2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.5% → 99.6%

Time: 30.1s

Alternatives: 11

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{{\sin x}^{2}}{t\_1}\\ t_3 := t\_2 \cdot -0.3333333333333333\\ t_4 := \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\\ \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + t\_2\right)}{\cos x} - \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot t\_0 + \frac{\sin x \cdot \left(t\_3 - t\_4\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right) + \left(t\_2 + \left(t\_4 - t\_3\right)\right)\right) + \left(t\_0 + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)\right) + \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{t\_1}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0)))
        (t_1 (pow (cos x) 2.0))
        (t_2 (/ (pow (sin x) 2.0) t_1))
        (t_3 (* t_2 -0.3333333333333333))
        (t_4 (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0))))
   (*
    eps
    (+
     (+
      1.0
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (+
          (+
           0.3333333333333333
           (*
            eps
            (-
             (/ (* (sin x) (+ 0.3333333333333333 t_2)) (cos x))
             (+
              (* -0.3333333333333333 (tan x))
              (+
               (* -0.3333333333333333 t_0)
               (/ (* (sin x) (- t_3 t_4)) (cos x)))))))
          (+ t_2 (- t_4 t_3))))
        (+ t_0 (/ (sin x) (cos x))))))
     (/ (- 0.5 (/ (cos (* x 2.0)) 2.0)) t_1)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = pow(sin(x), 2.0) / t_1;
	double t_3 = t_2 * -0.3333333333333333;
	double t_4 = pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0);
	return eps * ((1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333 + t_2)) / cos(x)) - ((-0.3333333333333333 * tan(x)) + ((-0.3333333333333333 * t_0) + ((sin(x) * (t_3 - t_4)) / cos(x))))))) + (t_2 + (t_4 - t_3)))) + (t_0 + (sin(x) / cos(x)))))) + ((0.5 - (cos((x * 2.0)) / 2.0)) / t_1));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    t_0 = (sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)
    t_1 = cos(x) ** 2.0d0
    t_2 = (sin(x) ** 2.0d0) / t_1
    t_3 = t_2 * (-0.3333333333333333d0)
    t_4 = (sin(x) ** 4.0d0) / (cos(x) ** 4.0d0)
    code = eps * ((1.0d0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333d0 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333d0 + t_2)) / cos(x)) - (((-0.3333333333333333d0) * tan(x)) + (((-0.3333333333333333d0) * t_0) + ((sin(x) * (t_3 - t_4)) / cos(x))))))) + (t_2 + (t_4 - t_3)))) + (t_0 + (sin(x) / cos(x)))))) + ((0.5d0 - (cos((x * 2.0d0)) / 2.0d0)) / t_1))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_2 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / t_1;
	double t_3 = t_2 * -0.3333333333333333;
	double t_4 = Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / Math.pow(Math.cos(x), 4.0);
	return eps * ((1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((Math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_2)) / Math.cos(x)) - ((-0.3333333333333333 * Math.tan(x)) + ((-0.3333333333333333 * t_0) + ((Math.sin(x) * (t_3 - t_4)) / Math.cos(x))))))) + (t_2 + (t_4 - t_3)))) + (t_0 + (Math.sin(x) / Math.cos(x)))))) + ((0.5 - (Math.cos((x * 2.0)) / 2.0)) / t_1));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)
	t_1 = math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_2 = math.pow(math.sin(x), 2.0) / t_1
	t_3 = t_2 * -0.3333333333333333
	t_4 = math.pow(math.sin(x), 4.0) / math.pow(math.cos(x), 4.0)
	return eps * ((1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_2)) / math.cos(x)) - ((-0.3333333333333333 * math.tan(x)) + ((-0.3333333333333333 * t_0) + ((math.sin(x) * (t_3 - t_4)) / math.cos(x))))))) + (t_2 + (t_4 - t_3)))) + (t_0 + (math.sin(x) / math.cos(x)))))) + ((0.5 - (math.cos((x * 2.0)) / 2.0)) / t_1))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64((sin(x) ^ 2.0) / t_1)
	t_3 = Float64(t_2 * -0.3333333333333333)
	t_4 = Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0))
	return Float64(eps * Float64(Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(0.3333333333333333 + t_2)) / cos(x)) - Float64(Float64(-0.3333333333333333 * tan(x)) + Float64(Float64(-0.3333333333333333 * t_0) + Float64(Float64(sin(x) * Float64(t_3 - t_4)) / cos(x))))))) + Float64(t_2 + Float64(t_4 - t_3)))) + Float64(t_0 + Float64(sin(x) / cos(x)))))) + Float64(Float64(0.5 - Float64(cos(Float64(x * 2.0)) / 2.0)) / t_1)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = (sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0);
	t_1 = cos(x) ^ 2.0;
	t_2 = (sin(x) ^ 2.0) / t_1;
	t_3 = t_2 * -0.3333333333333333;
	t_4 = (sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0);
	tmp = eps * ((1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333 + t_2)) / cos(x)) - ((-0.3333333333333333 * tan(x)) + ((-0.3333333333333333 * t_0) + ((sin(x) * (t_3 - t_4)) / cos(x))))))) + (t_2 + (t_4 - t_3)))) + (t_0 + (sin(x) / cos(x)))))) + ((0.5 - (cos((x * 2.0)) / 2.0)) / t_1));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(1.0 + N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(-0.3333333333333333 * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$3 - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 + N[(t$95$4 - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 - N[(N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 62.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

