2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 6.8% → 97.5%

Time: 15.8s

Alternatives: 8

Speedup: 1.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \frac{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
  (/ (/ 0.3333333333333333 (cbrt x)) (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + ((0.3333333333333333 / cbrt(x)) / cbrt(x));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))) + ((0.3333333333333333 / Math.cbrt(x)) / Math.cbrt(x));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(Float64(0.3333333333333333 / cbrt(x)) / cbrt(x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 24.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]

4. Taylor expanded in x around inf 52.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cbrt-div 52.8%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}} \]

   2. metadata-eval 52.8%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}} \]

   3. unpow2 52.8%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   4. cbrt-prod 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

   5. add-sqr-sqrt 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right)} \]

   6. sqrt-div 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   7. metadata-eval 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   8. sqrt-unprod 97.0%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   9. add-sqr-sqrt 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   10. sqrt-div 97.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}}\right) \]

   11. metadata-eval 97.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   12. sqrt-unprod 96.9%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}}\right) \]

   13. add-sqr-sqrt 97.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}\right) \]

6. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}} \]

   2. *-lft-identity 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}}{\sqrt[3]{x}} \]

   3. associate-/r* 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

   4. unpow2 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

8. Simplified 97.1%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. un-div-inv 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   2. unpow2 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

   3. associate-/r* 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \color{blue}{\frac{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}} \]

10. Applied egg-rr 97.1%

    \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \color{blue}{\frac{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
  (* 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) -2.0))))

C

double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * pow(cbrt(x), -2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * Math.pow(Math.cbrt(x), -2.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * (cbrt(x) ^ -2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 24.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]

4. Taylor expanded in x around inf 52.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cbrt-div 52.8%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}} \]

   2. metadata-eval 52.8%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}} \]

   3. unpow2 52.8%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   4. cbrt-prod 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

   5. add-sqr-sqrt 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right)} \]

   6. sqrt-div 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   7. metadata-eval 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   8. sqrt-unprod 97.0%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   9. add-sqr-sqrt 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   10. sqrt-div 97.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}}\right) \]

   11. metadata-eval 97.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   12. sqrt-unprod 96.9%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}}\right) \]

   13. add-sqr-sqrt 97.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}\right) \]

6. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}} \]

   2. *-lft-identity 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}}{\sqrt[3]{x}} \]

   3. associate-/r* 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

   4. unpow2 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

8. Simplified 97.1%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. un-div-inv 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

10. Applied egg-rr 97.1%

    \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. metadata-eval 97.1%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \frac{\color{blue}{1 \cdot 0.3333333333333333}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

    2. associate-*l/ 97.1%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \color{blue}{\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \cdot 0.3333333333333333} \]

    3. unpow-1 97.1%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)}^{-1}} \cdot 0.3333333333333333 \]

    4. *-commutative 97.1%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}\right)}^{-1}} \]

    5. exp-to-pow 90.8%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt[3]{x}\right) \cdot 2}\right)}}^{-1} \]

    6. *-commutative 90.8%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(e^{\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{x}\right)}}\right)}^{-1} \]

    7. exp-prod 90.8%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{e^{\left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{x}\right)\right) \cdot -1}} \]

    8. *-commutative 90.8%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{x}\right)\right)}} \]

    9. associate-*r* 90.8%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot e^{\color{blue}{\left(-1 \cdot 2\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{x}\right)}} \]

    10. metadata-eval 90.8%

        \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot e^{\color{blue}{-2} \cdot \log \left(\sqrt[3]{x}\right)} \]

    11. *-commutative 90.8%

        \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot e^{\color{blue}{\log \left(\sqrt[3]{x}\right) \cdot -2}} \]

    12. exp-to-pow 97.1%

        \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}} \]

12. Simplified 97.1%

    \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 93.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot {x}^{-1.6666666666666667} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (+
    (* -0.1111111111111111 (pow x -1.6666666666666667))
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (pow x 2.0)))))
   (+
    (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
    (* 0.3333333333333333 (pow x -0.6666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * pow(x, -0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * Math.pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = (-0.1111111111111111 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * Math.pow(x, -0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * (x ^ -1.6666666666666667)) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[x, -1.6666666666666667], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 9.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 47.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 95.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

