-sub 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

4. Applied egg-rr 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} - \frac{x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub 7.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]

   2. +-commutative 7.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   3. associate--l+ 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   4. +-inverses 93.2%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   5. metadata-eval 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   6. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   7. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   8. log1p-undefine 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   9. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\log \color{blue}{\left(x + 1\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   10. exp-to-pow 92.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

   11. +-commutative 92.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.6666666666666666}\right)} \]

6. Simplified 92.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 92.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}}\right)} \]

   2. pow2 92.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}\right)}^{2}}\right)} \]

   3. sqrt-pow1 92.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{0.6666666666666666}{2}\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

   4. metadata-eval 92.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)}^{2}\right)} \]

   5. pow1/3 98.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   2. add-sqr-sqrt 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt[3]{1 + x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)}\right)} \]

   3. associate-*r* 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}}\right)} \]

   4. pow1 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   6. sqrt-pow1 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \left(\color{blue}{\sqrt{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   7. sqrt-prod 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   8. unpow2 98.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right)} \cdot \sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   9. add-cube-cbrt 98.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt{\color{blue}{1 + x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   10. add-sqr-sqrt 98.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt{1 + \color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   11. hypot-1-def 98.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

   12. add-cbrt-cube 98.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{\sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}}}\right)} \]

   13. sqrt-prod 98.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}}\right)} \]

   14. unpow2 98.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{1 + x}}}\right)} \]

   15. sqrt-prod 98.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}}}\right)} \]

10. Applied egg-rr 98.9%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)}}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. hypot-undefine 98.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\sqrt{1 \cdot 1 + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)}\right)} \]

    2. metadata-eval 98.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt{\color{blue}{1} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)}\right)} \]

    3. rem-square-sqrt 98.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt{1 + \color{blue}{x}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{hypot}\left(1, \sqrt{x}\right)}\right)} \]

    4. hypot-undefine 98.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{1 \cdot 1 + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}}\right)} \]

    5. metadata-eval 98.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{1} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}\right)} \]

    6. rem-square-sqrt 98.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + \color{blue}{x}}}\right)} \]

12. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{1 + x}}}\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t\_0, {t\_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. rem-cube-cbrt 6.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.5%

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. div-sub 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

4. Applied egg-rr 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} - \frac{x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub 7.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]

   2. +-commutative 7.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   3. associate--l+ 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   4. +-inverses 93.2%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   5. metadata-eval 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   6. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   7. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   8. log1p-undefine 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   9. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\log \color{blue}{\left(x + 1\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   10. exp-to-pow 92.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

   11. +-commutative 92.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.6666666666666666}\right)} \]

6. Simplified 92.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 92.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{\sqrt{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}}\right)} \]

   2. pow2 92.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}\right)}^{2}}\right)} \]

   3. sqrt-pow1 92.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{0.6666666666666666}{2}\right)}\right)}}^{2}\right)} \]

   4. metadata-eval 92.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left({\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)}^{2}\right)} \]

   5. pow1/3 98.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 92.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 \cdot {x}^{0.6666666666666666} + e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))) 0.3333333333333333)
   (/
    1.0
    (+
     (* 2.0 (pow x 0.6666666666666666))
     (exp (* 0.6666666666666666 (log1p x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))) * 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = 1.0 / ((2.0 * pow(x, 0.6666666666666666)) + exp((0.6666666666666666 * log1p(x))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0))) * 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = 1.0 / ((2.0 * Math.pow(x, 0.6666666666666666)) + Math.exp((0.6666666666666666 * Math.log1p(x))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))) * 0.3333333333333333);
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(2.0 * (x ^ 0.6666666666666666)) + exp(Float64(0.6666666666666666 * log1p(x)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(2.0 * N[Power[x, 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Exp[N[(0.6666666666666666 * N[Log[1 + x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. rem-cube-cbrt 3.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. div-sub 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} - \frac{x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]

      2. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      3. associate--l+ 91.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      4. +-inverses 91.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      5. metadata-eval 91.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      6. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      7. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      8. log1p-undefine 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      9. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\log \color{blue}{\left(x + 1\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      10. exp-to-pow 91.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

      11. +-commutative 91.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.6666666666666666}\right)} \]

   6. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around inf 91.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-undefine 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right) + {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}} \]

      2. *-commutative 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot 2\right)} + {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}} \]

      3. associate-*r* 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot 2} + {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}} \]

      4. pow1/3 90.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\left(\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot 2 + {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}} \]

      5. pow1/3 89.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\left({x}^{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right) \cdot 2 + {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}} \]

      6. pow-prod-up 89.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}} \cdot 2 + {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}} \]