4. Applied egg-rr 62.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \left(\tan x + \tan \varepsilon\right)} - \tan x \]

   2. associate-/r/ 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x + \tan \varepsilon}}} - \tan x \]

6. Simplified 61.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x + \tan \varepsilon}}} - \tan x \]

7. Taylor expanded in eps around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. tan-quot 100.0%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. pow1 100.0%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

9. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow1 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

11. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow2 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    2. sin-mult 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

13. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. div-sub 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right)}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    2. +-inverses 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    3. cos-0 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    4. metadata-eval 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    5. count-2 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    6. *-commutative 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot 2\right)}}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

15. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

16. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} - \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot -0.3333333333333333 - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)\right) + \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\\ t_2 := \frac{t\_0}{{\cos x}^{2}}\\ t_3 := \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\\ \varepsilon \cdot \left(t\_2 + \left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + t\_2\right)}{\cos x} + \left(\left(\frac{\sin x \cdot \left(t\_1 - t\_0 \cdot -0.3333333333333333\right)}{\cos x} - -0.3333333333333333 \cdot t\_3\right) - -0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)\right)\right) + \left(t\_2 + \left(t\_1 - t\_2 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \left(t\_3 + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0)))
        (t_2 (/ t_0 (pow (cos x) 2.0)))
        (t_3 (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0))))
   (*
    eps
    (+
     t_2
     (+
      1.0
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (+
          (+
           0.3333333333333333
           (*
            eps
            (+
             (/ (* (sin x) (+ 0.3333333333333333 t_2)) (cos x))
             (-
              (-
               (/ (* (sin x) (- t_1 (* t_0 -0.3333333333333333))) (cos x))
               (* -0.3333333333333333 t_3))
              (* -0.3333333333333333 (tan x))))))
          (+ t_2 (- t_1 (* t_2 -0.3333333333333333)))))
        (+ t_3 (/ (sin x) (cos x))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0);
	double t_2 = t_0 / pow(cos(x), 2.0);
	double t_3 = pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0);
	return eps * (t_2 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333 + t_2)) / cos(x)) + ((((sin(x) * (t_1 - (t_0 * -0.3333333333333333))) / cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_3)) - (-0.3333333333333333 * tan(x)))))) + (t_2 + (t_1 - (t_2 * -0.3333333333333333))))) + (t_3 + (sin(x) / cos(x)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    t_0 = sin(x) ** 2.0d0
    t_1 = (sin(x) ** 4.0d0) / (cos(x) ** 4.0d0)
    t_2 = t_0 / (cos(x) ** 2.0d0)
    t_3 = (sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)
    code = eps * (t_2 + (1.0d0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333d0 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333d0 + t_2)) / cos(x)) + ((((sin(x) * (t_1 - (t_0 * (-0.3333333333333333d0)))) / cos(x)) - ((-0.3333333333333333d0) * t_3)) - ((-0.3333333333333333d0) * tan(x)))))) + (t_2 + (t_1 - (t_2 * (-0.3333333333333333d0)))))) + (t_3 + (sin(x) / cos(x)))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / Math.pow(Math.cos(x), 4.0);