      2. pow-flip 95.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-5\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

      3. pow-pow 95.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-5\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

      4. metadata-eval 95.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-5} \cdot 0.3333333333333333\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

      5. metadata-eval 95.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\color{blue}{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

   6. Applied egg-rr 96.3%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 4.8%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-flip 6.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-pow 89.1%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]

      4. metadata-eval 89.1%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

      5. metadata-eval 89.1%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \]

   6. Applied egg-rr 89.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 93.1% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.55 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot {x}^{-1.6666666666666667} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 3.55e+155)
   (+
    (* -0.1111111111111111 (pow x -1.6666666666666667))
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (* (/ 1.0 x) (/ 1.0 x)))))
   (+
    (* -0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))
    (* 0.3333333333333333 (pow x -0.6666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 3.55e+155) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x))));
	} else {
		tmp = (-0.1111111111111111 * cbrt((1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * pow(x, -0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 3.55e+155) {
		tmp = (-0.1111111111111111 * Math.pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * Math.cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x))));
	} else {
		tmp = (-0.1111111111111111 * Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))) + (0.3333333333333333 * Math.pow(x, -0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.55e+155)
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * (x ^ -1.6666666666666667)) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(1.0 / x)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0)))) + Float64(0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 3.55e+155], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[x, -1.6666666666666667], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.54999999999999996e155

   1. Initial program 9.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 47.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 96.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}} \]

      2. sqrt-div 96.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      3. metadata-eval 96.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      4. sqrt-pow1 96.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      5. metadata-eval 96.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{1}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      6. pow1 96.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      7. sqrt-div 96.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}} \]

      8. metadata-eval 96.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}} \]

      9. sqrt-pow1 96.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}} \]

      10. metadata-eval 96.2%

          \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{{x}^{\color{blue}{1}}}} \]

      11. pow1 96.2%

          \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{x}}} \]

   6. Applied egg-rr 96.2%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 95.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

      2. pow-flip 95.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-5\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

      3. pow-pow 95.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-5\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

      4. metadata-eval 95.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-5} \cdot 0.3333333333333333\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

      5. metadata-eval 95.9%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\color{blue}{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

   8. Applied egg-rr 96.2%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}} \]

   if 3.54999999999999996e155 < x

   1. Initial program 4.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 4.8%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-flip 6.2%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-2\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-pow 89.1%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-2\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]

      4. metadata-eval 89.1%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-2} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

      5. metadata-eval 89.1%

         \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\color{blue}{-0.6666666666666666}} \]

   6. Applied egg-rr 89.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.1111111111111111 \cdot {x}^{-1.6666666666666667} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.1111111111111111 (pow x -1.6666666666666667))
  (* 0.3333333333333333 (/ 1.0 (pow (cbrt x) 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * (1.0 / pow(cbrt(x), 2.0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * Math.pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * (1.0 / Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.1111111111111111 * (x ^ -1.6666666666666667)) + Float64(0.3333333333333333 * Float64(1.0 / (cbrt(x) ^ 2.0))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[x, -1.6666666666666667], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(1.0 / N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 24.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]

4. Taylor expanded in x around inf 52.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cbrt-div 52.8%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}} \]

   2. metadata-eval 52.8%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}} \]

   3. unpow2 52.8%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   4. cbrt-prod 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

   5. add-sqr-sqrt 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right)} \]

   6. sqrt-div 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   7. metadata-eval 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   8. sqrt-unprod 97.0%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   9. add-sqr-sqrt 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   10. sqrt-div 97.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}}\right) \]

   11. metadata-eval 97.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) \]

   12. sqrt-unprod 96.9%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}}\right) \]

   13. add-sqr-sqrt 97.0%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}\right) \]

6. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}} \]

   2. *-lft-identity 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}}{\sqrt[3]{x}} \]

   3. associate-/r* 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

   4. unpow2 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

8. Simplified 97.1%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

   2. pow-flip 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-5\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

   3. pow-pow 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-5\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

   4. metadata-eval 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-5} \cdot 0.3333333333333333\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

   5. metadata-eval 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\color{blue}{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

