bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 53.0% → 97.9%

Time: 14.8s

Alternatives: 7

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = -3.093475280256851e+166

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 53.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 1.00002:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 10^{+72}:\\ \;\;\;\;\log t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.00002)
     (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.005555555555555556))))
     (if (<= t_0 1e+72)
       (log t_0)
       (log (+ 1.0 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00002) {
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)));
	} else if (t_0 <= 1e+72) {
		tmp = log(t_0);
	} else {
		tmp = log((1.0 + (pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.00002d0) then
        tmp = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.005555555555555556d0))))
    else if (t_0 <= 1d+72) then
        tmp = log(t_0)
    else
        tmp = log((1.0d0 + ((x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00002) {
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)));
	} else if (t_0 <= 1e+72) {
		tmp = Math.log(t_0);
	} else {
		tmp = Math.log((1.0 + (Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.00002:
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)))
	elif t_0 <= 1e+72:
		tmp = math.log(t_0)
	else:
		tmp = math.log((1.0 + (math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.00002)
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556))));
	elseif (t_0 <= 1e+72)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = log(Float64(1.0 + Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.00002)
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556)));
	elseif (t_0 <= 1e+72)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = log((1.0 + ((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.00002], N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+72], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision], N[Log[N[(1.0 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00001999999999991

   1. Initial program 50.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

   5. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}} \]

      2. pow2 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-prod 99.5%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 99.5%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      5. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      6. pow1 99.5%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      7. +-commutative 99.5%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

      8. fma-define 99.5%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

      2. swap-sqr 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

      3. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \]

      4. associate-*l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. fma-undefine 99.6%

          \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.6%

       \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   if 1.00001999999999991 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 9.99999999999999944e71

   1. Initial program 96.1%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if 9.99999999999999944e71 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 12.3%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 12.3%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]

   5. Simplified 12.3%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00002:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 10^{+72}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 1.00002:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 10^{+72}:\\ \;\;\;\;\log t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log 0.16666666666666666 - \log x \cdot -2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.00002)
     (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.005555555555555556))))
     (if (<= t_0 1e+72)
       (log t_0)
       (- (log 0.16666666666666666) (* (log x) -2.0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00002) {
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)));
	} else if (t_0 <= 1e+72) {
		tmp = log(t_0);
	} else {
		tmp = log(0.16666666666666666) - (log(x) * -2.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.00002d0) then
        tmp = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.005555555555555556d0))))
    else if (t_0 <= 1d+72) then
        tmp = log(t_0)
    else
        tmp = log(0.16666666666666666d0) - (log(x) * (-2.0d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00002) {
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)));
	} else if (t_0 <= 1e+72) {
		tmp = Math.log(t_0);
	} else {
		tmp = Math.log(0.16666666666666666) - (Math.log(x) * -2.0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.00002:
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)))
	elif t_0 <= 1e+72:
		tmp = math.log(t_0)
	else:
		tmp = math.log(0.16666666666666666) - (math.log(x) * -2.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.00002)
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556))));
	elseif (t_0 <= 1e+72)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = Float64(log(0.16666666666666666) - Float64(log(x) * -2.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.00002)
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556)));
	elseif (t_0 <= 1e+72)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = log(0.16666666666666666) - (log(x) * -2.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.00002], N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+72], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision], N[(N[Log[0.16666666666666666], $MachinePrecision] - N[(N[Log[x], $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00001999999999991

   1. Initial program 50.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

   5. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}} \]

      2. pow2 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-prod 99.5%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 99.5%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      5. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      6. pow1 99.5%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      7. +-commutative 99.5%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

      8. fma-define 99.5%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

      2. swap-sqr 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

      3. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \]

      4. associate-*l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. fma-undefine 99.6%

          \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.6%

       \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   if 1.00001999999999991 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 9.99999999999999944e71

   1. Initial program 96.1%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if 9.99999999999999944e71 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 12.3%

      \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}}{x}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 12.3%

         \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{1 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}}{x}\right) \]

      2. *-lft-identity 12.3%

         \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{x} + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}{x}\right) \]

      3. associate-*l* 12.3%

         \[\leadsto \log \left(\frac{x + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)}}{x}\right) \]