	double t_2 = t_0 / Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_3 = Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0);
	return eps * (t_2 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((Math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_2)) / Math.cos(x)) + ((((Math.sin(x) * (t_1 - (t_0 * -0.3333333333333333))) / Math.cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_3)) - (-0.3333333333333333 * Math.tan(x)))))) + (t_2 + (t_1 - (t_2 * -0.3333333333333333))))) + (t_3 + (Math.sin(x) / Math.cos(x)))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0)
	t_1 = math.pow(math.sin(x), 4.0) / math.pow(math.cos(x), 4.0)
	t_2 = t_0 / math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_3 = math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)
	return eps * (t_2 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((math.sin(x) * (0.3333333333333333 + t_2)) / math.cos(x)) + ((((math.sin(x) * (t_1 - (t_0 * -0.3333333333333333))) / math.cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_3)) - (-0.3333333333333333 * math.tan(x)))))) + (t_2 + (t_1 - (t_2 * -0.3333333333333333))))) + (t_3 + (math.sin(x) / math.cos(x)))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0))
	t_2 = Float64(t_0 / (cos(x) ^ 2.0))
	t_3 = Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0))
	return Float64(eps * Float64(t_2 + Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(0.3333333333333333 + t_2)) / cos(x)) + Float64(Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(t_1 - Float64(t_0 * -0.3333333333333333))) / cos(x)) - Float64(-0.3333333333333333 * t_3)) - Float64(-0.3333333333333333 * tan(x)))))) + Float64(t_2 + Float64(t_1 - Float64(t_2 * -0.3333333333333333))))) + Float64(t_3 + Float64(sin(x) / cos(x))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0;
	t_1 = (sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0);
	t_2 = t_0 / (cos(x) ^ 2.0);
	t_3 = (sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0);
	tmp = eps * (t_2 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + (eps * (((sin(x) * (0.3333333333333333 + t_2)) / cos(x)) + ((((sin(x) * (t_1 - (t_0 * -0.3333333333333333))) / cos(x)) - (-0.3333333333333333 * t_3)) - (-0.3333333333333333 * tan(x)))))) + (t_2 + (t_1 - (t_2 * -0.3333333333333333))))) + (t_3 + (sin(x) / cos(x)))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(t$95$2 + N[(1.0 + N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$1 - N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.3333333333333333 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.3333333333333333 * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 + N[(t$95$1 - N[(t$95$2 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$3 + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 62.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

4. Applied egg-rr 62.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \left(\tan x + \tan \varepsilon\right)} - \tan x \]

   2. associate-/r/ 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x + \tan \varepsilon}}} - \tan x \]

6. Simplified 61.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x + \tan \varepsilon}}} - \tan x \]

7. Taylor expanded in eps around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. tan-quot 100.0%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. pow1 100.0%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

9. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{{\left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)}^{1}} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow1 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

11. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \tan x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

12. Taylor expanded in x around 0 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{1}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

13. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\left(\frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - {\sin x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)}{\cos x} - -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right) - -0.3333333333333333 \cdot \tan x\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} - \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.5% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_0}{t\_1}\\ t_3 := 1 + t\_2\\ t_4 := \frac{\sin x}{\cos x}\\ t_5 := t\_4 \cdot t\_3\\ \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, -0.3333333333333333 \cdot t\_4 + -0.3333333333333333 \cdot t\_5, -0.16666666666666666\right) + \left(t\_0 \cdot \frac{t\_3}{t\_1} - \mathsf{fma}\left(-0.5, t\_3, t\_2 \cdot 0.16666666666666666\right)\right), t\_5\right), t\_2\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (pow (cos x) 2.0))
        (t_2 (/ t_0 t_1))
        (t_3 (+ 1.0 t_2))
        (t_4 (/ (sin x) (cos x)))
        (t_5 (* t_4 t_3)))
   (*
    eps
    (+
     1.0
     (fma
      eps
      (fma
       eps
       (+
        (fma
         (- eps)
         (+ (* -0.3333333333333333 t_4) (* -0.3333333333333333 t_5))
         -0.16666666666666666)
        (- (* t_0 (/ t_3 t_1)) (fma -0.5 t_3 (* t_2 0.16666666666666666))))
       t_5)
      t_2)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	double t_3 = 1.0 + t_2;
	double t_4 = sin(x) / cos(x);
	double t_5 = t_4 * t_3;
	return eps * (1.0 + fma(eps, fma(eps, (fma(-eps, ((-0.3333333333333333 * t_4) + (-0.3333333333333333 * t_5)), -0.16666666666666666) + ((t_0 * (t_3 / t_1)) - fma(-0.5, t_3, (t_2 * 0.16666666666666666)))), t_5), t_2));
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_0 / t_1)
	t_3 = Float64(1.0 + t_2)
	t_4 = Float64(sin(x) / cos(x))
	t_5 = Float64(t_4 * t_3)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + fma(eps, fma(eps, Float64(fma(Float64(-eps), Float64(Float64(-0.3333333333333333 * t_4) + Float64(-0.3333333333333333 * t_5)), -0.16666666666666666) + Float64(Float64(t_0 * Float64(t_3 / t_1)) - fma(-0.5, t_3, Float64(t_2 * 0.16666666666666666)))), t_5), t_2)))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(t$95$4 * t$95$3), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(1.0 + N[(eps * N[(eps * N[(N[((-eps) * N[(N[(-0.3333333333333333 * t$95$4), $MachinePrecision] + N[(-0.3333333333333333 * t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$3 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.5 * t$95$3 + N[(t$95$2 * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$5), $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(-0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \left(0.16666666666666666 + \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, \color{blue}{-0.3333333333333333} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot -0.3333333333333333, -0.16666666666666666\right) - \left(\mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - {\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right), \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

7. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(-\varepsilon, -0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right), -0.16666666666666666\right) + \left({\sin x}^{2} \cdot \frac{1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \mathsf{fma}\left(-0.5, 1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot 0.16666666666666666\right)\right), \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.5% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_0}{t\_1}\\ \varepsilon \cdot \left(t\_2 + \left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + t\_2\right) - \left(t\_0 \cdot \frac{-0.3333333333333333}{t\_1} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0)) (t_1 (pow (cos x) 2.0)) (t_2 (/ t_0 t_1)))
   (*
    eps
    (+
     t_2
     (+
      1.0
      (*
       eps
       (+
        (*
         eps
         (-
          (+ 0.3333333333333333 t_2)
          (-
           (* t_0 (/ -0.3333333333333333 t_1))
           (/ (pow (sin x) 4.0) (pow (cos x) 4.0)))))
        (+ (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0)) (/ (sin x) (cos x))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	return eps * (t_2 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + t_2) - ((t_0 * (-0.3333333333333333 / t_1)) - (pow(sin(x), 4.0) / pow(cos(x), 4.0))))) + ((pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0)) + (sin(x) / cos(x)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = sin(x) ** 2.0d0
    t_1 = cos(x) ** 2.0d0
    t_2 = t_0 / t_1
    code = eps * (t_2 + (1.0d0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333d0 + t_2) - ((t_0 * ((-0.3333333333333333d0) / t_1)) - ((sin(x) ** 4.0d0) / (cos(x) ** 4.0d0))))) + (((sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)) + (sin(x) / cos(x)))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	return eps * (t_2 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + t_2) - ((t_0 * (-0.3333333333333333 / t_1)) - (Math.pow(Math.sin(x), 4.0) / Math.pow(Math.cos(x), 4.0))))) + ((Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0)) + (Math.sin(x) / Math.cos(x)))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0)
	t_1 = math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_2 = t_0 / t_1
	return eps * (t_2 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + t_2) - ((t_0 * (-0.3333333333333333 / t_1)) - (math.pow(math.sin(x), 4.0) / math.pow(math.cos(x), 4.0))))) + ((math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)) + (math.sin(x) / math.cos(x)))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_0 / t_1)
	return Float64(eps * Float64(t_2 + Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + t_2) - Float64(Float64(t_0 * Float64(-0.3333333333333333 / t_1)) - Float64((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0))))) + Float64(Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0)) + Float64(sin(x) / cos(x))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0;
	t_1 = cos(x) ^ 2.0;
	t_2 = t_0 / t_1;
	tmp = eps * (t_2 + (1.0 + (eps * ((eps * ((0.3333333333333333 + t_2) - ((t_0 * (-0.3333333333333333 / t_1)) - ((sin(x) ^ 4.0) / (cos(x) ^ 4.0))))) + (((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0)) + (sin(x) / cos(x)))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(t$95$2 + N[(1.0 + N[(eps * N[(N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + t$95$2), $MachinePrecision] - N[(N[(t$95$0 * N[(-0.3333333333333333 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 62.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

4. Applied egg-rr 62.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \left(\tan x + \tan \varepsilon\right)} - \tan x \]

   2. associate-/r/ 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x + \tan \varepsilon}}} - \tan x \]

6. Simplified 61.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x + \tan \varepsilon}}} - \tan x \]

7. Taylor expanded in eps around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

8. Taylor expanded in eps around 0 99.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)} - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 + \left(--1\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   3. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \color{blue}{1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   4. *-lft-identity 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   5. associate-*r/ 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + \color{blue}{\frac{-0.3333333333333333 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   6. +-commutative 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \color{blue}{\left(\frac{-0.3333333333333333 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)}\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   7. mul-1-neg 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(\frac{-0.3333333333333333 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \color{blue}{\left(-\frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)}\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   8. unsub-neg 99.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \color{blue}{\left(\frac{-0.3333333333333333 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)}\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

10. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left({\sin x}^{2} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)\right)} - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

11. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \left({\sin x}^{2} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{{\cos x}^{2}} - \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}}\right)\right) + \left(\frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (+ 1.0 (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0)))
   (* eps (+ (/ (pow (sin x) 3.0) (pow (cos x) 3.0)) (/ (sin x) (cos x)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + (pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0))) + (eps * ((pow(sin(x), 3.0) / pow(cos(x), 3.0)) + (sin(x) / cos(x)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((1.0d0 + ((sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0))) + (eps * (((sin(x) ** 3.0d0) / (cos(x) ** 3.0d0)) + (sin(x) / cos(x)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + (Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0))) + (eps * ((Math.pow(Math.sin(x), 3.0) / Math.pow(Math.cos(x), 3.0)) + (Math.sin(x) / Math.cos(x)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((1.0 + (math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0))) + (eps * ((math.pow(math.sin(x), 3.0) / math.pow(math.cos(x), 3.0)) + (math.sin(x) / math.cos(x)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(1.0 + Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))) + Float64(eps * Float64(Float64((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0)) + Float64(sin(x) / cos(x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((1.0 + ((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0))) + (eps * (((sin(x) ^ 3.0) / (cos(x) ^ 3.0)) + (sin(x) / cos(x)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(1.0 + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum 62.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