      7. metadata-eval 89.1%

         \[\leadsto \frac{1}{{x}^{\color{blue}{0.6666666666666666}} \cdot 2 + {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}} \]

      8. add-exp-log 89.2%

         \[\leadsto \frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} \cdot 2 + \color{blue}{e^{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}}} \]

      9. log-pow 89.5%

         \[\leadsto \frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} \cdot 2 + e^{\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \log \left(1 + x\right)}}} \]

      10. log1p-define 89.5%

          \[\leadsto \frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} \cdot 2 + e^{0.6666666666666666 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}} \]

   9. Applied egg-rr 89.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{0.6666666666666666} \cdot 2 + e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2 \cdot {x}^{0.6666666666666666} + e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 91.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(2, {x}^{0.6666666666666666}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))) 0.3333333333333333)
   (/
    1.0
    (fma 2.0 (pow x 0.6666666666666666) (pow (+ 1.0 x) 0.6666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))) * 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(2.0, pow(x, 0.6666666666666666), pow((1.0 + x), 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))) * 0.3333333333333333);
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(2.0, (x ^ 0.6666666666666666), (Float64(1.0 + x) ^ 0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(2.0 * N[Power[x, 0.6666666666666666], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. rem-cube-cbrt 3.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. div-sub 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} - \frac{x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]

      2. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      3. associate--l+ 91.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      4. +-inverses 91.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      5. metadata-eval 91.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      6. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      7. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      8. log1p-undefine 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      9. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\log \color{blue}{\left(x + 1\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      10. exp-to-pow 91.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

      11. +-commutative 91.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.6666666666666666}\right)} \]

   6. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around inf 91.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-undefine 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right) + {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}} \]

      2. metadata-eval 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right) + {\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 2\right)}}} \]

      3. pow-pow 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}^{2}}} \]

      4. pow1/3 98.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right) + {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}}^{2}} \]

      5. +-commutative 98.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      6. pow1/3 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{{\color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. pow-pow 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{\left(0.3333333333333333 \cdot 2\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      8. metadata-eval 91.6%

         \[\leadsto \frac{1}{{\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      9. add-exp-log 92.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\log \left({\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      10. log-pow 91.9%

          \[\leadsto \frac{1}{e^{\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \log \left(1 + x\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      11. log1p-define 91.9%

          \[\leadsto \frac{1}{e^{0.6666666666666666 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      12. *-commutative 91.9%

          \[\leadsto \frac{1}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot 2\right)}} \]

      13. associate-*r* 91.9%

          \[\leadsto \frac{1}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)} + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot 2}} \]

      14. pow1/3 90.8%

          \[\leadsto \frac{1}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)} + \left(\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot 2} \]

      15. pow1/3 89.5%

          \[\leadsto \frac{1}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)} + \left({x}^{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right) \cdot 2} \]

      16. pow-prod-up 89.5%

          \[\leadsto \frac{1}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)} + \color{blue}{{x}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}} \cdot 2} \]

      17. metadata-eval 89.5%

          \[\leadsto \frac{1}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)} + {x}^{\color{blue}{0.6666666666666666}} \cdot 2} \]

   9. Applied egg-rr 89.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)} + {x}^{0.6666666666666666} \cdot 2}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative 89.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{0.6666666666666666} \cdot 2 + e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}}} \]

       2. *-commutative 89.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot {x}^{0.6666666666666666}} + e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}} \]

       3. fma-define 89.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, {x}^{0.6666666666666666}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}} \]

       4. *-commutative 89.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(2, {x}^{0.6666666666666666}, e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}}\right)} \]

       5. log1p-undefine 89.5%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(2, {x}^{0.6666666666666666}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

       6. exp-to-pow 89.1%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(2, {x}^{0.6666666666666666}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

   11. Simplified 89.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, {x}^{0.6666666666666666}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(2, {x}^{0.6666666666666666}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))) -0.1111111111111111)
   (* (cbrt x) 0.3333333333333333))
  x))

C

double code(double x) {
	return ((cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))) * -0.1111111111111111) + (cbrt(x) * 0.3333333333333333)) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0))) * -0.1111111111111111) + (Math.cbrt(x) * 0.3333333333333333)) / x;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))) * -0.1111111111111111) + Float64(cbrt(x) * 0.3333333333333333)) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 6.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. add-sqr-sqrt 6.6%

      \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

   3. difference-of-squares 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

   4. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   5. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   7. pow1/3 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   8. sqrt-pow1 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   9. metadata-eval 6.7%