10. Applied egg-rr 97.1%

    \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 52.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.1111111111111111 \cdot {x}^{-1.6666666666666667} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.1111111111111111 (pow x -1.6666666666666667))
  (* 0.3333333333333333 (cbrt (* (/ 1.0 x) (/ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.1111111111111111 * Math.pow(x, -1.6666666666666667)) + (0.3333333333333333 * Math.cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.1111111111111111 * (x ^ -1.6666666666666667)) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(1.0 / x)))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[x, -1.6666666666666667], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 24.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]

4. Taylor expanded in x around inf 52.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 52.6%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}}} \]

   2. sqrt-div 52.6%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   3. metadata-eval 52.6%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   4. sqrt-pow1 52.6%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   5. metadata-eval 52.6%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{1}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   6. pow1 52.6%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

   7. sqrt-div 52.6%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}}} \]

   8. metadata-eval 52.6%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{{x}^{2}}}} \]

   9. sqrt-pow1 53.3%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}} \]

   10. metadata-eval 53.3%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{{x}^{\color{blue}{1}}}} \]

   11. pow1 53.3%

       \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{x}}} \]

6. Applied egg-rr 53.3%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

   2. pow-flip 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {\color{blue}{\left({x}^{\left(-5\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

   3. pow-pow 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\left(-5\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

   4. metadata-eval 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\left(\color{blue}{-5} \cdot 0.3333333333333333\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

   5. metadata-eval 97.1%

      \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot {x}^{\color{blue}{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} \]

8. Applied egg-rr 53.3%

   \[\leadsto -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{-1.6666666666666667}} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 51.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.3333333333333333 (cbrt (pow x -2.0))))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * cbrt(pow(x, -2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.cbrt(Math.pow(x, -2.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * cbrt((x ^ -2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, -2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf 24.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{4}}}{{x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 23.2%

      \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left({x}^{4}\right)}^{0.3333333333333333}}}{{x}^{2}} \]

   2. pow-pow 47.3%

      \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(4 \cdot 0.3333333333333333\right)}}}{{x}^{2}} \]

   3. metadata-eval 47.3%

      \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{\color{blue}{1.3333333333333333}}}{{x}^{2}} \]

5. Applied egg-rr 47.3%

   \[\leadsto \frac{-0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{x} + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{1.3333333333333333}}}{{x}^{2}} \]

6. Taylor expanded in x around inf 51.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-to-pow 49.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{e^{\log x \cdot 2}}}} \]

   2. *-commutative 49.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{e^{\color{blue}{2 \cdot \log x}}}} \]

   3. rec-exp 49.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{e^{-2 \cdot \log x}}} \]

   4. *-commutative 49.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{-\color{blue}{\log x \cdot 2}}} \]

   5. distribute-rgt-neg-in 49.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\color{blue}{\log x \cdot \left(-2\right)}}} \]

   6. metadata-eval 49.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{e^{\log x \cdot \color{blue}{-2}}} \]

   7. exp-to-pow 52.5%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-2}}} \]

8. Simplified 52.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 5.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ 1.0 (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 + cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 + Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 + cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 + N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.2%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 1.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-\sqrt[3]{x}\right)} \]

   2. rem-square-sqrt 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}} \]

   3. fabs-sqr 0.0%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt{-\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{-\sqrt[3]{x}}\right|} \]

   4. rem-square-sqrt 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{-\sqrt[3]{x}}\right| \]

   5. fabs-neg 5.4%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left|\sqrt[3]{x}\right|} \]

   6. unpow1/3 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}\right| \]

   7. metadata-eval 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|{x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}}\right| \]

   8. pow-sqr 5.4%

      \[\leadsto 1 + \left|\color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}}\right| \]

   9. fabs-sqr 5.4%

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{0.16666666666666666} \cdot {x}^{0.16666666666666666}} \]

   10. pow-sqr 5.4%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   11. metadata-eval 5.4%

       \[\leadsto 1 + {x}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \]

   12. unpow1/3 5.4%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

5. Simplified 5.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \sqrt[3]{x}} \]
6. Add Preprocessing

Developer target: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024093 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (/ 1.0 (+ (+ (* (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt (+ x 1.0))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1.0)))) (* (cbrt x) (cbrt x))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))