   2. div-inv 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

4. Applied egg-rr 62.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \left(\tan x + \tan \varepsilon\right)} - \tan x \]

   2. associate-/r/ 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x + \tan \varepsilon}}} - \tan x \]

6. Simplified 61.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x + \tan \varepsilon}}} - \tan x \]

7. Taylor expanded in eps around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) + \left(--1\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

   2. +-commutative 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right)} + \left(--1\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   3. metadata-eval 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right) + \color{blue}{1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   4. *-lft-identity 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right) + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) \]

   5. associate-+l+ 99.7%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

9. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right) + \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

10. Final simplification 99.7%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.9% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{-1 + e^{\mathsf{log1p}\left({\sin x}^{2}\right)}}{{\cos x}^{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+ 1.0 (/ (+ -1.0 (exp (log1p (pow (sin x) 2.0)))) (pow (cos x) 2.0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((-1.0 + exp(log1p(pow(sin(x), 2.0)))) / pow(cos(x), 2.0)));
}

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((-1.0 + Math.exp(Math.log1p(Math.pow(Math.sin(x), 2.0)))) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0)));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + ((-1.0 + math.exp(math.log1p(math.pow(math.sin(x), 2.0)))) / math.pow(math.cos(x), 2.0)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(Float64(-1.0 + exp(log1p((sin(x) ^ 2.0)))) / (cos(x) ^ 2.0))))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(N[(-1.0 + N[Exp[N[Log[1 + N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 57.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)} \cdot \sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}} - \tan x \]

   2. pow3 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}\right)}^{3}} - \tan x \]

4. Applied egg-rr 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}\right)}^{3}} - \tan x \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(--1\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   3. *-lft-identity 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) \]

   4. +-commutative 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)} \]

7. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\sin x}^{2}\right)\right)}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \]

   2. expm1-undefine 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\sin x}^{2}\right)} - 1}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \]

9. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\sin x}^{2}\right)} - 1}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \]

10. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{-1 + e^{\mathsf{log1p}\left({\sin x}^{2}\right)}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ 1.0 (/ (- 0.5 (/ (cos (* x 2.0)) 2.0)) (pow (cos x) 2.0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((0.5 - (cos((x * 2.0)) / 2.0)) / pow(cos(x), 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + ((0.5d0 - (cos((x * 2.0d0)) / 2.0d0)) / (cos(x) ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((0.5 - (Math.cos((x * 2.0)) / 2.0)) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0)));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + ((0.5 - (math.cos((x * 2.0)) / 2.0)) / math.pow(math.cos(x), 2.0)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 - Float64(cos(Float64(x * 2.0)) / 2.0)) / (cos(x) ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + ((0.5 - (cos((x * 2.0)) / 2.0)) / (cos(x) ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(N[(0.5 - N[(N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 57.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)} \cdot \sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}} - \tan x \]

   2. pow3 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}\right)}^{3}} - \tan x \]

4. Applied egg-rr 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}\right)}^{3}} - \tan x \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(--1\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   3. *-lft-identity 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) \]

   4. +-commutative 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)} \]

7. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 100.0%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   2. sin-mult 100.0%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

9. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right) - \cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. div-sub 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x - x\right)}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    2. +-inverses 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    3. cos-0 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    4. metadata-eval 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x + x\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    5. count-2 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

    6. *-commutative 100.0%

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}} + \frac{\sin x \cdot \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{4}} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot 2\right)}}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

11. Simplified 99.3%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \]

12. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot 2\right)}{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.3% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{1 - {x}^{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ 1.0 (/ (pow (sin x) 2.0) (- 1.0 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (pow(sin(x), 2.0) / (1.0 - pow(x, 2.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + ((sin(x) ** 2.0d0) / (1.0d0 - (x ** 2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / (1.0 - Math.pow(x, 2.0))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + (math.pow(math.sin(x), 2.0) / (1.0 - math.pow(x, 2.0))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64((sin(x) ^ 2.0) / Float64(1.0 - (x ^ 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + ((sin(x) ^ 2.0) / (1.0 - (x ^ 2.0))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 57.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)} \cdot \sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}} - \tan x \]