      \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   10. pow1/3 4.3%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   11. sqrt-pow1 4.4%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   12. metadata-eval 4.4%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   13. pow1/3 6.5%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. sqrt-pow1 6.7%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

   15. metadata-eval 6.7%

       \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

4. Applied egg-rr 6.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + \left(0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}\right)}{x}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 97.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} + 0.027777777777777776 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}}{x} \]

   2. distribute-rgt-out 97.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

   3. metadata-eval 97.9%

      \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x} \]

7. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{x}}{x}} \]

8. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot -0.1111111111111111 + \sqrt[3]{x} \cdot 0.3333333333333333}{x} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 57.2% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.25 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}} + \sqrt[3]{x} \cdot 0.5}{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))) 0.3333333333333333)
   (/ (+ (* -0.25 (cbrt (/ 1.0 x))) (* (cbrt x) 0.5)) x)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))) * 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = ((-0.25 * cbrt((1.0 / x))) + (cbrt(x) * 0.5)) / x;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0))) * 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = ((-0.25 * Math.cbrt((1.0 / x))) + (Math.cbrt(x) * 0.5)) / x;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))) * 0.3333333333333333);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(-0.25 * cbrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(cbrt(x) * 0.5)) / x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision], N[(N[(N[(-0.25 * N[Power[N[(1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. rem-cube-cbrt 3.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. div-sub 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} - \frac{x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]

      2. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      3. associate--l+ 91.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      4. +-inverses 91.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      5. metadata-eval 91.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      6. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      7. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      8. log1p-undefine 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      9. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\log \color{blue}{\left(x + 1\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      10. exp-to-pow 91.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

      11. +-commutative 91.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.6666666666666666}\right)} \]

   6. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around inf 91.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 2 \cdot \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf 20.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.25 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}} + 0.5 \cdot \sqrt[3]{x}}{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.25 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}} + \sqrt[3]{x} \cdot 0.5}{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 57.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x \cdot \left(\frac{1}{x} + 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0))) 0.3333333333333333)
   (/ 1.0 (* x (+ (/ 1.0 x) (* 2.0 (cbrt (/ 1.0 x))))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))) * 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = 1.0 / (x * ((1.0 / x) + (2.0 * cbrt((1.0 / x)))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0))) * 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = 1.0 / (x * ((1.0 / x) + (2.0 * Math.cbrt((1.0 / x)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0))) * 0.3333333333333333);
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(x * Float64(Float64(1.0 / x) + Float64(2.0 * cbrt(Float64(1.0 / x))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(x * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[Power[N[(1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. rem-cube-cbrt 3.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. rem-cube-cbrt 4.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. div-sub 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   4. Applied egg-rr 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} - \frac{x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]

      2. +-commutative 4.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      3. associate--l+ 91.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      4. +-inverses 91.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      5. metadata-eval 91.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      6. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      7. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      8. log1p-undefine 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      9. +-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\log \color{blue}{\left(x + 1\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      10. exp-to-pow 91.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

      11. +-commutative 91.6%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.6666666666666666}\right)} \]

   6. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around inf 91.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 2 \cdot \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}} + \frac{1}{x}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x \cdot \left(\frac{1}{x} + 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 22.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.2 \cdot 10^{+15}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x \cdot \left(\frac{1}{x} + 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 2.2e+15)
   (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))
   (/ 1.0 (* x (+ (/ 1.0 x) (* 2.0 (cbrt (/ 1.0 x))))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.2e+15) {
		tmp = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	} else {
		tmp = 1.0 / (x * ((1.0 / x) + (2.0 * cbrt((1.0 / x)))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.2e+15) {
		tmp = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	} else {
		tmp = 1.0 / (x * ((1.0 / x) + (2.0 * Math.cbrt((1.0 / x)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.2e+15)
		tmp = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(x * Float64(Float64(1.0 / x) + Float64(2.0 * cbrt(Float64(1.0 / x))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2.2e+15], N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(x * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[Power[N[(1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.2e15

   1. Initial program 74.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   if 2.2e15 < x

   1. Initial program 4.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 4.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. rem-cube-cbrt 3.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. rem-cube-cbrt 4.2%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. div-sub 4.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   4. Applied egg-rr 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} - \frac{x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub 4.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]

      2. +-commutative 4.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      3. associate--l+ 93.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      4. +-inverses 93.0%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      5. metadata-eval 93.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      6. +-commutative 93.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      7. +-commutative 93.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      8. log1p-undefine 93.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      9. +-commutative 93.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\log \color{blue}{\left(x + 1\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

      10. exp-to-pow 92.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

      11. +-commutative 92.7%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.6666666666666666}\right)} \]