      4. unpow2 12.3%

         \[\leadsto \log \left(\frac{x + 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right)}{x}\right) \]

      5. unpow3 12.3%

         \[\leadsto \log \left(\frac{x + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{3}}}{x}\right) \]

   5. Simplified 12.3%

      \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{x + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{x}\right) \]

   6. Taylor expanded in x around inf 9.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\log 0.16666666666666666 + -2 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 9.1%

         \[\leadsto \log 0.16666666666666666 + \color{blue}{\log \left(\frac{1}{x}\right) \cdot -2} \]

      2. log-rec 9.1%

         \[\leadsto \log 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(-\log x\right)} \cdot -2 \]

      3. distribute-lft-neg-out 9.1%

         \[\leadsto \log 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(-\log x \cdot -2\right)} \]

      4. unsub-neg 9.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\log 0.16666666666666666 - \log x \cdot -2} \]

   8. Simplified 9.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\log 0.16666666666666666 - \log x \cdot -2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00002:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 10^{+72}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log 0.16666666666666666 - \log x \cdot -2\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 1.00002:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 10^{+72}:\\ \;\;\;\;\log t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-1 + \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.00002)
     (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.005555555555555556))))
     (if (<= t_0 1e+72)
       (log t_0)
       (+ -1.0 (+ 1.0 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00002) {
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)));
	} else if (t_0 <= 1e+72) {
		tmp = log(t_0);
	} else {
		tmp = -1.0 + (1.0 + (pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.00002d0) then
        tmp = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.005555555555555556d0))))
    else if (t_0 <= 1d+72) then
        tmp = log(t_0)
    else
        tmp = (-1.0d0) + (1.0d0 + ((x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00002) {
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)));
	} else if (t_0 <= 1e+72) {
		tmp = Math.log(t_0);
	} else {
		tmp = -1.0 + (1.0 + (Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.00002:
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)))
	elif t_0 <= 1e+72:
		tmp = math.log(t_0)
	else:
		tmp = -1.0 + (1.0 + (math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.00002)
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556))));
	elseif (t_0 <= 1e+72)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = Float64(-1.0 + Float64(1.0 + Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.00002)
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556)));
	elseif (t_0 <= 1e+72)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = -1.0 + (1.0 + ((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.00002], N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+72], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision], N[(-1.0 + N[(1.0 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00001999999999991

   1. Initial program 50.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

   5. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}} \]

      2. pow2 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-prod 99.5%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 99.5%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      5. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      6. pow1 99.5%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      7. +-commutative 99.5%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

      8. fma-define 99.5%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

      2. swap-sqr 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

      3. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \]

      4. associate-*l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. fma-undefine 99.6%

          \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.6%

       \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   if 1.00001999999999991 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 9.99999999999999944e71

   1. Initial program 96.1%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if 9.99999999999999944e71 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)\right)} \]

      2. expm1-undefine 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1} \]

      3. log1p-undefine 3.2%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}} - 1 \]

      4. rem-exp-log 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1 \]

   4. Applied egg-rr 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) - 1} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 12.0%

      \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) - 1 \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00002:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 10^{+72}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-1 + \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 1.00002:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-1 + \left(1 + \log t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.00002)
     (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.005555555555555556))))
     (+ -1.0 (+ 1.0 (log t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00002) {
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = -1.0 + (1.0 + log(t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.00002d0) then
        tmp = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.005555555555555556d0))))
    else
        tmp = (-1.0d0) + (1.0d0 + log(t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.00002) {
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = -1.0 + (1.0 + Math.log(t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.00002:
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)))
	else:
		tmp = -1.0 + (1.0 + math.log(t_0))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.00002)
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556))));
	else
		tmp = Float64(-1.0 + Float64(1.0 + log(t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.00002)
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556)));
	else
		tmp = -1.0 + (1.0 + log(t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.00002], N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-1.0 + N[(1.0 + N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00001999999999991

   1. Initial program 50.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

   5. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}} \]

      2. pow2 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-prod 99.5%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 99.5%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      5. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      6. pow1 99.5%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      7. +-commutative 99.5%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

      8. fma-define 99.5%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

      2. swap-sqr 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

      3. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \]

      4. associate-*l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. fma-undefine 99.6%