   2. pow3 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}\right)}^{3}} - \tan x \]

4. Applied egg-rr 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\tan \left(x + \varepsilon\right)}\right)}^{3}} - \tan x \]

5. Taylor expanded in eps around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(--1\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{1} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \]

   3. *-lft-identity 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right) \]

   4. +-commutative 99.3%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)} \]

7. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0 98.1%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{1 + -1 \cdot {x}^{2}}} + 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 98.1%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{1 + \color{blue}{\left(-{x}^{2}\right)}} + 1\right) \]

   2. unsub-neg 98.1%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{1 - {x}^{2}}} + 1\right) \]

10. Simplified 98.1%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{1 - {x}^{2}}} + 1\right) \]

11. Final simplification 98.1%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{1 - {x}^{2}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left({x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.8333333333333334 - x \cdot -0.5\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   1.0
   (+
    (pow x 2.0)
    (*
     eps
     (+
      x
      (*
       eps
       (+
        0.3333333333333333
        (* x (- (* x 0.8333333333333334) (* x -0.5)))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (pow(x, 2.0) + (eps * (x + (eps * (0.3333333333333333 + (x * ((x * 0.8333333333333334) - (x * -0.5)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + ((x ** 2.0d0) + (eps * (x + (eps * (0.3333333333333333d0 + (x * ((x * 0.8333333333333334d0) - (x * (-0.5d0))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (Math.pow(x, 2.0) + (eps * (x + (eps * (0.3333333333333333 + (x * ((x * 0.8333333333333334) - (x * -0.5)))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + (math.pow(x, 2.0) + (eps * (x + (eps * (0.3333333333333333 + (x * ((x * 0.8333333333333334) - (x * -0.5)))))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64((x ^ 2.0) + Float64(eps * Float64(x + Float64(eps * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * Float64(Float64(x * 0.8333333333333334) - Float64(x * -0.5))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + ((x ^ 2.0) + (eps * (x + (eps * (0.3333333333333333 + (x * ((x * 0.8333333333333334) - (x * -0.5)))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(eps * N[(x + N[(eps * N[(0.3333333333333333 + N[(x * N[(N[(x * 0.8333333333333334), $MachinePrecision] - N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\frac{x \cdot \left(\sin \varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin \varepsilon}^{2}}{{\cos \varepsilon}^{2}}\right)\right)}{\cos \varepsilon} - -1 \cdot \frac{{\sin \varepsilon}^{2}}{{\cos \varepsilon}^{2}}\right) + \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]

4. Taylor expanded in eps around 0 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(0.8333333333333334 \cdot x - -0.5 \cdot x\right)\right)\right) + {x}^{2}\right)\right)} \]

5. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left({x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(x + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.8333333333333334 - x \cdot -0.5\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 10: 98.2% accurate, 22.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (+ 1.0 (* x (+ eps x)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * (eps + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + (x * (eps + x)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * (eps + x)));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + (x * (eps + x)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + (x * (eps + x)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(x * N[(eps + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\frac{x \cdot \left(\sin \varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin \varepsilon}^{2}}{{\cos \varepsilon}^{2}}\right)\right)}{\cos \varepsilon} - -1 \cdot \frac{{\sin \varepsilon}^{2}}{{\cos \varepsilon}^{2}}\right) + \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]

4. Taylor expanded in eps around 0 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot x + {x}^{2}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot x + \color{blue}{x \cdot x}\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out 97.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon + x\right)}\right) \]

   3. +-commutative 97.9%

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x + \varepsilon\right)}\right) \]

6. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot \left(x + \varepsilon\right)\right)} \]

7. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 11: 97.8% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]

4. Taylor expanded in eps around 0 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
5. Add Preprocessing

Developer target: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024089 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))