   6. Simplified 92.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around inf 92.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 2 \cdot \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}} + \frac{1}{x}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 21.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.2 \cdot 10^{+15}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x \cdot \left(\frac{1}{x} + 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 20.0% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x \cdot \left(\frac{1}{x} + 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ 1.0 (* x (+ (/ 1.0 x) (* 2.0 (cbrt (/ 1.0 x)))))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / (x * ((1.0 / x) + (2.0 * cbrt((1.0 / x)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / (x * ((1.0 / x) + (2.0 * Math.cbrt((1.0 / x)))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(x * Float64(Float64(1.0 / x) + Float64(2.0 * cbrt(Float64(1.0 / x))))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(x * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[Power[N[(1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. rem-cube-cbrt 6.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.5%

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. div-sub 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

4. Applied egg-rr 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} - \frac{x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub 7.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]

   2. +-commutative 7.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   3. associate--l+ 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   4. +-inverses 93.2%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   5. metadata-eval 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   6. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   7. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   8. log1p-undefine 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   9. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\log \color{blue}{\left(x + 1\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   10. exp-to-pow 92.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

   11. +-commutative 92.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.6666666666666666}\right)} \]

6. Simplified 92.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around inf 91.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0 20.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 2 \cdot \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]

9. Taylor expanded in x around inf 20.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}} + \frac{1}{x}\right)}} \]

10. Final simplification 20.0%

    \[\leadsto \frac{1}{x \cdot \left(\frac{1}{x} + 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 10: 20.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + 2 \cdot {x}^{0.6666666666666666}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ 1.0 (+ 1.0 (* 2.0 (pow x 0.6666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / (1.0 + (2.0 * pow(x, 0.6666666666666666)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / (1.0d0 + (2.0d0 * (x ** 0.6666666666666666d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / (1.0 + (2.0 * Math.pow(x, 0.6666666666666666)));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / (1.0 + (2.0 * math.pow(x, 0.6666666666666666)))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(2.0 * (x ^ 0.6666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / (1.0 + (2.0 * (x ^ 0.6666666666666666)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(1.0 + N[(2.0 * N[Power[x, 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. rem-cube-cbrt 6.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. rem-cube-cbrt 7.5%

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. div-sub 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

4. Applied egg-rr 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} - \frac{x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub 7.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)}} \]

   2. +-commutative 7.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   3. associate--l+ 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   4. +-inverses 93.2%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   5. metadata-eval 93.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   6. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   7. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}, e^{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   8. log1p-undefine 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   9. +-commutative 93.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, e^{\log \color{blue}{\left(x + 1\right)} \cdot 0.6666666666666666}\right)} \]

   10. exp-to-pow 92.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]

   11. +-commutative 92.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{0.6666666666666666}\right)} \]

6. Simplified 92.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around inf 91.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \color{blue}{2 \cdot \sqrt[3]{x}}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0 20.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, 2 \cdot \sqrt[3]{x}, \color{blue}{1}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-undefine 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(2 \cdot \sqrt[3]{x}\right) + 1}} \]

   2. *-commutative 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot 2\right)} + 1} \]

   3. associate-*r* 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot 2} + 1} \]

   4. pow1/3 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\left(\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot 2 + 1} \]

   5. pow1/3 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\left({x}^{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right) \cdot 2 + 1} \]

   6. pow-prod-up 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}} \cdot 2 + 1} \]

   7. metadata-eval 20.0%

      \[\leadsto \frac{1}{{x}^{\color{blue}{0.6666666666666666}} \cdot 2 + 1} \]

10. Applied egg-rr 20.0%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{0.6666666666666666} \cdot 2 + 1}} \]

11. Final simplification 20.0%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + 2 \cdot {x}^{0.6666666666666666}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 4.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + x \cdot 0.3333333333333333\right) - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (+ 1.0 (* x 0.3333333333333333)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + (x * 0.3333333333333333)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + (x * 0.3333333333333333)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(x * 0.3333333333333333)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) - \sqrt[3]{x}} \]

4. Final simplification 4.2%

   \[\leadsto \left(1 + x \cdot 0.3333333333333333\right) - \sqrt[3]{x} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 1.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 1.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return -cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return -Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(-cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := (-N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision])

Derivation

1. Initial program 6.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]

4. Taylor expanded in x around inf 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \sqrt[3]{x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. neg-mul-1 1.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-\sqrt[3]{x}} \]

6. Simplified 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-\sqrt[3]{x}} \]
7. Add Preprocessing

Developer target: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024095 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (/ 1.0 (+ (+ (* (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt (+ x 1.0))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1.0)))) (* (cbrt x) (cbrt x))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))