          \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.6%

       \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   if 1.00001999999999991 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 38.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 38.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)\right)} \]

      2. expm1-undefine 38.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1} \]

      3. log1p-undefine 38.7%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}} - 1 \]

      4. rem-exp-log 39.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1 \]

   4. Applied egg-rr 39.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) - 1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00002:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-1 + \left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.1% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (pow x 2.0)
  (+
   0.16666666666666666
   (*
    (pow x 2.0)
    (- (* (pow x 2.0) 0.0003527336860670194) 0.005555555555555556)))))

C

double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * ((pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (((x ** 2.0d0) * 0.0003527336860670194d0) - 0.005555555555555556d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * ((Math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * ((math.pow(x, 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)))

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * Float64(Float64((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * (((x ^ 2.0) * 0.0003527336860670194) - 0.005555555555555556)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] - 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 95.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{2} - 0.005555555555555556\right)\right)} \]

4. Final simplification 95.5%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot 0.0003527336860670194 - 0.005555555555555556\right)\right) \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.3% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.008:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{-1}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 0.008)
   (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* (pow x 2.0) -0.005555555555555556))))
   (- (log (pow (/ (sinh x) x) -1.0)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.008) {
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = -log(pow((sinh(x) / x), -1.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 0.008d0) then
        tmp = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x ** 2.0d0) * (-0.005555555555555556d0))))
    else
        tmp = -log(((sinh(x) / x) ** (-1.0d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.008) {
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (Math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)));
	} else {
		tmp = -Math.log(Math.pow((Math.sinh(x) / x), -1.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 0.008:
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (math.pow(x, 2.0) * -0.005555555555555556)))
	else:
		tmp = -math.log(math.pow((math.sinh(x) / x), -1.0))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.008)
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556))));
	else
		tmp = Float64(-log((Float64(sinh(x) / x) ^ -1.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.008)
		tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x ^ 2.0) * -0.005555555555555556)));
	else
		tmp = -log(((sinh(x) / x) ^ -1.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 0.008], N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-N[Log[N[Power[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision])]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.0080000000000000002

   1. Initial program 50.4%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.4%

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

   5. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 98.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)} \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}} \]

      2. pow2 98.1%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x}^{2} \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)}\right)}^{2}} \]

      3. sqrt-prod 98.3%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}}^{2} \]

      4. sqrt-pow1 98.3%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{2}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      5. metadata-eval 98.3%

         \[\leadsto {\left({x}^{\color{blue}{1}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      6. pow1 98.3%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556}\right)}^{2} \]

      7. +-commutative 98.3%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

      8. fma-define 98.3%

         \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}}\right)}^{2} \]

   7. Applied egg-rr 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

      2. swap-sqr 98.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)}\right)} \]

      3. add-sqr-sqrt 98.4%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)} \]

      4. associate-*l* 98.4%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Applied egg-rr 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left({x}^{2}, -0.005555555555555556, 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. fma-undefine 98.4%

          \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   11. Applied egg-rr 98.4%

       \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   if 0.0080000000000000002 < x

   1. Initial program 40.0%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num 40.0%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 39.7%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 39.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num 40.3%

         \[\leadsto -\log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

      2. inv-pow 40.3%

         \[\leadsto -\log \color{blue}{\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{-1}\right)} \]

   6. Applied egg-rr 40.3%

      \[\leadsto -\log \color{blue}{\left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{-1}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.008:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + {x}^{2} \cdot -0.005555555555555556\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left({\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{-1}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.7% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 49.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-undefine 50.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1} \]

   3. log1p-undefine 50.0%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}} - 1 \]

   4. rem-exp-log 50.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1 \]

4. Applied egg-rr 50.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) - 1} \]

5. Taylor expanded in x around 0 48.7%

   \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) - 1 \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 48.7%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} - 1 \]

   2. *-commutative 48.7%

      \[\leadsto e^{\log \left(1 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}\right)} - 1 \]

   3. log1p-define 48.7%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} - 1 \]

   4. expm1-define 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   5. expm1-log1p-u 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

   6. *-commutative 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   7. unpow2 95.0%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   8. associate-*r* 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Applied egg-rr 95.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
9. Add Preprocessing

Developer target: 97.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024089 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))